Was ist eine Oberfläche erster Ordnung? Algebraische Flächen erster Ordnung. Was ist der Unterschied zwischen diesem Referenzmaterial und Analoga?
§7. Ebene als Fläche erster Ordnung. Allgemeine Gleichung der Ebene. Gleichung einer Ebene, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft Wir führen ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem Oxyz im Raum ein und betrachten eine Gleichung ersten Grades (oder eine lineare Gleichung) für x, y, z: (7.1) Ax By Cz D 0, A2 B2 C 2 0 . Satz 7.1. Jede Ebene kann in einem beliebigen rechteckigen kartesischen Koordinatensystem durch eine Gleichung der Form (7.1) definiert werden. Ebenso wie im Fall einer Geraden in einer Ebene gilt der Umkehrsatz zu Satz 7.1. Satz 7.2. Jede Gleichung der Form (7.1) definiert eine Ebene im Raum. Der Beweis der Sätze 7.1 und 7.2 kann ähnlich wie der Beweis der Sätze 2.1, 2.2 geführt werden. Aus den Sätzen 7.1 und 7.2 folgt, dass die Ebene und nur sie eine Fläche erster Ordnung ist. Gleichung (7.1) wird die allgemeine Gleichung der Ebene genannt. Seine -Koeffizienten A, B, C werden geometrisch als die Koordinaten des Vektors n interpretiert, der senkrecht zu der durch diese Gleichung definierten Ebene steht. Dieser Vektor n(A, B, C) heißt Normalenvektor zur gegebenen Ebene. Gleichung (7.2) A(x x0) B(y y0) C (z z0) 0 für alle möglichen Werte der Koeffizienten A, B, C definiert alle Ebenen, die durch den Punkt M 0 ( x0 , y0 ,z0) . Sie wird als Ebenengleichung bezeichnet. Auswahl bestimmte Werte A, B, C in (7.2) bedeutet die Wahl der Ebene P von der Verbindung, die durch den Punkt M 0 senkrecht zu verläuft, zum gegebenen Vektor n(A, B, C) (Abb. 7.1). Beispiel 7.1. Schreiben Sie die Gleichung der Ebene Р, die durch den Punkt À(1, 2, 0) verläuft, parallel zu den Vektoren a (1, 2,–1), b (2, 0, 1) . Der Normalenvektor n zu P ist orthogonal zu den gegebenen Vektoren a und b (Abb. 7.2), also kann man für n ihr Vektor-n-Produkt nehmen: À Р i j k 2 n a b 1 2 1 i j 2 1 k 12 0 0 1 2 0 1 n a b 2i 3 j 4k . Ersetzen Sie die Koordinaten Abb. 7.2. Zum Beispiel 7.1 P M0 Punkt M 0 und Vektor n in Gleichung (7.2), erhalten wir Abb. 7.1. Zur Gleichung der Ebenenbündelgleichung P: 2(x 1) 3(y 2) 4z 0 oder P: 2x 3y 4z 4 0 .◄ 1 Wenn zwei der Koeffizienten A, B , C der Gleichung (7.1) gleich Null sind, definiert sie eine Ebene parallel zu einer der Koordinatenebenen. Zum Beispiel, wenn A B 0, C 0 - Ebene P1: Cz D 0 oder P1: z D / C (Abb. 7.3). Sie ist parallel zur Oxy-Ebene, weil ihr Normalenvektor n1(0, 0, C) senkrecht zu dieser Ebene steht. Für A C 0 , B 0 oder B C 0 , A 0 definiert Gleichung (7.1) die Ebenen P2: By D 0 und P3: Ax D 0 parallel zu den Koordinatenebenen Oxz und Oyz , also stehen für ihre Normalenvektoren n2(0, B, 0) und n3(A, 0, 0) senkrecht auf ihnen (Abb. 7.3). Wenn nur einer der Koeffizienten A, B, C von Gleichung (7.1) gleich Null ist, dann definiert er eine Ebene parallel zu einer der Koordinatenachsen (oder sie enthaltend, falls D 0). Also ist die Ebene P: Ax By D 0 parallel zur Achse Oz, z z n1 n n2 P1 L P O n3 x y O P2 y P3 x 7.4. Ebene P: Ax B y D 0 , parallel zur Oz-Achse Abb. 7.3. Ebenen parallel zu den Koordinatenebenen , da ihr Normalenvektor n(A, B, 0) senkrecht zur Oz-Achse steht. Beachten Sie, dass sie durch die Linie L: Ax By D 0 verläuft, die in der Oxy-Ebene liegt (Abb. 7.4). Wenn D 0 ist, definiert Gleichung (7.1) eine Ebene, die durch den Ursprung geht. Beispiel 7.2. Finden Sie die Werte des Parameters , bei denen die Gleichung x (2 2) y (2 2)z 3 0 die Ebene P definiert: a) parallel zu eins der Koordinatenebenen; b) parallel zu einer der Koordinatenachsen; c) durch den Koordinatenursprung gehen. Schreiben wir diese Gleichung in die Form (7.3) Für jeden Wert von bestimmt Gleichung (7.3) eine bestimmte Ebene, da die Koeffizienten bei x, y, z in (7.3) nicht gleichzeitig verschwinden. a) Bei 0 Gleichung (7. 3) definiert die Ebene P parallel zur Ebene Oxy , P: z 3 / 2 , und mit 2 definiert sie die Ebene P 2 parallel zur Ebene Oyz , P: x 5/ 2 . Für keine Werte von ist die durch Gleichung (7.3) definierte Ebene P parallel zur Ebene Oxz , da die Koeffizienten bei x, z in (7.3) nicht gleichzeitig verschwinden. b) Bei 1 definiert Gleichung (7.3) die Ebene P , parallel zur Achse Oz , P: x 3y 2 0 . Für andere Werte des Parameters definiert er keine Ebene parallel zu nur einer der Koordinatenachsen. c) Für 3 definiert Gleichung (7.3) die Ebene P, die durch den Ursprung geht, P: 3x 15 y 10 z 0 . ◄ Beispiel 7.3. Schreiben Sie die Gleichung der Ebene P auf, die durchläuft: a) Punkt M (1, 3, 2) parallel zur Ebenenachse Oxy; b) Ochsenachse und Punkt M (2, - 1, 3) . a) Für den Normalenvektor n zu Р können wir hier den Vektor k (0, 0,1) nehmen - den Einheitsvektor der Oz-Achse, da er senkrecht zur Oxy-Ebene steht. Wir setzen die Koordinaten des Punktes M (1, 3, 2) und den Vektor n in Gleichung (7.2) ein, wir erhalten die Gleichung der Ebene P: z 3 0. b) Der Normalenvektor n zu P ist orthogonal zu den Vektoren i (1, 0, 0) und OM (2, 1, 3) , , sodass ihr Vektorprodukt als n genommen werden kann: 01 3 j k . 2 1 3
