به 4 خواص ریشه مربع نسخه آماده سازی. خواص ریشه ها، فرمول ها، برهان ها، مثال ها. الان کاملا به تنهایی

\(\sqrt(a)=b\) اگر \(b^2=a\)، جایی که \(a≥0,b≥0\)

مثال ها:

\(\sqrt(49)=7\) زیرا \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\)، زیرا \(0.2^2=0.04\)

چگونه جذر یک عدد را استخراج کنیم؟

برای استخراج جذر یک عدد، باید این سوال را از خود بپرسید: کدام عدد مربع عبارت زیر ریشه را نشان می دهد؟

مثلا. استخراج ریشه: a)\(\sqrt(2500)\); ب) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); ج) \(\sqrt(0.001)\); د) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

الف) کدام عدد مربع \(2500\) را به دست می دهد؟

\(\sqrt(2500)=50\)

ب) کدام عدد مربع \(\frac(4)(9)\) را می دهد؟

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

ج) کدام عدد مربع \(0001\) را به دست می دهد؟

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

د) \(\sqrt(1\frac(13)(36)) چه عدد مربعی می دهد؟ برای پاسخ دادن به سؤال، باید به سؤال اشتباه ترجمه کنید.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

اظهار نظر: اگرچه \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) نیز به سوالات داده شده پاسخ دهید ، اما آنها را در نظر نمی گیرند، زیرا ریشه دوم همیشه مثبت است.

خاصیت اصلی ریشه

همانطور که می دانید در ریاضیات هر عملی معکوس دارد. جمع تفریق دارد، ضرب تقسیم دارد. نقطه مقابل مربع گرفتن جذر است. بنابراین، این اقدامات یکدیگر را خنثی می کنند:

\((\sqrt(a))^2=a\)

این ویژگی اصلی ریشه است که بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد (از جمله در OGE)

مثال . (وظیفه از OGE). مقدار عبارت \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\) را بیابید.

راه حل :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

مثال . (وظیفه از OGE). مقدار عبارت \((\sqrt(85)-1)^2\) را پیدا کنید

راه حل:

پاسخ: \(86-2\sqrt(85)\)

البته هنگام کار با ریشه مربع، باید از دیگران استفاده کنید.

مثال . (وظیفه از OGE). مقدار عبارت \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\) را بیابید.
راه حل:

پاسخ: \(220\)

4 قانون که همیشه فراموش می شوند

ریشه همیشه استخراج نمی شود

مثال: \(\sqrt(2)\)،\(\sqrt(53)\)،\(\sqrt(200)\)،\(\sqrt(0,1)\) و غیره. - استخراج ریشه از یک عدد همیشه امکان پذیر نیست و این طبیعی است!

ریشه یک عدد، همچنین یک عدد

نیازی به درمان \(\sqrt(2)\)، \(\sqrt(53)\) به روش خاصی نیست. اینها اعداد هستند، اما اعداد صحیح نیستند، بله، اما همه چیز در دنیای ما با اعداد صحیح اندازه گیری نمی شود.

ریشه فقط از اعداد غیر منفی گرفته می شود

بنابراین، در کتاب های درسی چنین ورودی هایی را نخواهید دید \(\sqrt(-23)\)،\(\sqrt(-1)\) و غیره.

دوباره به بشقاب نگاه کردم... و بیا بریم!

بیایید با یک مورد ساده شروع کنیم:

یک دقیقه صبر کن. این یعنی ما می توانیم آن را به این صورت بنویسیم:

فهمیدم؟ این مورد بعدی برای شما است:

ریشه اعداد به دست آمده دقیقاً استخراج نشده است؟ نگران نباشید، در اینجا چند نمونه آورده شده است:

اما اگر دو ضریب وجود نداشته باشد، بلکه بیشتر باشد چه؟ همینطور! فرمول ضرب ریشه با هر تعدادی از عوامل کار می کند:

حالا کاملا مستقل:

پاسخ ها:آفرین! موافقم، همه چیز بسیار آسان است، نکته اصلی این است که جدول ضرب را بدانید!

تقسیم ریشه

ما ضرب ریشه ها را فهمیدیم، حالا بیایید به ویژگی تقسیم برویم.

به یاد بیاورید که فرمول نمای کلیبه نظر می رسد که:

و این به این معنی است ریشه ضریب برابر با ضریب ریشه است.

خوب، بیایید به مثال ها نگاه کنیم:

این همه علم است. و این یک مثال است:

همه چیز مانند مثال اول صاف نیست، اما همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد.

