وقتی یک متغیر تصادفی از توزیع نرمال تبعیت می کند. توزیع نرمال. توزیع مداوم در MS EXCEL. نمودارهای چگالی نرمال دو متغیره
تعریف. طبیعیتوزیع احتمال پیوسته نامیده می شود متغیر تصادفی، که با چگالی احتمال توصیف می شود
توزیع نرمال نیز نامیده می شود قانون گاوس.
قانون توزیع نرمال محور نظریه احتمال است. این به دلیل این واقعیت است که این قانون در همه مواردی که یک متغیر تصادفی نتیجه عمل تعداد زیادی از عوامل مختلف باشد، خود را نشان می دهد. تمام قوانین توزیع دیگر به قانون عادی نزدیک می شوند.
به راحتی می توان نشان داد که پارامترها و در چگالی توزیع به ترتیب انتظار ریاضی و انحراف معیار متغیر تصادفی X هستند.
تابع توزیع را پیدا کنید F(x).
نمودار چگالی توزیع نرمال نامیده می شود منحنی نرمالیا منحنی گاوسی.
یک منحنی نرمال دارای ویژگی های زیر است:
1) تابع در کل محور اعداد تعریف شده است.
2) برای همه ایکستابع توزیع فقط مقادیر مثبت می گیرد.
3) محور OX مجانب افقی نمودار چگالی احتمال است، زیرا با افزایش نامحدود در قدر مطلق استدلال ایکس، مقدار تابع به سمت صفر میل می کند.
4) انتهای تابع را پیدا کنید.
زیرا در y' > 0در ایکس< m و شما< 0 در x > m، سپس در نقطه x = tتابع حداکثر برابر است با.
5) تابع با توجه به یک خط مستقیم متقارن است x = a، زیرا تفاوت
(x - a) وارد تابع چگالی توزیع مربع می شود.
6) برای یافتن نقاط عطف نمودار، مشتق دوم تابع چگالی را پیدا می کنیم.
در x = m+ s و x = m- s مشتق دوم برابر با صفر است و هنگام عبور از این نقاط علامت آن تغییر می کند، یعنی. در این نقاط تابع دارای عطف است.
در این نقاط، مقدار تابع برابر است با .
بیایید یک نمودار از تابع چگالی توزیع بسازیم.
نمودارها برای تی= 0 و سه مقدار ممکن انحراف استاندارد s = 1، s = 2 و s = 7. همانطور که می بینید، با افزایش مقدار انحراف استاندارد، نمودار صاف تر می شود و مقدار حداکثر کاهش می یابد.
اگر یک آ> 0، سپس نمودار در جهت مثبت تغییر خواهد کرد آ < 0 – в отрицательном.
در آ= 0 و s = 1 منحنی نامیده می شود نرمال شده. معادله منحنی نرمال شده: 
برای اختصار، می گوییم که CV X از قانون N(m, s) پیروی می کند. X ~ N(m، s). پارامترهای m و s با ویژگی های اصلی توزیع منطبق هستند: m = m X , s = s X = . اگر SV X ~ N(0، 1) باشد، آنگاه فراخوانی می شود ارزش نرمال استاندارد شده. DF یک مقدار نرمال استاندارد نامیده می شود تابع لاپلاسو به عنوان نشان داده می شود Ф(x). می توان از آن برای محاسبه احتمالات بازه ای برای توزیع نرمال N(m,s) استفاده کرد:
P(x 1 £ X< x 2) = Ф - Ф .
هنگام حل مسائل در یک توزیع نرمال، اغلب لازم است از مقادیر جدولی تابع لاپلاس استفاده شود. از آنجایی که تابع لاپلاس رابطه را برآورده می کند F(-x) = 1 - F(x)، سپس کافی است مقادیر جدولی تابع را داشته باشیم F(x)فقط برای مقادیر آرگومان مثبت.
برای احتمال برخورد با فاصله ای که با توجه به انتظارات ریاضی متقارن است، فرمول زیر درست است: P(|X - m X |< e) = 2×F(e/s) - 1.
گشتاورهای مرکزی توزیع نرمال رابطه بازگشتی را برآورده می کنند: m n +2 = (n+1)s 2 m n , n = 1, 2, ... . این بدان معناست که تمام گشتاورهای مرکزی با ترتیب فرد برابر با صفر هستند (از m 1 = 0).
احتمال اینکه یک متغیر تصادفی توزیع شده بر اساس قانون عادی در یک بازه معین قرار می گیرد را بیابید.
