نحوه حل معادلات دیوفانتین برخی از معادلات دیوفانتین نقش برجسته لئونارد اویلر در توسعه جبر هندسه و نظریه اعداد

خطی معادلات دیوفانتین

کار تحقیقی در جبر

تفاهم نامه دانش آموز کلاس نهم "Upshinskaya OOSh"

آنتونوف یوری

"اگر می خواهید شنا کردن را یاد بگیرید، پس

جسورانه وارد آب شوید و اگر بخواهید

یاد بگیرید که مشکلات را حل کنید، سپس آنها را حل کنید.

دی.پویا

سر - Sofronova N.A. .


یک وظیفه

برای کفپوش با عرض 3 متر، تخته هایی با عرض 11 سانتی متر و 13 سانتی متر وجود دارد، به چند تخته از هر دو سایز نیاز دارید؟

اگر یک ایکس - تعداد تخته ها به عرض 11 سانتی متر و در - تعداد تخته ها به عرض 13 سانتی متر، سپس باید معادله را حل کنیم:

11 ایکس + 13 سال = 300


ویژگی های معادله 11 x + 13 y \u003d 300: ▪ ضرایب 11، 13، 300 اعداد صحیح هستند. ▪ تعداد مجهولات از تعداد معادلات بیشتر است. ▪ راه حل های این معادله x و y باید صحیح باشند اعداد مثبت

معادلات جبری یا سیستم معادلات جبری با ضرایب صحیح که در آنها تعداد مجهولات از تعداد معادلات بیشتر است و برای آنها باید جواب اعداد صحیح یافت، نامعین یا نامعین نامیده می شوند. دیوفانتین، به نام یک ریاضیدان یونانی دیوفانتوس .


نمونه هایی از معادلات دیوفانتین

1 . همه جفت اعداد صحیح را پیدا کنید

ایکس , y ، که درست است برابری

2 . نشان دهید که معادله

دارای بی نهایت راه حل

تمام اعداد


هدف، واقعگرایانه:

برای پی بردن به:

  • چه جور مواد و روش ها با وجود داشته باشد برای حل معادلات دیوفانتین

وظایف:

  • پیدا کردن و و روش های حل را یاد بگیرید خطی معادلات دیوفانتین در دو متغیر.
  • احتمالات نظریه معادلات دیوفانتین خطی را در نظر بگیرید.

سه قلوهای فیثاغورثی

  • معادلات نامعین در اعداد صحیح حتی قبل از دیوفانت حل شده بودند. برای مثال، معادله جبری بسیار جالب بود ایکس 2 + y 2 = z 2 , احزاب الزام آور ایکس , در , z راست گوشه. اعداد صحیح ایکس , y و z که جواب های این معادله هستند نامیده می شوند "سه قلوهای فیثاغورثی" .

معادله فرما

  • آثار دیوفانتوس نیز مستقیماً با تحقیقات ریاضی ریاضیدان فرانسوی پیر دو فرما مرتبط است. اعتقاد بر این است که کار فرما بود که موج جدیدی را در توسعه نظریه اعداد آغاز کرد. و یکی از مشکلات او معادله معروف فرما است

ایکس n +y n =z n


حتی یک ریاضیدان بزرگ نیز نظریه معادلات دیوفانتین را قبول نکرد.

فرما، اویلر، لاگرانژ، گاوس، چبیشف اثری محو نشدنی بر این نظریه جالب بر جای گذاشتند.


1, (کاتالانا)؛ ax 2 + bxy + su 2 + dx + ey + f \u003d 0، که در آن a، b، c، d، e، f اعداد صحیح هستند، یعنی کل معادله ناهمگندرجه دوم با دو مجهول (P. Fermat، J. Vallis، L. Euler، J. Lagrange و K. Gauss) "width="640"

نمونه هایی از معادلات نامعین توسط ریاضیدانان بزرگ حل شده است قرن 19 و 20: ایکس 2 − ny 2 = 1 , جایی که n مربع دقیقی نیست (فرمت، پل). ایکس z − y تی = 1 , جایی که z , تی 1, (کاتالانا)؛ اوه 2 + b.xy + سو 2 + dx + چشم + f = 0 , جایی که آ , ب , با , د , ه , f - اعداد صحیح، یعنی یک معادله کلی ناهمگن درجه دوم با دو مجهول (P. Fermat، J. Vallis، L. Euler، J. Lagrange و K. Gauss)


معادلات دیوفانتین در قرن بیستم

1900 کنگره بین المللی ریاضی

مشکل دهم هیلبرت

یک معادله دیوفانتین با تعدادی مجهول و ضرایب صحیح گویا در نظر گرفته شده است. لازم است روشی ارائه شود که بتواند در تعداد محدودی از عملیات تعیین کند که آیا معادله در اعداد صحیح گویا قابل حل است یا خیر.

ریاضیدان روسی یوری ماتیاسویچ ثابت :

مشکل دهم هیلبرت غیرقابل حل است - الگوریتم مورد نیاز وجود ندارد.


آیا همیشه می توان همه راه حل های کامل را برای یک معادله نامعین خاص یافت یا عدم وجود آن را اثبات کرد؟

  • مشکل حل معادلات در اعداد صحیح فقط برای معادلات درجه یک با دو یا سه مجهول کاملاً حل شده است.
  • DE درجه دوم با دو مجهول در حال حاضر با مشکل بسیار حل شده است.
  • DE درجه دوم با بیش از دو مجهول فقط در برخی موارد خاص حل می شود، به عنوان مثال، معادله ایکس 2 + y 2 = z 2 .
  • DEهای درجه بالاتر از دوم معمولاً فقط تعداد محدودی راه حل (به اعداد صحیح) دارند.
  • برای معادلات بالاتر از درجه دوم با دو یا چند مجهول، حتی مشکل وجود جواب های اعداد صحیح نیز دشوار است. به عنوان مثال، معلوم نیست که آیا معادله است

ایکس 3 + y 3 + z 3 = 30 حداقل یک راه حل عدد صحیح.

  • برای حل معادلات دیفرانسیل فردی و گاهی برای معادلات خاص، باید روش های جدیدی ابداع کرد. بدیهی است که هیچ الگوریتمی وجود ندارد که به یافتن راه حل برای DE دلخواه اجازه دهد.

معادلات دیوفانتین خطی

فرم کلی:

LDE با دو متغیر:

آ ایکس + توسط = ج

LDE با سه متغیر:

آ ایکس + توسط + cz = d


LDE با دو مجهول

LDE با دو متغیر:

آ ایکس + توسط = ج

راه حل ها:

ایکس = x 0 - bt

در = در 0 + در

همگن:

آ ایکس + توسط = 0

راه حل ها:

ایکس = - bt

در = در


یافتن راه حل خصوصی

روش های حل:

  • روش چندگانه
  • کاربرد الگوریتم اقلیدس
  • روش تکرار.
  • روش فرود.
  • روش در نظر گرفتن باقیمانده از تقسیم

روش چندگانه

معادله را حل کنید 11 x + 2 y = 69

ما به دنبال جمعی برابر با 69 هستیم: 55 + 14 = 69 حل خاص معادله

ایکس 0 = 5، y 0 = 7


کاربرد الگوریتم اقلیدس

معادله را حل کنید 4 x + 7 y = 16

  • بیایید gcd اعداد 4 و 7 را با استفاده از الگوریتم اقلیدس پیدا کنیم: gcd(4,7) = 1
  • بیایید عدد را بیان کنیم 1 از طریق ضرایب آ = 4 و ب =7 با استفاده از قضیه بسط خطی GCD:

GCD ( آ، ب ) = au+bv .

  • دریافت می کنیم: 1 = 4 ∙ 2 + 7 ∙ (-1) تو = 2، v = -1
  • حل خاص معادله: ایکس 0 = 2 ∙ 16 = 32,

در 0 = -1 ∙ 16 = -16


روش شمارش

معادله را حل کنید 7 x + 12 y = 100

  • 7x + 12y = 100
  • 7x \u003d 100 - 12 سال
  • 100 - 12y مضرب 7

حل خاص معادله: ایکس 0 = 4، y 0 = 6

100-12u


روش انتشار: 3x+8y=60

بیان

متغیر ایکس

از طریق در

بیان

متغیر ایکس

از طریق تی

پاسخ:

معاینه:


روش در نظر گرفتن باقیمانده از تقسیم

  • معادله را با اعداد صحیح حل کنید 3x - 4y \u003d 1
  • 3 x = 4 y + 1
  • سمت چپ معادله بر 3 بخش پذیر است، بنابراین سمت راست باید بر 3 بخش پذیر باشد.
  • بیایید 3 مورد را در نظر بگیریم.

3x = 4 ∙ 3p + 1 = 12p + 1

y=3p+1

بر 3 بخش پذیر نیست

3x = 4 ∙ (3p + 1) +1 = 12p + 3

y=3p+2

بر 3 بخش پذیر نیست

3 x = 4 ∙ (3p + 2) +1 = 12p + 9

3x=3(4p+3)

x = 4 p + 3

پاسخ:

قابل تقسیم بر 3

x = 4 p + 3 ; y=3p+2


احتمالات نظریه LDE تمام جواب های اعداد صحیح یک معادله را بیابید ایکس 2 + 5 سال 2 + 34z 2 + 2xy - 10xz - 22uz =0


پروژه چه چیزی به من داد؟

  • در مورد کار بر روی یک پروژه تحقیقاتی بینش به دست آورد.
  • او با تاریخچه توسعه معادلات دیوفانتین و زندگی نامه دیوفانتوس آشنا شد.
  • روش های حل LDE با دو و سه مجهول را مطالعه کرد.
  • گروهی از مشکلات را حل کرد که ماهیت عملی دارند و همچنین در المپیادها، امتحانات دوره ابتدایی رخ می دهند.
  • مهارت هایی را برای حل مسائل غیر استاندارد به دست آورد.

فکر می کنم در آینده به مطالعه معادلات دیوفانتین درجه دو و روش های حل آنها ادامه خواهم داد.

فهرست منابع مورد استفاده

  • ریاضیات در مفاهیم، ​​تعاریف و اصطلاحات. قسمت 1. راهنمای معلمان اد. L.V. Sabinina. م.، «روشنگری»، 1978. -320 ص. (کتابخانه یک معلم ریاضیات.) در پشت عنوان کتاب: O.V. Manturov, Yu.K. Solntsev, Yu.I. Sorokin, N.G. Fedin.
  • نگیبین اف.ف.، کانین ای.اس. جعبه ریاضی: راهنمای دانش آموز. – ویرایش چهارم، بازبینی شده. و اضافی - M.: روشنگری، 1984. - 160s.، ill.
  • N.P. Tuchnin. چگونه سوال بپرسیم؟ (درباره خلاقیت ریاضی دانش آموزان): کتابی برای دانش آموزان. - م .: آموزش و پرورش، 1993. - 192 ص.، بیمار.
  • S.N.Olekhnik، Yu.V.Nesterenko، M.K.Potapov مشکلات سرگرمی باستانی. -M.: Bustard, 2002. -176s., ill.
  • Ya.I. Perelman. جبر سرگرم کننده - M.: Nauka، 1975. - سال 200، بیمار.
  • منابع انتخاباتی: http :// www.yugzone.ru /ایکس/ diofant-i-diofantovy-uravneniya / I.G. Bashmakova "معادلات دیوفانتین و دیوفانتین".
  • منابع انتخاباتی: http :// www.goldenmuseum.com /1612Hilbert_eng.htmlمشکل دهم هیلبرت: تاریخچه یک کشف ریاضی (دیوفانتوس، فرما، هیلبرت، جولیا رابینسون، نیکولای وروبیوف، یوری ماتیاسویچ).
  • منبع انتخاباتی: http://ru.wikipedia.org/wiki/ معادلات دیوفانتین.
  • منابع انتخاباتی: http :// Revolution.allbest.ru / ریاضیات /d00013924.html معادلات دیوفانتین خطی Belov Denis Vladimirovich.
  • منابع انتخاباتی: http :// Revolution.allbest.ru / ریاضیات /d00063111.html معادلات دیوفانتین خطی
  • منابع انتخاباتی: http ://portfolio.1september.ru/work.php?id=570768 زیوریوکینا اولگا. معادلات نامعین در اعداد صحیح یا معادلات دیوفانتین.
  • منابع انتخاباتی: http ://portfolio.1september.ru/work.php?id=561773 آراپوف الکساندر. دیوفانتوس و معادلات او
  • منابع انتخاباتی: http :// en.wikipedia.org / ویکی / الگوریتم اقلیدس