1.7.1. Ebene.
Betrachten Sie eine beliebige Ebene P auf kartesischer Basis und den Normalenvektor (senkrecht) dazu `n (A, B, C). Nimm in dieser Ebene einen beliebigen Fixpunkt M0(x0, y0, z0) und einen aktuellen Punkt M(x, y, z).
Offensichtlich ist ?`n = 0 (1,53)
(siehe (1.20) für j = p /2). Dies ist die Gleichung der Ebene in Vektorform. Wenn wir zu den Koordinaten übergehen, erhalten wir die allgemeine Gleichung der Ebene
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ax + Vy + Cz + D = 0 (1,54).
(D = –Ах0 – Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).
Es kann gezeigt werden, dass in kartesischen Koordinaten jede Ebene durch eine Gleichung ersten Grades definiert ist und umgekehrt jede Gleichung ersten Grades eine Ebene definiert (dh eine Ebene ist eine Oberfläche erster Ordnung und eine Oberfläche erster Ordnung eine Ebene).
Betrachten Sie einige Sonderfälle der Lage der Ebene, die durch die allgemeine Gleichung gegeben ist:
A \u003d 0 - parallel zur Ox-Achse; B \u003d 0 - parallel zur Oy-Achse; C \u003d 0 - parallel zur Oz-Achse. (Solche Ebenen senkrecht zu einer der Koordinatenebenen heißen projizierend); D = 0 - geht durch den Ursprung; A = B = 0 - senkrecht zur Oz-Achse (parallel zur xOy-Ebene); A = B = D = 0 - fällt mit der xOy-Ebene zusammen (z = 0). Alle anderen Fälle werden ähnlich analysiert.
Wenn D? 0, dann können wir, indem wir beide Teile von (1.54) durch -D dividieren, die Gleichung der Ebene auf die Form bringen: (1.55),
a \u003d - D / A, b \u003d - D / B, c \u003d - D / C. Die Beziehung (1.55) heißt Segmentgleichung einer Ebene; a, b, c sind Abszisse, Ordinate und Applikate der Schnittpunkte der Ebene mit den Achsen Ox, Oy, Oz und |a|, |b|, |c| sind die Längen der Segmente, die von der Ebene auf den entsprechenden Achsen vom Ursprung abgeschnitten werden.
Multiplizieren beider Seiten von (1,54) mit dem Normalisierungsfaktor (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1,56)
wobei cosa \u003d Am, cosb \u003d Bm, cosg \u003d Cm die Richtungskosinusse der Normalen zur Ebene sind, p der Abstand zur Ebene vom Ursprung ist.
Betrachten wir die Hauptverhältnisse, die in den Berechnungen verwendet werden. Der Winkel zwischen den Ebenen A1x + B1y + C1z + D1 = 0 und A2x + B2y + C2z + D2 = 0 lässt sich leicht als Winkel zwischen den Normalen dieser Ebenen `n1 (A1, B1, C1) und definieren
`n2 (A2, B2, C2): 
(1.57)
Aus (1.57) erhält man leicht die Rechtwinkligkeitsbedingung
A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)
und Parallelität 
(1.59) Ebenen und ihre Normalen.
Abstand von einem beliebigen Punkt M0(x0, y0, z0) zur Ebene (1.54)
wird durch den Ausdruck definiert: 
(1.60)
Die Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) geht, wird am bequemsten unter Verwendung der Komplanaritätsbedingung (1.25) der Vektoren geschrieben wobei M(x, y , z) der aktuelle Punkt der Ebene ist.
(1.61)
Wir stellen die Gleichung für ein Bündel von Ebenen (d. h.
Ebenensätze, die durch eine gerade Linie verlaufen) - es ist praktisch, sie bei einer Reihe von Problemen zu verwenden.
(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)
Wo l Î R, und in Klammern sind die Gleichungen von zwei beliebigen Ebenen des Strahls.
Testfragen.
1) Wie überprüft man, ob der gegebene Punkt auf der durch die gegebene Gleichung gegebenen Fläche liegt?
2) Was ist das charakteristische Merkmal, das die Gleichung einer Ebene in einem kartesischen Koordinatensystem von der Gleichung anderer Flächen unterscheidet?
3) Wie ist die Ebene relativ zum Koordinatensystem, wenn ihre Gleichung nicht enthält: a) einen freien Term; b) eine der Koordinaten; c) zwei Koordinaten; d) eine der Koordinaten und ein freier Begriff; e) zwei Koordinaten und ein freier Begriff?
1) Die Punkte М1(0,-1,3) und М2(1,3,5) sind gegeben. Schreiben Sie die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt M1 verläuft und senkrecht zum Vektor steht 
Wähle die richtige Antwort:
a) 
; b) .
2) Finde den Winkel zwischen den Ebenen und . Wähle die richtige Antwort:
a) 135o, b) 45o
1.7.2. Gerade. Ebenen, deren Normalen nicht kollinear sind 
oder schneiden, wobei die Linie eindeutig als die Linie ihres Schnittpunkts definiert wird, die wie folgt geschrieben wird:
Durch diese Linie kann man unendlich viele Ebenen ziehen (ein Ebenenbüschel (1.62)), einschließlich derer, die ihn auf die Koordinatenebenen projizieren. Um ihre Gleichungen zu erhalten, genügt es, (1.63) umzuformen, eine Unbekannte aus jeder Gleichung zu eliminieren und sie beispielsweise auf die Form zu reduzieren 
(1.63`).
