mechanisches Gleichgewicht. Gleichgewichtszustand eines mechanischen Systems in verallgemeinerten Koordinaten Stabile Gleichgewichtslage eines mechanischen Systems auf einer Koordinate

Wie aus dem Beispiel der Untersuchung der Schwingungsbewegung eines materiellen Punktes hervorgeht, wird die Eigenbewegung des Systems durch eine elastische Kraft verursacht. Früher wurde gezeigt, dass die elastische Kraft zum potentiellen Kraftfeld gehört. Daher sollte bei der Untersuchung der natürlichen Schwingungsbewegungen mechanischer Systeme angenommen werden, dass solche Bewegungen durch die Kräfte des Potentialfeldes verursacht werden. Wenn also das System s Freiheitsgrade hat, werden seine verallgemeinerten Kräfte in Form der Kraftfunktion U oder der potentiellen Energie П in der Form geschrieben:

Wie aus der Untersuchung der Bewegung eines Punktes hervorgeht, treten seine Schwingungen um die Gleichgewichtslage auf. Die Schwingungsbewegung des Systems wird auch in der Nähe seiner Gleichgewichtslage auftreten, die durch Bedingungen gekennzeichnet ist.

Diese Bedingungen weisen darauf hin, dass oszillierende Bewegungen des Systems in der Nähe von Positionen auftreten können, die durch ein relatives Extremum der Kraftfunktion oder potentiellen Energie des Systems gekennzeichnet sind. Eine oszillierende Bewegung des Systems ist jedoch in der Nähe einer Gleichgewichtsposition nicht möglich.

Bestimmung einer stabilen Gleichgewichtslage eines mechanischen Systems

Das mechanische System bestehe aus materiellen Punkten, die unter Einwirkung von auf sie einwirkenden Kräften im Gleichgewicht sind. Geben wir den Punkten dieses Systems kleine Abweichungen von der Gleichgewichtslage und kleine Anfangsgeschwindigkeiten. Dann setzt sich das System in Bewegung. Wenn die Punkte des Systems nach der Verletzung des Gleichgewichts die ganze Zeit in unmittelbarer Nähe ihrer Gleichgewichtsposition bleiben, wird diese Position als stabil bezeichnet. Andernfalls wird das Gleichgewicht des Systems als instabil bezeichnet. Von Schwingungen des Systems kann nur dann gesprochen werden, wenn diese Schwingungen in der Nähe der stabilen Gleichgewichtslage auftreten. Ist die Lage des Systems instabil, d.h. bewegt sich das System bei geringer Abweichung von der Gleichgewichtslage und geringen Geschwindigkeiten noch weiter davon weg, so kann man in der Nähe dieser Lage nicht von Schwingungen des Systems sprechen. Daher sollte die Untersuchung von Systemschwingungen mit der Aufstellung eines Kriteriums für Gleichgewichtsstabilität beginnen Mechanisches System.

Gleichgewichtsstabilitätskriterium für ein konservatives mechanisches System

Das Stabilitätskriterium für das Gleichgewicht eines konservativen Systems wird durch den Satz von Lagrange-Dirichlet festgelegt, der wie folgt lautet: Wenn ein mechanisches System stationäre Einschränkungen hat und konservativ ist, und wenn in der Gleichgewichtsposition dieses Systems seine potentielle Energie ein Minimum hat (d.h. die Kraftfunktion hat ein Maximum), dann ist das Gleichgewicht des Systems nachhaltig.

Beweisen wir diesen Satz. Die Position des mechanischen Systems sei durch verallgemeinerte Koordinaten bestimmt, die von der Gleichgewichtslage aus gemessen werden. Dann haben wir in dieser Position:

Größen können als Koordinaten eines Punktes im -dimensionalen Raum betrachtet werden. Dann entspricht jede Position des Systems einem bestimmten Punkt dieses Raums. Insbesondere entspricht der Koordinatenursprung O der Gleichgewichtsposition.

Die potentielle Energie P wird von der Gleichgewichtslage aus gezählt, vorausgesetzt, dass in dieser Lage nichts gegen die Allgemeingültigkeit verstößt, da die potentielle Energie bis auf eine beliebige Konstante bestimmt ist.