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه

موسسه آموزش عالی دولتی

آموزش حرفه ای

آکادمی اجتماعی و آموزشی دولتی توبولسک

آنها DI. مندلیف"

گروه ریاضیات، TIMOM

برخی از معادلات دیوفانتین

کار دوره

دانشجوی سال سوم FMF

ماتایف اوگنی ویکتورویچ

مشاور علمی:

کاندیدای علوم فیزیک و ریاضی A.I. Valitskas

مقطع تحصیلی: ____________

توبولسک - 2011

مقدمه……………………………………………………………………........2

§ 1. معادلات دیوفانتین خطی………………………………………..3

§ 2. معادله دیوفانتینایکس 2 – y 2 = آ………………………………….....9

§ 3. معادله دیوفانتینایکس 2 + y 2 = آ…………………………………... 12

§ 4. معادله x 2 + x + 1 = 3y 2 …………………………………………….. 16

§ 5. سه گانه فیثاغورثی………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§ 6. آخرین قضیه فرما…………………………………………………………………………………………………

نتیجه………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

کتابشناسی - فهرست کتب...........………………………………………………..30

مقدمه

معادله دیوفانتین معادله ای از فرم است پ(ایکس 1 , … , ایکس n ) = 0 ، که در آن سمت چپ یک چند جمله ای در متغیرها است ایکس 1 , … , ایکس nبا ضرایب صحیح هر مجموعه سفارش داده شده (تو 1 ; … ; تو n ) اعداد صحیح با ویژگی پ(تو 1 , … , تو n ) = 0 حل (جزئی) معادله دیوفانتین نامیده می شود پ(ایکس 1 , … , ایکس n ) = 0 . حل معادله دیوفانتین به معنای یافتن تمام جواب های آن است، یعنی. حل کلی این معادله

هدف ما یادگیری چگونگی یافتن راه حل برای برخی معادلات دیوفانتین در صورت وجود این راه حل ها خواهد بود.

برای این کار باید به سوالات زیر پاسخ دهید:

آ. آیا معادله دیوفانتین همیشه راه حل دارد، شرایط وجود راه حل را پیدا کنید.

ب آیا الگوریتمی وجود دارد که امکان یافتن راه حلی برای معادله دیوفانتین را فراهم کند؟

مثال: 1.معادله دیوفانتین 5 ایکس – 1 = 0 هیچ راه حلی ندارد

2. معادله دیوفانتین 5 ایکس – 10 = 0 راه حل دارد ایکس = 2 ، که تنها است.

3. معادله لوگاریتم ایکس – 8 ایکس 2 = 0 دیوفانتین نیست

4. اغلب معادلات فرم پ(ایکس 1 , … , ایکس n ) = س(ایکس 1 , … , ایکس n ) ، جایی که پ(ایکس 1 , … , ایکس n ) , س(ایکس 1 , … , ایکس n ) چند جمله ای با ضرایب صحیح هستند که دیوفانتین نیز نامیده می شوند. آنها را می توان در قالب نوشت پ(ایکس 1 , … , ایکس n ) – س(ایکس 1 , … , ایکس n ) = 0 که استاندارد معادلات دیوفانتین است.

5. ایکس 2 – y 2 = آمعادله دیوفانتین درجه دوم با دو مجهول x و y برای هر عدد صحیح a است. راه حل هایی دارد برای آ = 1 ، اما هیچ راه حلی برای آ = 2 .

§ 1. معادلات دیوفانتین خطی

اجازه دهید آ 1 , … , آ n ، باز . معادله نوع آ 1 ایکس 1 +… + الف n ایکس n = جمعادله دیوفانتین خطی با ضرایب نامیده می شود آ 1 ، … ، آ n ، سمت راست c و مجهول ایکس 1 ، … ، ایکس n . اگر سمت راست c معادله دیوفانتین خطی صفر باشد، چنین معادله دیوفانتینی همگن نامیده می شود.

هدف فوری ما این است که یاد بگیریم چگونه جواب های خاص و کلی معادلات دیوفانتین خطی را در دو مجهول پیدا کنیم. بدیهی است که هر معادله دیوفانتین همگن آ 1 ایکس 1 +… + الف n ایکس n = 0 همیشه راه حل خاصی دارد (0; … ; 0).

بدیهی است که یک معادله دیوفانتین خطی که همه ضرایب آن برابر با صفر است، تنها در صورتی جواب دارد که سمت راست آن برابر با صفر باشد. به طور کلی موارد زیر را داریم

قضیه (در مورد وجود جواب معادله دیوفانتین خطی).معادله دیوفانتین خطی آ 1 ایکس 1 +… + الف n ایکس n = ج، که ضرایب آن همه برابر با صفر نیست، یک راه حل دارد اگر و فقط اگر GCD(a 1 ، … ، آ n ) | ج

اثباتوجوب شرط بدیهی است: GCD(a 1 ، … ، آ n ) | آ من (1 من n) ، بنابراین GCD(a 1 ، … ، آ n ) | (آ 1 ایکس 1 + … + آ n ایکس n ) ، یعنی تقسیم می کند و

ج = آ 1 ایکس 1 + … + آ n ایکس n .

اجازه دهید D= gcd(آ 1 , … , آ n ) , c =Dt و آ 1 تو 1 +… + الف n تو n = D - بسط خطی بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد آ 1 ، … ، آ n. ضرب هر دو طرف در تی، ما گرفتیم آ 1 (تو 1 تی) + … + الف n (تو n تی) = Dt = ج، یعنی عدد صحیح

n-ka (ایکس 1 تی; … ایکس n ت)راه حلی برای معادله اصلی با است nناشناس.

قضیه ثابت شده است.

این قضیه یک الگوریتم سازنده برای یافتن راه حل های خاص برای معادلات دیوفانتین خطی ارائه می دهد.

مثال: 1.معادله دیوفانتین خطی 12x+21y=5راه حلی ندارد زیرا gcd(12، 21) = 3تقسیم نمی کند 5 .

2. یک جواب خاص برای معادله دیوفانتین پیدا کنید 12x+21y = 6.

بدیهی است در حال حاضر gcd(12، 21) = 3 | 6، پس راه حل وجود دارد. بسط خطی را می نویسیم gcd(12، 21) = 3 = 122 + 21(–1). بنابراین، یک زن و شوهر (2; –1) راه حل خاصی از معادله است 12x+21y = 3، و یک زوج (4; –2) راه حل خاصی از معادله اصلی است 12x+21y = 6.

3. برای یک معادله خطی جواب خاصی پیدا کنید 12x + 21y - 2z = 5.

زیرا (12, 21, –2) = ((12, 21), –2) = (3, –2) = 1 | 5 ، پس راه حل وجود دارد. پس از اثبات قضیه، ابتدا جواب معادله را پیدا می کنیم (12.21)x–2y=5و سپس با جایگزینی بسط خطی بزرگترین مقسوم علیه مشترک از مسئله قبلی، جواب معادله اصلی را بدست می آوریم.

برای حل معادله 3x - 2y = 5بسط خطی را بنویسید gcd(3، -2) = 1 = 31 - 21به طور مشخص. پس چند عدد (1; 1) راه حل معادله است 3 ایکس – 2 y = 1 ، و یک زوج (5; 5) راه حل خاصی از معادله دیوفانتین است 3x - 2y = 5.

بنابراین، (12, 21)5 – 25 = 5 . جایگزینی در اینجا بسط خطی که قبلاً پیدا شده بود (12, 21) = 3 = 122 + 21(–1) ، ما گرفتیم (122+21(–1))5 – 25 = 5 ، یا 1210 + 21(–5) – 25 = 5 ، یعنی سه گانه اعداد صحیح (10; –5; 5) یک راه حل خاص از معادله دیوفانتین اصلی است 12x + 21y - 2z = 5.

قضیه (در مورد ساختار حل کلی معادله دیوفانتین خطی).برای یک معادله دیوفانتین خطی آ 1 ایکس 1 +… + الف n ایکس n = جعبارات زیر درست است:

(1) اگر = (u 1 ; … تو n ), = (v 1 ; … v n ) راه حل های خاص آن هستند، سپس تفاوت (u 1 v 1 ; … تو n v n ) یک راه حل خاص از معادله همگن مربوطه است آ 1 ایکس 1 +… + الف n ایکس n = 0 ,

(2) مجموعه ای از راه حل های خاص معادله همگن دیوفانتین خطی آ 1 ایکس 1 +… + الف n ایکس n = 0 بسته به جمع، تفریق و ضرب در اعداد صحیح،

(3) اگر مجواب کلی معادله دیوفانتین خطی داده شده است و Lحل کلی معادله دیوفانتین همگن مربوطه است، سپس برای هر راه حل خاص = (u 1 ; … تو n ) معادله اصلی، برابری M = + L .

اثباتتفریق برابری آ 1 v 1 + … + آ n v n = ج از برابری آ 1 تو 1 + … +a n تو n = ج، ما گرفتیم آ 1 (u 1 v 1 ) + … + الف n (u n v n ) = 0 ، یعنی مجموعه

(u 1 v 1 ; … تو n v n ) یک راه حل خاص از معادله دیوفانتین همگن خطی است آ 1 ایکس 1 +… + الف n ایکس n = 0 . بنابراین، ثابت شده است که

= (تو 1 ; … تو n ), = (v 1 ; … v n ) مL .

این ادعای (1) را ثابت می کند.

بیانیه (2) نیز به همین ترتیب ثابت می شود:

, L z ز L z L .

برای اثبات (3) ابتدا به این نکته توجه می کنیم M+L. این از مورد قبلی نتیجه می گیرد: M+L .

برعکس، اگر = (ل 1 ; … ل n ) L و = (تو 1 ; … تو n ) م، سپس م:

آ 1 (u 1 + ل 1 )+ …+a n (u n + ل n ) = (الف 1 تو 1 +… + الف n تو n )+(a 1 ل 1 +… + الف n ل n ) = c + 0 = c.

به این ترتیب، + الم، و بالاخره M = + L .

قضیه ثابت شده است.

قضیه اثبات شده معنای هندسی واضحی دارد. اگر معادله خطی را در نظر بگیریم آ 1 ایکس 1 +… + الف n ایکس n = ج، جایی که ایکس من آر، سپس همانطور که از هندسه مشخص است در فضا تعیین می کند آر nهایپرپلن به دست آمده از هواپیما L با معادله همگن آ 1 ایکس 1 +… +a n ایکس n =0 عبور از مبدأ مختصات با یک جابجایی بردار آر n. مشاهده سطح + Lمنیفولد خطی با فضای راهنما نیز نامیده می شود Lو بردار شیفت . بنابراین، ثابت می شود که راه حل کلی ممعادله دیوفانتین آ 1 ایکس 1 +… + الف n ایکس n = جشامل تمام نقاط چند منیفولد خطی با مختصات اعداد صحیح است. در این حالت مختصات بردار شیفت نیز اعداد صحیح و مجموعه هستند Lحل معادله دیوفانتین همگن آ 1 ایکس 1 +… + الف n ایکس n = 0 شامل تمام نقاط در فضای راهنما با مختصات اعداد صحیح است. به همین دلیل، اغلب گفته می شود که مجموعه راه حل های یک معادله دیوفانتین دلخواه یک منیفولد خطی با بردار شیفت تشکیل می دهد. و فضای پیشرو L.

