Berechnen Sie online das Volumen eines Rotationskörpers. III Berechnung der Volumina von Rotationskörpern. Bestes Kinderbett in Mathe. Qualitativ. Nichts Überflüssiges

Außerdem Ermitteln der Fläche einer ebenen Figur mithilfe eines bestimmten Integrals Die wichtigste Anwendung des Themas ist Berechnen des Volumens eines Rotationskörpers. Der Stoff ist einfach, aber der Leser muss vorbereitet sein: Er muss in der Lage sein, ihn zu lösen unbestimmte Integrale mittlere Komplexität und wenden Sie die Newton-Leibniz-Formel an bestimmtes Integral . Wie bei der Suche nach der Fläche benötigen Sie sichere Zeichenkenntnisse – das ist fast das Wichtigste (da die Integrale selbst oft einfach sind). Mit Hilfe von methodischem Material beherrschen Sie kompetent und schnell Diagrammtechniken . Aber tatsächlich habe ich im Unterricht schon mehrmals über die Bedeutung von Zeichnungen gesprochen. .

Generell gibt es in der Integralrechnung viele interessante Anwendungen; mit einem bestimmten Integral kann man die Fläche einer Figur, das Volumen eines Rotationskörpers, die Länge eines Bogens, die Oberfläche von berechnen ein Körper und vieles mehr. Es wird also Spaß machen, bitte bleiben Sie optimistisch!

Stellen Sie sich einige vor flache Figur auf der Koordinatenebene. Eingeführt? ... Ich frage mich, wer was präsentiert hat... =))) Wir haben seinen Bereich bereits gefunden. Darüber hinaus kann diese Figur aber auch gedreht werden, und zwar auf zwei Arten:

– um die x-Achse; – um die Ordinatenachse.

In diesem Artikel werden beide Fälle untersucht. Besonders interessant ist die zweite Rotationsmethode, die die meisten Schwierigkeiten bereitet, aber tatsächlich ist die Lösung fast die gleiche wie bei der häufigeren Rotation um die x-Achse. Als Bonus werde ich darauf zurückkommen Problem, die Fläche einer Figur zu finden , und ich erkläre Ihnen, wie Sie den Bereich auf die zweite Art finden – entlang der Achse. Es ist nicht so sehr ein Bonus, da das Material gut zum Thema passt.

Beginnen wir mit der beliebtesten Rotationsart.

Berechnung des Volumens eines Körpers, der durch Drehen einer flachen Figur um eine Achse entsteht

Beispiel 1

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, das Sie erhalten, indem Sie eine durch Linien begrenzte Figur um eine Achse drehen.

Lösung: Wie beim Problem, das Gebiet zu finden, Die Lösung beginnt mit der Zeichnung einer flachen Figur. Das heißt, auf der Ebene ist es notwendig, eine durch die Linien begrenzte Figur zu konstruieren und nicht zu vergessen, dass die Gleichung die Achse angibt. Wie Sie eine Zeichnung effizienter und schneller fertigstellen, erfahren Sie auf den Seiten Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen Und Bestimmtes Integral. So berechnen Sie die Fläche einer Figur . Dies ist eine chinesische Erinnerung, und an dieser Stelle werde ich nicht weiter darauf eingehen.

Die Zeichnung hier ist ganz einfach:

Die gewünschte flache Figur ist blau schattiert; sie ist diejenige, die sich um die Achse dreht. Durch die Rotation entsteht eine leicht eiförmige fliegende Untertasse, die symmetrisch zur Achse ist. Tatsächlich hat der Körper einen mathematischen Namen, aber ich bin zu faul, im Nachschlagewerk nachzuschauen, also machen wir weiter.

Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers?

Das Volumen eines Rotationskörpers lässt sich nach folgender Formel berechnen:

In der Formel muss die Zahl vor dem Integral stehen. So geschah es – alles, was sich im Leben dreht, ist mit dieser Konstante verbunden.

Ich denke, aus der fertigen Zeichnung lässt sich leicht erraten, wie man die Grenzen der Integration „a“ und „be“ festlegt.

Funktion... was ist diese Funktion? Schauen wir uns die Zeichnung an. Die ebene Figur wird oben durch den Graphen der Parabel begrenzt. Dies ist die Funktion, die in der Formel impliziert ist.

Bei praktischen Aufgaben kann sich manchmal eine flache Figur unterhalb der Achse befinden. Dadurch ändert sich nichts – die Funktion in der Formel wird quadriert: , also Das Volumen eines Rotationskörpers ist immer nicht negativ, was sehr logisch ist.

Berechnen wir das Volumen eines Rotationskörpers mit dieser Formel:

Wie ich bereits bemerkt habe, erweist sich das Integral fast immer als einfach, Hauptsache man muss vorsichtig sein.