Nehmen wir eine positive Zahl und beschreiben vom Punkt O aus eine Kugel mit Radius . Die von dieser Kugel begrenzte Region wird mit bezeichnet. Die Zahl wird als willkürlich, aber ausreichend klein betrachtet. Dann gilt für jeden Punkt auf der Grenze der Region D die folgende Ungleichung:

denn am Punkt O ist die Funktion P gleich Null und hat ein Minimum.

Lassen kleinster Wert P auf der Grenze der Region D ist gleich P. Dann haben wir für jeden Punkt, der zu dieser Grenze gehört

Bringen wir nun das System aus dem Gleichgewicht, indem wir seinen Punkten so kleine Anfangsabweichungen und so kleine Anfangsgeschwindigkeiten geben, dass die Ungleichungen gelten:

wo sind die Anfangswerte von potentieller und kinetischer Energie. Dann haben wir:

Bei weiterer Bewegung des Systems ist jedoch aufgrund des Erhaltungssatzes der mechanischen Energie, der für konservative Systeme mit stationären Zwangsbedingungen gilt, Gleichheit erfüllt.

DEFINITION

nachhaltiges Gleichgewicht- Dies ist ein Gleichgewicht, bei dem der Körper, aus dem Gleichgewicht gebracht und sich selbst überlassen, in seine vorherige Position zurückkehrt.

Dies geschieht, wenn bei einer geringfügigen Verschiebung des Körpers in beliebiger Richtung aus der Ausgangslage die Resultierende der auf den Körper wirkenden Kräfte ungleich Null wird und in Richtung der Gleichgewichtslage gerichtet ist. Zum Beispiel eine Kugel, die am Boden eines kugelförmigen Hohlraums liegt (Abb. 1a).

DEFINITION

Instabiles Gleichgewicht- Dies ist ein Gleichgewicht, bei dem der Körper, aus der Gleichgewichtslage genommen und sich selbst überlassen, noch mehr von der Gleichgewichtslage abweicht.

In diesem Fall ist bei einer kleinen Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtsposition die Resultierende der auf ihn ausgeübten Kräfte ungleich Null und aus der Gleichgewichtsposition gerichtet. Ein Beispiel ist eine Kugel, die sich oben auf einer konvexen Kugeloberfläche befindet (Abb. 1 b).

DEFINITION

Gleichgültiges Gleichgewicht- Dies ist ein Gleichgewicht, in dem der Körper, aus dem Gleichgewicht gebracht und sich selbst überlassen, seine Lage (Zustand) nicht verändert.

In diesem Fall bleibt bei kleinen Verschiebungen des Körpers aus seiner ursprünglichen Position die Resultierende der auf den Körper aufgebrachten Kräfte gleich Null. Zum Beispiel ein Ball, der auf einer ebenen Fläche liegt (Abb. 1, c).

Abb.1. Verschiedene Arten des Körpergleichgewichts auf einer Unterlage: a) stabiles Gleichgewicht; b) instabiles Gleichgewicht; c) indifferentes Gleichgewicht.

Statisches und dynamisches Gleichgewicht von Körpern

Erfährt der Körper durch Krafteinwirkung keine Beschleunigung, kann er ruhen oder sich gleichmäßig geradlinig bewegen. Daher können wir von statischem und dynamischem Gleichgewicht sprechen.

DEFINITION

Statisches Gleichgewicht- Dies ist ein solches Gleichgewicht, wenn der Körper unter Einwirkung von aufgebrachten Kräften in Ruhe ist.

dynamisches Gleichgewicht- Dies ist ein solches Gleichgewicht, wenn der Körper unter Einwirkung von Kräften seine Bewegung nicht ändert.

In einem Zustand des statischen Gleichgewichts ist eine an Kabeln aufgehängte Laterne jede Gebäudestruktur. Als Beispiel für ein dynamisches Gleichgewicht können wir ein Rad betrachten, das ohne Reibungskräfte auf einer ebenen Fläche rollt.

Das Gleichgewicht eines mechanischen Systems ist sein Zustand, in dem alle Punkte des betrachteten Systems in Bezug auf das gewählte Bezugssystem in Ruhe sind.