مثال:برای معادله دیوفانتین x - y \u003d 1تصمیم مشترک مفرم را دارد (1+y؛ y)، جایی که yز، راه حل خاص آن است = (1; 0) و راه حل کلی Lمعادله همگن x – y = 0در فرم نوشته خواهد شد (y; y)، جایی که درز. بنابراین، می‌توانیم تصویر زیر را ترسیم کنیم که در آن جواب‌های معادله دیوفانتین اصلی و معادله دیوفانتین همگن مربوطه با نقاط ضخیم در منیفولد خطی نشان داده شده است. مو فضا Lبه ترتیب.

2. جواب کلی معادله دیوفانتین را پیدا کنید 12x + 21y - 2z = 5.

راه حل خصوصی (10; –5; 5) این معادله قبلاً پیدا شد، ما جواب کلی معادله همگن را پیدا می کنیم 12x + 21y - 2z = 0معادل معادله دیوفانتین 12 ایکس + 21 y = 2 z.

برای قابل حل بودن این معادله لازم و کافی است که شرط gcd(12، 21) = 3 | 2z،آن ها 3 | zیا z = 3tبرای تعدادی عدد صحیح تی. کاهش هر دو قسمت به 3 ، ما گرفتیم 4x + 7y = 2t. راه حل خاص (2؛ -1) معادله دیوفانتین 4x+7y= 1 در مثال قبلی یافت شد. از همین رو (4 تن ؛ -2 تن)راه حل خاصی از معادله است 4x + 7y = 2tبرای هرچی

تی ز. حل کلی معادله همگن مربوطه

(7 تو ; –4 تو) قبلا پیدا شده است. بنابراین، حل کلی معادله 4x + 7y = 2tبه نظر می رسد: (4t + 7تو; -2t - 4تو) و حل کلی معادله همگن 12x + 21y - 2z = 0به این صورت نوشته خواهد شد:

(4t + 7تو; -2t - 4تو; 3t).

به راحتی می توان تأیید کرد که این نتیجه با قضیه بیان شده در بالا مطابقت دارد بدون اینکه برهان حل معادله دیوفانتین همگن باشد. آ 1 ایکس 1 +… + الف n ایکس n = 0 : اگر P =،سپس آرو

(تو; تی) پجواب کلی معادله همگن در نظر گرفته شده است.

بنابراین، حل کلی معادله دیوفانتین 12x + 21y - 2z = 5به نظر می رسد که: (10 + 4t + 7تو; –5 – 2t – 4تو; 5+3 تن).

3. در مثال معادله قبلی، روش دیگری را برای حل معادلات دیوفانتین در بسیاری از مجهولات نشان می دهیم که شامل کاهش متوالی حداکثر مقدار ماژول های ضرایب آن است.

12x + 21y - 2z = 5 12x + (102 + 1)y - 2z = 5

12x + y - 2(z - 10y) = 5

بنابراین، جواب کلی معادله در نظر گرفته شده را می توان به صورت زیر نوشت: (x؛ 5 - 12x + 2u؛ 50 - 120x + 21u)، جایی که x، uپارامترهای عدد صحیح دلخواه هستند.

§ 2. معادله دیوفانتینایکس 2 – y 2 = آ

مثال: 1.در آ = 0 ما بی نهایت راه حل دریافت می کنیم: ایکس = yیا ایکس = – yبرای هرکس y ز.

2. در آ = 1 ما داریم ایکس 2 – y 2 = 1 (ایکس + y)(ایکس – y) = 1 . بنابراین، عدد 1 به حاصل ضرب دو عامل عدد صحیح تجزیه می شود ایکس + yو ایکس – y(مهم این است که ایکس, y- کامل!). چون تعداد 1 فقط دو بسط به حاصل ضرب ضرایب اعداد صحیح 1 = 11 و 1 = (–1)(–1) ، دو احتمال می گیریم: .

3. برای آ = 2 ما داریم ایکس 2 – y 2 = 2 (ایکس + y)(ایکس – y) = 2. با پیشروی مشابه قبلی، بسط ها را در نظر می گیریم

2=12=21=(–1)(–2)=(–2)(–1)، سیستم‌ها را می‌نویسیم:که بر خلاف مثال قبلی هیچ راه حلی ندارند. بنابراین هیچ راه حلی برای معادله دیوفانتین در نظر گرفته شده وجود ندارد ایکس 2 – y 2 = 2.

4. ملاحظات قبلی منجر به برخی نتایج می شود. حل معادلات ایکس 2 – y 2 = آ در حال تجزیه هستند آ = کیلومتربه حاصل ضرب اعداد صحیح از سیستم . این سیستم راه حل های کامل دارد اگر و فقط اگر ک + متر و ک – متر زوج هستند، یعنی وقتی اعداد ک و متر برابری یکسان (همزمان زوج یا فرد). بنابراین، معادله دیوفانتین x 2 – y 2 = a راه حلی دارد اگر و تنها در صورتی که a را بتوان به حاصل ضرب دو عامل عدد صحیح همسان بسط داد. تنها برای یافتن همه چنین باقی مانده است.

قضیه (روی معادلهایکس 2 – y 2 = آ ). (1) معادله ایکس 2 – y 2 = 0 دارای بی نهایت راه حل .

(2) هر راه حل معادله به عنوان به دست می آید , جایی که آ = کیلومترتجزیه عدد a به حاصل ضرب دو عامل صحیح همسان است.

(3) معادله ایکس 2 – y 2 = آراه حل دارد اگر و فقط اگر آ 2 (مد 4).

اثبات(1) قبلاً ثابت شده است.

(2) قبلاً ثابت شده است.

(3) () ابتدا معادله دیوفانتین را بگذارید ایکس 2 – y 2 = آ راه حل دارد این را ثابت کنیم آ 2 (مد 4) . اگر یک آ = کیلومتر بسط به حاصل ضرب اعداد صحیح همسان و سپس برای زوج است کو مترما داریم ک = 2 ل, متر = 2 nو آ = کیلومتر = 4 لوگاریتم 0 (مد 4) . در مورد فرد ک, مترکار آنها آهمچنین عجیب، تفاوت آ – 2 فرد و غیر قابل تقسیم بر 4 ، یعنی از نو

آ 2 (مد 4).

() اگر الان آ 2 (مد 4) ، سپس می توانیم برای معادله راه حل بسازیم ایکس 2 – y 2 = آ. در واقع، اگر a فرد باشد، پس آ = 1 آتجزیه محصول اعداد صحیح فرد است، به طوری که حل معادله دیوفانتین است. اگر a زوج باشد، با توجه به آ 2 (مد 4) ما آن را دریافت می کنیم 4 | آ, آ = 4 ب = 2(2 ب) تجزیه محصول از اعداد صحیح زوج است، به طوری که حل معادله دیوفانتین است.

قضیه ثابت شده است.

مثال: 1.معادله دیوفانتین ایکس 2 – y 2 = 2012 هیچ راه حلی ندارد، زیرا 2010 = 4502 + 2 2 (مد 4).

2. معادله دیوفانتین ایکس 2 – y 2 = 2011 راه حل هایی دارد، زیرا

2011 3 (مد 4). ما گسترش آشکاری داریم

2011 = 12011 = 20111 = (–1)(–2011) = (–2011)(–1),

برای هر کدام راه حلی پیدا می کنیم (هر ترکیبی از شخصیت ها). هیچ راه حل دیگری وجود ندارد، زیرا عدد 2011 ساده (؟!).

§ 3. معادله دیوفانتینایکس 2 + y 2 = آ

مثال: 1. 0 = 0 2 + 0 2 , 1 = 0 2 + 1 2 , ک 2 = 0 2 + ک 2 . بنابراین، بدیهی است که هر مربعی را می توان به صورت بی اهمیت به صورت مجموع دو مربع نشان داد.

2. 2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 8 = 2 2 + 2 2 , 10 = 1 2 + 3 2 , 13 = 2 2 + 3 2 , 17 = 1 2 + 4 2 , 18 = 3 2 + 3 2 , 20 = 2 2 + 4 2 , …

3. هیچ راه حلی برای آ = 3, 6 = 23, 7, 11, 12 = 2 2 3, 14 = 27, 15 = 35, 19, 21 = 37, 22 = 211, 23, 24 = 32 3 , …

تجزیه و تحلیل نتایج فوق می تواند نشان دهد که عدم وجود راه حل به نحوی با اعداد اول فرم مرتبط است

4 n+3 در فاکتورگیری اعدادی وجود دارد که نمی توان آنها را به صورت مجموع دو مربع نشان داد.

قضیه (در مورد نمایش اعداد طبیعی با مجموع دو مربع).یک عدد طبیعی a را می توان به صورت مجموع دو مربع نشان داد اگر و فقط در صورتی که در بسط متعارف آن، اعداد اول شکل باشند. 4 n + 3 حتی توان دارند.

اثباتابتدا ثابت می کنیم که اگر یک عدد طبیعی a را بتوان به صورت مجموع دو مربع نشان داد، سپس در بسط متعارف آن همه اعداد اول شکل 4 n + 3 باید نماهای زوج داشته باشد. فرض کنید بر خلاف آنچه ثابت شده است که آ= ص 2 ک +1 ب = ایکس 2 + y 2 ، جایی که

R -عدد اول فرم 4 n+3 و ب پ. اعداد را تصور کنید ایکسو درمانند

x =Dz, y = Dt، جایی کهD= gcd(ایکس, y) = ص س w, پ w; z, تی, س ن 0 . سپس برابری را بدست می آوریم آر 2 ک +1 ب = D 2 (z 2 + تی 2 ) = ص 2 س w 2 (z 2 + تی 2 ) ، یعنی آر 2( ک – س )+1 ب = w 2 (z 2 + تی 2 ) . در سمت چپ تساوی p وجود دارد (قدرت فرد برابر با صفر نیست) به این معنی که یکی از عوامل سمت راست بر عدد اول p بخش پذیر است. از آنجا که پ w، سپس p | (z 2 + تی 2 ) ، جایی که اعداد z, تی متقابل ساده این با لم بعدی (؟!) در تضاد است.

لما (در مورد بخش پذیری مجموع دو مربع بر عدد اول شکل

4 n + 3 ). اگر عدد اول باشد p = 4n+3 مجموع مربع های دو عدد طبیعی را تقسیم می کند، سپس هر یک از این اعداد را تقسیم می کند.

اثباتبرعکس. اجازه دهید ایکس 2 + y 2 0(مد پ) ، ولی ایکس0(مد پ) یا y 0 (مد پ) . از آنجا که ایکسو yمتقارن هستند، می توان آنها را تعویض کرد، بنابراین می توانیم آن را فرض کنیم ایکس پ.

لم (روی مدول برگشت پذیریپ ). برای هر عدد صحیح ایکس، بر عدد اول بخش پذیر نیست پ، یک مدول عنصر معکوس وجود دارد پ – چنین عدد صحیحی 1 تو < پ, چی xi 1 (مد پ).

اثباتعدد ایکس coprime با پ، بنابراین می توانیم یک بسط خطی بنویسیم GCD(ایکس, پ) = 1 = xi + pv (تو, v ز) . واضح است که xi1(modp) ، یعنی تو- عنصر معکوس به ایکسمدول پ. اگر یک تومحدودیت را برآورده نمی کند 1 تو < پ، سپس تقسیم می شود توبا باقی مانده روشن است پ، باقیمانده را می گیریم r تو (مد پ) ، برای کدام xr xi 1 (مد پ) و 0 r < پ.

لم برگشت پذیری مدول پثابت شده است.