چه می شود اگر عبارت به این شکل باشد:

فقط باید فرمول را برعکس اعمال کنید:

و این یک مثال است:

شما همچنین می توانید این عبارت را ببینید:

همه چیز یکسان است، فقط در اینجا باید نحوه ترجمه کسرها را به خاطر بسپارید (اگر یادتان نیست، به موضوع نگاه کنید و برگردید!). به یاد آورد؟ حالا ما تصمیم می گیریم!

من مطمئن هستم که شما با همه چیز، همه چیز کنار آمدید، حالا بیایید سعی کنیم در یک درجه ریشه کنیم.

توانمندی

چه اتفاقی می افتد اگر جذر جذر آن مربع باشد؟ ساده است، معنی جذر یک عدد را به خاطر بسپارید - این عددی است که ریشه دوم آن برابر است.

بنابراین، اگر عددی را که جذر آن برابر است مربع کنیم، چه چیزی به دست می آید؟

خوب البته، !

بیایید به مثال ها نگاه کنیم:

همه چیز ساده است، درست است؟ و اگر ریشه در درجه دیگری باشد؟ خوبه!

به همان منطق پایبند باشید و خواص و اقدامات ممکن را با قدرت ها به خاطر بسپارید.

تئوری را در مورد موضوع "" بخوانید و همه چیز برای شما بسیار روشن خواهد شد.

به عنوان مثال، در اینجا یک عبارت است:

در این مثال، درجه زوج است، اما اگر فرد باشد چه؟ دوباره، ویژگی های قدرت را اعمال کنید و همه چیز را فاکتور بگیرید:

با این، به نظر همه چیز روشن است، اما چگونه ریشه را از یک عدد در یک درجه استخراج کنیم؟ به عنوان مثال، در اینجا این است:

خیلی ساده، درست است؟ اگر مدرک بالاتر از دو باشد چه؟ ما با استفاده از ویژگی های درجه از همان منطق پیروی می کنیم:

خوب، همه چیز روشن است؟ سپس مثال های خود را حل کنید:

و در اینجا پاسخ ها وجود دارد:

مقدمه زیر علامت ریشه

کاری که ما یاد نگرفته ایم با ریشه ها انجام دهیم! فقط تمرین وارد کردن عدد زیر علامت ریشه باقی می ماند!

این کاملا آسان است!

فرض کنید یک عدد داریم

با آن چه کنیم؟ خوب، البته، سه گانه را زیر ریشه پنهان کنید، در حالی که به یاد داشته باشید که ثلاث، جذر آن است!

چرا ما به اون احتیاج داریم؟ بله، فقط برای گسترش توانایی‌هایمان هنگام حل مثال‌ها:

این خاصیت ریشه را چگونه دوست دارید؟ زندگی را بسیار آسان تر می کند؟ برای من، درست است! فقط باید به خاطر داشته باشیم که فقط می توانیم اعداد مثبت را زیر علامت جذر وارد کنیم.

این مثال را خودتان امتحان کنید:
توانستی مدیریت کنی؟ بیایید ببینیم چه چیزی باید دریافت کنید:

آفرین! موفق شدید زیر علامت ریشه یک عدد وارد کنید! بیایید به چیزی به همان اندازه مهم برویم - نحوه مقایسه اعداد حاوی یک جذر را در نظر بگیرید!

مقایسه ریشه

چرا باید مقایسه اعداد حاوی جذر را یاد بگیریم؟

بسیار ساده. اغلب، در عبارات بزرگ و طولانی که در امتحان با آن مواجه می شویم، یک پاسخ غیرمنطقی می گیریم (یادتان می آید چیست؟ امروز قبلاً در این مورد صحبت کردیم!)

باید پاسخ های دریافت شده را مثلاً روی خط مختصات قرار دهیم تا مشخص کنیم کدام بازه برای حل معادله مناسب است. و اینجاست که مشکل ایجاد می شود: هیچ ماشین حسابی در امتحان وجود ندارد و بدون آن چگونه می توان تصور کرد که کدام عدد بزرگتر و کدام کوچکتر است؟ خودشه!

به عنوان مثال، تعیین کنید کدام بزرگتر است: یا؟

شما به درستی نمی گویید. خوب، بیایید از خاصیت تجزیه شده اضافه کردن یک عدد در زیر علامت ریشه استفاده کنیم؟

سپس به جلو:

خب معلومه که هر چی عدد زیر علامت ریشه بزرگتر باشه خود ریشه هم بزرگتره!