Antwort:

In Ihrer Antwort müssen Sie die Dimension angeben – Kubikeinheiten. Das heißt, in unserem Rotationskörper gibt es ungefähr 3,35 „Würfel“. Warum kubisch Einheiten? Weil die universellste Formulierung. Es könnten Kubikzentimeter sein, es könnten Kubikmeter sein, es könnten Kubikkilometer sein usw., so viele grüne Männchen kann Ihre Fantasie in eine fliegende Untertasse stecken.

Beispiel 2

Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Achse einer durch Linien begrenzten Figur entsteht , ,

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Betrachten wir zwei komplexere Probleme, die auch in der Praxis häufig anzutreffen sind.

Beispiel 3

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie sich um die Abszissenachse der durch die Linien , und begrenzten Figur drehen

Lösung: Stellen wir in der Zeichnung eine flache Figur dar, die durch die Linien , , , begrenzt wird, ohne zu vergessen, dass die Gleichung die Achse definiert:

Die gewünschte Figur ist blau schattiert. Wenn er sich um seine Achse dreht, entpuppt er sich als surrealer Donut mit vier Ecken.

Berechnen wir das Volumen des Rotationskörpers als Unterschied im Körpervolumen.

Schauen wir uns zunächst die rot eingekreiste Figur an. Wenn es sich um eine Achse dreht, entsteht ein Kegelstumpf. Bezeichnen wir das Volumen dieses Kegelstumpfes mit .

Betrachten Sie die eingekreiste Figur Grün. Wenn Sie diese Figur um die Achse drehen, erhalten Sie ebenfalls einen Kegelstumpf, nur etwas kleiner. Bezeichnen wir sein Volumen mit .

Und natürlich entspricht der Volumenunterschied genau dem Volumen unseres „Donuts“.

Um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln, verwenden wir die Standardformel:

1) Die rot eingekreiste Figur wird nach oben durch eine gerade Linie begrenzt, daher:

2) Die grün eingekreiste Figur wird nach oben durch eine gerade Linie begrenzt, daher:

3) Volumen des gewünschten Rotationskörpers:

Antwort:

Es ist merkwürdig, dass in diesem Fall die Lösung anhand der Schulformel zur Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes überprüft werden kann.

Die Entscheidung selbst wird oft kürzer geschrieben, etwa so:

Lassen Sie uns nun eine kleine Pause einlegen und Ihnen etwas über geometrische Illusionen erzählen.

Menschen haben oft Illusionen, die mit Bänden verbunden sind, was Perelman (nicht diesem) in dem Buch aufgefallen ist Unterhaltsame Geometrie. Schauen Sie sich die flache Figur im gelösten Problem an – sie scheint flächenmäßig klein zu sein und das Volumen des Rotationskörpers beträgt etwas mehr als 50 Kubikeinheiten, was zu groß erscheint. Übrigens trinkt der durchschnittliche Mensch im Laufe seines Lebens das Äquivalent eines Zimmers mit 18 Quadratmetern Flüssigkeit, was im Gegenteil als zu geringe Menge erscheint.

Im Allgemeinen war das Bildungssystem in der UdSSR wirklich das beste. Das gleiche Buch von Perelman, das er bereits 1950 geschrieben hat, entwickelt, wie der Humorist sagte, das Denken sehr gut und lehrt einen, nach originellen, nicht standardmäßigen Lösungen für Probleme zu suchen. Ich habe kürzlich einige der Kapitel mit großem Interesse noch einmal gelesen, ich empfehle es, es ist sogar für Humanisten zugänglich. Nein, Sie müssen nicht schmunzeln, dass ich Ihnen Freizeit geboten habe, Gelehrsamkeit und ein breiter Horizont in der Kommunikation sind eine tolle Sache.

Nach einem lyrischen Exkurs bietet es sich gerade noch an, eine kreative Aufgabe zu lösen:

Beispiel 4

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Achse einer flachen Figur gebildet wird, die durch die Linien , , begrenzt wird, wobei .

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Bitte beachten Sie, dass alle Dinge in der Band passieren, das heißt, dass praktisch vorgefertigte Integrationsgrenzen vorgegeben sind. Versuchen Sie auch, Diagramme trigonometrischer Funktionen korrekt zu zeichnen. Wenn das Argument durch zwei geteilt wird, werden die Diagramme zweimal entlang der Achse gestreckt. Versuchen Sie, mindestens 3-4 Punkte zu finden nach trigonometrischen Tabellen und die Zeichnung genauer vervollständigen. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Die Aufgabe kann übrigens rational und nicht sehr rational gelöst werden.

Mit der Formel lässt sich das Volumen eines Rotationskörpers berechnen:

In der Formel muss die Zahl vor dem Integral stehen. So geschah es – alles, was sich im Leben dreht, ist mit dieser Konstante verbunden.

Ich denke, aus der fertigen Zeichnung lässt sich leicht erraten, wie man die Grenzen der Integration „a“ und „be“ festlegt.