مشخص کن 
زیرا انتگرال بر حسب توابع ابتدایی بیان نمی شود، سپس تابع در نظر گرفته می شود
,
که نامیده می شود تابع لاپلاسیا انتگرال احتمال.
مقادیر این تابع در ارزش های مختلف ایکسمحاسبه و در جداول ویژه ارائه شده است.
در زیر نموداری از تابع لاپلاس آورده شده است.
تابع لاپلاس دارای ویژگی های زیر است:
2) F(- ایکس) = - F( ایکس);
تابع لاپلاس نیز نامیده می شود تابع خطاو erf را نشان می دهند ایکس.
هنوز در حال استفاده است نرمال شدهتابع لاپلاس که با رابطه زیر به تابع لاپلاس مربوط می شود:
در زیر نموداری از تابع لاپلاس نرمال شده است.
هنگام در نظر گرفتن توزیع نرمال، یک مورد خاص مهم متمایز می شود که به نام شناخته می شود قانون سه سیگما.
بیایید این احتمال را بنویسیم که انحراف یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال از انتظار ریاضی کمتر از مقدار معین D باشد:
اگر D = 3s را بپذیریم، با استفاده از جداول مقادیر تابع لاپلاس به دست می آوریم:
آن ها احتمال انحراف یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی خود به میزان بیش از سه برابر انحراف استاندارد عملاً صفر است.
این قانون نامیده می شود قانون سه سیگما.
در عمل در نظر گرفته می شود که اگر برای هر متغیر تصادفی قاعده سه سیگما رعایت شود، این متغیر تصادفی دارای توزیع نرمال است.
مثال.این قطار از 100 واگن تشکیل شده است. جرم هر واگن یک متغیر تصادفی است که بر اساس قانون عادی با انتظارات ریاضی توزیع شده است. آ= 65 تن و انحراف استاندارد s = 0.9 تن. لوکوموتیو می تواند قطاری با وزن حداکثر 6600 تن را حمل کند، در غیر این صورت لازم است یک لوکوموتیو دوم متصل شود. احتمال عدم نیاز به لوکوموتیو دوم را پیدا کنید.
اگر انحراف جرم قطار از مورد انتظار (100 × 65 = 6500) از 6600 - 6500 = 100 تن تجاوز نکند، لوکوموتیو دوم مورد نیاز نیست.
زیرا جرم هر واگن دارای توزیع نرمال است، سپس جرم کل قطار نیز به طور معمول توزیع می شود.
ما گرفتیم:
مثال.یک متغیر تصادفی توزیع شده معمولی X توسط پارامترهای آن داده می شود - a \u003d 2 -انتظارات ریاضی و s = 1 - انحراف معیار. لازم است چگالی احتمال را بنویسید و نمودار آن را بسازید، احتمال اینکه X مقداری از بازه (1؛ 3) بگیرد، احتمال انحراف X (مدول) از انتظار ریاضی را بیش از 2 پیدا کنید.
چگالی توزیع به شکل زیر است:
بیایید یک نمودار بسازیم:
بیایید احتمال ضربه زدن به یک متغیر تصادفی را در بازه (1؛ 3) پیدا کنیم.
احتمال انحراف متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی را با مقداری که بیشتر از 2 نباشد را پیدا کنید.
همین نتیجه را می توان با استفاده از تابع لاپلاس نرمال شده به دست آورد.
درس 8 قانون اعداد بزرگ(بخش 2)
طرح سخنرانی
قضیه حد مرکزی (فرمول بندی کلی و فرمول خاص برای متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان).
نابرابری چبیشف
قانون اعداد بزرگ به شکل چبیشف.
مفهوم فرکانس رویداد.
درک آماری احتمال.
قانون اعداد بزرگ به شکل برنولی.
مطالعه نظم‌های آماری این امکان را فراهم می‌آورد که در شرایط خاص، رفتار کل تعداد زیادی از متغیرهای تصادفی تقریباً ویژگی تصادفی خود را از دست داده و منظم می‌شود (به عبارت دیگر، انحرافات تصادفی از برخی رفتارهای متوسط یکدیگر را خنثی می‌کنند). . به ویژه، اگر تأثیر بر مجموع عبارت‌های فردی به طور یکنواخت کوچک باشد، قانون توزیع مجموع به نرمال نزدیک می‌شود. فرمول ریاضی این گزاره در گروهی از قضایا به نام آورده شده است قانون اعداد بزرگ.
