کدام یک از فرمول های زیر فرمول هرون است؟ مساحت یک مثلث. نمونه هایی از حل مسئله

فرمول هرون فرمول هرون

مساحت را بیان می کند سمثلثی که در طول سه ضلع آن قرار دارد آ, بو باو نیمه محیطی آر = (آ + ب + با)/2: . به نام هرون اسکندریه نامگذاری شده است.

فرمول هرونا

فرمول هرونا، مساحت را بیان می کند اسمثلثی که در طول سه ضلع آن قرار دارد آ, بو جو نیمه محیطی پ = (آ + ب + ج)/2
به نام هرون اسکندریه نامگذاری شده است.

فرهنگ لغت دایره المعارفی . 2009 .

ببینید "فرمول هرون" در فرهنگ های دیگر چیست:

مساحت S یک مثلث را در طول سه ضلع a، b و c و نیم محیط P = (a + b + c) / 2 به نام هرون اسکندریه بیان می کند. فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

فرمولی که مساحت یک مثلث را از طریق سه ضلع آن بیان می کند. یعنی اگر a,b,C طول اضلاع یک مثلث و S مساحت آن باشد، G.f. به شکل: که p نشان دهنده نیم محیط مثلث G است. f... ...

فرمولی که مساحت یک مثلث را از طریق اضلاع آن a, b, c بیان می کند: جایی که به نام هرون (حدود قرن اول پس از میلاد)، A. B. Ivanov ... دایره المعارف ریاضی

مساحت 5 مثلث را در طول سه ضلع a، b و c و نیم محیط p = (a + b + c)/2: s = مربع را بیان می کند. ریشه p (p a) (p b) (p c). به نام هرون اسکندریه ... علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

- ... ویکیپدیا

به شما امکان می دهد مساحت یک مثلث (S) را بر اساس اضلاع a، b، c محاسبه کنید: که p نیم محیط مثلث است: . اثبات جایی که زاویه مثلثی است ... ویکی پدیا

مساحت یک چهار ضلعی را که به صورت دایره ای محاط شده است به عنوان تابعی از طول اضلاع آن بیان می کند. اگر چهار ضلعی محاطی دارای طول ضلع و نیم محیط باشد، مساحت آن ... ویکی پدیا

این مقاله فاقد پیوند به منابع اطلاعاتی است. اطلاعات باید قابل تایید باشد، در غیر این صورت ممکن است مورد سوال و حذف قرار گیرد. می توانید این مقاله را طوری ویرایش کنید که پیوندهایی به منابع معتبر داشته باشد. این علامت... ... ویکی پدیا

- (هرونوس الکساندرینوس) (سالهای تولد و مرگ نامعلوم، احتمالاً قرن اول)، دانشمند یونان باستان که در اسکندریه کار می کرد. نویسنده آثاری که در آنها به طور سیستماتیک دستاوردهای اصلی جهان باستان در زمینه مکانیک کاربردی را ترسیم کرده است، V... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

اسکندریه (هرونوس الکساندرینوس) (سالهای تولد و مرگ نامعلوم، احتمالاً قرن اول)، دانشمند یونان باستان که در اسکندریه کار می کرد. نویسنده آثاری که در آنها به طور سیستماتیک دستاوردهای اصلی جهان باستان را در زمینه... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

توانایی تفکر ریاضی -یکی از عالی ترین توانایی های انسان

برنارد شاو نمایشنامه نویس ایرلندی

فرمول هرون

در ریاضیات مدرسه، فرمول هرون بسیار محبوب است، استفاده از آن به شما امکان می دهد مساحت یک مثلث را بر اساس سه ضلع آن محاسبه کنید. در عین حال، تعداد کمی از دانش آموزان می دانند که فرمول مشابهی برای محاسبه مساحت چهار ضلعی های محاط شده در یک دایره وجود دارد. این فرمول را فرمول براهماگوپتا می نامند. همچنین فرمول محاسبه مساحت یک مثلث از سه ارتفاع آن کم شناخته شده است که اشتقاق آن از فرمول هرون حاصل می شود.

محاسبه مساحت مثلث ها

اجازه دهید در یک مثلثطرفین، و . سپس قضیه زیر (فرمول هرون) صادق است.

قضیه 1.

جایی که .

اثباتهنگام استخراج فرمول (1)، از هندسه های شناخته شده استفاده می کنیم فرمول های تریک

, (2)

. (3)

از فرمول های (2) و (3) و . از آن به بعد

. (4)

اگر اشاره کنیم سپس از برابری (4) فرمول (1) به دست می آید. قضیه ثابت شده است.

اکنون به مسئله محاسبه مساحت یک مثلث می پردازیمبا توجه به اینکه، که سه ارتفاع آن مشخص است، و .