Funktion... was ist diese Funktion? Schauen wir uns die Zeichnung an. Die flache Figur wird oben durch den Parabelgraphen begrenzt. Dies ist die Funktion, die in der Formel impliziert ist.

Bei praktischen Aufgaben kann sich manchmal eine flache Figur unterhalb der Achse befinden. Daran ändert sich nichts – der Integrand in der Formel wird quadriert: also Das Integral ist immer nicht negativ , was sehr logisch ist.

Berechnen wir das Volumen eines Rotationskörpers mit dieser Formel:

Wie ich bereits bemerkt habe, erweist sich das Integral fast immer als einfach, Hauptsache man muss vorsichtig sein.

Antwort:

Beispiel 2

Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Achse einer durch Linien begrenzten Figur entsteht.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Betrachten wir zwei komplexere Probleme, die auch in der Praxis häufig anzutreffen sind.

Beispiel 3

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch Drehen um die Abszissenachse der durch die Linien ,, und begrenzten Figur erhalten wird

Lösung: Stellen wir in der Zeichnung eine flache Figur dar, die durch die Linien ,,, begrenzt wird, ohne zu vergessen, dass die Gleichung die Achse definiert:

Die gewünschte Figur ist blau schattiert. Wenn er sich um seine Achse dreht, entpuppt er sich als surrealer Donut mit vier Ecken.

Berechnen wir das Volumen des Rotationskörpers als Unterschied im Körpervolumen.

Schauen wir uns zunächst die rot eingekreiste Figur an. Wenn es sich um eine Achse dreht, entsteht ein Kegelstumpf. Bezeichnen wir das Volumen dieses Kegelstumpfes mit.

Betrachten Sie die grün eingekreiste Figur. Wenn Sie diese Figur um die Achse drehen, erhalten Sie ebenfalls einen Kegelstumpf, nur etwas kleiner. Bezeichnen wir sein Volumen mit.

Und natürlich entspricht der Volumenunterschied genau dem Volumen unseres „Donuts“.

Um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln, verwenden wir die Standardformel:

1) Die rot eingekreiste Figur wird nach oben durch eine gerade Linie begrenzt, daher:

2) Die grün eingekreiste Figur wird nach oben durch eine gerade Linie begrenzt, daher:

3) Volumen des gewünschten Rotationskörpers:

Antwort:

Es ist merkwürdig, dass in diesem Fall die Lösung anhand der Schulformel zur Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes überprüft werden kann.

Die Entscheidung selbst wird oft kürzer geschrieben, etwa so:

Lassen Sie uns nun eine kleine Pause einlegen und Ihnen etwas über geometrische Illusionen erzählen.

Menschen haben oft Illusionen im Zusammenhang mit Bänden, was Perelman (ein anderer) in dem Buch bemerkte Unterhaltsame Geometrie. Schauen Sie sich die flache Figur im gelösten Problem an – sie scheint flächenmäßig klein zu sein und das Volumen des Rotationskörpers beträgt etwas mehr als 50 Kubikeinheiten, was zu groß erscheint. Übrigens trinkt der durchschnittliche Mensch im Laufe seines Lebens das Äquivalent eines Zimmers mit 18 Quadratmetern Flüssigkeit, was im Gegenteil als zu geringe Menge erscheint.

Im Allgemeinen war das Bildungssystem in der UdSSR wirklich das beste. Das gleiche Buch von Perelman, das bereits 1950 veröffentlicht wurde, entwickelt, wie der Humorist sagte, das Denken sehr gut und lehrt Sie, nach originellen, nicht standardmäßigen Lösungen für Probleme zu suchen. Ich habe kürzlich einige der Kapitel mit großem Interesse noch einmal gelesen, ich empfehle es, es ist sogar für Humanisten zugänglich. Nein, Sie müssen nicht schmunzeln, dass ich Ihnen Freizeit geboten habe, Gelehrsamkeit und ein breiter Horizont in der Kommunikation sind eine tolle Sache.

Nach einem lyrischen Exkurs bietet es sich gerade noch an, eine kreative Aufgabe zu lösen:

Beispiel 4

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Achse einer durch Linien begrenzten flachen Figur gebildet wird.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Bitte beachten Sie, dass alle Fälle im Band auftreten, d. h. es sind tatsächlich vorgefertigte Integrationsgrenzen vorgegeben. Zeichnen Sie die Diagramme trigonometrischer Funktionen richtig. Ich möchte Sie an das Unterrichtsmaterial erinnern geometrische Transformationen von Graphen : Wenn das Argument durch zwei geteilt wird: , werden die Diagramme zweimal entlang der Achse gestreckt. Es empfiehlt sich, mindestens 3-4 Punkte zu finden nach trigonometrischen Tabellen um die Zeichnung genauer zu vervollständigen. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Die Aufgabe kann übrigens rational und nicht sehr rational gelöst werden.

Lassen Sie die Linie begrenzt sein. Eine ebene Figur wird in einem Polarkoordinatensystem definiert.