قانون اعداد بزرگ – اصل کلی، که به موجب آن عمل ترکیبی عوامل تصادفی، تحت برخی شرایط بسیار کلی، به نتیجه ای تقریبا مستقل از شانس منجر می شود. اولین مثال از عملکرد این اصل می تواند همگرایی فراوانی وقوع یک رویداد تصادفی با احتمال آن با افزایش تعداد آزمایشات باشد (اغلب در عمل استفاده می شود، به عنوان مثال، هنگام استفاده از فراوانی وقوع هر کیفیت پاسخ دهنده در نمونه به عنوان تخمین نمونه از احتمال مربوطه).
ذات قانون اعداد بزرگاین است که با تعداد زیادی آزمایش مستقل، فراوانی وقوع یک رویداد نزدیک به احتمال آن است.
قضیه حد مرکزی (CLT) (در فرمول Lyapunov A.M. برای RVهای یکسان توزیع شده).اگر RVهای مستقل جفتی X 1 , X 2 , ..., X n , ... قانون توزیع یکسان با مشخصه های عددی محدود M = m و D = s 2 داشته باشند، پس برای n® ¥ قانون توزیع RV به طور نامحدود به قانون نرمال N(n×m, ) نزدیک می شود.
نتیجه.اگر در شرط قضیه CB 
، سپس به عنوان n® ¥ قانون توزیع SW Y به طور نامحدود به قانون عادی N(m, s/) نزدیک می شود.
قضیه دی مویور-لاپلاس.فرض کنید SV K تعداد «موفقیت‌ها» در n آزمایش طبق طرح برنولی باشد. سپس، برای n®¥ و مقدار ثابتی از احتمال "موفقیت" در یک آزمایش p، قانون توزیع RV K به طور نامحدود به قانون نرمال N(n×p، ) نزدیک می شود.
نتیجه.اگر در شرط قضیه، به جای SV K، SV K/n را در نظر بگیریم - فراوانی "موفقیت" در n آزمایش را طبق طرح برنولی، قانون توزیع آن برای n® ¥ و مقدار ثابت p. به قانون عادی N(p, ) به طور نامحدود نزدیک می شود.
اظهار نظر.فرض کنید SV K تعداد «موفقیت‌ها» در n آزمایش طبق طرح برنولی باشد. قانون توزیع چنین SW قانون دوجمله ای است. سپس، به عنوان n® ¥، قانون دوجمله ای دو توزیع حد دارد:
توزیع n پواسون(برای n® ¥ و l = n×p = const)؛
توزیع n گاوسی N(n×p، ) (برای n® ¥ و p = const).
مثال.احتمال "موفقیت" در یک آزمایش فقط 0.8 = p است. چند آزمایش باید انجام شود تا با احتمال حداقل 0.9 بتوانیم انتظار داشته باشیم که فراوانی مشاهده شده "موفقیت" در آزمایشات طبق طرح برنولی از احتمال p بیش از 0.01 e = انحراف نداشته باشد؟
راه حل.برای مقایسه، مشکل را از دو طریق حل می کنیم.
قانون توزیع نرمال احتمالات یک متغیر تصادفی پیوسته جایگاه ویژه ای در بین قوانین نظری مختلف دارد، زیرا در بسیاری از مطالعات عملی اصلی است. او بیشتر پدیده های تصادفی مرتبط با فرآیندهای تولید را توصیف می کند.
پدیده‌های تصادفی که از قانون توزیع نرمال تبعیت می‌کنند شامل خطاهای اندازه‌گیری پارامترهای تولید، توزیع خطاهای ساخت فن‌آوری، ارتفاع و وزن اکثر اجسام بیولوژیکی و غیره است.
طبیعی قانون توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را که با یک تابع دیفرانسیل توصیف می‌شود، نامیده می‌شود
الف - انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی.
انحراف معیار توزیع نرمال
نمودار تابع دیفرانسیل توزیع نرمال را منحنی نرمال (منحنی گاوس) می نامند (شکل 7).
برنج. 7 منحنی گاوسی
ویژگی های یک منحنی نرمال (منحنی گاوس):
1. منحنی متقارن در مورد خط مستقیم x = a است.
2. منحنی نرمال بالای محور X قرار دارد، یعنی برای تمام مقادیر X، تابع f(x) همیشه مثبت است.
3. محور ox مجانب افقی نمودار است، زیرا
4. برای x = a، تابع f(x) حداکثر برابر است
,
در نقاط A و B در و منحنی دارای نقاط عطفی است که مختصات آنها برابر است.