آن ها اگر یعنی .

از این به طور قاطع نتیجه می گیریم که و هیچ کس ما را در غیر این صورت متقاعد نمی کند!

استخراج ریشه از اعداد زیاد

قبل از آن فاکتوری را زیر علامت ریشه معرفی کردیم، اما چگونه آن را خارج کنیم؟ شما فقط باید آن را فاکتور بگیرید و آنچه استخراج می شود را استخراج کنید!

می شد راه دیگری رفت و به عوامل دیگر تجزیه شد:

بد نیست، درست است؟ هر یک از این رویکردها صحیح است، تصمیم بگیرید که چگونه احساس راحتی می کنید.

فاکتورسازی هنگام حل کارهای غیراستاندارد مانند این بسیار مفید است:

ما نمی ترسیم، ما عمل می کنیم! ما هر عامل را در زیر ریشه به عوامل جداگانه تجزیه می کنیم:

و حالا خودتان آن را امتحان کنید (بدون ماشین حساب! در امتحان نخواهد بود):

آیا این پایان است؟ ما در نیمه راه نمی ایستیم!

این همه چیز است، آنقدرها هم ترسناک نیست، درست است؟

اتفاق افتاد؟ آفرین، حق با شماست!

حالا این مثال را امتحان کنید:

و یک مثال یک مهره سخت برای شکستن است، بنابراین شما نمی توانید بلافاصله بفهمید که چگونه به آن نزدیک شوید. اما ما، البته، در دندان هستیم.

خب، بیایید فاکتورسازی را شروع کنیم، درست است؟ فوراً توجه می کنیم که می توانید یک عدد را بر (علائم تقسیم پذیری) تقسیم کنید:

و اکنون، خودتان آن را امتحان کنید (دوباره، بدون ماشین حساب!):

خوب کار کرد؟ آفرین، حق با شماست!

جمع بندی

1. جذر (ریشه دوم حسابی) یک عدد غیر منفی عددی غیرمنفی است که مربع آن برابر است.
   .
2. اگر فقط جذر چیزی را بگیریم، همیشه یک نتیجه غیر منفی می گیریم.
3. خواص ریشه حسابی:
4. هنگام مقایسه ریشه های مربع، باید به خاطر داشت که هر چه تعداد زیر علامت ریشه بزرگتر باشد، خود ریشه بزرگتر است.

جذر را چگونه دوست دارید؟ همه چیز روشن است؟

سعی کردیم بدون آب هر آنچه را که در آزمون در مورد جذر باید بدانید برای شما توضیح دهیم.

نوبت شماست برای ما بنویسید که آیا این موضوع برای شما سخت است یا خیر.

آیا چیز جدیدی یاد گرفتید یا همه چیز از قبل خیلی واضح بود.

در نظرات بنویسید و در امتحانات موفق باشید!

عنوان: مستقل و اوراق تستدر جبر و هندسه برای پایه هشتم.

دفترچه راهنما شامل کار مستقل و کنترلی در مورد تمام موضوعات مهم درس جبر و هندسه پایه هشتم می باشد.

این آثار از 6 نوع سه سطح دشواری تشکیل شده است. مواد آموزشی برای سازماندهی کار مستقل متمایز دانش آموزان طراحی شده است.