Beispiel: Berechnen Sie den Umfang: x 2 +y 2 =R 2

Berechnen Sie die Länge des 4. Teils des Kreises im ersten Quadranten (x≥0, y≥0):

Wenn die Gleichung der Kurve in Parameterform angegeben wird:
, die Funktionen x(t), y(t) sind zusammen mit ihren Ableitungen auf dem Intervall [α,β] definiert und stetig. Ableitung, dann Einsetzen in die Formel:
und angesichts dessen

wir bekommen
Fügen Sie einen Multiplikator hinzu
unter dem Zeichen der Wurzel und wir bekommen es endlich

Hinweis: Bei einer gegebenen ebenen Kurve können Sie auch eine Funktion mit einem Parameter im Raum betrachten und dann die Funktion z=z(t) und die Formel hinzufügen

Beispiel: Berechnen Sie die Länge des Astroiden, die durch die Gleichung gegeben ist: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0

Berechnen Sie die Länge des 4. Teils:

nach der Formel

Bogenlänge einer ebenen Kurve, angegeben in einem Polarkoordinatensystem:

Die Kurvengleichung sei im Polarkoordinatensystem angegeben:
- eine stetige Funktion, zusammen mit ihrer Ableitung auf dem Intervall [α,β].

Formeln für den Übergang von Polarkoordinaten:

Betrachten Sie als parametrisch:

ϕ - Parameter gemäß f-le

Beispiel: Berechnen Sie die Länge der Kurve:
>0

Konzept: Berechnen wir den halben Umfang:

Das Volumen eines Körpers, berechnet aus der Querschnittsfläche des Körpers.

Es sei ein Körper gegeben, der durch eine geschlossene Oberfläche begrenzt sei, und die Fläche eines beliebigen Abschnitts dieses Körpers sei durch eine Ebene senkrecht zur Ox-Achse bekannt. Dieser Bereich hängt von der Position der Schnittebene ab.

Der gesamte Körper sei zwischen zwei Ebenen eingeschlossen, die senkrecht zur Ox-Achse stehen und diese in den Punkten x=a, x=b (a) schneiden

Um das Volumen eines solchen Körpers zu bestimmen, teilen wir ihn in Schichten auf, indem wir Schnittebenen senkrecht zur Ox-Achse verwenden und diese punktuell schneiden. In jedem Teilintervall
. Lass uns aussuchen

und für jeden Wert i=1,….,n werden wir einen zylindrischen Körper konstruieren, dessen Erzeugende parallel zu Ox verläuft, und der Leitfaden ist die Kontur des Abschnitts des Körpers durch die Ebene x=C i, das Volumen von so ein Elementarzylinder mit Grundfläche S=C i und Höhe ∆x i . V i =S(C i)∆x i . Das Volumen aller dieser Elementarzylinder beträgt
. Der Grenzwert dieser Summe, sofern er existiert und bei max. ∆х  0 endlich ist, wird als Volumen des gegebenen Körpers bezeichnet.

. Da V n die Integralsumme für eine in einem Intervall stetige Funktion S(x) ist, existiert die angegebene Grenze (die Existenzbedingungen) und wird durch def ausgedrückt. Integral.

- Volumen des Körpers, berechnet aus der Querschnittsfläche.

Volumen des Revolutionskörpers:

Der Körper soll durch Drehung um die Ox-Achse eines krummlinigen Trapezes gebildet werden, das durch den Graphen der Funktion y=f(x), die Ox-Achse und die Geraden x=a, x=b begrenzt wird.

Sei die Funktion y=f(x) definiert und auf dem Segment stetig und darauf nicht negativ, dann ist der Schnitt dieses Körpers durch eine Ebene senkrecht zu Ox ein Kreis mit dem Radius R=y(x)=f(x ). Fläche des Kreises S(x)=Пy 2 (x)=П 2. Ersetzen der Formel
Wir erhalten eine Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers um die Ox-Achse:

Wenn sich ein krummliniges Trapez, begrenzt durch den Graphen einer stetigen Funktion, um die Oy-Achse dreht, dann ist das Volumen eines solchen Rotationskörpers:

Das gleiche Volumen kann mit der Formel berechnet werden:
. Wenn die Gerade durch parametrische Gleichungen gegeben ist:

Durch Ersetzen der Variablen erhalten wir:

Wenn die Gerade durch parametrische Gleichungen gegeben ist:

y (α)= c , y (β)= d . Durch die Ersetzung y = y (t) erhalten wir:

Berechnen Sie die Rotationskörper um die Parabelachse. .

2) Berechnen Sie V eines Rotationskörpers um die OX-Achse eines gekrümmten Trapezes, das durch eine gerade Linie y=0, einen Bogen, begrenzt wird (mit Mittelpunkt bei Punkt(1;0) und Radius=1), mit .

