Vorlage für explizite Differenzschemata. Differenzschemata: explizite und implizite Schemata. Lösen eines gemischten Problems für die Wellengleichung mit der Gittermethode

Unter Verwendung einer Vorlage für jeden internen Knoten des Lösungsbereichs wird die Wärmeleitungsgleichung angenähert

Von hier aus finden wir:

Unter Verwendung der Anfangs- und Randbedingungen werden die Werte der Gitterfunktion an allen Knoten auf der Nullzeitebene gefunden.

Dann verwenden Sie die Beziehungen

Die Werte dieser Funktionen finden sich in allen internen Knoten auf der ersten Zeitebene, danach finden wir den Wert an den Grenzknoten

Als Ergebnis ermitteln wir den Wert der Merkmale in allen Knoten auf der ersten Zeitebene. Danach finden wir mithilfe dieser Beziehungen alle anderen Werte usw.

Im betrachteten Differenzenschema wird der Wert der gewünschten Funktion auf der nächsten Zeitebene direkt und explizit anhand der Formel ermittelt

Daher wird das betrachtete Differenzschema, das dieses Muster verwendet, aufgerufen explizites Differenzschema . Seine Genauigkeit liegt in der Größenordnung.

Dieses Differenzschema ist einfach anzuwenden, weist jedoch einen erheblichen Nachteil auf. Es stellt sich heraus, dass das explizite Differenzschema hat eine stabile Lösung nur für den Fall, dass wenn die Bedingung erfüllt ist :

Explizites Differenzschema ist bedingt stabil . Ist die Bedingung nicht erfüllt, führen kleine Rechenfehler, beispielsweise beim Runden von Computerdaten, zu einer starken Änderung der Lösung. Die Lösung wird unbrauchbar. Diese Bedingung führt zu sehr strengen Einschränkungen des Zeitschritts, die aufgrund einer erheblichen Erhöhung der Rechenzeit zur Lösung dieses Problems möglicherweise nicht akzeptabel sind.

Betrachten Sie ein Differenzschema mit einem anderen Muster

Methode 36

Implizites Differenzenschema für die Wärmegleichung.

Setzen wir in die Wärmeleitungsgleichung ein:

Diese Relation wird für jeden internen Knoten auf Zeitebene geschrieben und durch zwei Relationen ergänzt, die die Werte an den Randknoten bestimmen. Das Ergebnis ist ein Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Werte der Funktion auf der Zeitebene.

Das Schema zur Lösung des Problems ist wie folgt:

Unter Verwendung der Anfangs- und Randbedingungen wird der Wert der Funktion auf der Nullzeitebene ermittelt. Anschließend wird unter Verwendung dieser Beziehungen und Randbedingungen ein System linearer algebraischer Gleichungen erstellt, um den Wert der Funktion auf der ersten Zeitebene zu ermitteln. Anschließend wird das System erneut unter Verwendung dieser Beziehungen erstellt und die Werte ermittelt auf der zweiten Zeitebene usw.

Unterschied zum expliziten Schema- Werte auf der nächsten Zeitebene werden nicht direkt anhand einer vorgefertigten Formel berechnet, sondern durch Lösen eines Gleichungssystems ermittelt, d.h. Die Werte der Unbekannten werden implizit durch Lösen des SLAE ermittelt. Daher wird das Differenzschema als implizit bezeichnet. Im Gegensatz zu explizit ist implizit absolut stabil.

Thema Nr. 9

Optimierungsprobleme.

Diese Probleme gehören zu den wichtigsten Problemen der angewandten Mathematik. Optimierung bedeutet Auswahl der besten Option aus allen möglichen Lösungen für ein bestimmtes Problem. Dazu ist es notwendig, das zu lösende Problem mathematisch zu formulieren und den Konzepten von besser oder schlechter eine quantitative Bedeutung zu geben. Typischerweise ist es während des Lösungsprozesses notwendig, die optimierten Parameterwerte zu finden. Diese Parameter werden aufgerufen Design. Und die Anzahl der Designparameter bestimmt Dimension des Problems.

Eine quantitative Bewertung der Lösung erfolgt anhand einer bestimmten Funktion in Abhängigkeit von den Entwurfsparametern. Diese Funktion wird aufgerufen Ziel . Es ist so aufgebaut, dass der optimalste Wert dem Maximum (Minimum) entspricht.

- Zielfunktion.