مقایسه ضربی ایکس 2 + y 2 0 (مد پ) در هر مربع تو 2 عنصر معکوس به ایکسمدول پ، ما گرفتیم 0 = 0u 2 ایکس 2 تو 2 +y 2 تو 2 = (xu) 2 + (یو) 2 1+t 2 (mod p).

بنابراین برای تی = شمامقایسه انجام شد تی 2 –1 (مد پ) ، که ما به تناقض می رسیم. واضح است که تی پ: در غیر این صورت تی 0 (مد پ) و 0 تی 2 –1 (مد پ) ، که غیر ممکن است. با قضیه فرما داریم تی پ –1 1 (مد پ) که همراه با تی 2 –1 (مد پ) و پ = 4 n + 3 منجر به تناقض می شود:

1 تن p–1 = t 4n+3–1 = t 2 (2n+1) = (ت 2 ) 2n+1 (–1) 2n+1 = -1 (modp).

تضاد به دست آمده نشان می دهد که فرض در مورد ایکس 0 (مد پ) درست نبود

لم در بخش پذیری مجموع دو مربع بر عدد اول 4 n+3 ثابت شده است.

بنابراین، ثابت می شود که عددی که تجزیه متعارف آن شامل یک عدد اول است پ = 4 n + 3 به توان فرد، نمی توان به صورت مجموع دو مربع نشان داد.

اکنون اجازه دهید ثابت کنیم که هر عددی که در بسط متعارف آن اعداد اول هستند پ = 4 n + 3 فقط در قدرت های زوج شرکت کنید که به صورت مجموع دو مربع قابل نمایش است.

ایده اثبات مبتنی بر هویت زیر است:

(آ 2 +b 2 ) (ج 2 +d 2 ) = (ac – bd) 2 + (تبلیغ + قبل از میلاد) 2 ,

که می توان از خاصیت معروف مدول اعداد مختلط به دست آورد - مدول حاصلضرب برابر حاصلضرب ماژول ها است. واقعا،

| z|| تی| = | zt| | آ + دو|| ج + دی| = |(آ + دو)(ج + دی)|

|a+bi| 2 |c +di| 2 = |(ac – bd) + (ad + bc)i| 2

(آ 2 +b 2 ) (ج 2 +d 2 ) = (ac – bd) 2 + (تبلیغ + قبل از میلاد) 2 .

از این هویت نتیجه می شود که اگر دو عدد u، v را می توان به صورت مجموع دو مربع نشان داد: تو = ایکس 2 + y 2 , v = z 2 + تی 2 ، سپس محصول آنها uv را نیز می توان به صورت مجموع دو مربع نشان داد: UV = (xz – yt) 2 + (xt + yz) 2 .

هر عدد طبیعی آ > 1 را می توان در قالب نوشت آ= ص 1 … آر ک متر 2 ، جایی که آر مناعداد اول متمایز جفتی هستند، متر ن . برای انجام این کار، یافتن تجزیه متعارف کافی است , هر درجه از فرم را یادداشت کنید rبه شکل مربع (r) 2 برای حتی = 2, یا در فرم r = r(r) 2 برای فرد = 2 + 1 ، و سپس مربع ها و اعداد اول تک باقی مانده را جداگانه گروه بندی کنید. مثلا،

29250 = 23 2 5 3 13 = 2513(35) 2 , متر = 15.

عدد متر 2 یک نمایش بی اهمیت به عنوان مجموع دو مربع دارد: متر 2 = 0 2 + متر 2 . اگر نمایش پذیری را به صورت مجموع دو مربع از همه اعداد اول ثابت کنیم آر من (1 من ک) ، سپس با استفاده از شناسه، نمایش عدد a نیز به دست می آید. با شرط، در میان اعداد آر 1 ، …، ر ک فقط می تواند ملاقات کند 2 = 1 2 + 1 2 و اعداد اول فرم 4 n + 1 . بنابراین، باقی می ماند که یک نمایش به عنوان مجموع دو مربع یک عدد اول بدست آوریم p = 4m + 1. ما این عبارت را به یک قضیه جداگانه جدا می کنیم (به زیر مراجعه کنید)

به عنوان مثال، برای آ = 29250 = 2513(15) 2 متوالی دریافت می کنیم:

2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 13 = 2 2 + 3 2 ,

25 = (11 – 12) 2 + (12 + 11) 2 = 1 2 + 3 2 ,

2513 = (12 – 33) 2 + (13 + 32) 2 = 7 2 + 9 2 ,

29250 = 2513(15) 2 = (715) 2 + (915) 2 = 105 2 + 135 2 .

قضیه ثابت شده است.

§ 4. معادلهx + x + 1 = 3y

اکنون به معادله می پردازیم x+x+1=زو.قبلاً تاریخچه خود را دارد. در سال 1950، R. Oblat پیشنهاد کرد که علاوه بر حل

ایکس=y=1. هیچ راه حل دیگری در اعداد طبیعی ندارد x، yکه در آن x یک عدد فرد است. در همان سال، تی ناگل به راه حل اشاره کرد ایکس= 313، y = 181.روشی مشابه روش بالا برای معادله x+x-2y=0، به ما این امکان را می دهد که تمام جواب های معادله را تعیین کنیم ایکس+x+1=3y (1)

در اعداد طبیعی ایکس، در.بیایید وانمود کنیم که (x، y)حل معادله (1) در اعداد طبیعی است و x > 1. به راحتی می توان دریافت که معادله (18) هیچ جوابی در اعداد طبیعی ندارد ایکس، y، جایی که x = 2، 3. 4، 5، 6، 7، 8، 9;بنابراین باید باشد x10.

بگذارید این را نشان دهیم 12 سال<7 ایکس+3، 7y>4ایکس+ 2. 4y > 2ایکس+1 . (2)

اگه بود 12 سال> 7x+3، خواهیم داشت 144 سال> 49 ایکس+42 ایکس+9 . و از آنجایی که با توجه به (18) 144y = 48ایکس+ 48 ایکس + 48 ، پس از آن خواهد بود ایکس< 6 ایکس +3 9، از کجا

(x-z)< 48 و بنابراین با توجه به اینکه ایکس> 10, 7 < 148 ، که غیر ممکن است. بنابراین، اولین نابرابری (2) ثابت می شود.

اگه بود 7 سال< 4 ایکس+2 ، خواهیم داشت 49 سال< 16 ایکس+ 16 ایکس+4 و از آنجایی که با توجه به (1) 16 ایکس+ 16 ایکس+ 16 = 48 سال، پس از آن خواهد بود 49 سال< 48u- 12، که غیر ممکن است. بنابراین، دومین نابرابری (2) ثابت می شود که سومی مستقیماً از آن پیروی می کند. بنابراین، نابرابری های (2) درست هستند.

حالا بذاریم

w\u003d 7x - 12y + 3،ساعت = -4 ایکس+ 7u-2. (3)

بر اساس (2) متوجه می شویم که w > 0 , ساعت > 0 و ایکس -w=3(4 y-2 ایکس-1)>0 و بنابراین، w<х . طبق (3) داریم w 2 + w+1=3 ساعت 2 از این رو، با توجه به (1)، ما می پذیریم g(x، y) = (7x - 12y + 3، -4x + 7y -2).

بنابراین، بر اساس هر راه حلی می توانیم بگوییم (x، y)معادلات (1) در اعداد طبیعی، که در آن x > 1، راه حل جدیدی دریافت می کنیم (w, ساعت) = g(x, y)معادلات (1) در اعداد طبیعی w, ساعتجایی که w < х (و از این رو راه حل در اعداد طبیعی کوچکتر). از این رو، مانند بالا عمل می کنیم، متوجه می شویم که برای هر جواب معادله (1) در اعداد طبیعی x، y، جایی که x > 1، یک عدد طبیعی n وجود دارد به طوری که g(x، y) = (l، 1).

پذیرفتن f(x، y) = (7ایکس+12 سال + 3، 4ایکس+ 7 سال + 2)، (4) ما به راحتی می توانیم آن را پیدا کنیم f(g(x, y)) = (x, y)و از این رو (ایکس, y) = f(1,1) از سوی دیگر، به راحتی می توان بررسی کرد که آیا (x، y)حل معادله (1) در اعداد طبیعی است، پس f(ایکس, y) حل معادله (1) در اعداد طبیعی (به ترتیب بزرگتر از) نیز وجود دارد ایکسو در).

پذیرفتن x=y=1(x,y) = f(1,1)برای n=2,3,…..,

دنباله را می گیریم { ایکس, y} برای n= 1, 2,….., شامل تمام جواب های معادله (1) در اعداد طبیعی و فقط چنین جواب هایی است.

اینجا داریم (ایکس،y)= f(1,1)= f(x, y)بنابراین به دلیل (4) بدست می آوریم

x=7ایکس+12 سال + 3،y=4x+7y+2 (5) (n=1, 2, ...)

فرمول هایی که به شما امکان می دهد تمام راه حل ها را به طور مداوم تعیین کنید (x، y)معادلات (1) در اعداد طبیعی. از این طریق به راحتی راه حل ها را به دست می آوریم (1,1),(22,13),(313,181),.(4366,2521),(60817,35113),..

بدیهی است که تعداد نامحدودی از این راه حل ها وجود دارد. از برابری ها

x=y=1و (4) با استقرا به راحتی در می یابیم که اعداد ایکسبا شاخص های فرد فرد هستند، با شاخص های زوج زوج هستند و اعداد yذات عجیب و غریب برای n = 1, 2, ... برای به دست آوردن تمام راه حل های معادله (1) در اعداد صحیح x، y، همانطور که اثبات آن آسان است، به دنبال راه حل هایی است که قبلاً به دست آمده است (x، y)پیوستن (x, -y)و (-x-1،±y)برای n=1, 2, .. .

بنابراین در اینجا ما برای مثال راه حل های بیشتری داریم: (-2,1) (-23,13), (-314,181). A. Rotkevich اشاره کرد که از تمام راه حل های معادله (1) در اعداد طبیعی x > 1و y می تواند تمام جواب های معادله را بدست آورد (z+1)-z=y (6)

در اعداد طبیعی z، y.در واقع، فرض کنید که اعداد طبیعی z، y معادله (5) را برآورده کنند. قرار دادن x=3z+l، همانطور که بررسی آسان است، اعداد طبیعی را دریافت می کنیم x > 1و درمعادله رضایت بخش (1).

از طرفی اگر اعداد طبیعی x > 1و درمعادله (1) را برآورده می کنیم، پس از آنجا که بررسی آسان است، داریم، (x-1)= 3 (y-x)، از آنجا نتیجه می شود که عدد (طبیعی) x-1تقسیم بر 3 ، در نتیجه x-1=3 z، کجا zیک عدد طبیعی است و برابری 3z=y-ایکس=y3z-1 ، که ثابت می کند که اعداد zو درمعادله (6) را برآورده کنید. بنابراین، بر اساس تصمیمات (22,13),(313,181), (4366,2521) معادله (1)، راه حل ها را به دست می آوریم (7,13),(104,181),(1455,2521) معادلات (6). همچنین در اینجا توجه می کنیم که اگر اعداد طبیعی z، yمعادله (6) را برآورده می کند، ثابت می شود که دربرای مثال مجموع دو مربع متوالی است 13=2+3,181=9+10, 2521=35+ 36 . به روشی مشابه، مانند قبل برای معادله (1)، می‌توانیم تمام جواب‌های معادله را پیدا کنیم ایکس+(ایکس+1)= yدر اعداد طبیعی x، y، گرفتن برای x > 3 گرم (x. y) \u003d (3x -2y + 1، 3y - 4x - 2)و برای ایکس> 1 f(x, y) = (3ایکس+ 2y+l، 4x + Zu + 2)،که منجر به فرمول ( x، y)f(3,5) و به این نتیجه رسید که تمام راه حل های معادله (6) در اعداد طبیعی x، y در دنباله موجود هستند. { ایکس, y} برای n= 1, 2,…., جایی که x=3، y=5 وایکس=3 ایکس+2 y+1 . y = 4 ایکس+3 y+2 (n=1, 2, ...). مثلا، x \u003d 3 3 + 2 5 + 1 \u003d 20, y \u003d 4 3 + Z 5 + 2 \u003d 29;ایکس=119، y=169:ایکس=69b، y=985;ایکس=4059، y=5741.