قضیه 2.مساحت با استفاده از فرمول محاسبه می شود

. (5)

اثباتاز آن زمان، و، پس از آن

در این صورت از فرمول (1) بدست می آوریم

یا

از این فرمول (5) به دست می آید. قضیه ثابت شده است.

محاسبه مساحت چهار ضلعی ها

بیایید تعمیم فرمول هرون را در مورد محاسبه مساحت چهارضلعی ها در نظر بگیریم. با این حال، بلافاصله باید توجه داشت که چنین تعمیم فقط برای چهار ضلعی که در یک دایره حک شده اند امکان پذیر است.

اجازه دهید چهارضلعیدارای اضلاع , و .

اگر چهار ضلعی است, در یک دایره حک شده است, پس قضیه 3 (فرمول براهماگوپتا) درست است.

قضیه 3.مربع با فرمول محاسبه می شود

جایی که .

اثباتبیایید یک مورب در یک چهار ضلعی رسم کنیم و دو مثلث و . اگر قضیه کسینوس را برای این مثلث ها اعمال کنیم که معادل فرمول (3) است، می توانیم بنویسیم.

از آنجایی که یک چهار ضلعی در یک دایره محاط است، مجموع زوایای مقابل آن برابر است، یعنی. .

از آنجایی که یا سپس از (7) بدست می آوریم

یا

. (8)

از آن به بعد. با این حال و بنابراین

از آنجایی که از فرمول های (8) و (9) به دست می آید

اگر قرار دهید سپس از اینجا فرمول (6) را بدست می آوریم. قضیه ثابت شده است.

اگر چهارضلعی حلقوینیز شرح داده شده است, سپس فرمول (6) به طور قابل توجهی ساده شده است.

قضیه 4.مساحت یک چهار ضلعی که در یک دایره محاط شده و دور دایره دیگر محصور شده است با فرمول محاسبه می شود.

. (10)

اثباتاز آنجایی که یک دایره در یک چهار ضلعی حک شده است، تساوی ها برقرار است:

در این حالت ، ، ، ، و فرمول (6) به راحتی به فرمول (10) تبدیل می شود. قضیه ثابت شده است.

بیایید به بررسی نمونه هایی از مسائل هندسه ادامه دهیم, که حل آن بر اساس به کارگیری قضایای اثبات شده انجام می شود.

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1. منطقه را پیدا کنید، اگر .

راه حل.از آنجا که در اینجا، پس با توجه به قضیه 1 به دست می آوریم

پاسخ: .

توجه داشته باشید، اگر اضلاع یک مثلثارزش های غیرمنطقی را به خود اختصاص دهد, سپس مساحت آن را محاسبه می کندبا استفاده از فرمول (1)، معمولا ، بی اثر است. در این مورد، توصیه می شود به طور مستقیم فرمول های (2) و (3) را اعمال کنید.

مثال 2.ناحیه if، و را پیدا کنید.

راه حل.با در نظر گرفتن فرمول های (2) و (3) به دست می آوریم

از آن پس یا .

پاسخ: .

مثال 3.ناحیه if، و را پیدا کنید.

راه حل.زیرا،

سپس از قضیه 2 نتیجه می شود که .

پاسخ: .

مثال 4.مثلث اضلاع دارد و . به ترتیب شعاع های دایره های محصور و محاطی را پیدا کنید و کجا هستند.

راه حل.ابتدا بیایید مساحت را محاسبه کنیم. از آنجایی که پس از فرمول (1) بدست می آوریم.

مشخص است که . از همین رو .

مثال 5.مساحت چهار ضلعی محاط شده در دایره را پیدا کنید اگر،،، و.

راه حل.از شرایط مثال چنین بر می آید که . سپس، طبق قضیه 3، به دست می آوریم.

مثال 6.مساحت چهار ضلعی محاط شده در دایره ای را که اضلاع آن عبارتند از , , و .

راه حل.از آنجا که و ، برابری در چهارضلعی برقرار است. با این حال، مشخص است که وجود چنین برابری شرط لازم و کافی برای این واقعیت است که یک دایره در یک چهارضلعی معین حک شود. در این راستا برای محاسبه مساحت می توان از فرمول (10) استفاده کرد که از آن نتیجه می شود.

برای آمادگی مستقل و باکیفیت برای کنکور در زمینه حل مسائل هندسه مدرسه می توانید به طور موثر از کتاب های درسی استفاده کنید., در فهرست ادبیات توصیه شده ذکر شده است.