در عین حال، احتمال اینکه مقدار مطلق انحراف یک متغیر تصادفی توزیع شده نرمال از انتظارات ریاضی آن از انحراف استاندارد تجاوز نکند برابر با 0.6826 است.
در نقاط E و G، برای و مقدار تابع f(x) برابر است
و احتمال اینکه مقدار مطلق انحراف یک متغیر تصادفی توزیع شده نرمال از انتظار ریاضی آن از دو برابر انحراف استاندارد تجاوز نکند 9544/0 است.
با نزدیک شدن مجانبی به محور آبسیسا، منحنی گاوسی در نقاط C و D، در و، بسیار به محور آبسیسا نزدیک می شود. در این نقاط، مقدار تابع f(x) بسیار کوچک است
و احتمال اینکه مقدار مطلق انحراف یک متغیر تصادفی توزیع شده نرمال از انتظار ریاضی آن از سه برابر انحراف استاندارد تجاوز نکند 0.9973 است. این خاصیت منحنی گاوسی نامیده می شود قانون سه سیگما".
اگر یک متغیر تصادفی به طور معمول توزیع شود، آنگاه مقدار مطلق انحراف آن از انتظارات ریاضی از سه برابر انحراف استاندارد تجاوز نمی کند.
تغییر مقدار پارامتر a (انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی) شکل منحنی نرمال را تغییر نمی‌دهد، بلکه تنها منجر به تغییر آن در امتداد محور X می‌شود: اگر a افزایش یابد به راست و اگر a به چپ تغییر کند. کاهش می دهد.
وقتی a=0، منحنی نرمال حول محور y متقارن است.
تغییر مقدار پارامتر (انحراف استاندارد) شکل منحنی نرمال را تغییر می دهد: با افزایش منحنی کاهش منحنی نرمال، منحنی در امتداد محور X کشیده شده و در برابر آن فشار داده می شود. هنگام کاهش، منحنی های نرمال افزایش می یابد، منحنی در امتداد محور X کوچک می شود و بیشتر "اوج" می شود.
در همان زمان، برای هر مقدار از و، منطقه محدود شده توسط منحنی نرمال و محور X برابر با یک باقی می‌ماند (یعنی احتمال اینکه یک متغیر تصادفی که به طور نرمال توزیع شده است مقدار محدود شده با منحنی نرمال را بگیرد. محور X برابر با 1 است).
توزیع نرمال با پارامترهای دلخواه و به عنوان مثال با یک تابع دیفرانسیل توصیف شده است
تماس گرفت توزیع نرمال عمومی.
توزیع نرمال با پارامترها و نامیده می شود توزیع نرمال شده(شکل 8). در یک توزیع نرمال شده، تابع توزیع دیفرانسیل به صورت زیر است:
برنج. 8 منحنی نرمال شده
تابع انتگرال توزیع نرمال عمومی به شکل زیر است:
اجازه دهید یک متغیر تصادفی X طبق قانون عادی در بازه (c, d) توزیع شود. سپس احتمال اینکه X مقداری متعلق به بازه (c,d) بگیرد برابر است با
مثال.متغیر تصادفی X بر اساس قانون عادی توزیع می شود. انتظارات ریاضی و انحراف معیار این متغیر تصادفی a=30 و . احتمال اینکه X مقداری در بازه (10، 50) بگیرد را بیابید.
با شرط: . سپس
با استفاده از جداول لاپلاس آماده (نگاه کنید به پیوست 3)، ما.