Die einfachsten Fälle liegen vor, wenn die Zielfunktion von einem Parameter abhängt und durch eine explizite Formel angegeben wird. Es kann mehrere Zielfunktionen geben.

Beispielsweise ist es bei der Konstruktion eines Flugzeugs notwendig, gleichzeitig maximale Zuverlässigkeit, minimales Gewicht und minimale Kosten usw. sicherzustellen. Geben Sie in solchen Fällen ein Prioritätssystem . Jeder Zielfunktion wird ein bestimmter Zielmultiplikator zugeordnet, wodurch eine verallgemeinerte Zielfunktion (Kompromissfunktion) entsteht.

Typischerweise wird die optimale Lösung durch eine Reihe von Bedingungen begrenzt, die mit der physikalischen Funktion des Problems zusammenhängen. Diese Bedingungen können in Form von Gleichheiten oder Ungleichheiten vorliegen

Theorie und Methoden zur Lösung von Optimierungsproblemen bei Vorliegen von Restriktionen sind Gegenstand der Forschung in einem der Zweige der angewandten Mathematik – mathematische Programmierung.

Wenn die Zielfunktion in Bezug auf die Entwurfsparameter linear ist und die den Parametern auferlegten Einschränkungen ebenfalls linear sind, dann Aufgabe Lineares Programmieren . Betrachten wir Methoden zur Lösung eines eindimensionalen Optimierungsproblems.

Es ist erforderlich, die Werte zu finden, bei denen die Zielfunktion einen Maximalwert hat. Wenn die Zielfunktion analytisch angegeben wird und ein Ausdruck für ihre Ableitungen gefunden werden kann, wird die optimale Lösung entweder an den Enden des Segments oder an den Punkten erreicht, an denen die Ableitung verschwindet. Das sind die kritischen Punkte und . Es ist notwendig, die Werte der Zielfunktion an allen kritischen Punkten zu finden und den maximalen auszuwählen.

Im Allgemeinen werden verschiedene Suchmethoden verwendet, um eine Lösung zu finden. Dadurch verengt sich das Segment, das die optimale Lösung enthält.

Schauen wir uns einige der Suchmethoden an. Nehmen wir an, dass die Zielfunktion auf dem Intervall ein Maximum hat. In diesem Fall wird durch Division mit Knotenpunkten, deren Anzahl ist, die Zielfunktion an diesen Knotenpunkten berechnet. Nehmen wir an, dass der Maximalwert der Zielfunktion am Knoten liegt, dann können wir davon ausgehen, dass die optimale Lösung im Intervall liegt. Dadurch wurde das Segment mit der optimalen Lösung eingegrenzt. Das resultierende neue Segment wird erneut in Teile unterteilt usw. Mit jeder Partitionierung wird das Segment, das die optimale Lösung enthält, um einen Faktor reduziert.

Nehmen wir an, dass Verengungsschritte durchgeführt wurden. Dann wird das ursprüngliche Segment um einen Faktor reduziert.

Das heißt, wir machen es, während es läuft (*)

In diesem Fall wird die Zielfunktion berechnet.

Es ist erforderlich, einen solchen Wert zu finden, dass der Ausdruck (*) im kleinsten Fall erhalten wird

Anzahl der Berechnungen.

Methode 37

Halbteilungsmethode.

Betrachten wir die Suchmethode für . Man spricht von der Halbierungsmethode, da bei jedem Schritt das Segment, das die optimale Lösung enthält, halbiert wird.

Durch gezielte Auswahl der Punkte, an denen die Zielfunktion bei einem bestimmten Einengungsschritt berechnet wird, lässt sich die Effizienz der Suche steigern.

Methode 38

Methode des Goldenen Schnitts.

Einer von effektive Wege ist die Methode des Goldenen Schnitts. Der Goldene Schnitt eines Segments ist der Punkt, für den die Bedingung erfüllt ist

Es gibt zwei solcher Punkte: =0,382 +0,618

0,618 +0,382 .

Das Segment wird durch Punkte geteilt und dann wird ein Punkt gefunden, an dem die Zielfunktion maximal ist. Als Ergebnis wird ein modifiziertes Segment mit einer Länge von 0,618( - ) gefunden.

Ein Wert des Goldenen Schnitts für das verengte Segment ist bereits bekannt, daher ist es bei jedem weiteren Schritt erforderlich, die Zielfunktion nur an einem Punkt (dem zweiten Punkt des Goldenen Schnitts) zu berechnen.