Lassen Sie uns die Aufgabe stellen - eine gerade Linie durch den Punkt M0 (x0, y0, z0) parallel zum Vektor `S (l, m, n) zu zeichnen (dies wird als Führung bezeichnet). Nimm einen beliebigen Punkt M(x, y, z) auf der gewünschten Geraden. Vektoren und 
muss kollinear sein, woraus wir die kanonischen Gleichungen der Geraden erhalten.
(1.64) bzw 
(1.64`)
wobei cosa, cosb, cosg die Richtungskosinusse des Vektors `S sind. Aus (1.64) ergibt sich leicht die Gleichung einer Geraden, die durch die gegebenen Punkte M1(x1, y1, z1) und M2(x2, y2, z2) verläuft (sie ist parallel 
)
Oder (1,64``)
(Die Werte der Brüche in (1.64) sind für jeden Punkt der Geraden gleich und können mit t bezeichnet werden, wobei t 
R. Damit können Sie die Parametergleichungen der Geraden eingeben
Jeder Wert des Parameters t entspricht einem Satz von Koordinaten x, y, z eines Punktes auf der Linie oder (andernfalls) - den Werten der Unbekannten, die die Gleichungen der Linie erfüllen).
Benutze schon bekannte Eigenschaften Vektoren und Operationen auf ihnen und den kanonischen Gleichungen der geraden Linie, ist es einfach, die folgenden Formeln zu erhalten:
Winkel zwischen Linien: 
(1.65)
Parallelitätsbedingung (1.66).
Rechtwinkligkeit l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1,67) Linien.
Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene (leicht zu ermitteln, indem man den Winkel zwischen der Linie und der Normalen zur Ebene findet, der sich zum gewünschten p / 2 addiert)
(1.68)
Aus (1.66) erhalten wir die Parallelitätsbedingung Al + Bm + Cn = 0 (1.69)
und Rechtwinkligkeit (1.70) einer Linie und einer Ebene. Die notwendige und hinreichende Bedingung, dass zwei Geraden in derselben Ebene liegen, lässt sich leicht aus der Komplanaritätsbedingung (1.25) gewinnen.
(1.71)
Testfragen.
1) Wie kann man im Raum eine gerade Linie ziehen?
1) Schreiben Sie die Gleichungen einer geraden Linie, die durch den Punkt A (4,3,0) und parallel zum Vektor verläuft 
Geben Sie die richtige Antwort an:
a) 
; b) 
.
2) Schreiben Sie die Gleichungen der Geraden auf, die durch die Punkte A(2,-1,3) und B(2,3,3) geht. Geben Sie die richtige Antwort an.
a) 
; b) .
3) Finden Sie den Schnittpunkt der Linie mit der Ebene: , . Geben Sie die richtige Antwort an:
a) (6,4,5); b) (6, -4,5).
1.7.3. Flächen zweiter Ordnung. Wenn eine lineare Gleichung in einer dreidimensionalen kartesischen Basis eine Ebene eindeutig definiert, jede nichtlineare Gleichung, die x, y, z enthält, beschreibt eine andere Fläche. Wenn die Gleichung aussieht
Ax2 + Vy2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, dann beschreibt sie eine Fläche zweiter Ordnung (allgemeine Flächengleichung zweiter Ordnung). Durch die Wahl oder Transformation kartesischer Koordinaten kann die Gleichung so weit wie möglich vereinfacht werden, was zu einer der folgenden Formen führt, die die entsprechende Oberfläche beschreiben.
1. Kanonische Gleichungen von Zylindern zweiter Ordnung, deren Generatoren parallel zur Oz-Achse liegen, und die entsprechenden Kurven zweiter Ordnung, die in der xOy-Ebene liegen, dienen als Anhaltspunkte:
(1.72), 
(1,73), y2 = 2 Pixel (1,74)
Elliptische, hyperbolische bzw. parabolische Zylinder.
(Erinnern Sie sich, dass eine zylindrische Oberfläche eine Oberfläche genannt wird, die durch Bewegen einer geraden Linie, genannt Erzeugende, parallel zu sich selbst erhalten wird. Die Schnittlinie dieser Oberfläche mit einer Ebene senkrecht zur Erzeugenden wird als Führung bezeichnet - sie bestimmt die Form der Oberfläche).
Analog kann man die Gleichungen der gleichen Zylinderflächen mit Generatoren parallel zur Oy-Achse und zur Ox-Achse aufschreiben. Die Führung kann als Schnittlinie der Zylinderoberfläche und der entsprechenden Koordinatenebene definiert werden, d.h. Gleichungssystem der Form:
2. Gleichungen eines Kegels zweiter Ordnung mit einer Spitze im Ursprung:
(1.75)
(die Achsen des Kegels sind die Achsen Oz, Oy bzw. Ox)
3. Kanonische Gleichung des Ellipsoids: (1.76);
Sonderfälle sind beispielsweise Rotationsellipsoide 
- die durch Drehen der Ellipse erhaltene Oberfläche 
um die Oz-Achse (When
а > с wird das Ellipsoid gestaucht, denn a x2 + y2+ z2 + = r2 ist die Gleichung einer Kugel mit Radius r mit Ursprungszentrum).
4. Kanonische Gleichung eines einschaligen Hyperboloids
(das „-“-Zeichen kann vor jedem der drei Begriffe auf der linken Seite stehen – dies verändert nur die Lage der Fläche im Raum). Sonderfälle sind beispielsweise einschalige Rotationshyperboloide 
ist die Oberfläche, die durch Drehen der Hyperbel erhalten wird 
um die Oz-Achse (die imaginäre Achse der Hyperbel).