در نظریه احتمال، تعداد نسبتاً زیادی از قوانین توزیع مختلف در نظر گرفته شده است. برای حل مسائل مربوط به ساخت نمودارهای کنترلی، تنها برخی از آنها مورد توجه هستند. مهمترین آنها این است قانون توزیع نرمال، که برای ساخت نمودارهای کنترلی مورد استفاده در کنترل کمی، یعنی وقتی با یک متغیر تصادفی پیوسته سروکار داریم. قانون توزیع نرمال جایگاه ویژه ای در میان سایر قوانین توزیع دارد. این با این واقعیت توضیح داده می شود که اولاً، اغلب در عمل با آن مواجه می شویم، و ثانیاً، این قانون محدود کننده است که سایر قوانین توزیع در اغلب اوقات با شرایط معمولی به آن نزدیک می شوند. در مورد حالت دوم، در تئوری احتمال ثابت شده است که مجموع تعداد کافی از متغیرهای تصادفی مستقل (یا ضعیف وابسته) مشمول قوانین توزیع (با توجه به برخی محدودیت‌های بسیار غیر صلب) تقریباً از قانون عادی تبعیت می‌کند. و هر چه تعداد متغیرهای تصادفی جمع‌بندی شده با دقت بیشتری انجام شود. اکثر متغیرهای تصادفی که در عمل با آنها مواجه می شوند، مانند خطاهای اندازه گیری، می توانند به صورت مجموع تعداد بسیار زیادی از عبارت های نسبتاً کوچک - خطاهای ابتدایی، که هر کدام از آنها ناشی از عملکرد یک علت جداگانه مستقل هستند، نشان داده شوند. از بقیه قانون نرمال زمانی رخ می دهد که متغیر تصادفی باشد ایکسنتیجه تعداد زیادی از عوامل مختلف است. هر عامل به طور جداگانه با مقدار ایکساندکی تأثیر می گذارد، و نمی توان مشخص کرد که کدام یک به میزان بیشتری نسبت به دیگران تأثیر می گذارد.
توزیع نرمال(توزیع لاپلاس-گاوس) توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته است ایکسبه طوری که چگالی توزیع احتمال در - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:
انقضا 
(3)
یعنی توزیع نرمال با دو پارامتر m و s مشخص می شود که m انتظار ریاضی است. s انحراف استاندارد توزیع نرمال است.
ارزش s 2 واریانس توزیع نرمال است.
انتظار ریاضی m موقعیت مرکز توزیع را مشخص می کند و انحراف استاندارد s (RMS) یک مشخصه پراکندگی است (شکل 3).
f(x) f(x)
 |
شکل 3 - توابع چگالی توزیع نرمال با:
الف) انتظارات مختلف ریاضی m; ب) RMS های مختلف.
بنابراین، ارزش μ با موقعیت منحنی توزیع روی محور x تعیین می شود. بعد، ابعاد، اندازه μ - همان بعد متغیر تصادفی است ایکس. با افزایش انتظارات ریاضی، هر دو تابع به موازات سمت راست حرکت می کنند. با کاهش واریانس s 2 چگالی بیشتر و بیشتر در اطراف m متمرکز می شود، در حالی که تابع توزیع بیشتر و بیشتر شیب دار می شود.
مقدار σ شکل منحنی توزیع را تعیین می کند. از آنجایی که مساحت زیر منحنی توزیع باید همیشه برابر با واحد باقی بماند، با افزایش σ، منحنی توزیع صاف‌تر می‌شود. روی انجیر 3.1 سه منحنی را برای σ های مختلف نشان می دهد: σ1 = 0.5; σ2 = 1.0; σ3 = 2.0.
شکل 3.1 - توابع چگالی توزیع نرمال با RMS های مختلف
تابع توزیع (تابع انتگرال) به شکل (شکل 4) است:
(4)
شکل 4 - توابع توزیع نرمال انتگرال (الف) و دیفرانسیل (ب).
تبدیل خطی یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال از اهمیت ویژه ای برخوردار است ایکس، پس از آن یک متغیر تصادفی به دست می آید زبا انتظارات ریاضی 0 و واریانس 1. چنین تبدیلی نرمال سازی نامیده می شود:
می توان آن را برای هر متغیر تصادفی انجام داد. عادی سازی اجازه می دهد تا همه گونه های ممکن توزیع نرمال به یک مورد کاهش یابد: m = 0، s = 1.
توزیع نرمال با m = 0، s = 1 نامیده می شود توزیع نرمال نرمال (استاندارد).
توزیع نرمال استاندارد(توزیع استاندارد لاپلاس-گاوس یا توزیع نرمال نرمال) توزیع احتمال یک متغیر تصادفی نرمال استاندارد شده است. ز، که چگالی توزیع آن برابر است با:
در - ¥<z< + ¥
مقادیر تابع Ф(z)با فرمول تعیین می شود:
(7)
مقادیر تابع Ф(z)و تراکم f(z)توزیع نرمال نرمال محاسبه شده و در جداول (جدول) خلاصه شده است. جدول فقط برای مقادیر مثبت جمع آوری شده است zاز همین رو:
F (–z) = 1–Ф (z) (8)
با استفاده از این جداول، می توان نه تنها مقادیر تابع و چگالی توزیع نرمال نرمال شده را برای یک معین تعیین کرد. z، بلکه مقادیر تابع توزیع نرمال عمومی را نیز شامل می شود، زیرا:
; (9)
. 10)
در بسیاری از مسائل مربوط به متغیرهای تصادفی با توزیع نرمال، لازم است احتمال برخورد با یک متغیر تصادفی تعیین شود. ایکس، با رعایت قانون عادی با پارامترهای m و s، به یک منطقه خاص. چنین سایتی می تواند، برای مثال، یک فیلد تحمل برای پارامتری از مقدار بالایی باشد Uبه پایین L.