معنای هندسی معادله در نظر گرفته شده این است که تمام مثلث های فیثاغورثی (مستطیلی با اضلاع طبیعی) را به دست می دهد که پاهای آنها با اعداد طبیعی متوالی بیان می شود. تعداد بی نهایت از این مثلث ها (*) وجود دارد.

معادله است ایکس+(ایکس+1)= y, ثابت شده است که هیچ راه حلی در اعداد طبیعی ندارد x، y.

  • الگوریتم های حل معادلات دیوفانتین
  • الگوریتم اقلیدس
    • مثال شماره 1 (ساده)
    • مثال شماره 2 (سخت)
  • ما مسائل مربوط به انتخاب اعداد را بدون انتخاب حل می کنیم
    • مشکل در مورد جوجه ها، خرگوش ها و پنجه های آنها
    • وظیفه فروشنده و تغییر

    • طبق بررسی‌های sibms، یک مانع واقعی در این زمینه است دوره مدرسهریاضیات نه تنها برای دانش آموزان، بلکه برای والدین نیز به معادلات دیوفانتین تبدیل می شود. چیست و چگونه آنها را به درستی حل کنیم؟ Aelita Bekesheva، معلم ریاضیات در مرکز آموزشی Gornostai، و یوری شانکو، کاندیدای علوم فیزیکی و ریاضی، به ما کمک کردند تا آن را بفهمیم.

    دیوفانتوس کیست؟

    حتی مصریان باستان، برای راحتی استدلال، کلمه خاصی را به وجود آوردند که یک عدد مجهول را نشان می داد، اما در آن زمان هیچ علامت عمل و علامت مساوی وجود نداشت، بنابراین آنها نمی دانستند چگونه معادلات بنویسند.

    اولین کسی که به نحوه نوشتن معادله رسید، دانشمند فوق العاده دیوفانتوس اسکندریه بود. اسکندریه بزرگ فرهنگی، تجاری و مرکز علمیدنیای باستان این شهر هنوز وجود دارد، در سواحل مدیترانه مصر واقع شده است.

    دیوفانتوس ظاهراً در قرن سوم پس از میلاد می زیست. و آخرین ریاضیدان بزرگ دوران باستان بود. دو تا از آثار او به ما رسیده است - «حساب» (از سیزده کتاب، شش کتاب باقی مانده است) و «درباره اعداد چند ضلعی» (به صورت گزیده). کار دیوفانتوس تأثیر زیادی در توسعه جبر، تجزیه و تحلیل ریاضی و نظریه اعداد داشت.

    اما شما چیزی در مورد معادلات دیوفانتین می دانید ...

    همه معادلات دیوفانتین را می شناسند! این ها معماهایی برای دانش آموزان مقطع ابتدایی هستند که با انتخاب حل می شوند.

    ” مثلاً «چند روش های مختلفاگر فقط سکه های کوپکی و پنج کوپکی داشته باشید، می توانید برای بستنی 96 کوپکی هزینه کنید؟

    اگر معادله دیوفانتین را بیاوریم تعریف کلی، پس می توانیم بگوییم که این یک معادله جبری با یک شرط اضافی است: همه راه حل های آن باید اعداد صحیح (و در حالت کلی، همچنین گویا) باشند.

    ” اغلب، مادران (مخصوصاً آنهایی که با سوسیالیسم توسعه یافته از مدرسه فارغ التحصیل شده اند) بر این باورند که هدف اصلی چنین وظایفی این است که به کودکان بیاموزند پول پول بستنی را بپردازند. و بنابراین، هنگامی که آنها صمیمانه متقاعد می شوند که قرار دادن چیزهای کوچک در انباشته ها مربوط به گذشته است، دانش آموز کلاس هفتم (یا کلاس هشتم) مورد علاقه آنها با یک سوال غیرمنتظره روبرو می شود: "مامان، چگونه این را حل کنیم؟" و یک سوال را ارائه می دهد. معادله با دو متغیر قبلاً چنین مشکلاتی در دوره مدرسه وجود نداشت (همه ما به یاد داریم که به تعداد متغیرها باید معادلات وجود داشته باشد) بنابراین یک مادر غیرریاضی دان اغلب دچار گیجی می شود. اما این همان مشکل در مورد پول خرد و بستنی است که فقط در نوشته شده است نمای کلی!

    راستی، چرا در کلاس هفتم ناگهان به او برمی گردند؟ ساده است: هدف از مطالعه معادلات دیوفانتین، ارائه مبانی برای نظریه اعداد صحیح است که هم در ریاضیات و هم در علوم کامپیوتر و برنامه نویسی توسعه یافته است. معادلات دیوفانتین اغلب در میان وظایف بخش "ج" آزمون دولتی واحد یافت می شود. مشکل اول از همه این است که روش های حل زیادی وجود دارد که فارغ التحصیل باید یکی از آنها را درست انتخاب کند. با این حال، معادلات دیوفانتین خطی ax + by = c را می توان به راحتی با استفاده از الگوریتم های خاص حل کرد.

    الگوریتم های حل معادلات دیوفانتین

    مطالعه معادلات دیوفانتین در درس جبر پیشرفته از پایه هفتم آغاز می شود. در کتاب درسی Yu.N. ماکاریچوا، N.G. Mindyuk، برخی از مسائل و معادلات داده شده است که با استفاده از حل شده است الگوریتم اقلیدسو روش brute force, - Aelita Bekesheva می گوید.- بعداً، در کلاس های 8 تا 9، زمانی که ما در حال حاضر معادلات را در اعداد صحیح از مرتبه های بالاتر در نظر می گیریم، به دانش آموزان نشان می دهیم روش فاکتورسازیو تجزیه و تحلیل بیشتر حل این معادله، روش ارزیابی. معرفی می کنیم با روش انتخاب مربع کامل. هنگام مطالعه خواص اعداد اول، قضیه کوچک فرما را معرفی می کنیم که یکی از قضایای اساسی در نظریه حل معادلات در اعداد صحیح است. در سطح بالاتر این آشنایی در پایه های 10-11 ادامه دارد. در همان زمان، ما بچه ها را به مطالعه و استفاده از نظریه "مقایسه های مدول" می آوریم، الگوریتم هایی را که در کلاس های 7-9 ملاقات کردیم، کار می کنیم. خیلی خوب، این مطالب در کتاب درسی توسط A.G. موردکوویچ "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، کلاس 10" و G.V. دوروفف "ریاضیات" برای کلاس دهم.

    الگوریتم اقلیدس

    روش اقلیدس خود به مسئله ریاضی دیگری اشاره دارد - یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک: به جای جفت اعداد اصلی، یک جفت جدید نوشته می شود - عدد کوچکتر و تفاوت بین عدد کوچکتر و بزرگتر جفت اصلی. این عمل تا زمانی ادامه می یابد که اعداد در جفت برابر شوند - این بزرگترین عامل مشترک خواهد بود. یک تغییر از الگوریتم نیز در حل معادلات دیوفانتین استفاده می شود - اکنون ما همراه با یوری شانکوبیایید از یک مثال برای نشان دادن نحوه حل مشکلات "در مورد سکه" استفاده کنیم.

    معادله دیوفانتین خطی را در نظر می گیریم تبر + توسط = c،که در آن a، b، c، x و y اعداد صحیح هستند. همانطور که می بینید، یک معادله شامل دو متغیر است. اما، همانطور که به یاد دارید، ما فقط به ریشه های اعداد صحیح نیاز داریم که کارها را ساده می کند - جفت اعدادی که معادله برای آنها درست است را می توان یافت.

    با این حال، معادلات دیوفانتین همیشه راه حل ندارند. مثال: 4x + 14y = 5. هیچ راه حلی وجود ندارد زیرا در سمت چپ معادله برای هر عدد صحیح x و y یک عدد زوج به دست می آید و 5 عددی فرد است. این مثال قابل تعمیم است. اگر در معادله تبر + توسط = جضرایب a و b بر مقداری d بخش پذیر هستند و عدد c بر این d بخش پذیر نیست، پس معادله هیچ جوابی ندارد. از طرف دیگر، اگر همه ضرایب (a، b و c) بر d بخش پذیر باشند، کل معادله را می توان بر این d تقسیم کرد.

    مثلاً در معادله 4x + 14y = 8 همه ضرایب بر 2 بخش پذیرند. معادله را بر این عدد تقسیم می کنیم و به دست می آید: 2𝑥 + 7𝑦 = 4. این تکنیک (تقسیم معادله بر تعدادی عدد) گاهی اوقات محاسبات را ساده می کند.

    حالا از آن طرف برویم. فرض کنید یکی از ضرایب سمت چپ معادله (a یا b) برابر با 1 باشد. سپس معادله ما در واقع حل می شود. در واقع، اجازه دهید، برای مثال، a = 1، سپس ما می توانیم هر عدد صحیح را به عنوان y، در حالی که x = c − توسط. اگر یاد بگیریم معادله اصلی را به معادله ای تقلیل دهیم که یکی از ضرایب آن برابر با 1 است، آنگاه یاد خواهیم گرفت که چگونه معادله دیوفانتین خطی را حل کنیم!

    من این را با مثال معادله 2x + 7y = 4 نشان خواهم داد.

    می توان آن را به صورت زیر بازنویسی کرد: 2(x + 3y) + y = 4.

    بیایید یک مجهول جدید z = x + 3y معرفی کنیم، سپس معادله به صورت زیر نوشته می شود: 2z + y = 4.

    معادله ای با ضریب یک گرفتیم! سپس z هر عددی است، y = 4 − 2z.

    باقی مانده است که x را پیدا کنیم: x = z − 3y = z − 3 (4 − 2z) = 7z − 12.

    بگذارید z=1 باشد. سپس y=2، x=-5. 2*(-5)+7*2=4

    اجازه دهید z=5 باشد. سپس y=-6، x=23. 2 * (23) + 7 * (-6) = 4

    ” در این مثال، مهم است که بفهمیم چگونه از یک معادله با ضرایب 2 و 7 به معادله ای با ضرایب 2 و 1 حرکت کردیم. در این مورد (و همیشه!) ضریب جدید (در این مورد، یک) است. باقیمانده تقسیم ضرایب اصلی بر یکدیگر (7 بر 2).

    در این مثال، ما خوش شانس بودیم، درست بعد از اولین تعویض، معادله ای با ضریب 1 به دست آوردیم. همیشه این اتفاق نمی افتد، اما می توانیم ترفند قبلی را با معرفی مجهولات جدید و نوشتن معادلات جدید تکرار کنیم. دیر یا زود، پس از چنین جایگزینی، معادله ای با ضریب 1 به دست می آید.

    Aelita Bekesheva پیشنهاد می کند، بیایید سعی کنیم معادله پیچیده تری را حل کنیم.

    معادله 13x - 36y = 2 را در نظر بگیرید.

    مرحله شماره 1

    36/13 = 2 (10 باقی مانده). بنابراین، معادله اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: 13x-13* 2y-10y=2. بیایید آن را تبدیل کنیم: 13(x-2y)-10y=2. بیایید یک متغیر جدید z=x-2y معرفی کنیم. حالا معادله داریم: 13z-10y=2.