Methode 39

Methode des Koordinaten-für-Koordinaten-Aufstiegs (Abstiegs).

Kommen wir nun zur Betrachtung des Optimierungsproblems für den Fall, dass die Zielfunktion von mehreren Parameterwerten abhängt. Die einfachste Suchmethode ist die Methode des Koordinaten-für-Koordinaten-Aufstiegs (Abstiegs).

Konfiguration von Knoten, die Werte der Gitterfunktion, in denen die Form von Differenzengleichungen an internen (nicht begrenzten) Gitterpunkten bestimmt wird. In Bildern mit Bildern von Vorlagen werden in der Regel die an der Berechnung von Ableitungen beteiligten Punkte durch Linien verbunden.

Courant-Isakson-Ries-Schema(KIR), der manchmal auch mit dem Namen S.K. verbunden ist. Godunov, es stellt sich heraus, wenn , . Seine Näherungsordnung ist . Das KIR-Schema ist bedingt stabil, d. h. wenn die Courant-Bedingung erfüllt ist . Stellen wir die Differenzengleichungen für das Courant-Isakson-Ries-Schema an internen Punkten des Rechenbereichs dar:

Diese Schemata, auch Schema mit Differenzen gegen den Wind (in der englischen Literatur - gegen den Wind) genannt, können in der Form geschrieben werden

Ihr Vorteil ist eine genauere Darstellung des Abhängigkeitsbereichs der Lösung. Wenn wir die Notation einführen

dann können beide Schemata in den folgenden Formen geschrieben werden:

(Flussform der Differenzengleichung);

(hier ist der Begriff mit dem zweiten Unterschied deutlich hervorgehoben, was dem Schema Stabilität verleiht);

(Gleichung in endlichen Schritten).

Lassen Sie uns auch darüber nachdenken Methode der unsicheren Koeffizienten Um ein Differenzenschema zu konstruieren, ist die rechte Ecke der ersten Genauigkeitsordnung für die Transportgleichung erforderlich

Das Schema kann im Formular dargestellt werden

Das Courant-Isakson-Rees-Schema steht in engem Zusammenhang mit numerischen Charakteristikmethoden. Geben wir Kurzbeschreibung Ideen für solche Methoden.

Die letzten beiden erhaltenen Schemata (mit verschiedene ZeichenÜbertragungsraten) können wie folgt interpretiert werden. Konstruieren wir eine Charakteristik, die durch den Knoten (t n + 1, x m) verläuft, dessen Wert bestimmt werden muss, und die Schicht t n am Punkt schneidet . Zur Bestimmtheit gehen wir davon aus, dass die Übertragungsrate c positiv ist.

Wenn wir zeitlich eine lineare Interpolation zwischen den Knoten x m - 1 und x m auf der untersten Ebene durchführen, erhalten wir

Als nächstes übertragen wir den Wert u n (x") entlang der Kennlinie unverändert in die obere Schicht t n + 1, d.h. wir setzen . Es ist selbstverständlich, den letzten Wert als Näherungslösung zu betrachten homogene Gleichungüberweisen. In diesem Fall

oder, um von der Courant-Zahl wieder zu den Gitterparametern überzugehen,

diese. Mit einer anderen Methode gelangten wir zu dem bereits bekannten Schema der „linken Ecke“, das für stabil ist. Wenn der Schnittpunkt der den Knoten verlassenden Charakteristik (t n + 1, x m, mit der n-ten Schicht in der Zeit links vom Knoten (t n, x m - 1) liegt. Um eine Lösung zu finden, ist es also ist keine Interpolation mehr, sondern eine Extrapolation, die sich als instabil erweist.

Die Instabilität des Schemas der „rechten Ecke“ für c > 0 ist ebenfalls offensichtlich. Um dies zu beweisen, kann man entweder das Spektralmerkmal oder die Courant-, Friedrichs- und Levy-Bedingung verwenden. Ähnliche Überlegungen können für den Fall c angestellt werden< 0 и схемы "правый уголок".

Instabil Vierpunktschaltung stellt sich heraus wann , seine Näherungsordnung. Die Gittergleichungen für das Differenzenschema haben die folgende Form:

Lax-Wendroff-Schema passiert wenn . Die Approximationsordnung des Lax-Wendroff-Schemas ist . Das Schema ist unter der Courant-Bedingung stabil .