احتمال افتادن به فاصله از ایکس 1 به ایکس 2 را می توان با فرمول تعیین کرد:
بنابراین، احتمال برخورد با یک متغیر تصادفی (مقدار پارامتر) ایکسدر زمینه تحمل با فرمول تعیین می شود
توزیع نرمال ( توزیع نرمال) - نقش مهمی در تجزیه و تحلیل داده ها دارد.
گاهی به جای اصطلاح طبیعی توزیعاز اصطلاح استفاده کنید توزیع گاوسیبه افتخار K. Gauss (اصطلاحات قدیمی‌تر که در حال حاضر عملاً استفاده نمی‌شوند: قانون گاوس، توزیع گاوس-لاپلاس).
توزیع نرمال تک متغیره
توزیع نرمال دارای چگالی است:
در این فرمول، پارامترهای ثابت، - میانگین, - استاندارد انحراف.
نمودارهای چگالی برای پارامترهای مختلف داده شده است.
تابع مشخصه توزیع نرمال به شکل زیر است:
متمایز کردن عملکرد مشخصه و تنظیم t = 0، لحظه های هر ترتیبی را به دست می آوریم.
منحنی چگالی توزیع نرمال نسبت به آن متقارن است و در این نقطه یک حداکثر منفرد برابر با
پارامتر انحراف استاندارد از 0 تا ∞ متغیر است.
میانگین از -∞ تا +∞ متغیر است.
با افزایش پارامتر، منحنی در امتداد محور گسترش می یابد ایکس، تمایل به 0 در اطراف مقدار متوسط کوچک می شود (پارامتر مشخص کننده گسترش، پراکندگی است).
وقتی تغییر می کند منحنی در امتداد محور جابه جا می شود ایکس(نمودارها را ببینید).
با تغییر پارامترها و مدل های مختلفی از متغیرهای تصادفی که در تلفن بوجود می آیند به دست می آوریم.
یک کاربرد معمولی از قانون عادی در تجزیه و تحلیل، به عنوان مثال، داده های مخابراتی، مدل سازی سیگنال، توصیف نویز، تداخل، خطاها، ترافیک است.
نمودارهای توزیع نرمال تک متغیره
شکل 1. نمودار چگالی توزیع نرمال: میانگین 0، انحراف معیار 1 است
شکل 2. نمودار چگالی توزیع نرمال استاندارد با نواحی حاوی 68% و 95% از کل مشاهدات
شکل 3. نمودارهای چگالی توزیع های نرمال با میانگین صفر و انحراف های مختلف (=0.5، =1، =2)
شکل 4 نمودارهای دو توزیع نرمال N(-2،2) و N(3،2).
توجه داشته باشید که مرکز توزیع هنگام تغییر پارامتر تغییر کرده است.
اظهار نظر
در یک برنامه آمارنام N(3،2) به عنوان یک قانون عادی یا گاوسی با پارامترهای: میانگین = 3 و انحراف استاندارد = 2 درک می شود.
در ادبیات، گاهی اوقات پارامتر دوم به عنوان تفسیر می شود پراکندگی، یعنی مربعانحراف معیار.
محاسبه نقاط درصد توزیع عادی با یک ماشین حساب احتمال آمار
با استفاده از یک ماشین حساب احتمال آمارمی توان بدون توسل به جداول دست و پا گیر مورد استفاده در کتاب های قدیمی، ویژگی های مختلف توزیع ها را محاسبه کرد.
مرحله 1.راه اندازی می کنیم تحلیل و بررسی / ماشین حساب احتمال / توزیع ها.
در قسمت توزیع، را انتخاب کنید طبیعی.
شکل 5. راه اندازی ماشین حساب توزیع احتمال
گام 2پارامترهای مورد علاقه ما را مشخص کنید.
به عنوان مثال، می خواهیم کمیک 95 درصدی یک توزیع نرمال را با میانگین 0 و انحراف معیار 1 محاسبه کنیم.
این پارامترها را در فیلدهای ماشین حساب مشخص کنید (به فیلدهای میانگین ماشین حساب و انحراف استاندارد مراجعه کنید).