Oberfläche eines Rotationskörpers

Lassen Sie eine gegebene Oberfläche durch Drehen der Kurve y =f(x) um die Ox-Achse entstehen. Es ist notwendig, S dieser Oberfläche bei zu bestimmen.

Die Funktion y =f(x) sei definiert und stetig und habe an allen Punkten des Segments [a;b] einen unnatürlichen und nicht negativen Wert.

Zeichnen wir Akkorde der Länge, die wir jeweils bezeichnen (n-Akkorde)

nach dem Satz von Lagrange:

Die Oberfläche der gesamten beschriebenen gestrichelten Linie ist gleich

Definition: Die Grenze dieser Summe, wenn sie endlich ist, wenn das größte Glied der gestrichelten Linie max ist, wird als Fläche der betrachteten Rotationsoberfläche bezeichnet.

Es kann bewiesen werden, dass einhundert der Grenzwert der Summe gleich dem Grenzwert der integrierten Summe für p-th ist

Formel für die S-Oberfläche eines Rotationskörpers =

S der Oberfläche, die durch Drehung des Kurvenbogens x=g(x) um die Oy-Achse bei gebildet wird

Kontinuierlich mit seiner Ableitung

Wenn die Kurve parametrisch durch ur-mi gegeben istX=x(t) ,j= T(T) f-iiX’(T), j’(T), X(T), j(T) sind auf dem Intervall [ definiertA; B], X(A)= A, X(B)= Bdann den Ersatz durch eine Änderung vornehmenX= X(T)

Wenn die Kurve parametrisch gegeben ist, erhalten wir durch eine Änderung der Formel:

Wenn die Kurvengleichung in einem Polarkoordinatensystem angegeben ist

Sdie Rotationsfläche um die Achse ist gleich

Das Volumen eines Rotationskörpers lässt sich nach folgender Formel berechnen:

In der Formel muss die Zahl vor dem Integral stehen. So geschah es – alles, was sich im Leben dreht, ist mit dieser Konstante verbunden.

Ich denke, aus der fertigen Zeichnung lässt sich leicht erraten, wie man die Grenzen der Integration „a“ und „be“ festlegt.

Funktion... was ist diese Funktion? Schauen wir uns die Zeichnung an. Die ebene Figur wird oben durch den Graphen der Parabel begrenzt. Dies ist die Funktion, die in der Formel impliziert ist.

Berechnen wir das Volumen eines Rotationskörpers mit dieser Formel:

Wie ich bereits bemerkt habe, erweist sich das Integral fast immer als einfach, Hauptsache man muss vorsichtig sein.

Antwort:

Beispiel 2

Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Achse einer durch Linien begrenzten Figur entsteht , ,

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Betrachten wir zwei komplexere Probleme, die auch in der Praxis häufig anzutreffen sind.

Beispiel 3

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie sich um die Abszissenachse der durch die Linien , und begrenzten Figur drehen

Lösung: Stellen wir in der Zeichnung eine flache Figur dar, die durch die Linien , , , begrenzt wird, ohne zu vergessen, dass die Gleichung die Achse definiert:

Die gewünschte Figur ist blau schattiert. Wenn er sich um seine Achse dreht, entpuppt er sich als surrealer Donut mit vier Ecken.

Berechnen wir das Volumen des Rotationskörpers als Unterschied im Körpervolumen.

Schauen wir uns zunächst die rot eingekreiste Figur an. Wenn es sich um eine Achse dreht, entsteht ein Kegelstumpf. Bezeichnen wir das Volumen dieses Kegelstumpfes mit .

Betrachten Sie die grün eingekreiste Figur. Wenn Sie diese Figur um die Achse drehen, erhalten Sie ebenfalls einen Kegelstumpf, nur etwas kleiner. Bezeichnen wir sein Volumen mit .

Und natürlich entspricht der Volumenunterschied genau dem Volumen unseres „Donuts“.

Um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln, verwenden wir die Standardformel:

1) Die rot eingekreiste Figur wird nach oben durch eine gerade Linie begrenzt, daher:

2) Die grün eingekreiste Figur wird nach oben durch eine gerade Linie begrenzt, daher:

3) Volumen des gewünschten Rotationskörpers:

Antwort:

Es ist merkwürdig, dass in diesem Fall die Lösung anhand der Schulformel zur Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes überprüft werden kann.

Die Entscheidung selbst wird oft kürzer geschrieben, etwa so:

Lassen Sie uns nun eine kleine Pause einlegen und Ihnen etwas über geometrische Illusionen erzählen.

Nach einem lyrischen Exkurs bietet es sich gerade noch an, eine kreative Aufgabe zu lösen:

Beispiel 4

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Achse einer flachen Figur gebildet wird, die durch die Linien , , begrenzt wird, wobei .