Dieses Schema kann entweder durch die Methode der unbestimmten Koeffizienten oder durch genauere Berücksichtigung des führenden Termes des Näherungsfehlers erhalten werden. Betrachten wir den Prozess der Ableitung des Lax-Wendroff-Schemas genauer. Wenn wir eine Studie des vorherigen Vier-Punkte-Approximationsschemas durchführen (und die Studie ist recht elementar und läuft darauf hinaus, die Projektionsfunktion auf das Gitter der exakten Lösung des Differentialproblems in einer Taylor-Reihe zu erweitern), erhalten wir für die Hauptsache Laufzeit des Fehlers

Bei der Ableitung des Ausdrucks für den Hauptterm des Approximationsfehlers wurde eine Konsequenz der ursprünglichen Differentialtransportgleichung verwendet

Diese erhält man, indem man die ursprüngliche Gleichung (3.3) zuerst nach der Zeit t, dann nach der x-Koordinate differenziert und eine der resultierenden Beziehungen von der anderen subtrahiert.

Als nächstes ersetzen zweite Ableitung Im zweiten Term auf der rechten Seite mit einer Genauigkeit von O(h 2) erhalten wir ein neues Differenzenschema, das dem Original nahe kommt Differentialgleichung mit Präzision . Die Gittergleichungen für das Lax-Wendroff-Schema an den internen Knoten der Rechengitter lauten

Implizites Sechs-Punkte-Schema tritt bei q = 0 auf; wenn seine Näherungsordnung , bei .

1. Im Koordinatensystem xOt Baue ein rechteckiges Gitter mit Stufen H entlang der Achse Oh und mit Schritt τ entlang der Achse Ot:

A) X ich =äh, ich= lch, N , n=L/h;

B) T k =kτ, k= lch,M , M=T/τ;

V) Und ich , k = u(X ich ,T k) = u(ich h,kτ).

2. Berechnen Sie die Funktionswerte u(X ich , T k) an Knoten, die auf geraden Linien liegen x= 0 und x=L:

3. Berechnen u ich ,0 =f(ich h),i= 1, N .

4. Mit (1.16) oder (1.23) finden wir eine Lösung für alle internen Knoten: u ich , k + N , i= lch,N -l, k= 0, M -l.

1.3. Lösen eines gemischten Problems für die Wellengleichung mit der Gittermethode

1.3.1. Formulierung des Problems. Methodenalgorithmus

Betrachten wir ein gemischtes Problem (d. h. Anfangs- und Randbedingungen sind gegeben) für die Wellengleichung

im Gebiet D=(0≤x≤ L, 0≤t≤T) mit Anfangsbedingungen

und Randbedingungen

Davon gehen wir aus F(X),G(X) sind ziemlich glatte Funktionen und die Anpassungsbedingungen sind in zwei Ecken der Region erfüllt D(X=0, T=0), (x=L, T=0), wodurch die Existenz und Einzigartigkeit der Lösung sichergestellt wird u(X, T).

Um das ursprüngliche Problem zu diskretisieren, konstruieren wir im Definitionsbereich

rechteckiges Gitter

Wo H – Gitterschritt in Richtung X, τ – Gitterschritt in Richtung T,

Unter Verwendung zentraler Differenzen zweiter Ordnung (1.10) zur Approximation partieller Ableitungen erhalten wir für jeden internen Gitterknoten ein System von Differenzengleichungen

die die Wellengleichung (1.24) am Knoten ( X ich , T k) mit Fehler Ö(H 2 + τ 2).

Hier u ich , k– ungefährer Wert der Funktion Und(X,T) am Knoten ( X ich ,T k).

Angenommen λ = aτ/ H erhalten wir ein dreischichtiges Differenzschema:

Schema (1.28) wird dreischichtig genannt, weil es die Werte verbindet u ich , k Funktionen Und(X,T) auf drei Zeitebenen mit Zahlen ( k-l), k, (k+1).

Das Differenzschema (1.28) entspricht einem fünfpunktigen, dreischichtigen „Kreuz“-Muster (Abb. 1.2).