بیایید پارامتر p=0.95 را معرفی کنیم.
چک باکس "Reverse f.r.". به صورت خودکار نمایش داده خواهد شد. کادر "گراف" را علامت بزنید.
روی دکمه "محاسبه" در گوشه سمت راست بالا کلیک کنید.
شکل 6. تنظیم پارامتر
مرحله 3در فیلد Z، نتیجه را می گیریم: مقدار کمیت 1.64 است (به پنجره بعدی مراجعه کنید).
شکل 7. مشاهده نتیجه ماشین حساب
شکل 8. نمودار توابع چگالی و توزیع. مستقیم x=1.644485
شکل 9. نمودارهای تابع توزیع نرمال. خطوط نقطه چین عمودی - x=-1.5، x=-1، x=-0.5، x=0
شکل 10. نمودارهای تابع توزیع نرمال. خطوط نقطه چین عمودی - x=0.5، x=1، x=1.5، x=2
تخمین پارامترهای توزیع نرمال
مقادیر توزیع نرمال را می توان با استفاده از ماشین حساب تعاملی.
توزیع نرمال دو متغیره
توزیع نرمال تک متغیره به طور طبیعی به تعمیم می یابد دو بعدیتوزیع نرمال.
به عنوان مثال، اگر یک سیگنال را فقط در یک نقطه در نظر بگیرید، یک توزیع یک بعدی برای شما کافی است، در دو نقطه - یک توزیع دو بعدی، در سه نقطه - یک توزیع سه بعدی، و غیره.
فرمول کلی توزیع نرمال دو متغیره به صورت زیر است:
همبستگی زوجی بین کجاست x1و x2;
x1به ترتیب؛
میانگین و انحراف معیار یک متغیر x2به ترتیب.
اگر متغیرهای تصادفی X 1و X 2مستقل هستند، سپس همبستگی به ترتیب 0 = 0 است، جمله میانی در توان ناپدید می شود، و داریم:
f(x 1، x 2) = f(x 1)*f(x2)
برای کمیت های مستقل، چگالی دو بعدی به حاصل ضرب دو چگالی یک بعدی تجزیه می شود.
نمودارهای چگالی نرمال دو متغیره
شکل 11. نمودار چگالی توزیع نرمال دو متغیره (بردار میانگین صفر، ماتریس کوواریانس واحد)
شکل 12. برش نمودار چگالی توزیع نرمال دو بعدی توسط صفحه z=0.05
شکل 13. نمودار چگالی توزیع نرمال دو متغیره (بردار انتظار صفر، ماتریس کوواریانس با 1 در قطر اصلی و 0.5 در قطر جانبی)
شکل 14. مقطع نمودار چگالی نرمال دوبعدی (بردار انتظار صفر، ماتریس کوواریانس با 1 در مورب اصلی و 0.5 در قطر جانبی) با صفحه 0.05 z=
شکل 15. نمودار چگالی توزیع نرمال دو متغیره (بردار انتظار صفر، ماتریس کوواریانس با 1 در قطر اصلی و 0.5- در قطر جانبی)
شکل 16. مقطع نمودار چگالی توزیع نرمال دوبعدی (بردار انتظار صفر، ماتریس کوواریانس با 1 در قطر اصلی و 0.5- در مورب جانبی) با صفحه z=0.05
شکل 17. مقطع نمودارهای چگالی توزیع نرمال دوبعدی با صفحه z=0.05
برای درک بهتر توزیع نرمال دو متغیره، مسئله زیر را امتحان کنید.
یک وظیفه. به نمودار توزیع نرمال دو متغیره نگاه کنید. در مورد آن فکر کنید، آیا می توان آن را به عنوان چرخش نمودار یک توزیع نرمال یک بعدی نشان داد؟ چه زمانی باید تکنیک تغییر شکل را اعمال کنید؟
در عمل، اکثر متغیرهای تصادفی که تحت تأثیر تعداد زیادی از عوامل تصادفی قرار می گیرند، از قانون نرمال توزیع احتمال تبعیت می کنند. بنابراین در کاربردهای مختلف نظریه احتمال، این قانون از اهمیت خاصی برخوردار است.
یک متغیر تصادفی $X$ از قانون توزیع احتمال نرمال پیروی می کند اگر چگالی توزیع احتمال آن به شکل زیر باشد.