Der einfachste Weg, die Gleichgewichtsbedingungen herauszufinden, ist am Beispiel des einfachsten mechanischen Systems - eines materiellen Punktes. Nach dem ersten Hauptsatz der Dynamik (siehe Mechanik) ist der Zustand der Ruhe (oder uniform geradlinige Bewegung) eines materiellen Punktes im Trägheitskoordinatensystem ist die Nullgleichheit der Vektorsumme aller auf ihn einwirkenden Kräfte.

Beim Übergang zu komplexeren mechanischen Systemen reicht diese Bedingung allein für deren Gleichgewicht nicht aus. Neben einer Translationsbewegung, die durch nicht kompensierte äußere Kräfte verursacht wird, kann ein komplexes mechanisches System eine Rotationsbewegung ausführen oder sich verformen. Finden Sie die Gleichgewichtsbedingungen absolut heraus Festkörper- ein mechanisches System, das aus einer Ansammlung von Teilchen besteht, deren gegenseitige Abstände sich nicht ändern.

Die Möglichkeit einer Translationsbewegung (mit Beschleunigung) eines mechanischen Systems kann auf die gleiche Weise wie im Fall eines materiellen Punktes ausgeschlossen werden, was erfordert, dass die Summe der Kräfte, die auf alle Punkte des Systems wirken, gleich Null ist. Dies ist die erste Bedingung für das Gleichgewicht eines mechanischen Systems.

In unserem Fall kann ein starrer Körper nicht verformt werden, da wir vereinbart haben, dass sich die gegenseitigen Abstände zwischen seinen Punkten nicht ändern. Aber im Gegensatz zu einem materiellen Punkt können auf einen absolut starren Körper an seinen verschiedenen Punkten ein Paar gleicher und entgegengesetzt gerichteter Kräfte ausgeübt werden. Da außerdem die Summe dieser beiden Kräfte gleich Null ist, wird das betrachtete mechanische System der Translationsbewegung nicht funktionieren. Es ist jedoch offensichtlich, dass sich der Körper unter der Wirkung eines solchen Kräftepaares mit immer größer werdender Winkelgeschwindigkeit um eine Achse zu drehen beginnt.

Das Auftreten von Drehbewegungen im betrachteten System ist auf das Vorhandensein von unkompensierten Kraftmomenten zurückzuführen. Das Kraftmoment relativ zu jeder Achse ist das Produkt der Größe dieser Kraft F durch die Schulter d, d. h. durch die Länge der vom Punkt O (siehe Abbildung), durch die die Achse geht, fallenden Senkrechten durch die Richtung der Kraft. Beachten Sie, dass das Kraftmoment bei dieser Definition eine algebraische Größe ist: Es wird als positiv betrachtet, wenn die Kraft zu einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn führt, und ansonsten als negativ. Die zweite Bedingung für das Gleichgewicht eines starren Körpers ist also die Forderung, dass die Summe der Momente aller Kräfte um eine beliebige Rotationsachse gleich Null ist.

Für den Fall, dass beide gefundenen Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind, ruht der starre Körper, wenn zu Beginn der Kraftwirkung die Geschwindigkeiten aller seiner Punkte gleich Null waren.

Andernfalls wird es durch Trägheit eine gleichförmige Bewegung ausführen.

Die betrachtete Definition des Gleichgewichts eines mechanischen Systems sagt nichts darüber aus, was passiert, wenn das System die Gleichgewichtslage geringfügig verlässt. In diesem Fall gibt es drei Möglichkeiten: Das System kehrt in seinen vorherigen Gleichgewichtszustand zurück; das System wird trotz der Abweichung seinen Gleichgewichtszustand nicht ändern; das System wird aus dem Gleichgewicht geraten. Der erste Fall wird als stabiler Gleichgewichtszustand bezeichnet, der zweite - indifferent, der dritte - instabil. Die Art der Gleichgewichtslage wird durch die Abhängigkeit der potentiellen Energie des Systems von den Koordinaten bestimmt. Die Abbildung zeigt alle drei Gleichgewichtsarten am Beispiel einer schweren Kugel, die sich in einer Vertiefung befindet (stabile Balance), auf einem glatten horizontalen Tisch (indifferent), auf einem Tuberkel (instabil) (siehe Abbildung auf S. 220). ).

Der obige Ansatz zum Problem des Gleichgewichts eines mechanischen Systems wurde von Wissenschaftlern in der Antike in Betracht gezogen. Das Gleichgewichtsgesetz eines Hebels (d. h. eines starren Körpers mit einer festen Rotationsachse) wurde im 3. Jahrhundert von Archimedes gefunden. BC e.