    گام 2

    13/10=1 (3 باقی مانده). معادله اصلی 13z-10y=2 را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: 10z-10y+3z=2. بیایید آن را تبدیل کنیم: 10(z-y)+3z=2. بیایید یک متغیر جدید m=z-y معرفی کنیم. حالا معادله داریم: 10m+3z=2.

    مرحله شماره 3

    10/3 = 3 (1 باقی مانده). معادله اصلی 10m+3z=2 را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: 3*3m+3z+1m=2. بیایید آن را تبدیل کنیم: 3(3m+z)+1m=2. بیایید یک متغیر جدید n=3m+z معرفی کنیم. حالا معادله داریم: 3n+1m=2.

    هورا! معادله ای با ضریب یک گرفتیم!

    m=2-3n و n می تواند هر عددی باشد. با این حال، ما باید x و y را پیدا کنیم. بیایید متغیرها را به ترتیب معکوس تغییر دهیم. به یاد داشته باشید که x و y را باید بر حسب n بیان کنیم که می تواند هر عددی باشد.

    y=z-m; z=n-3m، m=2-3n ⇒ z=n-3* (2-3n)، y=n-3*(2-3n)-(2-3n)=13n-8; y=13n-8

    x=2y+z ⇒ x=2(13n-8)+(n-3*(2-3n))=36n-22; x=36n-22

    بگذارید n=1 باشد. سپس y=5، x=24. 13 * (14) -36 * 5=2

    بگذارید n=5 باشد. سپس y=57، x=158. 13*(158)-36*(57)=2

    بله، فهمیدن آن خیلی آسان نیست، اما اکنون می توانید مشکلاتی را که با انتخاب حل می شوند به طور کلی حل کنید!

    ما مسائل را برای انتخاب اعداد حل می کنیم

    نمونه هایی از مسائل برای دانش آموزان دبستانی که با انتخاب حل می شوند: با کودک رقابت کنید، چه کسی آنها را سریعتر حل می کند: شما، با استفاده از الگوریتم اقلیدس، یا یک دانش آموز - با انتخاب؟

    مشکل در مورد پنجه ها

    مقررات

    جوجه ها و خرگوش ها در قفس هستند. آنها در مجموع 20 پنجه دارند. چند جوجه می تواند وجود داشته باشد و چند خرگوش؟

    راه حل

    فرض کنید x مرغ و y خرگوش داریم. بیایید معادله را بسازیم: 2х+4y=20. بیایید دو طرف معادله را دو برابر کنیم: x+2y=10. بنابراین، x=10-2y، که در آن x و y اعداد صحیح مثبت هستند.

    پاسخ

    تعداد خرگوش و مرغ: (1؛ 8)، (2؛ 6)، (3؛ 4)، (4؛ 2)، (5؛ 0)

    موافقم، سریعتر از مرتب کردن "اجازه دهید یک خرگوش در قفس بنشیند ..." معلوم شد.

    مشکل در مورد سکه

    مقررات

    یک فروشنده فقط سکه های پنج و دو روبلی داشت. او از چند طریق می تواند 57 روبل پول خرد جمع آوری کند؟

    راه حل

    اجازه دهید x سکه دو روبلی و y پنج روبلی داشته باشیم. بیایید معادله را بسازیم: 2х+5y=57. بیایید معادله را تبدیل کنیم: 2(x+2y)+y=57. اجازه دهید z=x+2y. سپس 2z+y=57. در نتیجه، y=57-2z، x=z-2y=z-2(57-2z) ⇒ x=5z-114. توجه داشته باشید که متغیر z نمی تواند کمتر از 23 باشد (در غیر این صورت x تعداد سکه های دو روبلی منفی خواهد بود) و بزرگتر از 28 (در غیر این صورت y تعداد سکه های پنج روبلی منفی خواهد بود). همه مقادیر از 23 تا 28 برای ما مناسب است.

    پاسخ

    شش راه.

    تهیه شده توسط تاتیانا یاکولووا

    موسسه آموزشی بودجه شهرداری

    دبیرستان №1

    پاولوو.

    کار پژوهشی

    روش های حل معادلات دیوفانتین

    گروه: فیزیک و ریاضی

    بخش: ریاضیات

    تکمیل شد:

    دانش آموز کلاس هشتم نیکولای تروخین (14 ساله)

    مشاور علمی:

    معلم ریاضی

    Lefanova N. A.

    پاولوو

    2013

    فهرست مطالب

    مقدمه………………………………………………………………………………………………………………………………

    II مروری بر ادبیات…………………………………………………………………………………………

    III قسمت اصلی……………………………………………………………………

    IV نتیجه گیری…………………………………………………………………………………………………………………………

    V فهرست مراجع……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….

    پیوست VI…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

      مقدمه.

    در سال 2011-2012 اجرا کردم کار پژوهشیبا موضوع: "حل معادلات در یونان باستانو هند." در حین کار بر روی آن با آثار دیوفانت اسکندریه و محمد خوارزمی آشنا شدم. در کار قبلی خود روش هایی را برای حل معادلات درجه یک با دو مجهول در نظر گرفتم، با چند مسئله قدیمی که منجر به حل معادلات درجه یک با دو مجهول می شود آشنا شدم.

    محمد بن موسی خوارزمی یا محمد پسر موسی خوارزمی که از اعضای «بیت الحکمه» در ایران است، کتابی در حدود 820 سال گاهشماری ما نوشت و در آنجا حل سؤالات ساده و پیچیده حساب را آموزش داد. که مردم در هنگام تقسیم ارث، تنظیم وصیت نامه، تقسیم اموال و دعاوی قضایی، در تجارت، انواع معاملات به آن نیاز دارند. با نام خوارزمی، مفاهیم "جبر"، "اعداد عربی"، "الگوریتم" همراه است. او جبر را از هندسه جدا کرد و کمک زیادی به ریاضیات قرون وسطی اسلامی کرد. محمد خوارزمی هم در زمان حیات و هم پس از مرگش شناخته شده و مورد احترام بود.

    اما می خواستم در مورد دیوفانتوس بیشتر بدانم. و موضوع تحقیق امسال من این است: روش های حل معادلات دیوفانتین »

    دیوفانتوس اسکندریه یکی از عجیب ترین ریاضی دانان یونان باستان است که آثار او بوده است پراهمیتبرای جبر و نظریه اعداد از میان آثار دیوفانت، مهمترین آنها «حساب» است که از 13 کتاب آن تنها 6 کتاب تا به امروز باقی مانده است. کتاب های باقی مانده شامل 189 مسئله با راه حل است. کتاب اول شامل مسائلی است که به معادلات خاصی از درجه اول و دوم منجر می شود. پنج کتاب باقی مانده عمدتاً شامل معادلات نامعین است (معادلات نامعین معادلات حاوی بیش از یک مجهول نامیده می شوند). این کتاب ها هنوز نظریه سیستماتیک معادلات نامحدود ندارند، روش های حل از موردی به مورد دیگر متفاوت است. دیوفانتوس به یک راه حل، کل یا کسری، تا زمانی که مثبت باشد، راضی است. با این حال، روش‌های حل معادلات نامحدود سهم اصلی دیوفانتوس در ریاضیات را تشکیل می‌دهند. در نمادگرایی دیوفانتوس تنها یک نشانه برای ناشناخته وجود داشت. او هنگام حل معادلات نامشخص، از اعداد دلخواه به عنوان چندین مجهول استفاده می کرد، به جای آنها می توان از هر مجهول دیگری استفاده کرد که ماهیت کلیت راه حل های او را حفظ کرد.

    هدف از کار من:

    1. ادامه آشنایی با معادلات دیوفانتین.

    2. روش های شمارش و پراکندگی (سنگ زنی) در حل معادلات دیوفانتین را بررسی کنید.

    3. امکان استفاده از معادلات دیوفانتین برای حل برخی مسائل عملی را بررسی کنید.

    II. بررسی ادبیات.

    هنگام نوشتن اثر از ادبیات زیر استفاده کردم:

    من از اطلاعات دیوفانتوس و خوارزمی استفاده کردم.

    این کتاب به روش های دیوفانتوس در حل معادلات نامعین اختصاص دارد. در مورد زندگی خود دیوفانتوس می گوید. این اطلاعات توسط من در کارم استفاده می شود.

    این کتاب در مورد تاریخ جبر از دوران باستان صحبت می کند. من از دوران باستان از اطلاعاتی در مورد نظریه معادلات استفاده کرده ام.

    این کتاب شامل حدود 200 مقاله در زمینه مفاهیم پایه ریاضی و کاربردهای آن می باشد. از مطالب مقالات "جبر"، "معادلات"، "معادلات دیوفانتین" استفاده کردم.

    متون وظایف برای استفاده عملی از کتاب گرفته شده است.

      در مورد موضوعی که از سایت استفاده کردم:

    http :// en . ویکیپدیا . org (اطلاعاتی درباره الخوارزمی و دیوفانتوس. درباره روشهای حل معادلات دیوفانتین).

      بخش اصلی

    امروزه همه کسانی که ریاضیات را انجام داده اند، نام معادلات دیوفانتین را شنیده اند. معادلات جبری با ضرایب صحیح، حل شده در مجموعه اعداد صحیح (به ندرت گویا) به عنوان دیوفانتین وارد تاریخ ریاضیات شدند. . معادلات دیوفانتین درجه 1 و 2 بیشترین مطالعه را دارند. محتوای کار من شامل مسائلی است که به حل معادله درجه یک با دو مجهول خلاصه می شود

    (1)

    بیایید تکلیف را در نظر بگیریم.

    وظیفه 1. در سلول است ایکس قرقاول و درخرگوش ها اگر تعداد کل پاها 62 عدد باشد چند قرقاول و خرگوش در قفس هستند.

    تعداد کلپاها را می توان با استفاده از معادله 2x + 4y \u003d 62 (2) نوشت

    به این تساوی که با توجه به شرط مسئله درست کردم معادله ای با دو متغیر نامیده می شود. این معادله را معادله خطی می نامند. معادلات خطی نقش مهمی در حل مسائل مختلف دارند. اجازه دهید مفاد اصلی مرتبط با این مفهوم را به شما یادآوری کنم.

    یک معادله خطی با دو متغیر معادله ای به شکل ax + با \u003d c است که x و y متغیر هستند، a، b و c برخی از اعداد هستند.

    بدون ابهام از معادله (2) مقادیر را تعیین کنید ایکس و yممنوع است. حتی اگر خود را به مقادیر طبیعی متغیرها محدود کنیم، ممکن است چنین مواردی وجود داشته باشد: 1 و 15، 3 و 14، 5 و 13 و غیره.

    یک جفت عدد ( a , b ) راه حل یک معادله با دو متغیر نامیده می شود اگر هنگام جایگزینی x با a و y با b برابری واقعی بدست آوریم.

    هر معادله با دو متغیر مربوط به مجموعه راه حل های آن است، یعنی مجموعه ای که از تمام جفت اعداد (a, b) تشکیل شده است که با جایگزینی آنها در معادله، یک برابری واقعی به دست می آید. در این مورد، البته اگر مجموعه های X و Y از قبل مشخص شده باشند، که می تواند x و y مجهول را بپذیرد، سپس شما باید فقط چنین جفت هایی (a ، b) بگیرید، که a متعلق به X و b متعلق به Y است.

    یکی دو عدد ( الف، ب) را می توان در صفحه با نقطه M نشان داد که دارای مختصات است آو b، M \u003d M (a، b). با در نظر گرفتن تصاویر تمام نقاط مجموعه راه حل یک معادله با دو مجهول، زیرمجموعه خاصی از صفحه را به دست می آوریم. به آن نمودار معادله می گویند .

    می توان ثابت کرد که نمودار یک معادله خطی در دو متغیر است که حداقل یکی از ضرایب آن برابر با صفر نیست، یک خط مستقیم است برای رسم این معادله کافی است دو نقطه را با مختصات گرفته و یک خط مستقیم از میان آنها بکشیم. من در کار قبلی خود از روش حل گرافیکی استفاده کردم.