5. Kanonische Gleichung eines zweischaligen Hyperboloids
(das „-“-Zeichen kann vor jedem der drei Begriffe auf der linken Seite platziert werden).
Besondere Fälle sind zweiblättrige Rotationshyperboloide, beispielsweise eine Oberfläche, die durch Drehen einer Hyperbel um die Oz-Achse (die reelle Achse der Hyperbel) erhalten wird.
6. Kanonische Gleichung eines elliptischen Paraboloids
(p > 0, q > 0) (1,79)
7. Kanonische Gleichung eines hyperbolischen Paraboloids
(p > 0, q > 0) (1,80)
(Die Variable z kann mit jeder der Variablen x und y den Platz tauschen - die Position der Oberfläche im Raum ändert sich).
Beachten Sie, dass es einfach ist, sich ein Bild von den Merkmalen (Form) dieser Oberflächen zu machen, indem Sie Schnitte dieser Oberflächen durch Ebenen betrachten, die senkrecht zu den Koordinatenachsen stehen.
Testfragen.
1) Welche Menge von Punkten im Raum definiert die Gleichung?
2) Was sind die kanonischen Gleichungen von Zylindern zweiter Ordnung? Zapfen zweiter Ordnung; Ellipsoid; einschaliges Hyperboloid; zweiblättriges Hyperboloid; elliptischer Paraboloid; hyperbolisches Paraboloid?
1) Finden Sie den Mittelpunkt und den Radius der Kugel und geben Sie die richtige Antwort an:
a) K (1,5; -2,5; 2), 
; b) С(1.5;2.5;2), ;
2) Bestimmen Sie die Art der Oberfläche, die durch die Gleichungen gegeben ist: 
. Geben Sie die richtige Antwort an:
a) einschaliges Hyperboloid; hyperbolisches Paraboloid; elliptischer Paraboloid; Kegel.
b) zweiblättriges Hyperboloid; hyperbolisches Paraboloid; elliptischer Paraboloid; Kegel.
Vorlesung 2. Die Ebene als Fläche erster Ordnung. Ebene Gleichungen und ihre Untersuchung. Linie im Raum, gegenseitige Anordnung von Linien im Raum, Ebene und Linie im Raum. Linie auf einer Ebene, Gleichungen einer Linie auf einer Ebene, Abstand von einem Punkt zu einer Linie auf einer Ebene. Kurven zweiter Ordnung; Herleitung kanonischer Gleichungen, Untersuchung von Gleichungen und Konstruktion von Kurven. Flächen zweiter Ordnung, das Studium der kanonischen Flächengleichungen. Schnittmethode. eines
Elemente der analytischen Geometrie § 1. Ebene. Wir haben OXYZ und eine Fläche S F(x, y, z) = 0 z x (S) O y Definition 1: Eine Gleichung mit drei Variablen heißt eine Gleichung einer Fläche S im Raum, wenn diese Gleichung durch die Koordinaten von jeder erfüllt ist auf der Fläche liegender Punkt und nicht durch die Koordinaten kein darauf liegender Punkt. 2
Beispiel. Die Gleichung (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) definiert eine Kugel mit dem Mittelpunkt C(a, b, c) und dem Radius R. M M( x , y, z) ist ein variabler Punkt M ϵ (S) |CM| = RC3
Definition 2: Eine Fläche S heißt Fläche n-ter Ordnung, wenn sie in einem kartesischen Koordinatensystem durch eine algebraische Gleichung n-ten Grades F(x, y, z) = 0 (1) gegeben ist. Im Beispiel ( S) - ein Kreis, eine Fläche zweiter Ordnung . Wenn S eine Fläche n-ter Ordnung ist, dann ist F(x, y, z) ein Polynom n-ten Grades bezüglich (x, y, z). Betrachten wir die einzige Fläche 1. Ordnung - die Ebene. Stellen wir die Gleichung der Ebene auf, die durch den Punkt M (x, y, z) geht, mit dem Normalenvektor 4
Sei M(x, y, z) ein beliebiger (aktueller) Punkt der Ebene. M M 0 О α oder in Koordinatenform: (2) Gleichung (2) - die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt M mit dem gegebenen Normalenvektor verläuft. 5
D (*) (3) - vollständige Gleichung der Ebene Unvollständige Gleichung der Ebene. Wenn in Gleichung (3) mehrere Koeffizienten (aber nicht gleichzeitig A, B, C) = 0 sind, dann heißt die Gleichung unvollständig und die Ebene α hat Singularitäten in der Lage. Wenn beispielsweise D = 0 ist, dann geht α durch den Ursprung. 6
Der Abstand vom Punkt M 1 zur Ebene α M 1 (x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 wird auf den Punkt M 0 K 7 angewendet
- Abstand vom Punkt M 1 zur Ebene α Gleichung der Ebene "in Segmenten" Stellen wir die Gleichung der Ebene auf, die Segmente ungleich Null auf den Koordinatenachsen mit C(0, 0, c)-Werten abschneidet a, b, c. Nehmen wir B(0, b, 0) als Gleichung für Punkt A mit A(a, 0, 0) 8
- Gleichung der Ebene α "in Segmenten" - Gleichung der Ebene, die durch Punkt A verläuft, senkrecht zum Normalenvektor 9
§ 2. Allgemeine Geradengleichung. Eine Gerade im Raum kann durch den Schnittpunkt zweier Ebenen definiert werden. (1) Geradengleichung Ein System der Form (1) definiert eine Gerade im Raum, wenn die Koeffizienten A 1, B 1, C 1 gleichzeitig disproportional zu A 2, B 2, C 2 sind. 10
Parametrische und kanonische Gleichungen einer Linie - beliebiger Punkt Linienpunkt M M 0 Parametrische Gleichung t - Parameter 11