$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$
به صورت شماتیک، نمودار تابع $f\left(x\right)$ در شکل نشان داده شده است و نام "منحنی گاوس" را دارد. در سمت راست این تصویر اسکناس 10 مارک آلمان وجود دارد که حتی قبل از معرفی یورو نیز مورد استفاده قرار می گرفت. اگر دقت کنید، روی این اسکناس می توانید منحنی گاوس و کاشف آن، بزرگترین ریاضیدان کارل فردریش گاوس را ببینید.
بیایید به تابع چگالی $f\left(x\right)$ برگردیم و در مورد پارامترهای توزیع $a,\ (\sigma )^2$ توضیح دهیم. پارامتر $a$ مرکز پراکندگی مقادیر متغیر تصادفی را مشخص می کند، یعنی معنای انتظار ریاضی را دارد. هنگامی که پارامتر $a$ تغییر می کند و پارامتر $(\sigma )^2$ بدون تغییر باقی می ماند، می توانیم تغییر نمودار تابع $f\left(x\right)$ را در امتداد محور آبسیسا مشاهده کنیم، در حالی که چگالی خود نمودار شکل خود را تغییر نمی دهد.
پارامتر $(\sigma )^2$ واریانس است و شکل منحنی چگالی $f\left(x\right)$ را مشخص می کند. هنگام تغییر پارامتر $(\sigma )^2$ با پارامتر $a$ بدون تغییر، می‌توانیم مشاهده کنیم که چگونه نمودار چگالی شکل خود را تغییر می‌دهد، کوچک می‌شود یا کشیده می‌شود، در حالی که در امتداد آبسیسا جابجا نمی‌شود.
احتمال سقوط یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در یک بازه معین
همانطور که مشخص است، احتمال اینکه یک متغیر تصادفی $X$ در بازه $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ بیفتد را می توان $P\left(\alpha) محاسبه کرد.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:
$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$
در اینجا تابع $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ است تابع لاپلاس. مقادیر این تابع از . ویژگی های زیر تابع $\Phi \left(x\right)$ قابل توجه است.
1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$، یعنی تابع $\Phi \left(x\right)$ فرد است.
2 . $\Phi \left(x\right)$ یک تابع یکنواخت در حال افزایش است.
3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) \ Phi \ چپ(x\راست)\ )=-0.5$.
برای محاسبه مقادیر تابع $\Phi \left(x\right)$، می‌توانید از تابع ویزارد $f_x$ بسته اکسل نیز استفاده کنید: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\راست )-0.5$. برای مثال، بیایید مقادیر تابع $\Phi \left(x\right)$ را برای $x=2$ محاسبه کنیم.
احتمال اینکه متغیر تصادفی توزیع شده معمولی $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ در یک بازه متقارن با توجه به انتظار $a$ قرار گیرد را می توان با فرمول محاسبه کرد.
$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$
قانون سه سیگما. عملاً مطمئن است که یک متغیر تصادفی توزیع شده معمولی $X$ در بازه $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ قرار می گیرد.
مثال 1 . متغیر تصادفی $X$ تابع قانون توزیع احتمال نرمال با پارامترهای $a=2،\ \sigma =3$ است. احتمال سقوط $X$ را در بازه $\left(0,5;1\right)$ و احتمال اینکه نابرابری $\left|X-a\right|< 0,2$.
با استفاده از فرمول
$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$
پیدا کردن $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ بیش از (3))\راست)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\راست)-\Phi \ چپ (0.33\راست) = 0.191-0.129 = 0.062 دلار.
$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$
مثال 2 . فرض کنید در طول سال قیمت سهام یک شرکت خاص یک متغیر تصادفی است که طبق قانون عادی با انتظار ریاضی معادل 50 واحد پولی متعارف و انحراف معیار برابر با 10 توزیع شده است. احتمال اینکه در یک انتخاب تصادفی چقدر است. در روز دوره مورد بحث، قیمت سهم به شرح زیر خواهد بود:
الف) بیش از 70 واحد پولی متعارف؟
ب) زیر 50 هر سهم؟
ج) بین 45 تا 58 واحد پولی متعارف در هر سهم؟
اجازه دهید متغیر تصادفی $X$ قیمت سهام یک شرکت باشد. طبق شرط $X$ مشمول توزیع نرمال با پارامترهای $a=50$ - انتظار ریاضی، $\sigma =10$ - انحراف استاندارد است. احتمال $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:
$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$
$$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ بیش از (10))\راست)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$
$$b)\ P\ چپ (X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$
$$c)\ P\ چپ (45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$