    به دو معادله در دو متغیر که جواب های یکسانی دارند معادل هم گفته می شود.

    به عنوان مثال، معادلات x + 2y = 5 و 3x + 6y = 15 معادل هستند - هر جفت اعدادی که یکی از این معادلات را برآورده کند، معادلات دوم را نیز برآورده می کند.

    معادلات با دو متغیر دارای ویژگی های مشابه معادلات با یک متغیر هستند:

    1) اگر در معادله عبارت را از قسمتی به قسمت دیگر منتقل کنیم و علامت آن را تغییر دهیم ، معادله ای معادل معادله داده شده بدست می آوریم.

    2) اگر هر دو قسمت معادله در یک عدد غیر صفر یکسان ضرب یا تقسیم شوند، معادله ای به دست می آید که معادل معادله داده شده است.

    چندین راه برای حل معادلات دیوفانتین وجود دارد:

      روش انتخاب

      با استفاده از الگوریتم اقلیدس

      با استفاده از شات ادامه دار

      روش پراکندگی (سنگ زنی).

      استفاده از زبان برنامه نویسی پاسکال

    در کارم روش ها را بررسی کردم - شمارش گزینه ها و پراکندگی (سنگ زنی)

    با توجه به نحوه برشمردن گزینه ها، باید تعداد راه حل های ممکن برای معادله را در نظر گرفت. برای مثال، این روش را می توان با حل مسئله زیر اعمال کرد:

    وظیفه 2. آندری در تابستان در یک کافه کار می کند. برای هر ساعت 10 روبل به او پرداخت می شود. و 2 r را محاسبه کنید. برای هر بشقاب شکسته در هفته گذشتهاو 180 r به دست آورد. اگر معلوم است که او بیش از 3 ساعت در روز کار نمی کند، مشخص کنید که او چند ساعت کار کرده و چند بشقاب را شکسته است.

    راه حل.

    اجازه دهید ایکسساعت‌هایی که در یک هفته کار می‌کرد 10 برابرآر. او حقوق گرفت اما شکست درصفحات، و از آن کم می شود 2 سالآر. معادله را داریم 10x - 2y \u003d 180، و ایکس کمتر یا مساوی 21. دریافت می کنیم: 5x-y=90، 5x=90+y، x=18+y:5.

    زیرا ایکس عدد صحیح، پس درباید به طور مساوی بر 5 بخش پذیر باشد تا یک عدد صحیح در سمت راست به دست آید. چهار مورد وجود دارد

      y=0، x=18، یعنی راه حل جفت است - (18، 0).

      y=5، x=19، (19، 5);

      y=10، x=20، (20، 10);

      y=15، x=21، (21، 15).

    من این مشکل را با استفاده از روش شمارش گزینه ها حل کردم. پاسخ شامل چهار گزینه ممکن است. سعی کردم چند تا مشکل دیگه رو از این طریق حل کنم.

    وظیفه 3. مبلغ 23 روبل از سکه های دو روبلی و پنج روبلی ساخته شده است. چند تا از این سکه های دو روبلی وجود دارد؟

    راه حل.

    اجازه دهید ایکس - تعداد سکه های دو روبلی، y -تعداد سکه های پنج روبلی. بیایید معادله را بسازیم و حل کنیم: 2x+5y=23; 2x=23–5y; x \u003d (23 - 5y): 2; x \u003d (22 + 1 - 5y): 2، 22 را بر 2 و (1 - 5y) را بر 2 ترم تقسیم می کنیم، دریافت می کنیم: x \u003d 11 + (1 - 5y): 2.

    زیرا ایکس و y اعداد طبیعی با توجه به شرط مسئله، پس سمت چپ معادله یک عدد طبیعی است، یعنی سمت راست نیز باید یک عدد طبیعی باشد. علاوه بر این، برای به دست آوردن یک عدد طبیعی در سمت راست، لازم است که عبارت (1 - 5y) کاملا بر 2 بخش پذیر باشد. گزینه ها را برشماریم.

      y = 1، x = 9، یعنی می تواند 9 سکه دو روبلی وجود داشته باشد.

      y=2، در حالی که عبارت (1 - 5y) بر 2 بخش پذیر نیست.

      y=3، x=4، یعنی می تواند 4 سکه دو روبلی وجود داشته باشد.

      وقتی y بزرگتر یا مساوی 4 باشد، x یک عدد طبیعی نیست.

    بنابراین، پاسخ در مسئله به شرح زیر است: در بین سکه ها 9 یا 4 سکه دو روبلی وجود دارد.

    وظیفه 4. شهرزاده قصه های خود را برای حاکم بزرگ تعریف می کند. در مجموع، او باید 1001 افسانه را تعریف کند. چند شب طول می کشد که شهرزاده تمام قصه هایش را بگوید ایکس شبها 3 قصه می گوید و بقیه قصه ها 5 تا درشب ها

    راه حل.

    قصه گو به x + y نیاز دارد شب ها , جایی که x و y - ریشه های طبیعی معادله 3x + 5y \u003d 1001

    x \u003d (1001 - 5y): 3; زیرا ایکسیک عدد طبیعی است، پس سمت راست تساوی نیز باید دارای یک عدد طبیعی باشد، به این معنی که عبارت (1001 - 5y) باید کاملا بر 3 بخش پذیر باشد.

    بیایید به گزینه ها بپردازیم.

    y=1، 1001 - 5y=1001-5= 996، 996 بر 3 بخش پذیر است، بنابراین x=332; تصمیم (332;1);

    y=2، 1001– 10=991، 991 بر 3 بخش پذیر نیست.

    y=3، 1001 - 15 = 986; 986 بر 3 بخش پذیر نیست.

    y \u003d 4، 1001 - 20 \u003d 981، 981 بر 3 بخش پذیر است، بنابراین، x = 327، راه حل (327؛ 4) و غیره است.

    67 جفت ریشه احتمالی در این مشکل وجود دارد، من همه راه حل های این مشکل را نشان ندادم، زیرا زمان زیادی می برد.

    معادله تبر + توسط = ج (1) در مسائل فوق روش شمارش گزینه ها را حل کردم. من خودم متوجه شدم که روش شمارش گزینه ها همیشه برای حل این مشکل مؤثر نیست، زیرا یافتن همه راه حل های معادله زمان قابل توجهی را می طلبد. و به نظر من در حال حاضر بی ربط است.

    بنابراین با استفاده از روش پراکندگی (سوز کردن) مشکل شهرزاد را حل کردم.

    روش پراکندگی یک روش کلی برای حل معادلات نامعین درجه یک با ضرایب صحیح در اعداد صحیح است.

    پس بیایید مشکل شهرزاده را به روش پراکندگی حل کنیم:

    اجازه دهید به معادله 3x + 5y = 1001 برگردیم.

    بیایید آن را متفاوت بازنویسی کنیم: 3x = 1001 - 5y; 3x \u003d 1001 - 2y - 3y.

    x = -y +
    و نشان دهند ایکس ل= y + ایکس

    در نتیجه، معادله به شکل 3x خواهد بود 1 = 1001 - 2 سال یا

    y = - ایکس ل
    .

    اگر دوباره y 1 \u003d y + x 1 را جایگزین کنیم، به معادله می رسیم

    x 1 + 2y 1 \u003d 1001. توجه داشته باشید که ضرایب مجهولات کاهش یافته است - آنها خرد شده اند.

    در اینجا ضریب x 1 برابر با 1 است، و بنابراین، برای هر عدد صحیح y 1 \u003d t، عدد x 1 نیز یک عدد صحیح است. باقی مانده است که متغیرهای اصلی را بر حسب t بیان کنیم:

    x 1 \u003d 1001 - 2 t، بنابراین، y \u003d - 1001 + 3 t و x \u003d 2002 - 5 t. بنابراین، ما یک دنباله نامتناهی (2002 - 5 t , - 1001 + 3 t ) از راه حل های عدد صحیح دریافت می کنیم . ظاهر فرمول های یافتن مقادیر متغیرها با راه حل های به دست آمده قبلی متفاوت است، اما با در نظر گرفتن شرایط مشکل، ریشه ها یکسان است. بنابراین، جفت (332;1) در t = 334 به دست می آید.

    به نظر من، این روش نه تنها راحت تر است (الگوریتمی از اقدامات دارد)، بلکه جالب است. این روش شناخته شده استکه در اولین بار در ابتدا اعمال شدVIکه در. ریاضیدان هندیآریابهاتا

    سال گذشته راه حل مسئله برهماگوپتای هند باستان را به روش های پراکندگی که توسط خود براهماگوپتا پیشنهاد شده بود نشان دادم. تصمیم غیرمنطقی بود.

    در زیر ارائه شده است:

    "دو عدد صحیح را بیابید، با دانستن اینکه تفاوت بین حاصل ضرب اولی در 19 و دومی در 8 13 است."

    در مسئله لازم است تمام جواب های اعداد صحیح معادلات را پیدا کنید.

    راه حل:

    (1) 19ایکس – 8y = 13

    بیان می کنم yمجهول با کوچکترین مقدار مطلق ضریب عبور است ایکس، دریافت می کنم:

    (2) y = (19ایکس – 13)/8

    اکنون باید دریابیم که برای چه مقادیری صحیح است ایکس مقادیر مربوطه y نیز اعداد صحیح هستند. معادله (2) را به صورت زیر بازنویسی می کنم:

    (3) y = 2ایکس + (3ایکس – 13)/8

    از (3) نتیجه می شود که y با یک عدد صحیح x فقط در صورتی یک مقدار صحیح می گیرد که عبارت (3 ایکس-13)/8 یک عدد صحیح است، فرض کنید y 1 . با فرض اینکه

    (4) (3ایکس - 13)/8 = y 1 ,

    سوال به حل معادله (4) در اعداد صحیح با دو مجهول x و کاهش می یابد y 1 ; می توان آن را اینگونه نوشت:

    (5) 3ایکس – 8y 1 = 13.

    این معادله نسبت به معادله اصلی (1) این مزیت را دارد که 3 - کوچکترین مقدار مطلق ضرایب برای مجهولات - کمتر از (1) است، یعنی. 8. این با جایگزینی ضریب x (19) با باقیمانده 8 به دست آمد.

    به همین ترتیب ادامه می دهیم، از (5) می گیریم:

    (6) ایکس= (8 سال 1 +13)/3 = 2y 1 + (2y 1 + 13)/3.

    بنابراین، مجهول x با عدد صحیح y 1 فقط زمانی مقادیر صحیح می گیرد که (2 y 1 + 13)/3 یک عدد صحیح است y 2 :

    (7) (2y 1 + 1)/3 = y 2 ,

    یا

    (8) 3y 2 – 2 y 1 = 13.

    (9) y 1 = (3y 2 - 13)/2 = y 2 + (y 2 - 13)/2

    با فرض اینکه

    (10) (y 2 - 13)/2 = y 3 ,

    گرفتن

    (11) y 2 – 2 y 3 = 13.

    این ساده ترین معادلات نامحدود در نظر گرفته شده است، زیرا یکی از ضرایب برابر با 1 است.

    از (11) دریافت می کنم:

    (12) y 2 = 2y 3 + 13.

    این نشان می دهد که y 2 مقادیر صحیح را برای هر مقدار صحیح y 3 می گیرد. از برابری های (6)، (9)، (12)، (3) با جانشینی های متوالی، می توان عبارات زیر را برای مجهول x و y معادله (1) یافت:

    ایکس= 2y 1 +y 2 = 2(y 2 +y 3 ) + y 2 = 3y2 + 2 y 3 = 3(2y 2 + 13) + 2y 3 = 8y 3 + 39;

    در= 2ایکس + y 1 = 2(8y 3 + 39) + y 2 + y 3 = 19y 3 +91.