Schema (1.28) verbindet die Werte u ich , k =u(ich h, kτ) auf drei Ebenen in der Zeit, und um zur Ebene zu gehen ( k+1), Sie müssen wissen wie u ich , k, so und u ich , k-1, was eine Folge der Tatsache ist, dass die Differentialgleichung (1.24) eine zweite Ableitung nach der Zeit enthält. Die numerische Lösung der Aufgabe (1.24) – (1.26) besteht in der Berechnung von Näherungswerten u ich , k Lösungen u(X, T) in Knoten ( X ich ,T) bei ich = 1, N , k=1, M . Das Berechnungsschema nach (1.28) ist explizit; es ermöglicht eine näherungsweise Berechnung der Werte der Funktion an den Knoten ( k+1)-te Schicht basierend auf ihren bekannten Werten auf den beiden vorherigen Schichten. Auf den ersten beiden Schichten werden die Funktionswerte aus den Anfangsbedingungen (1.25) ermittelt. Wir glauben

Für die Zeitableitung verwenden wir Näherung (1.5)

Die Näherungsordnung (1.30) ist gleich UM(τ).

Beachten Sie, dass (1.29), (1.31) Lösungen für die ersten beiden Zeilen liefern: k=0, k=1. Ersetzen k= 1 in (1.28) erhalten wir:

Alle Terme auf der rechten Seite der Gleichung (1.32) enthalten die Werte Und ich , k nur aus den ersten beiden Reihen des Rasters; aber alle diese Werte sind aus den Anfangsbedingungen bekannt.

Danach die Lösungen kennen Und ich ,1 ,Und ich,2 können wir (1.28) verwenden, um die Werte der Funktion zu berechnen Und ich , k auf der dritten Zeitschicht, vierten usw.

Das oben beschriebene Berechnungsschema (1.28) – (1.31) nähert sich dem Problem (1.24) – (1.26) mit einer Genauigkeit an UM(τ+ H 2). Die niedrige Näherungsordnung in Bezug auf τ wird durch die Verwendung einer zu groben Näherung für die Ableitung in Bezug auf erklärt T in Formel (1.30).

Betrachten wir nun die Themen Konvergenz und Stabilität. Ohne hier Beweise vorzulegen, beschränken wir uns auf die Formulierung der Endergebnisse. Das Berechnungsschema ist stabil, wenn die Courant-Bedingung erfüllt ist

Dies bedeutet, dass bei Erfüllung von (1.33) kleine Fehler, die beispielsweise bei Berechnungen auf der ersten Schicht auftreten, beim Übergang zu jeder neuen Zeitschicht nicht unbegrenzt zunehmen. Wenn die Courant-Bedingung erfüllt ist, weist das Differenzenschema (1.28) gleichmäßige Konvergenz auf, d. h. wann H→0 und τ→0 tendiert die Lösung des Differenzenproblems (1.28) – (1.31) gleichmäßig zur Lösung des ursprünglichen Problems (1.24) – (1.26).

Bedingung (1.33) ist für die Konvergenz ausreichend, aber nicht notwendig. Mit anderen Worten: Es gibt Gleichungen und Intervallwerte, für die (1.33) nicht gilt, man aber trotzdem das richtige Ergebnis erhält. Der springende Punkt ist, dass Konvergenz dann nicht garantiert werden kann. Im allgemeinen Fall ist es natürlich wünschenswert, die Konvergenz sicher sicherzustellen, und daher ist die Anforderung, dass Bedingung (1.33) erfüllt ist, zwingend.

Somit ist einmal die Schrittgröße ausgewählt H in die Richtung X, dann gibt es eine Begrenzung der Größe des Zeitschritts τ. Eine Besonderheit aller expliziten Methoden besteht darin, dass bei ihrer Verwendung eine Bedingung vom Typ (1.33) beachtet werden muss, die die Konvergenz und Stabilität der Methode gewährleistet.

Raster und Vorlage. Bei den meisten Differenzschemata liegen die Gitterknoten am Schnittpunkt einiger gerader Linien (bei mehrdimensionalen Problemen - Hyperebenen), die entweder in einem natürlichen Koordinatensystem oder in einem speziell in der Form ausgewählten Bereich gezeichnet werden G.

Wenn eine der Variablen eine physikalische Zeitbedeutung hat T, dann wird das Gitter normalerweise so konstruiert, dass sich zwischen seinen Linien (oder Hyperebenen) Linien befinden T = T M. Eine Menge von Gitterknoten, die auf einer solchen Linie oder Hyperebene liegen, wird als Schicht bezeichnet.