Wenn wir t eliminieren, erhalten wir: - kanonische gleichung System (3) bestimmt die Bewegung eines materiellen Punktes, geradlinig und gleichförmig von der Anfangsposition M 0 (x 0, y 0, z 0) mit einer Geschwindigkeit in Richtung des Vektors. 12
Winkel zwischen Linien im Raum. Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit. Seien zwei Geraden L 1, L 2 im Raum durch ihre kanonischen Gleichungen gegeben: Dann reduziert sich das Problem der Winkelbestimmung zwischen diesen Geraden auf die Bestimmung des Winkels
ihre Richtungsvektoren: Mit der Definition des Skalarprodukts und dem Ausdruck in den Koordinaten des angegebenen Skalarprodukts und den Längen der Vektoren q 1 und q 2 erhalten wir: 15
Die Parallelitätsbedingung der Linien l 1 und l 2 entspricht der Kollinearität von q 1 und q 2, besteht in der Proportionalität der Koordinaten dieser Vektoren, d.h. sie hat die Form: Die Rechtwinkligkeitsbedingung folgt aus der Definition des Skalars Produkt und seine Gleichheit zu Null (bei cos = 0) und hat die Form: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16
Der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene: Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit einer Linie und einer Ebene Betrachten Sie die Ebene P, gegeben durch die allgemeine Gleichung: Ax + By + Cz + D = 0, und die Linie L, gegeben durch die kanonische Gleichung: 17
Da der Winkel zwischen der Linie L und der Ebene P komplementär ist zum Winkel zwischen dem Richtungsvektor der Linie q = (l, m, n) und dem Normalenvektor der Ebene n = (A, B, C), dann Aus der Definition des Skalarprodukts q n = q n cos und Gleichheiten cos = sin (= 90 -) erhalten wir: 18
Die Bedingung der Parallelität der Linie L und der Ebene P (einschließlich der Tatsache, dass L zu P gehört) ist äquivalent zur Bedingung der Rechtwinkligkeit der Vektoren q und n und wird ausgedrückt = 0 des Skalarprodukts dieser Vektoren: q n = 0: Al + Bm + Cn = 0. Die Bedingung der Rechtwinkligkeit der Linie L und der Ebene P entspricht der Bedingung der Parallelität der Vektoren n und q und wird durch die Proportionalität der Koordinaten dieser Vektoren ausgedrückt: 19
Bedingungen für die Zugehörigkeit zweier Linien zu derselben Ebene Zwei Linien im Raum L 1 und L 2 können: 1) sich schneiden; 2) parallel sein; 3) sich kreuzen. In den ersten beiden Fällen liegen die Linien L 1 und L 2 in derselben Ebene. Stellen wir die Bedingung der Zugehörigkeit zu derselben Ebene zweier gerader Linien auf, die durch kanonische Gleichungen gegeben ist: 20
Offensichtlich ist es notwendig und ausreichend, dass drei Vektoren = (x2 – x1, y2 – y1, z 2 – z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) und q 2 = (l 2, m 2, n 2), koplanar waren, wofür wiederum das Mischprodukt dieser drei Vektoren notwendig und ausreichend ist = 0. 21
Wenn wir die gemischten Produkte der angegebenen Vektoren in Koordinaten schreiben, erhalten wir die notwendige und hinreichende Bedingung, dass die beiden Linien L 1 und L 2 zur selben Ebene gehören: 22
Bedingung für die Zugehörigkeit einer Geraden zu einer Ebene Es gebe eine Gerade und eine Ebene Ax + Vy + Cz + D = 0. Diese Bedingungen haben die Form: Ax1 + Vy1 + Cz 1 + D = 0 und Al + Bm + Cn = 0, wobei der erste bedeutet, dass der Punkt M 1 (x1, y1, z 1), durch den die Linie verläuft, zur Ebene gehört, und der zweite die Bedingung der Parallelität der Linie und der Ebene ist. 23
Kurven zweiter Ordnung. § 1. Der Begriff der Geradengleichung in der Ebene. Die Gleichung f (x, y) = 0 heißt Geradengleichung L im gewählten Koordinatensystem, wenn sie durch die Koordinaten eines beliebigen auf der Geraden liegenden Punktes und nicht durch die Koordinaten eines nicht darauf liegenden Punktes erfüllt ist. 24
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="(!LANG:Beispiel: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}
Eine Gerade L heißt Gerade n-ter Ordnung, wenn sie in einem kartesischen Koordinatensystem durch eine algebraische Gleichung n-ten Grades bezüglich x und y gegeben ist. Wir kennen die einzige Linie 1. Ordnung - eine Gerade: Ax + By + D = 0 Wir betrachten Kurven 2. Ordnung: Ellipse, Hyperbel, Parabel. Die allgemeine Gleichung der Linien 2. Ordnung lautet: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26
Ellipse (E) Definition. Ellipse - die Menge aller Punkte der Ebene, deren Summe der Abstände zu zwei festen Punkten der Ebene F 1 und F 2, genannt Brennpunkte, eine Konstante und größer als der Abstand zwischen den Brennpunkten ist. Wir bezeichnen die Konstante 2 a, den Abstand zwischen den Brennpunkten mit 2 c. Zeichnen wir die X-Achse durch die Brennpunkte, (a > c, a > 0, c > 0). die Y-Achse durch die Mittelpunkte der Brennweite. Sei M ein beliebiger Punkt der Ellipse, d. h. M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), wobei r 1, r 2 fokale 27 Radien von E sind.