    بنابراین فرمول ها

    x=8 y 3 + 39,

    y=19 y 3 + 91.

    در y 3 = 0، + 1,+ 2, + 3، ... تمام راه حل های عدد صحیح معادله (1) را ارائه دهید.

    جدول زیر نمونه هایی از این راه حل ها را ارائه می دهد.

    میز 1.

    y3

    ایکس

    y

    بیایید این مشکل را منطقی حل کنیم. راه حل از یک الگوریتم خاص استفاده می کند.

    وظیفه 5.

    اگر تفاوت بین حاصل ضرب اولی در 19 و دومی در 8 13 باشد، دو عدد پیدا کنید.

    راه حل. برای حل معادله 19x - 8y \u003d 13 لازم است

    بیایید آن را متفاوت بازنویسی کنیم: 8y =19x –13; 8y =16x +3x -13; y = 2x +

    و نشان دهند y 1 \u003d y - 2x.

    در نتیجه، معادله به شکل 8y 1 = Zx - 13 یا x = 2y 1 خواهد بود.
    .

    اگر دوباره x 1 \u003d x - 2y 1 را جایگزین کنیم، به معادله می رسیم

    3x l - 2y 1 \u003d 13.

    ضرایب برای مجهولات کاهش یافته است - آنها خرد شده اند. آسیاب بیشتر: y 1 = x l +
    ، سپس y 2 \u003d y 1 -x 1 می گیریم.

    در نتیجه، آخرین معادله به شکل x 1 - 2y 2 تبدیل می شود: \u003d 13. در اینجا ضریب x 1 برابر با 1 است، و بنابراین، برای هر عدد صحیح y 2 \u003d t، عدد x 1 است. همچنین یک عدد صحیح

    باقی مانده است که متغیرهای اصلی را بر حسب t بیان کنیم:

    ابتدا x 1 \u003d 2t +13، y 1 \u003d 3t +13 را بیان می کنیم. و سپس x = 8 t + 39، y = 19 t + 91.

    بنابراین، ما یک دنباله بی نهایت (39 + 8) دریافت می کنیمتی, 91 + 19 تی) راه حل های عدد صحیح. معادله تبر + توسط = ج (1) در مسائل فوق، روش پراکندگی (سنگ زنی) را حل کردم.

    IV. نتیجه.

    با مطالعه معادلات دیوفانتین برای حل آنها از روش های شمارش گزینه ها و پراکندگی (سنگ زنی) استفاده کردم. با این روش ها هم مشکلات امروزی و هم باستانی را حل کردم. محتوای کار من شامل وظایفی بود که به حل معادلات درجه اول با دو متغیر ax + b y \u003d c (1) خلاصه می شود.

    در طول کار به نتایج زیر رسیدم:

      روش شمارش به هزینه های زمانی قابل توجهی نیاز دارد، به این معنی که خیلی راحت و منطقی نیست.

      به نظر من روش پراکندگی منطقی تر است. زمانی که داشتم یک مسئله قدیمی هندی را با این روش حل می کردم، متوجه شدم که الگوریتم حل خاصی وجود دارد. من دانش کافی در مدرسه داشتم. من متقاعد شدم که روش‌های حل معادلات دوفانتی به طور مداوم با توسعه ریاضیات بهبود می‌یابند.

    سال آینده می خواهم به مطالعه روش های حل معادلات دیوفانتین ادامه دهم.

    V. کتابشناسی - فهرست کتب

      G. I. Glazer "تاریخ ریاضیات در مدرسه" M.: ed. "روشنگری" 1964 376.

      I. G. Bashmakova "معادلات دیوفانتین و دیوفانتین" M.: ed. "علم" 1972 دهه 68

      V. A. Nikiforovsky "در دنیای معادلات" M.: ed. "علم" 1987 سال 176

      A. P. Savin " فرهنگ لغت دایره المعارفیریاضیدان جوان "M.: ed. "پداگوژی" 1985

      G. M. Voznyak، V. F. Gusev "مشکلات کاربردی برای افراط" M.: ed. "روشنگری" 1985 144.

      http :// en . ویکیپدیا . org

    VI. کاربرد.

      در مزرعه لازم است یک سیستم آبرسانی به طول 167 متر انجام شود. لوله ها در طول های 5 متر و 7 متر موجود هستند. برای ایجاد کمترین تعداد اتصالات (لوله ها را قطع نکنید) از چند لوله باید استفاده کرد؟

    با توجه به اینکه تعداد هر دو لوله و لوله های دیگر می تواند متفاوت باشد، تعداد لوله های 7 متری با نشان داده می شود. x,5- متر - از طریق در

    سپس 7x طول لوله های 7 متری، 5y طول لوله های 5 متری است.

    از اینجا معادله نامعین بدست می آید:

    7x+5y=167

    برای مثال، یک متغیر را بیرون می‌آوریم دراز طریق یک متغیر ایکس، ما گرفتیم:

    یافتن جفت مقادیر منطبق با تکرار آسان است ایکسو در، که معادله 7x+5y=167 را برآورده می کند

    (1;32), (6;25), (11;18), (16;11), (21;4).

    از بین این راه حل ها، آخرین راه حل سودمندترین است، یعنی x=21; y=4.

    بسیاری از روش های باستانی حدس زدن اعداد و تاریخ تولد بر اساس حل معادلات دیوفانتین است. بنابراین، به عنوان مثال، برای حدس زدن تاریخ تولد (ماه و روز) طرف مقابل، کافی است از او مقدار دریافتی از اضافه کردن دو محصول را دریابید: تعداد تاریخ (ایکس ) توسط اعداد 12 و ماه (در ) در 31.

    2. مجموع آثار مورد نظر 330 باشد. تاریخ تولد را پیدا کنید.

    بیایید معادله نامعین را حل کنیم

    12 ایکس + 31 در = 330.

    با استفاده از روش پراکندگی بدست می آوریم:

    ایکس = 43 – 31 در 4 ,

    در = 6 – 12 در 4 .

    با توجه به محدودیت ها، به راحتی می توان گفت که تنها راه حل این است

    در 4 = 1, ایکس = 12, در = 6.

    بنابراین، تاریخ تولد: روز دوازدهم ماه ششم، یعنی. 12 ژوئن.

    برای حل معادله دیوفانتین خطی، باید مقادیر متغیرهای "x" و "y" را پیدا کنید که اعداد صحیح هستند. راه حل عدد صحیح پیچیده تر از معمول است و نیاز به مجموعه خاصی از اقدامات دارد. ابتدا باید بزرگترین مقسوم علیه مشترک (gcd) ضرایب را محاسبه کنید و سپس جواب را پیدا کنید. هنگامی که یک راه حل عدد صحیح برای یک معادله خطی پیدا کردید، می توانید یک الگوی ساده را برای یافتن بی نهایت راه حل دیگر اعمال کنید.

    مراحل

    قسمت 1

    چگونه یک معادله بنویسیم

      معادله را به شکل استاندارد بنویسید.معادله خطی معادله ای است که در آن توان متغیرها از 1 تجاوز نکند. برای حل چنین معادله خطی ابتدا آن را به شکل استاندارد بنویسید. شکل استاندارد یک معادله خطی به صورت زیر است: A x + B y = C (\displaystyle Ax+By=C)، جایی که A, B (\displaystyle A,B)و C (\displaystyle C)- تمام اعداد.

      معادله را ساده کنید (در صورت امکان).وقتی معادله را به شکل استاندارد می نویسید، به ضرایب نگاه کنید A, B (\displaystyle A,B)و C (\displaystyle C). اگر این ضرایب دارای GCD هستند، هر سه ضریب را بر آن تقسیم کنید. حل چنین معادله ساده شده نیز راه حلی برای معادله اصلی خواهد بود.

      بررسی کنید که آیا معادله قابل حل است یا خیر.در برخی موارد، می توانید بلافاصله اعلام کنید که معادله هیچ راه حلی ندارد. اگر ضریب "C" بر GCD ضرایب "A" و "B" بخش پذیر نباشد، معادله هیچ راه حلی ندارد.

      قسمت 2

      نحوه نوشتن الگوریتم اقلیدس

      1. الگوریتم اقلیدس را درک کنید.این یک سری از تقسیمات تکراری است که در آن باقیمانده قبلی به عنوان مقسوم علیه بعدی استفاده می شود. آخرین مقسوم علیه که اعداد را به طور مساوی تقسیم می کند، بزرگترین مقسوم علیه مشترک (gcd) از دو عدد است.

        الگوریتم اقلیدس را روی ضرایب "A" و "B" اعمال کنید.هنگامی که معادله خطی را به صورت استاندارد می نویسید، ضرایب "A" و "B" را تعیین کنید و سپس الگوریتم اقلیدس را روی آنها اعمال کنید تا gcd را پیدا کنید. به عنوان مثال، با توجه به معادله خطی 87 x − 64 y = 3 (\displaystyle 87x-64y=3).

        بزرگترین مقسوم علیه مشترک (gcd) را پیدا کنید.از آنجایی که آخرین مقسوم علیه 1 بود، GCD 87 و 64 برابر است با 1. بنابراین 87 و 64 هستند اعداد اولدر رابطه با یکدیگر.

        نتیجه را تجزیه و تحلیل کنید.وقتی GCD ضرایب را پیدا کردید A (\displaystyle A)و B (\displaystyle B)، آن را با ضریب مقایسه کنید C (\displaystyle C)معادله اصلی اگر یک C (\displaystyle C)به NOD تقسیم می شود A (\displaystyle A)و B (\displaystyle B)، معادله یک راه حل عدد صحیح دارد. در غیر این صورت، معادله هیچ راه حلی ندارد.

      قسمت 3

      چگونه با استفاده از الگوریتم اقلیدس راه حلی پیدا کنیم؟

        مراحل محاسبه GCD را شماره گذاری کنید.برای یافتن راه حل برای معادله خطی، باید از الگوریتم اقلیدسی به عنوان مبنای فرآیند جایگزینی و ساده سازی استفاده کرد.

        به مرحله آخر توجه کنید، جایی که باقی مانده است.معادله این مرحله را دوباره بنویسید تا باقیمانده جدا شود.

        باقی مانده مرحله قبل را جدا کنید.این فرآیند یک "حرکت به سمت بالا" گام به گام است. هر بار باقیمانده معادله را از مرحله قبل جدا می کنید.

        تغییر ایجاد کنید و ساده کنید.توجه داشته باشید که معادله مرحله 6 شامل عدد 2 است اما در معادله مرحله 5 عدد 2 جدا شده است. بنابراین به جای "2" در معادله مرحله 6، عبارت مرحله 5 را جایگزین کنید:

        فرآیند تعویض و ساده سازی را تکرار کنید.روند توصیف شده را تکرار کنید و در الگوریتم اقلیدس به ترتیب معکوس حرکت کنید. هر بار معادله مرحله قبل را بازنویسی کرده و آن را با آخرین معادله بدست آمده جایگزین می کنید.

      1. روند جایگزینی و ساده سازی را ادامه دهید.این روند تا زمانی که به مرحله اولیه الگوریتم اقلیدس برسید تکرار می شود. هدف از این فرآیند نوشتن معادله ای با ضرایب 87 و 64 معادله اصلی است که باید حل شود. در مثال ما:

        • 1 = 2 (18) - 7 (5) (\displaystyle 1=2(18)-7(5))
        • 1 = 2 (18) − 7 (23 − 18) (\displaystyle 1=2(18)-7(23-18))(عبارت جایگزین از مرحله 3)
        • 1 = 9 (64 − 2 ∗ 23) − 7 (23) (\displaystyle 1=9(64-2*23)-7(23))(عبارت جایگزین از مرحله 2)
        • 1 = 9 (64) - 25 (87 - 64) (\displaystyle 1=9(64)-25(87-64))(عبارت جایگزین از مرحله 1)