Auf jeder Ebene werden Richtungen identifiziert, entlang derer sich nur eine Raumkoordinate ändert. Zum Beispiel für Variablen X, j, T Es gibt Wegbeschreibungen X (T = const, j = const) und Richtung j (T = const, X = const).

Bei der Erstellung der Differenzenschemata (26.2) und (26.4) haben wir an allen internen Knoten der Region die gleiche Art der Differenzennäherung von Ableitungen verwendet. Mit anderen Worten: Beim Schreiben jeder Differenzengleichung um einen bestimmten Gitterknoten wurde die gleiche Anzahl von Knoten genommen und so eine streng definierte Konfiguration gebildet, die wir als Vorlage für dieses Differenzenschema bezeichneten (siehe Abb. 26.2).

Definition. Die Knoten, in denen das Differenzschema auf der Vorlage geschrieben ist, werden als regelmäßig bezeichnet, der Rest als unregelmäßig.

Unregelmäßig sind normalerweise die Randknoten und manchmal auch die Knoten, die in der Nähe der Grenze liegen (so dass das in der Nähe dieses Knotens aufgenommene Muster über die Grenze der Region hinausgeht).

Die Erstellung eines Differenzschemas beginnt mit der Auswahl einer Vorlage. Die Vorlage definiert das Differenzschema nicht immer eindeutig, beeinflusst aber dessen Eigenschaften maßgeblich; Zum Beispiel werden wir später sehen, dass in der Vorlage Abb. 26.2 B Es ist unmöglich, ein gutes Differenzenschema für das Wärmeleitungsproblem (26.1) zu erstellen. Für jede Art von Gleichungen und Randwertproblemen ist eine eigene Vorlage erforderlich.

Explizite und implizite Differenzschemata

Lassen Sie uns die Frage der tatsächlichen Berechnung der Differenzlösung diskutieren. Großer Teil Physikalische Probleme führen zu Gleichungen, die die Zeit als eine der Variablen enthalten. Für solche Gleichungen wird üblicherweise ein gemischtes Randwertproblem gestellt, dessen typischer Fall das Wärmeleitungsproblem (26.1) ist.

Für solche Probleme wird ein schichtweiser Berechnungsalgorithmus verwendet. Betrachten wir es am Beispiel der Schemata (26.2) und (26.4).

Im Schema (26.4) auf der Originalebene M= 0 ist die Lösung aufgrund der Anfangsbedingung bekannt. Lasst uns M= 0 in Gleichungen (26.4). Dann für jeden Indexwert N die Gleichung enthält eine Unbekannte ; Von hier aus können wir bestimmen bei
Werte Und werden durch Randbedingungen (26.3) bestimmt. Somit werden die Werte in der ersten Ebene berechnet. Mit ihnen wird auf ähnliche Weise die Lösung auf der zweiten Schicht berechnet usw.

Schema (26.4) enthält in jeder Gleichung nur einen Wert der Funktion auf der nächsten Ebene; Dieser Wert lässt sich leicht explizit durch die bekannten Werte der Funktion auf der Originalebene ausdrücken, weshalb solche Schemata als explizit bezeichnet werden.

Schema (26.2) enthält in jeder Gleichung mehrere unbekannte Werte der Funktion auf einer neuen Ebene; Solche Schemata werden implizit genannt. Um die Lösung tatsächlich zu berechnen, schreiben wir Schema (26.2) unter Berücksichtigung der Randbedingung (26.3) in der folgenden Form um

(26.5)

Auf jeder Schicht ist Schema (26.5) ein System linearer Gleichungen zur Bestimmung der Größen
; Die rechten Seiten dieser Gleichungen sind bekannt, da sie die Lösungswerte aus der vorherigen Schicht enthalten. Die Matrix des linearen Systems ist tridiagonal und die Lösung kann durch algebraischen Sweep berechnet werden.

Der jetzt betrachtete Algorithmus ist recht typisch. Es wird in vielen impliziten Differenzenschemata für eindimensionale und mehrdimensionale Probleme verwendet. Als nächstes werden wir statt des Index M Verwenden Sie häufig Abkürzungen

In dieser Notation nehmen die expliziten und impliziten Differenzschemata jeweils die folgende Form an:

Restwert. Betrachten wir eine Operator-Differentialgleichung allgemeiner Form (nicht unbedingt linear).

Au = F, oder Au – F = 0.