1717 entwickelte Johann Bernoulli einen völlig anderen Ansatz, um die Gleichgewichtsbedingungen für ein mechanisches System zu finden - die Methode der virtuellen Verschiebungen. Sie beruht auf der aus dem Energieerhaltungssatz resultierenden Eigenschaft der Bindungsreaktionskräfte: Bei einer kleinen Abweichung des Systems von der Gleichgewichtslage ist die Gesamtarbeit der Bindungsreaktionskräfte null.

Bei der Lösung von Problemen der Statik (siehe Mechanik) werden ausgehend von den oben beschriebenen Gleichgewichtsverhältnissen die im System vorhandenen Verbindungen (Stützen, Fäden, Stäbe) durch die in ihnen auftretenden Reaktionskräfte charakterisiert. Die Notwendigkeit, diese Kräfte bei der Bestimmung der Gleichgewichtsbedingungen bei Systemen aus mehreren Körpern zu berücksichtigen, führt zu umständlichen Berechnungen. Aufgrund der Tatsache, dass die Arbeit der Bindungsreaktionskräfte bei kleinen Abweichungen von der Gleichgewichtslage gleich Null ist, kann auf eine Berücksichtigung dieser Kräfte im Allgemeinen verzichtet werden.

Neben Reaktionskräften wirken auch äußere Kräfte auf die Punkte eines mechanischen Systems. Was ist ihre Arbeit mit einer kleinen Abweichung von der Gleichgewichtsposition? Da sich das System anfänglich in Ruhe befindet, erfordert jede Bewegung des Systems, dass etwas positive Arbeit geleistet wird. Prinzipiell kann diese Arbeit sowohl durch äußere Kräfte als auch durch Reaktionskräfte von Bindungen verrichtet werden. Aber wie wir bereits wissen, ist die Gesamtarbeit der Reaktionskräfte Null. Damit das System den Gleichgewichtszustand verlässt, muss daher die Gesamtarbeit der äußeren Kräfte für jede mögliche Verschiebung positiv sein. Folglich kann die Bedingung der Unmöglichkeit der Bewegung, also die Bedingung des Gleichgewichts, als die Forderung formuliert werden, dass die Gesamtarbeit äußerer Kräfte für jede mögliche Verschiebung kraftschlüssig ist: .

Nehmen wir an, wenn sich die Punkte des Systems bewegen, ist die Summe der Arbeit der äußeren Kräfte gleich . Und was passiert, wenn das System Bewegungen macht? Diese Bewegungen sind genauso möglich wie die ersten; das Wirken äußerer Kräfte ändert nun jedoch das Vorzeichen: . Ähnlich wie im vorigen Fall argumentierend, kommen wir zu dem Schluss, dass nun die Gleichgewichtsbedingung des Systems die Form hat: d.h. die Arbeit äußerer Kräfte muss nicht negativ sein. Die einzige Möglichkeit, diese beiden fast widersprüchlichen Bedingungen zu „vereinen“, besteht darin, für jede mögliche (virtuelle) Verschiebung des Systems aus der Gleichgewichtslage die exakte Nullgleichheit der Gesamtarbeit äußerer Kräfte zu fordern: . Mögliche (virtuelle) Bewegung bedeutet hier eine infinitesimale mentale Bewegung des Systems, die den ihm auferlegten Zusammenhängen nicht widerspricht.

Die Gleichgewichtsbedingung eines mechanischen Systems in Form des Prinzips der virtuellen Verschiebungen wird also wie folgt formuliert:

"Für das Gleichgewicht jedes mechanischen Systems mit idealen Verbindungen ist es notwendig und ausreichend, dass die Summe der auf das System der Kräfte wirkenden Elementararbeiten für jede mögliche Verschiebung gleich Null ist."

Mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen werden nicht nur die Probleme der Statik, sondern auch der Hydrostatik und Elektrostatik gelöst.

Mechanische Waage

Mechanische Waage- der Zustand eines mechanischen Systems, in dem die Summe aller Kräfte, die auf jedes seiner Teilchen wirken, gleich Null ist und die Summe der Momente aller Kräfte, die auf den Körper relativ zu einer beliebigen Rotationsachse einwirken, ebenfalls gleich Null ist .