Wir schreiben (1) in Koordinatenform: (2) Dies ist die Gleichung einer Ellipse im gewählten Koordinatensystem. Durch Vereinfachung von (2) erhalten wir: b 2 = a 2 - c 2 (3) ist die kanonische Gleichung der Ellipse. Es kann gezeigt werden, dass (2) und (3) äquivalent sind: 28
Untersuchung der Form einer Ellipse nach der kanonischen Gleichung 1) Ellipse ist eine Kurve 2. Ordnung 2) Ellipsensymmetrie. da x und y in (3) nur in geraden Potenzen enthalten sind, hat die Ellipse 2 Achsen und 1 Symmetriezentrum, die im gewählten Koordinatensystem mit den gewählten Koordinatenachsen und dem Punkt O zusammenfallen. 29
3) Die Position der Ellipse Das heißt, das gesamte E befindet sich innerhalb eines Rechtecks, dessen Seiten x = ± a und y = ± b sind. 4) Schnittpunkt mit Achsen. A1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: Eckpunkte der Ellipse C OC: B 1(0; b); B2(0; -b); Aufgrund der Symmetrie der Ellipse betrachten wir ihr Verhalten (↓) nur im ersten Viertel. dreißig
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt="(!LANG:Auflösen von (3) nach y, erhalten wir: im ersten Quadranten x > 0 und die Ellipse nimmt ab."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}
Hyperbel (G) Definition: Г ist die Menge aller Punkte der Ebene, deren Betrag der Abstandsdifferenz zu 2 festen Punkten der Ebene F 1 , F 2 ein konstanter Wert ist und
Vereinfachung von (1): (2) ist die kanonische Gleichung von G. (1) und (2) sind äquivalent. Untersuchung einer Hyperbel nach der kanonischen Gleichung 1) Г-Linie 2. Ordnung 2) Г hat zwei Achsen und ein Symmetriezentrum, die in unserem Fall mit den Koordinatenachsen und dem Ursprung zusammenfallen. 3) Die Lage der Hyperbel. 34
Die Hyperbel befindet sich außerhalb des Streifens zwischen den Linien x = a, x = -a. 4) Schnittpunkte mit Achsen. OX: OY: hat keine Lösungen A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – reelle Ecken von Г B 1(0; b); B 2(0; -b) - imaginäre Eckpunkte à 2 a - reelle Achse à 2 b - imaginäre Achse à 35
5) Asymptoten einer Hyperbel. Betrachten wir aufgrund der Symmetrie von Γ seinen Anteil im ersten Viertel. Auflösung von (2) nach y ergibt: der Gleichung Г im I-Viertel x ≥ 0 entsprechenden Punkt Γ, d.h. im ersten Viertel liegt Γ unterhalb dieser Geraden. Alle Г liegen innerhalb eines vertikalen Winkels mit Seiten 36
6) Es kann gezeigt werden, dass im ersten Teil G zunimmt. 7) Der Plan zum Bau von G
Parabel (P) Betrachten Sie d (Leitlinie) und F (Fokus) auf einer Ebene. Definition. P - die Menge aller Punkte der Ebene, die von der Linie d und dem Punkt F (Fokus) 39 gleich weit entfernt sind
d-Directrix F-Fokus XOY-Punkt M P dann |MF| = |MN| (1) Im Koordinatensystem gewählte P-Gleichung Durch Vereinfachung von (1) erhalten wir y 2 = 2 px (2) – die kanonische P-Gleichung.
Erforsche P gemäß der kanonischen Gleichung x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41
§ 4. Zylinder. Zylinderflächen mit Generatoren parallel zu den Koordinatenachsen Durch den Punkt x der Linie L ziehen wir eine Gerade parallel zur Achse OZ. Die durch diese Linien gebildete Fläche wird Zylinderfläche oder Zylinder (C) genannt. Jede Linie parallel zur OZ-Achse wird Erzeugende genannt. l - Führung der zylindrischen Oberfläche der XOY-Ebene. Z(x, y) = 0 (1) 42
Sei M(x, y, z) ein beliebiger Punkt auf der Zylinderfläche. Wir projizieren es auf L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ö y = y 0 M ϵL 0, das Das heißt, die Koordinaten M erfüllen (1). Es ist offensichtlich, dass, wenn M C ist, es nicht auf den Punkt M 0 ϵ L projiziert wird und daher die Koordinaten von M Gleichung (1) nicht erfüllen, die C mit definiert eine Erzeugende parallel zur Achse OZ im Raum. Analog können wir zeigen: Ä(x, z) = 0 im Raum Ö || OY 43 (y, z) = 0 definiert im Raum Ö || OCHSE
Projektion einer Raumlinie auf eine Koordinatenebene Eine Linie im Raum kann parametrisch und durch den Schnitt von Flächen angegeben werden. Ein und dieselbe Gerade kann durch ∩ verschiedene Flächen gegeben sein. Die Raumlinie L sei gegeben durch ∩ zweier Flächen α: S 1: Ä 1(x, y, z) = 0 S 2: Ä 2(x, y, z) = 0 Gleichung L Ä 1(x, y , z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Finden wir die Projektion von L auf die Ebene XOY aus Gleichung (1) ohne Z. Wir erhalten die Gleichung: Z(x, y) = 0 – im Raum ist dies die Gleichung Ö mit Erzeuger || OZ und Führung L. 46
Projektion: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Flächen zweiter Ordnung Ellipsoid – die kanonische Gleichung der Fläche hat die Form: 1) Ellipsoid – Fläche zweiter Ordnung. 2) X, Y, Z nur in geraden Potenzen in die Gleichung eintragen => die Fläche hat 3 Ebenen und 1 Symmetriezentrum, die im gewählten Koordinatensystem mit den Koordinatenebenen und dem Ursprung zusammenfallen. 47
3) Lage des Ellipsoids Die Fläche wird zwischen || eingeschlossen Ebenen mit den Gleichungen x = a, x = -a. In ähnlicher Weise ist die gesamte Oberfläche in einem rechteckigen Parallelepiped eingeschlossen. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Wir werden die Oberfläche mit der Methode der Schnitte untersuchen - die Oberfläche durch die Koordinatenebenen || kreuzend Koordinate. Im Abschnitt erhalten wir Linien, anhand derer wir die Form der Oberfläche beurteilen. 48
Wir schneiden die Oberfläche mit der XOY-Ebene. Im Abschnitt erhalten wir eine Linie. - Ellipse a und b - Halbachsen Ähnlich mit der YOZ-Ebene - Ellipse mit Halbachsen b und c Ebene || XOY Wenn h(0, c), dann verringern sich die Achsen der Ellipse von a und b auf 0. 49
a = b = c - Kugel Paraboloide a) Ein hyperbolisches Paraboloid ist eine Fläche mit einer kanonischen Gleichung: 1) Fläche zweiter Ordnung 2) Da x, y nur in geraden Potenzen in die Gleichung eingehen, hat die Fläche Symmetrieebenen, die mit a zusammenfallen vorgegebene Koordinatenwahl mit 50 Ebenen XOZ, YOZ.