Betreiber ersetzen A Differenzoperator A H, rechte Seite F– einige Rasterfunktionen , und die genaue Lösung u– Differenzlösung j, schreiben wir das Differenzschema

oder
. (26.6)

Wenn wir die genaue Lösung ersetzen u in Beziehung (26.6), dann wird die Lösung diese Beziehung im Allgemeinen nicht erfüllen
. Größe

wird als Residuum bezeichnet.

Das Residuum wird normalerweise mithilfe einer Taylor-Reihenentwicklung geschätzt. Lassen Sie uns zum Beispiel das Residuum des expliziten Differenzenschemas (26.4) für die Wärmegleichung (26.1a) ermitteln. Schreiben wir diese Gleichung in kanonischer Form

Denn in diesem Fall
Das

Erweitern wir die Lösung mithilfe der Taylor-Formel in der Nähe des Knotens ( X N , T M), unter der Annahme, dass es stetige vierte Ableitungen nach gibt X und Zweiter in T

(26.7)

Ersetzen Sie diese Erweiterungen in den Ausdruck des Residuums und vernachlässigen Sie aufgrund der Kontinuität der Ableitungen den Mengenunterschied
aus ( X N , T M) wir werden finden

(26.8)

Somit tendiert die Diskrepanz (26.8) gegen Null
Und
Die Nähe des Differenzenschemas zum ursprünglichen Problem wird durch die Größe des Residuums bestimmt. Wenn die Abweichung gegen Null tendiert H Und gegen Null tendiert, dann sagen wir, dass ein solches Differenzenschema das Differentialproblem annähert. Die Näherung hat R te Bestellung, wenn
.

Ausdruck (26.8) gibt die Diskrepanz nur an regulären Gitterknoten an. Wenn wir (26.3) und (26.1b) vergleichen, können wir die Diskrepanz bei unregelmäßigen Knoten leicht finden

Anmerkung 1. Die Lösung des Wärmeleitungsproblems mit einem konstanten Koeffizienten (26.1) in der Region ist unendlich oft stetig differenzierbar. Wenn jedoch fünfte oder mehr Ableitungen in der Taylorreihenentwicklung (26.7) berücksichtigt werden, werden dem Residuum (26.8) nur Terme höherer Kleinheitsordnung hinzugefügt Und H, d.h. Im Wesentlichen ändert sich die Art des Residuums nicht.

Anmerkung 2. Aus irgendeinem Grund sei die Lösung des ursprünglichen Problems einige Male differenzierbar; Beispielsweise hat die Lösung bei Problemen mit einem variablen Wärmeleitfähigkeitskoeffizienten, der glatt ist, aber keine zweite Ableitung aufweist, nur dritte stetige Ableitungen. Dann werden in der Taylor-Reihenentwicklung (26.7) die letzten Terme sein
nicht gerade kompensieren. Dies führt zum Auftreten eines Termes dieses Typs im Residuum (26.8).
diese. Die Diskrepanz wird von geringerer Größe sein als bei vierfach stetig differenzierbaren Lösungen.

Notiz 3. Nachdem Sie den Restausdruck unter Berücksichtigung der Tatsache transformiert haben, dass die Funktion darin enthalten ist u(X,T) ist eine exakte Lösung der ursprünglichen Gleichung und die Beziehungen sind dafür erfüllt

Wenn wir diesen Ausdruck in (26.8) einsetzen, erhalten wir

Wenn wir Schritte in Raum und Zeit wählen, so
Das Hauptmitglied Die Residuen gehen gegen Null und es bleiben nur Terme höherer Kleinheitsordnung übrig Und H(was wir weggelassen haben). Diese Technik wird bei der Erstellung von Differenzschemata mit erhöhter Genauigkeit verwendet.

Differenzschema

Differenzschema- Dies ist ein endliches System algebraischer Gleichungen, das einem Differentialproblem zugeordnet wird, das eine Differentialgleichung und zusätzliche Bedingungen (z. B. Randbedingungen und/oder Anfangsverteilung) enthält. Somit werden Differenzenschemata verwendet, um ein Differentialproblem, das kontinuierlicher Natur ist, auf ein endliches Gleichungssystem zu reduzieren, dessen numerische Lösung prinzipiell auf Computern möglich ist. Algebraische Gleichungen, die einer Differentialgleichung zugeordnet werden, werden mit der Differenzenmethode erhalten, die die Theorie der Differenzenschemata von anderen numerischen Methoden zur Lösung von Differentialproblemen (z. B. Projektionsmethoden wie der Galerkin-Methode) unterscheidet.