محتوا
جبر 4
ج-1 بیان منطقی. کاهش کسری 4
ج-2 جمع و تفریق کسرها 5
K-1 کسرهای گویا. جمع و تفریق کسرها 7
ج-3 ضرب و تقسیم کسرها. افزایش کسری به توان 10
ج-4 تبدیل عبارات منطقی 12
ج-5 تناسب معکوس و نمودار آن 14
K-2 کسر گویا 16
ج-6 جذر حسابی 18
C-7 معادله x2 = a. تابع y = y[x 20
ج-8 جذر حاصلضرب، کسر، توان 22
K-3 جذر حسابی و خواص آن 24
ج-9 درج و ضرب در جذر 27
C-10 تبدیل عبارات حاوی ریشه مربع 28
K-4 کاربرد خواص جذر حسابی 30
ج-11 معادلات درجه دوم ناقص 32
C-12 Quadratic Root Formula 33
С-13 حل مسئله با استفاده از معادلات درجه دوم. قضیه ویتا 34
K-5 معادلات درجه دوم 36
C-14 معادلات گویا کسری 38
ج-15 کاربرد معادلات گویا کسری. حل مسئله 39
معادلات گویا کسری K-6 40
ج-16 خصوصیات نابرابری های عددی 43
K-7 نابرابری های عددی و خواص آنها 44
С-17 نابرابری های خطی با یک متغیر 47
С-18 سیستم های نابرابری های خطی 48
K-8 نابرابری های خطی و سیستم های نابرابری با یک متغیر 50
C-19 درجه ج شاخص منفی 52
درجه K-9 با توان عدد صحیح 54
آزمون سالانه K-10 56
هندسه (طبق نظر پوگورلوف) 58
ج-1 خصوصیات و ویژگیهای متوازی الاضلاع.» 58
مستطیل C-2. لوزی. مربع 60
متوازی الاضلاع K-1 62
C-3 قضیه تالس. خط وسط مثلث 63
سی-4 ذوزنقه. خط وسط ذوزنقه 66
K-2 Trapeze. خطوط وسط مثلث و ذوزنقه .... 68
C-5 قضیه فیثاغورث 70
قضیه С-6، مکالمه با قضیه فیثاغورث. عمود و مایل 71
ج-7 نابرابری مثلث 73
قضیه فیثاغورث K-3 74
ج-8 حل مثلث قائم الزاویه 76
ج-9 خواص توابع مثلثاتی 78
K-4 مثلث قائم الزاویه (آزمون خلاصه) 80
С-10 مختصات وسط بخش. فاصله بین نقاط معادله دایره 82
ج-11 معادله خط مستقیم 84
K-5 مختصات دکارتی 86
С-12 حرکت و ویژگی های آن. تقارن مرکزی و محوری. نوبت 88
ج-13. انتقال موازی 90
ج-14 مفهوم بردار. برابری برداری 92
C-15 عملیات با بردارها به صورت مختصات. بردارهای خطی 94
C-16 عملیات با بردارها به شکل هندسی 95
محصول C-17 نقطه 98
بردارهای K-6 99
آزمون سالانه K-7 102
هندسه (طبق گفته آتاناسیان) 104
ج-1 ویژگی ها و ویژگی های متوازی الاضلاع 104
مستطیل C-2. لوزی. میدان 106
K-1 Quadrangles 108
C-3 مساحت مستطیل مربع 109
C-4 مساحت متوازی الاضلاع، لوزی، مثلث 111
C-5 منطقه ذوزنقه 113
ج-6 قضیه فیثاغورث 114
مربع های K-2. قضیه فیثاغورث 116
ج-7 تعریف مثلث های مشابه. ویژگی نیمساز زاویه یک مثلث 118
С-8 علائم تشابه مثلث 120
K-3 تشابه مثلث ها 122
ج-9 استفاده از تشابه در حل مسئله 124
ج-10 روابط بین اضلاع و زوایا راست گوشه 126
K-4 کاربرد شباهت در حل مسئله. روابط بین اضلاع و زوایای مثلث قائم الزاویه 128
C-11 مماس دایره 130
ج-12 زوایای مرکزی و محاطی 132
ج-13 قضیه حاصل ضرب قطعات وترهای متقاطع. نقاط مثلث قابل توجه 134
ج-14 دایره های منقوش و منقوش 136
K-5 Circle 137
ج-15 بردار جمع و تفریق 139
ج-16 ضرب برداری در عدد 141
C-17 خط میانی ذوزنقه 142
وکتورهای K-6. استفاده از بردارها در حل مسئله 144
K-7 آزمون سالانه 146
پاسخ ها 148
ادبیات 157

پیشگفتار .
1. یک کتاب نسبتا کوچک شامل یک مجموعه کامل است کار تایید(شامل تست های پایانی) برای کل درس جبر و هندسه پایه هشتم، پس خرید یک مجموعه کتاب برای هر کلاس کافی است.
امتحانات برای درس طراحی شده است، کار مستقل- 20-35 دقیقه، بسته به موضوع. برای سهولت استفاده از کتاب، عنوان هر اثر مستقل و کنترلی نشان دهنده موضوع آن است.

2. این مجموعه به شما امکان می دهد تا یک کنترل متمایز از دانش را انجام دهید، زیرا وظایف به سه سطح پیچیدگی A، B و C تقسیم می شوند. سطح A مطابق با الزامات برنامه اجباری است، B - سطح متوسط ​​پیچیدگی، سطح C. وظایف برای دانش آموزانی در نظر گرفته شده است که علاقه بیشتری به ریاضیات نشان می دهند و همچنین برای استفاده در کلاس های درس، مدارس، سالن های ورزشی و دبیرستان ها با مطالعه عمیقریاضیات برای هر سطح، 2 گزینه معادل در کنار هم داده می شود (همانطور که معمولاً روی تخته نوشته می شود)، بنابراین یک کتاب برای هر میز برای درس کافی است.