3) Wir untersuchen die Oberfläche nach der Methode des Schnittsattels pl. XOZ Im Querschnitt eine zur OZ-Achse symmetrische Parabel, ansteigend. sq. YOZ 51
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt="(!LANG:pl. ||XOY für h > 0 Hyperbel, mit reeller Halbachse entlang OX, für h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}
b) Zweischaliges Hyperboloid 1) Fläche zweiter Ordnung 2) hat 3 Ebenen und 1 Symmetriezentrum 3) Lage der Fläche x 2 ≥ a 2 ; |x| ≥ ein ; (a, b, c > 0) Die Oberfläche besteht aus zwei Teilen, die sich außerhalb des Streifens zwischen den Ebenen mit den Gleichungen x = a, x = -a befinden 4) wir untersuchen nach der Schnittmethode (unabhängig!) 57
Kegel zweiter Ordnung Ein Kegel zweiter Ordnung ist eine Fläche, deren kanonische Gleichung die Form hat: 1) eine Fläche zweiter Ordnung 2) hat 3 Ebenen und 1 Symmetriezentrum 3) wir studieren die Schnittmethode pl. XO 58
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt="(!LANG:sq. ||XOY |h| –>∞ von 0 bis ∞ sq. YOZ Linienpaar , durch"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}
60
Im Raum untersucht die analytische Geometrie Oberflächen, die in rechteckigen kartesischen Koordinaten durch algebraische Gleichungen der ersten, zweiten usw. bestimmt sind. Grad relativ zu X,Y,Z:
Ax+By+Cz+D=0 (1)
ABERx²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)
usw. Die Ordnung einer Gleichung wird die Ordnung der Oberfläche genannt, die sie definiert. Wir haben bereits gesehen, dass die Gleichung erste Bestellung(linear) (1) setzt immer Flugzeug ist die einzige Fläche erster Ordnung. Es gibt bereits viele Oberflächen zweiter Ordnung. Betrachten wir die wichtigsten von ihnen.
§2. Zylinderflächen mit Generatoren parallel zu einer der Koordinatenachsen.
Gegeben sei eine Linie L in der XOY-Ebene, ihre Gleichung ist beispielsweise F(x,y)=0 (1) . Dann bilden die Linien parallel zur Achse oz (Generatoren) und durch Punkte auf L verlaufende eine Fläche S genannt zylindrische Oberfläche.
Zeigen wir, dass Gleichung (1), die die Variable z nicht enthält, die Gleichung dieser Zylinderfläche S ist. Nehmen Sie einen beliebigen Punkt M(x, y, z), der zu S gehört. Die Erzeugende, die durch M geht, schneiden L am Punkt N. Punkt N hat die Koordinaten N(x,y,0), sie erfüllen Gleichung (1), weil ( )N gehört zu L. Aber dann erfüllen auch die Koordinaten (x,y,z,) (1), weil es enthält z. Daher erfüllen die Koordinaten jedes Punktes der zylindrischen Oberfläche S die Gleichung (1). Daher ist F(x,y)=0 die Gleichung dieser zylindrischen Oberfläche. Die Kurve L heißt Führung (Kurve) zylindrische Oberfläche. Beachten Sie, dass L im räumlichen System eigentlich durch zwei Gleichungen F(x,y)=0 , z=0 als Schnittlinie gegeben sein sollte.
Beispiele:
Die Hilfslinien in der Wie-Ebene sind Ellipse, Parabel, Hyperbel. Offensichtlich definieren die Gleichungen F=(y,z)=0 bzw. F(x,z)=0 zylindrische Flächen mit Generatoren parallel zu den Achsen OX und OY. Ihre Führungen liegen in der YOZ- bzw. XOZ-Ebene.
Kommentar. Eine zylindrische Fläche ist nicht notwendigerweise eine Fläche zweiter Ordnung. Beispielsweise gibt es eine Zylinderfläche 3. Ordnung, und die Gleichung y=sin(x) definiert einen Sinuszylinder, dem keine Ordnung zugeschrieben wird, das ist überhaupt keine algebraische Fläche.
§3. Die Gleichung der Rotationsfläche.
Einige Flächen 2. Ordnung sind Rotationsflächen. Lassen Sie eine Kurve L F(y,z)=0(1) in der YOZ-Ebene liegen. Lassen Sie uns herausfinden, was die Gleichung der Oberfläche S sein wird, die durch die Drehung der Kurve (1) um die oz-Achse gebildet wird.
Nehmen Sie einen beliebigen Punkt M(x,y,z) auf der Fläche S. Es kann als aus (.) N zu L gehörend betrachtet werden, dann sind die Applikate der Punkte M und N gleich (=z). Die Ordinate des Punktes N ist hier also der Rotationsradius, aber C (0,0, z) und daher 
. Aber der Punkt N liegt auf der Kurve und daher erfüllen seine Koordinaten diese. Meint 
(2)
. Gleichung (2) wird durch die Koordinaten der Rotationsfläche S erfüllt. Daher ist (2) die Gleichung der Rotationsfläche. Die Vorzeichen "+" oder "-" werden verwendet, je nachdem, in welchem Teil der YOZ-Ebene sich die Kurve (1) befindet, wobei y > 0 oder .
Die Regel lautet also: Um die Gleichung der Oberfläche zu finden, die durch die Drehung der Kurve L um die Achse OZ gebildet wird, müssen Sie die Variable y in der Gleichung der Kurve ersetzen
Gleichungen der Rotationsflächen um die Achsen OX und OY werden ähnlich gebildet.