Berechnung des Volumens eines durch Rotation gebildeten Körpers
flache Figur um eine Achse

Der zweite Absatz wird noch interessanter sein als der erste. Auch die Aufgabe, das Volumen eines Rotationskörpers um die Ordinatenachse zu berechnen, ist ein recht häufiger Gast in Testarbeiten. Unterwegs wird darüber nachgedacht Problem, die Fläche einer Figur zu finden Die zweite Methode ist die Integration entlang der Achse. Dadurch können Sie nicht nur Ihre Fähigkeiten verbessern, sondern auch lernen, den profitabelsten Lösungsweg zu finden. Darin liegt auch ein praktischer Lebenssinn! Wie sich meine Lehrerin für Mathematikdidaktik mit einem Lächeln erinnerte, bedankten sich viele Absolventen mit den Worten: „Ihr Fach hat uns sehr geholfen, jetzt sind wir effektive Manager und führen die Mitarbeiter optimal.“ Bei dieser Gelegenheit spreche ich ihr auch meinen großen Dank aus, zumal ich das erworbene Wissen bestimmungsgemäß verwende =).

Beispiel 5

Gegeben sei eine flache Figur, die durch die Linien , , begrenzt wird.

1) Finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die durch diese Linien begrenzt wird.
2) Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie eine durch diese Linien begrenzte flache Figur um die Achse drehen.

Aufmerksamkeit! Auch wenn Sie zunächst nur den zweiten Punkt lesen möchten Notwendig lies den ersten!

Lösung: Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Beginnen wir mit dem Quadrat.

1) Machen wir eine Zeichnung:

Es ist leicht zu erkennen, dass die Funktion den oberen Ast der Parabel und die Funktion den unteren Ast der Parabel angibt. Vor uns liegt eine triviale Parabel, die „auf der Seite liegt“.

Die gewünschte Figur, deren Fläche gefunden werden soll, ist blau schattiert.

Wie finde ich die Fläche einer Figur? Es kann auf die „übliche“ Weise gefunden werden, die im Unterricht besprochen wurde Bestimmtes Integral. So berechnen Sie die Fläche einer Figur. Darüber hinaus ergibt sich die Fläche der Figur als Summe der Flächen:
– auf dem Segment;
- auf dem Segment.

Deshalb:

Warum ist die übliche Lösung in diesem Fall schlecht? Erstens haben wir zwei Integrale erhalten. Zweitens sind Integrale Wurzeln, und Wurzeln in Integralen sind kein Geschenk, und außerdem kann man bei der Ersetzung der Integrationsgrenzen verwirrt werden. Tatsächlich sind die Integrale natürlich nicht umwerfend, aber in der Praxis kann alles viel trauriger sein. Ich habe nur „bessere“ Funktionen für das Problem ausgewählt.

Es gibt eine rationalere Lösung: Sie besteht darin, auf Umkehrfunktionen umzusteigen und entlang der Achse zu integrieren.

Wie komme ich zu Umkehrfunktionen? Grob gesagt müssen Sie „x“ durch „y“ ausdrücken. Schauen wir uns zunächst die Parabel an:

Das reicht aus, aber stellen wir sicher, dass dieselbe Funktion aus dem unteren Zweig abgeleitet werden kann:

Einfacher geht es mit einer geraden Linie:

Schauen Sie sich nun die Achse an: Bitte neigen Sie Ihren Kopf in regelmäßigen Abständen um 90 Grad nach rechts, während Sie es erklären (das ist kein Scherz!). Die von uns benötigte Figur liegt auf dem Segment, das durch die rote gestrichelte Linie angezeigt wird. In diesem Fall befindet sich auf dem Segment die Gerade über der Parabel, was bedeutet, dass die Fläche der Figur mit der Ihnen bereits bekannten Formel ermittelt werden sollte:. Was hat sich an der Formel geändert? Nur ein Brief und nichts weiter.

! Hinweis: Die Integrationsgrenzen entlang der Achse sollten festgelegt werden streng von unten nach oben!

Die Gegend finden:

Zum Segment also:

Bitte beachten Sie, wie ich die Integration durchgeführt habe. Dies ist die rationalste Methode. Im nächsten Absatz der Aufgabe wird klar, warum.

Für Leser, die an der Richtigkeit der Integration zweifeln, werde ich Ableitungen finden:

Man erhält die ursprüngliche Integrandenfunktion, was bedeutet, dass die Integration korrekt durchgeführt wurde.

Antwort:

2) Berechnen wir das Volumen des Körpers, der durch die Drehung dieser Figur um die Achse entsteht.

Ich werde die Zeichnung in einem etwas anderen Design neu zeichnen:

Die blau schattierte Figur dreht sich also um die Achse. Das Ergebnis ist ein „schwebender Schmetterling“, der sich um seine Achse dreht.

Um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln, integrieren wir entlang der Achse. Zuerst müssen wir zu Umkehrfunktionen übergehen. Dies wurde bereits im vorherigen Absatz durchgeführt und ausführlich beschrieben.