دانلود رایگان کتاب الکترونیکی با فرمت مناسب، تماشا و خواندن:
دانلود کتاب کار مستقل و تستی جبر و هندسه پایه هشتم. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com، دانلود سریع و رایگان.

• کار مستقل و کنترلی روی هندسه برای کلاس 11. Goloborodko V.V.، Ershova A.P.، 2004
• کار مستقل و کنترلی در جبر و هندسه برای پایه نهم. Ershova A.P.، Goloborodko V.V.، 2004
• کار مستقل و کنترلی در جبر و هندسه، کلاس 8، Ershova A.P.، Goloborodko V.V.، Ershova A.S.، 2013

در این مقاله به تحلیل اصلی می پردازیم خواص ریشه. بیایید با ویژگی های جذر حسابی شروع کنیم، فرمول های آنها را بیان کنیم و اثبات کنیم. پس از آن به خواص ریشه حسابی درجه n می پردازیم.

پیمایش صفحه.

خواص ریشه مربع

در این قسمت به موارد اصلی زیر می پردازیم ویژگی های جذر حسابی:

در هر یک از تساوی های نوشته شده، می توان قسمت چپ و راست را با هم عوض کرد، به عنوان مثال، تساوی را می توان به صورت بازنویسی کرد. . در این شکل «معکوس»، خواص جذر حسابی زمانی اعمال می شود که ساده سازی عباراتبه همان اندازه که در شکل "مستقیم" است.

اثبات دو خاصیت اول بر اساس تعریف جذر حسابی و بر . و برای توجیه آخرین خاصیت جذر حسابی باید به خاطر بسپارید.

پس بیایید شروع کنیم اثبات خاصیت جذر حسابی حاصل ضرب دو عدد غیر منفی: . برای این کار، با توجه به تعریف جذر حسابی، کافی است نشان دهیم که عددی غیرمنفی است که مربع آن برابر با a b است. بیایید آن را انجام دهیم. مقدار عبارت به عنوان حاصل ضرب اعداد غیر منفی غیر منفی است. خاصیت درجه حاصلضرب دو عدد به ما امکان می دهد تساوی را بنویسیم ، و از آنجایی که با تعریف جذر حسابی و سپس .

به همین ترتیب ثابت می شود که جذر حسابی حاصل ضرب k عوامل غیرمنفی a 1 , a 2 , …, a k برابر است با حاصلضرب جذر حسابی این عوامل. واقعا، . از این برابری بر می آید که .

در اینجا چند نمونه آورده شده است: و .

حالا بیایید ثابت کنیم خاصیت جذر حسابی یک ضریب: . خاصیت ضریب توان طبیعی به ما اجازه می دهد تا برابری را بنویسیم ، آ ، در حالی که یک عدد غیر منفی وجود دارد. این اثبات است.

به عنوان مثال، و .

زمان جدا کردن است خاصیت جذر حسابی مربع یک عدد، به صورت برابری به صورت . برای اثبات آن، دو حالت را در نظر بگیرید: برای a≥0 و برای a<0 .

واضح است که برای a≥0 برابری درست است. همچنین به راحتی می توان آن را برای یک<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 و (−a) 2 =a 2 . بدین ترتیب، ، که قرار بود ثابت شود.

در اینجا چند نمونه آورده شده است: و .

خاصیت جذری که به تازگی ثابت شد به ما اجازه می دهد تا نتیجه زیر را توجیه کنیم، که در آن a هر عدد واقعی و m هر عدد است. در واقع، ویژگی توان به ما اجازه می دهد تا درجه a 2 m را با عبارت (a m) 2 جایگزین کنیم، سپس .

به عنوان مثال، و .

خواص ریشه n ام

اجازه دهید ابتدا موارد اصلی را فهرست کنیم خواص ریشه های n ام:

تمام برابری های نوشته شده در صورتی معتبر می مانند که سمت چپ و راست در آنها تعویض شوند. در این شکل، آنها همچنین اغلب در هنگام ساده سازی و تبدیل عبارات استفاده می شوند.