Im Gleichgewichtszustand befindet sich der Körper im gewählten Bezugssystem in Ruhe (der Geschwindigkeitsvektor ist gleich Null), er bewegt sich entweder gleichmäßig geradlinig oder rotiert ohne tangentiale Beschleunigung.

Definition durch die Energie des Systems

Da Energie und Kräfte durch grundlegende Abhängigkeiten verbunden sind, ist diese Definition äquivalent zur ersten. Die energetische Definition kann jedoch erweitert werden, um Aussagen über die Stabilität der Gleichgewichtslage zu erhalten.

Arten von Gleichgewicht

Lassen Sie uns ein Beispiel für ein System mit einem Freiheitsgrad geben. In diesem Fall ist eine ausreichende Bedingung für die Gleichgewichtslage das Vorhandensein eines lokalen Extremums an dem untersuchten Punkt. Bekanntlich ist die Bedingung für ein lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion die Nullgleichheit ihrer ersten Ableitung . Um zu bestimmen, wann dieser Punkt ein Minimum oder Maximum ist, ist es notwendig, seine zweite Ableitung zu analysieren. Die Stabilität der Gleichgewichtslage zeichnet sich durch folgende Möglichkeiten aus:

• instabiles Gleichgewicht;
• stabiles Gleichgewicht;
• gleichgültiges Gleichgewicht.

Instabiles Gleichgewicht

Für den Fall, dass die zweite Ableitung negativ ist, befindet sich die potentielle Energie des Systems im Zustand eines lokalen Maximums. Damit ist die Gleichgewichtslage gemeint instabil. Wird das System um eine geringe Strecke verschoben, setzt es seine Bewegung aufgrund der auf das System einwirkenden Kräfte fort.

nachhaltiges Gleichgewicht

Zweite Ableitung > 0: potentielle Energie am lokalen Minimum, Gleichgewichtslage ständig(siehe Satz von Lagrange über die Stabilität eines Gleichgewichts). Wenn das System um eine kleine Strecke verschoben wird, kehrt es in den Gleichgewichtszustand zurück. Das Gleichgewicht ist stabil, wenn der Schwerpunkt des Körpers im Vergleich zu allen möglichen Nachbarpositionen die niedrigste Position einnimmt.

Gleichgültiges Gleichgewicht

Zweite Ableitung = 0: In diesem Bereich ändert sich die Energie nicht und die Gleichgewichtsposition ist gleichgültig. Wenn das System um eine kleine Strecke bewegt wird, bleibt es in der neuen Position.

Stabilität in Systemen mit vielen Freiheitsgraden

Wenn das System mehrere Freiheitsgrade hat, kann sich herausstellen, dass das Gleichgewicht bei Verschiebungen in einige Richtungen stabil und in anderen instabil ist. Das einfachste Beispiel für eine solche Situation ist ein "Sattel" oder "Pass" (an dieser Stelle wäre es schön, ein Bild zu platzieren).

Das Gleichgewicht eines Systems mit mehreren Freiheitsgraden ist nur dann stabil, wenn es stabil ist in alle Richtungen.

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was "Mechanisches Gleichgewicht" ist:

mechanisches Gleichgewicht- mechaninė pusiausvyra statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. mechanische Waage {f} mechanisches Gleichgewicht, n rus. mechanisches Gleichgewicht, n pranc. équilibre mécanique, m … Fizikos terminų žodynas

- ... Wikipedia

Phasenübergänge Artikel I ... Wikipedia

Der Zustand eines thermodynamischen Systems, in den es nach einer ausreichend langen Zeitspanne spontan von der Umgebung isoliert eintritt, wonach sich die Zustandsparameter des Systems mit der Zeit nicht mehr ändern. Isolierung… … Große sowjetische Enzyklopädie

GLEICHGEWICHT- (1) der mechanische Zustand der Unbeweglichkeit des Körpers, der eine Folge der auf ihn einwirkenden R.-Kräfte ist (wenn die Summe aller auf den Körper einwirkenden Kräfte Null ist, d. h. keine Beschleunigung ausübt). Es gibt R .: a) stabil, wenn, bei Abweichung von ... ... Große polytechnische Enzyklopädie