Auftauchen
Die durch eine Gleichung in einem gegebenen Koordinatensystem definierte Oberfläche ist der Ort von Punkten, deren Koordinaten die gegebene Gleichung F(x; y; z) = 0 erfüllen.
Linie im Raum
Wenn die Gleichungen F(x; y; z) = 0 und Ä (x; y; z) = 0 eine Oberfläche definieren, dann kann die Linie L (x; y; z) = 0 als der Ort der gemeinsamen Punkte definiert werden zu beiden Flächen (Schnittlinie der Flächen)
Ebene als Fläche erster Ordnung
Es gibt mindestens drei Definitionen eines Flugzeugs:
1) Eine Ebene ist eine Fläche, die völlig jede Linie, die zwei beliebige ihrer Punkte verbindet.
2) Eine Ebene ist eine Menge von Punkten im Raum, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind.
Und nun zu einer der Formen der Ebenengleichung.
Erstens ist es seit Schulzeiten bekannt; "Alle drei Punkte, die nicht zusammenfallen und nicht auf einer geraden Linie liegen, definieren eine Ebene, und nur eine." Es ist kein Zufall, dass ein Stuhl mit drei Beinen absolut stabil ist (also „nicht schaukelt“) und ein Stuhl mit zwei oder mehr als drei Beinen nicht stabil ist („schaukelt“). Zweitens richtet der Normalenvektor zur Ebene diese im Raum aus (siehe Abb.31)
Lassen Sie die gewünschte Ebene p dann durch den Punkt M 0 senkrecht zum Vektor gehen
Erstens ist der Vektor das Ergebnis des Kreuzprodukts des Vektors M 0 M 2 und des Vektors M 0 M 1
Zweitens ist der Vektor sowohl zum M 0 M 2 -Vektor als auch zum M 1 M 2 -Vektor senkrecht. Von wo, von Vektororthogonalitätsbedingungen wir erhalten, dass das Skalarprodukt auf dem Vektor M 0 M 2 (oder auf dem Vektor M 0 M 1) gleich Null ist. Wenn der Punkt M 2 Koordinaten (x; y; z) hat, dann muss das Skalarprodukt des Vektors M 0 und des Vektors M 2 gleich Null sein. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der Vektor M 0 als M 2 definiert ist
wir bekommen das
Gleichung einer Ebene, die durch einen gegebenen Punkt verläuft und senkrecht zu einem gegebenen Vektor steht
Beispiel 30 (Gewinnung der Ebenengleichung)
Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt M 0 (1; 1; 1) senkrecht zum Vektor verläuft
Lösung
In unserem Fall
A=1, B=1 und C=1;
x 0 = 2, y 0 = 2, z 0 = 3,
daher hat die Gleichung der Ebene die Form
Oder endlich
Antworten
Die gewünschte Ebene wird durch die Gleichung bestimmt
Allgemeine Gleichung der Ebene
Im Allgemeinen jede Gleichung der Form
A x + B y + C z + D = 0
definiert eine Ebene (wobei A, B und C die Koordinaten des Normalenvektors zur Ebene sind). Diese Form der Ebenengleichung wird als "allgemeine Ebenengleichung" bezeichnet.
Unvollständige Ebenengleichungen
Die Ebene sei durch ihre allgemeine Gleichung gegeben
A x + B y + C z + D = 0, (*)
1) wenn D = 0, dann definiert (*) eine Ebene, die durch den Ursprung geht;
2) wenn A \u003d 0, dann B y + C z + D \u003d 0 und wir haben eine Ebene, parallel zur Ochsenachse(Weil);
3) wenn B \u003d 0, dann A x + C z + D \u003d 0 und wir haben eine Ebene, parallel zur Achse Oy(Weil);
4) wenn C = 0, dann A x + B y + D = 0 und wir haben eine Ebene, parallel zur Oz-Achse(Weil);
5) A = 0; B \u003d 0, dann C z + D \u003d 0 und wir haben eine Ebene parallel zur Oxy-Ebene;
6) A = 0; C \u003d 0, dann B y + D \u003d 0 und wir haben eine Ebene parallel zur Ebene Oxz;
7) B = 0; C = 0, dann A x + D = 0 und wir haben eine Ebene parallel zur Ebene Oyz;
8) A \u003d 0, B \u003d 0, D \u003d 0, dann ist C z \u003d 0 die Oxy-Ebene;
9) A = 0, C = 0, D = 0, dann ist B y = 0 die Ebene Oxz;
10) B = 0, C = 0, D = 0, dann ist A z = 0 die Ebene Oyz.
So wie früher mit die allgemeine Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene, andere Formen der Ebenengleichung können aus der allgemeinen Gleichung erhalten werden. Eine dieser Formen ist die Gleichung einer Ebene in Segmenten.
Aus der allgemeinen Gleichung der Ebene
A x + B y + C z + D = 0
Es stellt sich die Gleichung der Ebene in Segmenten heraus
Der letzte Ausdruck heißt "die Gleichung der Ebene in Segmenten"
Gleichung einer Ebene in Segmenten
wo a, b und c - Mengen Segmente, die von der Ebene auf den Achsen Ox, Oy bzw. Oz abgeschnitten werden.
Zwei Ebenen seien durch ihre allgemeinen Gleichungen gegeben
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 und
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.
Das heißt, Normalenvektoren haben Koordinaten
Für Flugzeug
Für Flugzeug
Und lassen Sie die Ebenen nicht zusammenfallen und nicht parallel sein (siehe Abb. 32)
Winkel zwischen zwei Ebenen
Der Winkel zwischen den Ebenen wird durch den Winkel zwischen den Normalenvektoren bestimmt, aber wie zu finden Winkel zwischen Vektoren Wir wissen es schon:
wenn c der Winkel zwischen den Vektoren ist, dann ist dies der Winkel zwischen den Ebenen p 1 und p 2
Daraus zwei wichtige Konsequenzen (Bedingungen)
Die Bedingung der Rechtwinkligkeit zweier Ebenen
Zwei Ebenen stehen senkrecht zueinander, sofern dies der Fall ist
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.