Jetzt neigen wir den Kopf wieder nach rechts und studieren unsere Figur. Offensichtlich sollte das Volumen eines Rotationskörpers als Differenz der Volumina ermittelt werden.

Wir drehen die rot eingekreiste Figur um die Achse, sodass ein Kegelstumpf entsteht. Bezeichnen wir dieses Volumen mit .

Wir drehen die grün eingekreiste Figur um die Achse und bezeichnen sie mit dem Volumen des resultierenden Rotationskörpers.

Das Volumen unseres Schmetterlings entspricht der Volumendifferenz.

Wir verwenden die Formel, um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln:

Was ist der Unterschied zur Formel im vorherigen Absatz? Nur im Brief.

Aber der Vorteil der Integration, über den ich kürzlich gesprochen habe, ist viel einfacher zu finden, als den Integranden zunächst auf die 4. Potenz zu erhöhen.

Antwort:

Allerdings kein kränklicher Schmetterling.

Bitte beachten Sie, dass Sie, wenn Sie dieselbe flache Figur um die Achse drehen, einen völlig anderen Rotationskörper erhalten, natürlich mit einem anderen Volumen.

Beispiel 6

Gegeben sei eine flache Figur, die durch Linien und eine Achse begrenzt ist.

1) Gehen Sie zu Umkehrfunktionen und ermitteln Sie die Fläche einer durch diese Linien begrenzten ebenen Figur, indem Sie über die Variable integrieren.
2) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie eine durch diese Linien begrenzte flache Figur um die Achse drehen.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Interessierte können die Fläche einer Figur auch auf „übliche“ Weise ermitteln und dabei Punkt 1) prüfen. Aber wenn Sie, ich wiederhole, eine flache Figur um die Achse drehen, erhalten Sie einen völlig anderen Rotationskörper mit einem anderen Volumen, übrigens die richtige Antwort (auch für diejenigen, die gerne Probleme lösen).

Eine vollständige Lösung der beiden vorgeschlagenen Punkte der Aufgabe finden Sie am Ende der Lektion.

Ja, und vergessen Sie nicht, Ihren Kopf nach rechts zu neigen, um die Rotationskörper und die Grenzen der Integration zu verstehen!

Ich wollte den Artikel gerade beenden, aber heute haben sie ein interessantes Beispiel gebracht, nur um das Volumen eines Rotationskörpers um die Ordinatenachse zu ermitteln. Frisch:

Beispiel 7

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Achse einer durch Kurven und begrenzten Figur entsteht. Der linke unbenutzte Ast der Parabel entspricht der Umkehrfunktion – der Graph der Funktion befindet sich auf dem Segment über der Achse;

Es ist logisch anzunehmen, dass das Volumen eines Rotationskörpers als Summe der Volumina der Rotationskörper gesucht werden sollte!

Wir verwenden die Formel:

In diesem Fall:

Antwort:

IN Problem, die Fläche einer Figur zu finden Die Summierung von Flächen wird oft verwendet, aber die Summierung von Volumina von Rotationskörpern ist offenbar selten, da eine solche Vielfalt fast aus meinem Sichtfeld fiel. Dennoch ist es gut, dass das von uns besprochene Beispiel rechtzeitig aufgetaucht ist – es ist uns gelungen, viele nützliche Informationen zu extrahieren.

Erfolgreiche Zahlenförderung!

Außer Ermitteln der Fläche einer ebenen Figur mithilfe eines bestimmten Integrals (siehe 7.2.3.) Die wichtigste Anwendung des Themas ist Berechnen des Volumens eines Rotationskörpers. Der Stoff ist einfach, aber der Leser muss vorbereitet sein: Er muss in der Lage sein, ihn zu lösen unbestimmte Integrale mittlere Komplexität und wenden Sie die Newton-Leibniz-Formel an bestimmtes Integral, n Sie benötigen außerdem ausgeprägte zeichnerische Fähigkeiten. Generell gibt es in der Integralrechnung viele interessante Anwendungen: Mit einem bestimmten Integral kann man die Fläche einer Figur, das Volumen eines Rotationskörpers, die Länge eines Bogens, die Oberfläche eines Körpers berechnen und vieles mehr. Stellen Sie sich eine flache Figur auf der Koordinatenebene vor. Eingeführt? ... Jetzt kann diese Figur auch gedreht werden, und zwar auf zwei Arten:

– um die x-Achse ;

– um die Ordinatenachse .

Schauen wir uns beide Fälle an. Besonders interessant ist die zweite Rotationsmethode, die die meisten Schwierigkeiten bereitet, aber tatsächlich ist die Lösung fast die gleiche wie bei der häufigeren Rotation um die x-Achse. Beginnen wir mit der beliebtesten Rotationsart.

Berechnung des Volumens eines Körpers, der durch Drehen einer flachen Figur um eine Achse entsteht OCHSE

Beispiel 1

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, das Sie erhalten, indem Sie eine durch Linien begrenzte Figur um eine Achse drehen.