Der Zustand des Mechanischen System, für das alle seine Punkte in Bezug auf den gegebenen Bezugsrahmen fixiert sind. Wenn dieser Bezugsrahmen inertial ist, dann ist R. m. absolut, sonst relativ. Abhängig vom Verhalten des Körpers nach ... Großes enzyklopädisches polytechnisches Wörterbuch

Thermodynamisches Gleichgewicht ist der Zustand eines isolierten thermodynamischen Systems, in dem an jedem Punkt für alle chemischen, Diffusions-, Kern- und anderen Prozesse die Geschwindigkeit der Hinreaktion gleich der Geschwindigkeit der Rückwärtsreaktion ist. Thermodynamik ... ... Wikipedia

Gleichgewicht- der wahrscheinlichste Makrozustand einer Substanz, wenn die Variablen unabhängig von der Wahl konstant bleiben Gesamte Beschreibung Systeme. Gleichgewicht wird unterschieden: mechanisch, thermodynamisch, chemisch, Phase usw.: Siehe ... ... Enzyklopädisches Wörterbuch in der Metallurgie

Inhalt 1 Klassische Definition 2 Definition durch die Energie des Systems 3 Gleichgewichtstypen ... Wikipedia

Phasenübergänge Der Artikel ist Teil der Reihe "Thermodynamik". Das Konzept einer Phase Phasengleichgewicht Quantenphasenübergang Abschnitte der Thermodynamik Anfänge der Thermodynamik Zustandsgleichung ... Wikipedia

Gleichgewicht eines mechanischen Systems ist ein Zustand, in dem alle Punkte eines mechanischen Systems in Bezug auf das betrachtete Bezugssystem in Ruhe sind. Ist das Bezugssystem inertial, spricht man vom Gleichgewicht absolut, wenn nicht träge - relativ.

Um die Gleichgewichtsbedingungen für einen absolut starren Körper zu finden, ist es notwendig, ihn gedanklich in eine große Anzahl hinreichend kleiner Elemente zu unterteilen, von denen jedes durch einen materiellen Punkt dargestellt werden kann. Alle diese Elemente interagieren miteinander - diese Wechselwirkungskräfte werden genannt intern. Außerdem können an mehreren Stellen des Körpers äußere Kräfte einwirken.

Damit die Beschleunigung eines Punktes null ist (und die Beschleunigung eines ruhenden Punktes null), muss nach dem zweiten Newtonschen Gesetz die geometrische Summe der auf diesen Punkt wirkenden Kräfte null sein. Wenn der Körper in Ruhe ist, dann sind auch alle seine Punkte (Elemente) in Ruhe. Daher können wir für jeden Punkt des Körpers schreiben:

wobei die geometrische Summe aller einwirkenden äußeren und inneren Kräfte ist ich te Element des Körpers.

Die Gleichung bedeutet, dass es für das Gleichgewicht eines Körpers notwendig und ausreichend ist, dass die geometrische Summe aller Kräfte, die auf irgendein Element dieses Körpers wirken, gleich Null ist.

Daraus ergibt sich leicht die erste Bedingung für das Gleichgewicht eines Körpers (System von Körpern). Dazu reicht es aus, die Gleichung über alle Elemente des Körpers zu summieren:

.

Die zweite Summe ist nach dem dritten Newtonschen Gesetz gleich Null: Die Vektorsumme aller inneren Kräfte des Systems ist gleich Null, da jeder inneren Kraft eine betragsmäßig gleiche und entgegengesetzt gerichtete Kraft entspricht.

Somit,

.

Die erste Bedingung für das Gleichgewicht eines starren Körpers(Körper Systeme) ist die Nullgleichheit der geometrischen Summe aller auf den Körper wirkenden äußeren Kräfte.

Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend. Dies lässt sich leicht verifizieren, wenn man sich die rotierende Wirkung eines Kräftepaares vor Augen führt, dessen geometrische Summe ebenfalls gleich Null ist.

Die zweite Bedingung für das Gleichgewicht eines starren Körpers ist die Nullgleichheit der Summe der Momente aller äußeren Kräfte, die auf den Körper wirken, relativ zu einer beliebigen Achse.

Damit sehen die Gleichgewichtsbedingungen für einen starren Körper bei beliebig vielen äußeren Kräften so aus:

.