Die Lösung des Differenzenschemas wird als Näherungslösung des Differentialproblems bezeichnet.

Obwohl die formale Definition der Art der algebraischen Gleichungen keine wesentlichen Einschränkungen auferlegt, ist es in der Praxis sinnvoll, nur solche Schemata zu berücksichtigen, die in irgendeiner Weise dem Differentialproblem entsprechen. Wichtige Konzepte in der Theorie der Differenzschemata sind die Konzepte der Konvergenz, der Approximation, der Stabilität und des Konservatismus.

Annäherung

Sie sagen, dass ein Differentialoperator, der auf in der Domäne definierten Funktionen definiert ist, auf einer bestimmten Klasse von Funktionen durch einen Finite-Differenzen-Operator angenähert wird, der auf auf einem Netz definierten Funktionen definiert ist, abhängig vom Schritt if

Eine Näherung heißt von Ordnung, wenn

Dabei handelt es sich um eine Konstante, die von einer bestimmten Funktion, aber nicht vom Schritt abhängt. Die oben verwendete Norm kann unterschiedlich sein und das Konzept der Approximation hängt von ihrer Wahl ab. Das diskrete Analogon der Norm der gleichmäßigen Kontinuität wird häufig verwendet:

manchmal werden diskrete Analoga integraler Normen verwendet.

Beispiel. Approximation des Operators durch einen Finite-Differenzen-Operator

hat in einem begrenzten Intervall zweite Ordnung in der Klasse der glatten Funktionen.

Ein Finite-Differenzen-Problem nähert sich einem Differentialproblem an, und die Näherung hat Ordnung, wenn sowohl die Differentialgleichung selbst als auch die Randbedingungen (und Anfangsbedingungen) durch die entsprechenden Finite-Differenzen-Operatoren angenähert werden und die Näherungen Ordnung haben.

Courant-Zustand

Courant-Zustand (in der englischen Literatur) Courant-Friedrichs-Levy-Bedingung , CFL) - Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Störungen bei einem Differenzproblem sollte nicht geringer sein als bei einem Differentialproblem. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, neigt das Ergebnis des Differenzenschemas möglicherweise nicht dazu, die Differentialgleichung zu lösen. Mit anderen Worten: In einem Zeitschritt sollte das Teilchen nicht mehr als eine Zelle „durchlaufen“.

Bei Schemata, deren Koeffizienten nicht von der Lösung der Differentialgleichung abhängen, folgt die Courant-Bedingung aus der Stabilität.

Schemata auf versetzten Gittern

Bei diesen Schemata sind die Gitter, auf denen das Ergebnis angegeben wird, und die Daten relativ zueinander versetzt. Ergebnispunkte liegen beispielsweise in der Mitte zwischen Datenpunkten. Dies ermöglicht in manchen Fällen die Verwendung einfacherer Randbedingungen.

siehe auch

Anmerkungen

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was ein „Differenzschema“ ist:

Ein System von Differenzengleichungen, das die Differentialgleichung und zusätzliche Bedingungen (Anfangs-, Randbedingungen usw.) annähert. Approximation des ursprünglichen Differentialproblems R. s. Dies ist eine der Möglichkeiten, die Diskretisierung des ursprünglichen Problems anzunähern ... Mathematische Enzyklopädie

Differenz-Finite-Elemente-Schema- Finite-Elemente-Methode - [A.S. Goldberg. Englisch-Russisches Energiewörterbuch. 2006] Themen Energie im Allgemeinen Synonyme Finite-Elemente-Methode EN Finite-Volumen-Differenzen-Diagramm ...

Ein Differenzenschema ist ein endliches System algebraischer Gleichungen, das einem beliebigen Differentialproblem zugeordnet wird, das eine Differentialgleichung und zusätzliche Bedingungen (z. B. Randbedingungen und/oder anfängliche ... ... Wikipedia) enthält

Finite-Differenzen-Berechnungsschema basierend auf Kontrollvolumina- (z. B. Wärme- und Stoffübertragung, Wärmeleitfähigkeit) [A.S. Goldberg. Englisch-Russisches Energiewörterbuch. 2006] Energiethemen im Allgemeinen EN Kontrollvolumenbasierter Finite-Differenzen-Zeitplan ... Leitfaden für technische Übersetzer

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