اثبات تمام ویژگی‌های صوتی ریشه بر اساس تعریف ریشه حسابی درجه n، بر اساس ویژگی‌های درجه و بر اساس تعریف ماژول عدد است. بیایید آنها را به ترتیب اولویت ثابت کنیم.

بیایید با اثبات شروع کنیم خواص ریشه n یک محصول . برای غیر منفی a و b، مقدار عبارت نیز غیر منفی است، همانطور که حاصل ضرب اعداد غیر منفی است. ویژگی حاصل از قدرت های طبیعی به ما اجازه می دهد تا برابری را بنویسیم . با تعریف ریشه حسابی درجه n و بنابراین، . این ویژگی در نظر گرفته شده ریشه را ثابت می کند.

این ویژگی به طور مشابه برای حاصل ضرب عوامل k ثابت می شود: برای اعداد غیر منفی a 1 , a 2 , …, a n و .

در اینجا نمونه هایی از استفاده از ویژگی ریشه درجه n محصول را مشاهده می کنید: و .

بیایید ثابت کنیم ویژگی ریشه ضریب. برای a≥0 و b>0، شرط برقرار است و .

بیایید نمونه هایی را نشان دهیم: و .

پیش می رویم. بیایید ثابت کنیم خاصیت ریشه n ام یک عدد به توان n. یعنی ثابت می کنیم برای هر م واقعی و طبیعی . برای a≥0 ما و داریم که برابری و برابری را ثابت می کند به طور مشخص. برای یک<0 имеем и (آخرین انتقال به دلیل ویژگی توان با توان زوج معتبر است)، که برابری را ثابت می کند، و درست است با توجه به این واقعیت است که زمانی که در مورد ریشه یک درجه فرد صحبت می کنیم، ما گرفتیم برای هر عدد غیر منفی c .

در اینجا نمونه هایی از استفاده از ویژگی ریشه تجزیه شده است: and .

از ریشه به اثبات خاصیت ریشه می پردازیم. بیایید قسمت راست و چپ را با هم عوض کنیم، یعنی اعتبار تساوی را ثابت کنیم که به معنای اعتبار برابری اصلی خواهد بود. برای یک عدد غیر منفی a، جذر شکل یک عدد غیر منفی است. با به خاطر سپردن خاصیت افزایش قدرت به توان و با استفاده از تعریف ریشه، می توانیم زنجیره ای از برابری های شکل را بنویسیم. . این ویژگی در نظر گرفته شده یک ریشه از یک ریشه را ثابت می کند.

خاصیت ریشه از ریشه از ریشه به همین ترتیب ثابت می شود و غیره. واقعا، .

مثلا، و .

بگذارید موارد زیر را ثابت کنیم ویژگی کاهش توان ریشه. برای انجام این کار، با توجه به تعریف ریشه، کافی است نشان دهیم که یک عدد غیر منفی وجود دارد که وقتی به توان n m افزایش یابد، برابر با m است. بیایید آن را انجام دهیم. واضح است که اگر عدد a غیر منفی باشد، ریشه n ام عدد a عددی غیرمنفی است. که در آن ، که اثبات را کامل می کند.

در اینجا مثالی از استفاده از ویژگی root parsed آورده شده است: .

اجازه دهید ویژگی زیر را ثابت کنیم، خاصیت ریشه درجه شکل . واضح است که برای a≥0 درجه یک عدد غیر منفی است. علاوه بر این، توان n آن برابر با m است، در واقع، . این ویژگی در نظر گرفته شده مدرک را ثابت می کند.

مثلا، .

بیایید ادامه دهیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر عدد مثبت a و b که شرط a است ، یعنی a≥b. و این با شرط الف منافات دارد

مثلاً نابرابری صحیح را می‌دهیم .

در نهایت باید آخرین ویژگی ریشه n را ثابت کرد. اجازه دهید ابتدا قسمت اول این ویژگی را ثابت کنیم، یعنی ثابت کنیم که برای m>n و 0 . سپس به دلیل خواص درجه با توان طبیعی، نابرابری ، یعنی a n ≤ a m . و نابرابری حاصل برای m>n و 0

به همین ترتیب، با تناقض، ثابت می شود که برای m>n و a>1 شرط برقرار است.

اجازه دهید مثال هایی از کاربرد خاصیت اثبات شده ریشه در اعداد مشخص ارائه دهیم. به عنوان مثال، نابرابری ها و درست هستند.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی 8 سلولی. موسسات آموزشی
• کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی پایه های 10-11 موسسات آموزشی عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (دستورالعملی برای متقاضیان آموزشکده فنی).