1. Gotman E.G. مسائل در پلان سنجی و روش های حل آنها. – م.: آموزش و پرورش، 1375. – 240 ص.

2. Kulagin E.D. ، فدین س.ن. هندسه مثلث در مسائل - M.: CD "Librocom" / URSS، 2009. – 208 ص.

3. مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان کالج / ویرایش. M.I. اسکانوی. - م.: صلح و آموزش، 2013. – 608 ص.

4. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: بخش های اضافی برنامه آموزشی مدرسه. - M.: Lenand / URSS، 2014. – 216 ص.

هنوز سوالی دارید؟

برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

با دانستن می توان یافت پایهو ارتفاع. تمام سادگی نمودار در این واقعیت نهفته است که ارتفاع پایه a را به دو قسمت a 1 و a 2 و خود مثلث را به دو قسمت تقسیم می کند. راست گوشه، مساحتی که از آن بدست می آید و . سپس مساحت کل مثلث حاصل جمع دو ناحیه مشخص شده خواهد بود و اگر یک ثانیه از ارتفاع را از براکت خارج کنیم، در مجموع پایه را برمی‌گردانیم:

یک روش دشوارتر برای محاسبات، فرمول هرون است که برای آن باید هر سه طرف را بدانید. برای این فرمول ابتدا باید محاسبه کنید نیم محیط مثلث : خود فرمول هرون نشان می دهد ریشه دوماز نیم محیط، به نوبه خود در اختلاف آن در هر طرف ضرب می شود.

روش زیر، همچنین مربوط به هر مثلث، به شما امکان می دهد مساحت مثلث را از طریق دو ضلع و گوشهبین آنها. اثبات این امر از فرمول ارتفاع می آید - ما ارتفاع را به هر یک از اضلاع شناخته شده و از طریق می کشیم سینوس زاویه αما آن را دریافت می کنیم h=a⋅sinα. برای محاسبه مساحت، نصف ارتفاع را در ضلع دوم ضرب کنید.

راه دیگر این است که مساحت یک مثلث را با دانستن 2 زاویه و ضلع بین آنها پیدا کنید. اثبات این فرمول بسیار ساده است و از نمودار به وضوح قابل مشاهده است.

ارتفاع را از راس زاویه سوم به ضلع شناخته شده پایین می آوریم و بر این اساس قسمت های حاصل را x می نامیم. از جانب مثلث های قائم الزاویهواضح است که بخش اول x برابر با حاصلضرب است

اطلاعات اولیه

ابتدا اطلاعات و نمادهایی را که بعدا به آن نیاز خواهیم داشت معرفی می کنیم.

ما یک مثلث $ABC$ با زوایای تند $A$ و $C$ را در نظر خواهیم گرفت. اجازه دهید ارتفاع $BH$ را در آن رسم کنیم. اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $(شکل 1).

تصویر 1.

اجازه دهید بدون اثبات، قضیه مساحت مثلث را معرفی کنیم.

قضیه 1

مساحت مثلث نصف حاصلضرب طول ضلع آن و ارتفاع کشیده شده به آن تعریف می شود.

فرمول هرون

اجازه دهید قضیه ای را در مورد یافتن مساحت مثلث از سه ضلع شناخته شده معرفی و اثبات کنیم. این فرمول نامیده می شود فرمول های هرون

قضیه 2

سه ضلع مثلث $a,\ b\ و\ c$ به ما داده می شود. سپس مساحت این مثلث به صورت زیر بیان می شود

که $p$ نیم محیط مثلث داده شده است.

اثبات

ما از نماد معرفی شده در شکل 1 استفاده خواهیم کرد.

مثلث $ABH$ را در نظر بگیرید. با توجه به قضیه فیثاغورث، می گیریم

بدیهی است که $HC=AC-AH=b-x$

مثلث $\CBH$ را در نظر بگیرید. با توجه به قضیه فیثاغورث، می گیریم

\ \ \

اجازه دهید مقادیر مجذور ارتفاع را از دو نسبت بدست آمده برابر کنیم

\ \ \

از تساوی اول ارتفاع را پیدا می کنیم

\ \ \ \ \ \

از آنجایی که نیم محیط برابر با $p=\frac(a+b+c)(2)$ است، یعنی $a+b+c=2p$، پس

\ \ \ \

با قضیه 1 دریافت می کنیم

قضیه ثابت شده است.

نمونه هایی از مسائل با استفاده از فرمول هرون

مثال 1

مساحت یک مثلث را در صورتی پیدا کنید که اضلاع آن 3$ سانتی متر، 6 دلار سانتی متر و 7 دلار سانتی متر باشد.

راه حل.

اجازه دهید ابتدا نیم محیط این مثلث را پیدا کنیم

با قضیه 2، به دست می آوریم

پاسخ:$4\sqrt(5)$.