Lösung: Wie beim Problem, das Gebiet zu finden, Die Lösung beginnt mit der Zeichnung einer flachen Figur. Das heißt, im Flugzeug XOY Es ist notwendig, eine durch die Linien begrenzte Figur zu konstruieren und nicht zu vergessen, dass die Gleichung die Achse angibt. Die Zeichnung hier ist ganz einfach:

Die gewünschte flache Figur ist blau schattiert; sie ist diejenige, die sich um die Achse dreht. Durch die Rotation entsteht eine leicht eiförmige fliegende Untertasse mit zwei scharfen Spitzen auf der Achse OCHSE, symmetrisch um die Achse OCHSE. Tatsächlich hat der Körper einen mathematischen Namen, schauen Sie im Nachschlagewerk nach.

Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers? Wenn ein Körper durch Drehung um eine Achse entstehtOCHSE, es ist gedanklich in parallele Schichten geringer Dicke unterteilt dx, die senkrecht zur Achse stehen OCHSE. Das Volumen des gesamten Körpers ist offensichtlich gleich der Summe der Volumina solcher Elementarschichten. Jede Schicht hat, wie eine runde Zitronenscheibe, die Form eines niedrigen Zylinders dx und mit Basisradius F(X). Dann ist das Volumen einer Schicht das Produkt der Grundfläche π F 2 pro Zylinderhöhe ( dx), oder π∙ F 2 (X)∙dx. Und die Fläche des gesamten Rotationskörpers ist die Summe der Elementarvolumina oder das entsprechende bestimmte Integral. Das Volumen eines Rotationskörpers lässt sich nach folgender Formel berechnen:

Wie die Grenzen der Integration „a“ und „be“ festgelegt werden, lässt sich anhand der fertigen Zeichnung leicht erraten. Funktion... was ist diese Funktion? Schauen wir uns die Zeichnung an. Die ebene Figur wird oben durch den Graphen der Parabel begrenzt. Dies ist die Funktion, die in der Formel impliziert ist. Bei praktischen Aufgaben kann sich manchmal eine flache Figur unterhalb der Achse befinden OCHSE. Daran ändert sich nichts – die Funktion in der Formel wird quadriert: F 2 (X), auf diese Weise, Das Volumen eines Rotationskörpers ist immer nicht negativ, was sehr logisch ist. Berechnen wir das Volumen eines Rotationskörpers mit dieser Formel:

Wie bereits erwähnt, ist das Integral fast immer einfach, Hauptsache man muss vorsichtig sein.

Antwort:

In Ihrer Antwort müssen Sie die Dimension angeben – Kubikeinheiten. Das heißt, in unserem Rotationskörper gibt es ungefähr 3,35 „Würfel“. Warum kubisch Einheiten? Weil dies die universellste Formulierung ist. Es könnten Kubikzentimeter sein, es könnten Kubikmeter sein, es könnten Kubikkilometer sein usw., so viele grüne Männchen kann Ihre Fantasie in eine fliegende Untertasse stecken.

Beispiel 2

Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um eine Achse entsteht OCHSE eine durch Linien begrenzte Figur , , .

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Beispiel 3

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie die durch die Linien , und begrenzte Figur um die Abszissenachse drehen.

Lösung: Lassen Sie uns in der Zeichnung eine flache Figur darstellen, die durch die Linien , , , begrenzt wird, ohne die Gleichung zu vergessen X= 0 gibt die Achse an OY:

Die gewünschte Figur ist blau schattiert. Wenn es sich um eine Achse dreht OCHSE Das Ergebnis ist ein flacher, eckiger Donut (eine Unterlegscheibe mit zwei konischen Flächen).

Berechnen wir das Volumen des Rotationskörpers als Unterschied im Körpervolumen. Schauen wir uns zunächst die rot eingekreiste Figur an. Wenn es sich um eine Achse dreht OCHSE Das Ergebnis ist ein Kegelstumpf. Bezeichnen wir das Volumen dieses Kegelstumpfes mit V 1 .

Betrachten Sie die grün eingekreiste Figur. Wenn Sie diese Figur um die Achse drehen OCHSE, dann erhält man den gleichen Kegelstumpf, nur etwas kleiner. Bezeichnen wir sein Volumen mit V 2 .

Es ist offensichtlich, dass der Unterschied in den Volumina liegt V = V 1 - V 2 ist das Volumen unseres „Donuts“.

Um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln, verwenden wir die Standardformel:

1) Die rot eingekreiste Figur wird nach oben durch eine gerade Linie begrenzt, daher:

2) Die grün eingekreiste Figur wird nach oben durch eine gerade Linie begrenzt, daher:

3) Volumen des gewünschten Rotationskörpers:

Antwort:

Es ist merkwürdig, dass in diesem Fall die Lösung anhand der Schulformel zur Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes überprüft werden kann.

Die Entscheidung selbst wird oft kürzer geschrieben, etwa so: