Изчисляване на обема на тялото на въртене онлайн. III Изчисляване на обемите на телата на въртене. Най-доброто креватче по математика. Качествена. Нищо допълнително

Освен от намиране на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл най-важното приложение на темата е изчисляване на обема на въртеливото тяло. Материалът е прост, но читателят трябва да бъде подготвен: необходимо е да можете да решите неопределени интеграли средна сложност и приложете формулата на Нютон-Лайбниц в определен интеграл . Както при проблема с намирането на областта, имате нужда от уверени умения за рисуване - това е почти най-важното нещо (тъй като самите интеграли често ще бъдат лесни). Можете да овладеете компетентната и бърза техника за начертаване на графики с помощта на методически материали . Но всъщност многократно съм говорил за важността на рисунките в урока. .

Като цяло има много интересни приложения в интегралното смятане; използвайки определен интеграл, можете да изчислите площта на фигура, обема на въртеливото тяло, дължината на дъгата, площта на повърхността на тялото и много повече. Така че ще бъде забавно, моля, бъдете оптимисти!

Представете си някои плоска фигурана координатната равнина. Представено? ... Чудя се кой какво е представил ... =))) Вече намерихме района му. Но освен това тази фигура може да се върти и то по два начина:

– около оста x; - около оста y.

В тази статия ще бъдат разгледани и двата случая. Вторият метод на въртене е особено интересен, той причинява най-големи трудности, но всъщност решението е почти същото като при по-често срещаното въртене около оста x. Като бонус ще се върна към проблемът с намирането на площта на фигура , и да ви кажа как да намерите областта по втория начин - по оста. Дори не е толкова бонус, тъй като материалът се вписва добре в темата.

Нека започнем с най-популярния тип ротация.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртенето на плоска фигура около ос

Пример 1

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане на фигурата, ограничена с линии, около оста.

Решение:Както в проблема с намирането на областта, решението започва с чертеж на плоска фигура. Тоест, на равнината е необходимо да се изгради фигура, ограничена от линии, , като не забравяме, че уравнението определя оста. Как да направите чертеж по-рационално и по-бързо можете да намерите на страниците Графики и свойства на елементарни функции И Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура . Това е китайско напомняне и аз не спирам до тук.

Чертежът тук е доста прост:

Желаната плоска фигура е оцветена в синьо, тя е тази, която се върти около оста. В резултат на въртене се получава тази леко яйцевидна летяща чиния, която е симетрична спрямо оста. Всъщност тялото има математическо име, но е твърде мързеливо да погледнем нещо в справочника, така че продължаваме напред.

Как да изчислим обема на въртеливото тяло?

Обемът на въртеливото тяло може да се изчисли по формулата:

Във формулата трябва да има число преди интеграла. Просто така се случи - всичко, което се върти в живота, е свързано с тази константа.

Как да зададете границите на интеграция "a" и "be", мисля, че е лесно да се познае от завършения чертеж.

Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Плоската фигура е ограничена от параболата отгоре. Това е функцията, която се подразбира във формулата.

В практически задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста. Това не променя нищо - функцията във формулата е на квадрат: , следователно обемът на тялото на въртене винаги е неотрицателен, което е съвсем логично.

Изчислете обема на тялото на въртене, като използвате тази формула:

Както вече отбелязах, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да внимавате.

Отговор:

В отговора е необходимо да посочите размерността - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 "кубчета". Защо точно кубичен единици? Тъй като най-универсалната формулировка. Може да има кубични сантиметри, може да има кубични метри, може да има кубични километри и т.н., ето колко малки зелени човечета въображението ви може да побере в една летяща чиния.

Пример 2

Намерете обема на тялото, образувано от въртене около оста на фигурата, ограничена от линиите , ,

Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока.

Нека разгледаме два по-сложни проблема, които също често се срещат в практиката.

Пример 3

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите , , и

Решение:Нека изобразим на чертежа плоска фигура, ограничена от линии , , , , като не забравяме, че уравнението определя оста:

Желаната фигура е оцветена в синьо. Когато се завърти около оста, се получава една такава сюрреалистична поничка с четири ъгъла.

Обемът на тялото на въртене се изчислява като разлика в обема на тялото.

Първо, нека разгледаме фигурата, която е оградена в червено. При въртенето му около оста се получава пресечен конус. Нека обозначим обема на този пресечен конус като .

Помислете за фигурата, която е оградена в зелено. Ако завъртите тази фигура около оста, ще получите и пресечен конус, само малко по-малък. Нека обозначим неговия обем с .

И очевидно разликата в обемите е точно обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула за намиране на обема на въртящо се тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обемът на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Любопитно е, че в този случай решението може да се провери с помощта на училищната формула за изчисляване на обема на пресечен конус.

Самото решение често се прави по-кратко, нещо подобно:

Сега нека си дадем почивка и да поговорим за геометричните илюзии.

Хората често имат илюзии, свързани с томове, които Перелман (не същото) забеляза в книгата Интересна геометрия. Погледнете плоската фигура в решената задача - тя изглежда малка по площ, а обемът на тялото на въртене е малко над 50 кубични единици, което изглежда твърде голямо. Между другото, средностатистическият човек през целия си живот пие течност с обем на стая от 18 квадратни метра, което, напротив, изглежда твърде малък обем.

Като цяло образователната система в СССР наистина беше най-добрата. Същата книга на Перелман, написана от него през 1950 г., развива много добре, както каза хумористът, разсъждения и ви учи да търсите оригинални нестандартни решения на проблеми. Наскоро препрочетох някои глави с голям интерес, препоръчвам го, достъпно е дори за хуманитаристи. Не, не е нужно да се усмихвате, че предложих безпроблемно забавление, ерудицията и широките перспективи в общуването са страхотно нещо.

След лирично отклонение е подходящо да решите творческа задача:

Пример 4

Да се изчисли обемът на тяло, образувано от въртене около оста на плоска фигура, ограничена от линиите , , където .

Това е пример за „направи си сам“. Моля, имайте предвид, че всички неща се случват в лентата, с други думи, дадени са почти готови ограничения за интеграция. Също така се опитайте да начертаете правилно графиките на тригонометричните функции, ако аргументът е разделен на две: , тогава графиките се разтягат по оста два пъти. Опитайте се да намерите поне 3-4 точки според тригонометричните таблици и направете чертежа по-точен. Пълно решение и отговор в края на урока. Между другото, задачата може да бъде решена рационално и не много рационално.

Обемът на тялото на въртене може да се изчисли по формулата:

Как да зададете границите на интеграция "a" и "be", мисля, че е лесно да се познае от завършения чертеж.

Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Плоската фигура е ограничена от параболичната графика в горната част. Това е функцията, която се подразбира във формулата.

В практически задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста. Това не променя нищо - интегрантът във формулата е на квадрат:, следователно интегралът винаги е неотрицателен , което е съвсем логично.

Изчислете обема на тялото на въртене, като използвате тази формула:

Както вече отбелязах, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да внимавате.

Отговор:

Пример 2

Намерете обема на тяло, образувано от въртене около оста на фигурата, ограничена от линии,,

Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока.

Нека разгледаме два по-сложни проблема, които също често се срещат в практиката.

Пример 3

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите ,, и

Решение: Нека начертаем плоска фигура в чертежа, ограничена от линии ,,,, като не забравяме, че уравнението задава оста:

Обемът на тялото на въртене се изчислява като разлика в обема на тялото.

Първо, нека разгледаме фигурата, която е оградена в червено. При въртенето му около оста се получава пресечен конус. Обемът на този пресечен конус се означава с.

И очевидно разликата в обемите е точно обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула за намиране на обема на въртящо се тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обемът на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Самото решение често се прави по-кратко, нещо подобно:

Сега нека си дадем почивка и да поговорим за геометричните илюзии.

Хората често имат илюзии, свързани с томове, които Перелман (друг) забеляза в книгата Интересна геометрия. Погледнете плоската фигура в решената задача - тя изглежда малка по площ, а обемът на тялото на въртене е малко над 50 кубични единици, което изглежда твърде голямо. Между другото, средностатистическият човек през целия си живот пие течност с обем на стая от 18 квадратни метра, което, напротив, изглежда твърде малък обем.

Като цяло образователната система в СССР наистина беше най-добрата. Същата книга на Перелман, публикувана през 1950 г., развива много добре, както каза хумористът, разсъждения и ви учи да търсите оригинални нестандартни решения на проблеми. Наскоро препрочетох някои глави с голям интерес, препоръчвам го, достъпно е дори за хуманитаристи. Не, не е нужно да се усмихвате, че предложих безпроблемно забавление, ерудицията и широките перспективи в общуването са страхотно нещо.

След лирично отклонение е подходящо да решите творческа задача:

Пример 4

Изчислете обема на тяло, образувано от въртене около оста на плоска фигура, ограничена от линиите, където.

Това е пример за „направи си сам“. Имайте предвид, че всички неща се случват в лентата, с други думи, действително са дадени готови граници на интеграция. Правилно начертайте графики на тригонометрични функции, ще ви напомня материала на урока за геометрични трансформации на графики : ако аргументът се дели на две: , тогава графиките се разтягат по оста два пъти. Желателно е да намерите поне 3-4 точки според тригонометричните таблици за по-точно завършване на чертежа. Пълно решение и отговор в края на урока. Между другото, задачата може да бъде решена рационално и не много рационално.

Нека линията е ограничена. равнинната фигура е дадена в полярната координатна система.

Пример: Изчислете обиколката: x 2 +y 2 =R 2

Изчислете дължината на 4-та част от окръжността, разположена в I квадрант (х≥0, y≥0):

Ако уравнението на кривата е дадено в param-та форма:
, функциите x(t), y(t) са дефинирани и непрекъснати заедно с техните производни на интервала [α,β]. Производна, след което прави заместване във формулата:
и предвид това

получаваме
добавете множител
под знака на корена и накрая получаваме

Забележка: Дадена е равнинна крива, можете също да разгледате функция, дадена от параметри в пространството, след което функцията z=z(t) ще бъде добавена и формулата

Пример: Изчислете дължината на астроида, дадена от уравнението: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0

Изчислете дължината на 4-тата част:

според формулата

Дължината на дъгата на равнинна крива, дадена в полярната координатна система:

Нека уравнението на кривата е дадено в полярната координатна система:
е непрекъсната функция, заедно с нейната производна върху сегмента [α,β].

Формули за преход от полярни координати:

се разглеждат като параметрични:

ϕ - параметър, съгласно ф-ле

Пример: Изчислете дължината на кривата:
>0

Z-tion: изчислете половината обиколка:

Обемът на тялото, изчислен от площта на напречното сечение на тялото.

Нека е дадено тяло, ограничено от затворена повърхност, и нека площта на всяко сечение от това тяло е известна с равнина, перпендикулярна на оста Ox. Тази зона ще зависи от позицията на режещата равнина.

нека цялото тяло е затворено между 2 равнини, перпендикулярни на оста x, пресичащи я в точки x=a, x=b (a

За да определим обема на такова тяло, ние го разделяме на слоеве, използвайки секущи равнини, перпендикулярни на оста Ox и пресичащи я в точки. Във всеки частичен интервал
. Да изберем

и за всяка стойност i=1,….,n построяваме цилиндрично тяло, чиято образуваща е успоредна на Ox, а водеща е контурът на сечението на тялото с равнината x=С i , обемът на такъв елементарен цилиндър с площ на основата S=C i и височина ∆х i . V i =S(C i)∆x i. Обемът на всички такива елементарни цилиндри ще бъде
. Границата на тази сума, ако съществува и е крайна при max ∆х  0, се нарича обем на даденото тяло.

. Тъй като V n е интегралната сума за функцията S(x), непрекъсната на сегмента, тогава определената граница съществува (t-ma на съществуване) и се изразява чрез def. интегрална.

- обемът на тялото, изчислен от площта на напречното сечение.

Обем на тялото на въртене:

Нека тялото е образувано от въртене около оста Ox на криволинеен трапец, ограничен от графиката на функцията y=f(x), оста Ox и правите x=a, x=b.

Нека функцията y=f(x) е дефинирана и непрекъсната върху сегмента и неотрицателна върху него, тогава сечението на това тяло с равнина, перпендикулярна на Ox, е окръжност с радиус R=y(x)=f(x ) . Площта на кръга S (x) \u003d Py 2 (x) \u003d P 2. Заместване на формулата
получаваме формула за изчисляване на обема на въртящо се тяло около оста Ox:

Ако обаче криволинейният трапец се върти около оста Oy, ограничен от графика, непрекъсната върху функцията, тогава обемът на такова тяло на въртене:

Същият обем може да се изчисли по формулата:
. Ако линията е дадена чрез параметрични уравнения:

Чрез промяна на променливата получаваме:

Ако линията е дадена чрез параметрични уравнения:

y (α)= c , y (β)= d . Правейки промяната y = y (t), получаваме:

Изчислете телата на въртене около оста y на параболата, .

2) Изчислете V на тялото на въртене около оста OX на криволинеен трапец, ограничен от права линия y \u003d 0, дъга (с център в точка (1; 0) и радиус = 1), с .

Площ на повърхността на тялото на въртене

Нека дадената повърхност е образувана от въртенето на кривата y=f(x) около оста x. Необходимо е да се определи S на тази повърхност при .

Нека функцията y \u003d f (x) е определена и непрекъсната, има неотрицателни и неотрицателни във всички точки на сегмента [a; c]

Нека начертаем хорди, чиито дължини означаваме съответно (n-хорди)

според теоремата на Лагранж:

Площта на цялата описана прекъсната линия ще бъде равна на

Определение: границата на тази сума, ако е крайна, когато най-голямата връзка на полилинията max , се нарича площта на разглежданата повърхност на въртене.

Може да се докаже, че сто граница на сумата е равна на границата на интегралната сума за p-та

Формула за S повърхност на тяло на въртене =

S на повърхността, образувана от въртенето на дъгата на кривата x=g(x) около оста Oy при

Продължава с производната си

Ако кривата е зададена параметрично с ур-мих=x(t) ,г= T(T) функциих’(T), г’(T), х(T), г(T) са определени на сегмента [а; b], х(а)= а, х(b)= bслед което правите промяната на заместванетох= х(T)

Ако кривата е дадена параметрично, като направим промяна във формулата, получаваме:

Ако уравнението на кривата е дадено в полярната координатна система

Сповърхността на въртене около оста ще бъде равна на

Обемът на въртеливото тяло може да се изчисли по формулата:

Как да зададете границите на интеграция "a" и "be", мисля, че е лесно да се познае от завършения чертеж.

Изчислете обема на тялото на въртене, като използвате тази формула:

Както вече отбелязах, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да внимавате.

Отговор:

Пример 2

Намерете обема на тялото, образувано от въртене около оста на фигурата, ограничена от линиите , ,

Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока.

Нека разгледаме два по-сложни проблема, които също често се срещат в практиката.

Пример 3

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите , , и

Обемът на тялото на въртене се изчислява като разлика в обема на тялото.

И очевидно разликата в обемите е точно обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула за намиране на обема на въртящо се тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обемът на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Самото решение често се прави по-кратко, нещо подобно:

Сега нека си дадем почивка и да поговорим за геометричните илюзии.

След лирично отклонение е подходящо да решите творческа задача:

Пример 4

Това е пример за „направи си сам“. Моля, имайте предвид, че всички неща се случват в лентата, с други думи, дадени са почти готови ограничения за интеграция. Също така се опитайте да начертаете правилно графиките на тригонометричните функции, ако аргументът е разделен на две: , тогава графиките се разтягат по оста два пъти. Опитайте се да намерите поне 3-4 точки според тригонометричните таблиции направете чертежа по-точен. Пълно решение и отговор в края на урока. Между другото, задачата може да бъде решена рационално и не много рационално.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртене
плоска фигура около ос

Вторият параграф ще бъде още по-интересен от първия. Задачата за изчисляване на обема на въртящо се тяло около оста y също е доста чест гост в тестовете. В преминаване ще бъдат разгледани проблем за намиране на площта на фигуравторият начин - интеграция по оста, това ще ви позволи не само да подобрите уменията си, но и ще ви научи как да намерите най-изгодното решение. Има и практическо значение! Както моята учителка по методика на преподаване на математика си спомня с усмивка, много възпитаници й благодариха с думите: „Вашият предмет ни помогна много, сега сме ефективни мениджъри и управляваме персонала си оптимално.“ Използвайки случая, аз също изказвам своята голяма благодарност към нея, особено след като използвам придобитите знания по предназначение =).

Пример 5

Дадена е плоска фигура, ограничена от линии , , .

1) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от тези линии.
2) Намерете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

внимание!Дори ако искате да прочетете само втория параграф, първо Задължителнопрочети първата!

Решение:Задачата се състои от две части. Да започнем с квадрата.

1) Нека изпълним чертежа:

Лесно се вижда, че функцията дефинира горния клон на параболата, а функцията дефинира долния клон на параболата. Пред нас е тривиална парабола, която "лежи на една страна".

Желаната фигура, чиято площ трябва да се намери, е оцветена в синьо.

Как да намерите площта на фигура? Може да се намери по "обичайния" начин, който беше разгледан в урока. Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура. Освен това площта на фигурата се намира като сбор от площите:
- на сегмента;
- на сегмента.

Ето защо:

Какво не е наред с обичайното решение в този случай? Първо, има два интеграла. Второ, корените под интегралите и корените в интегралите не са подарък, освен това човек може да се обърка при заместването на границите на интегрирането. Всъщност интегралите, разбира се, не са смъртоносни, но на практика всичко е много по-тъжно, просто взех „по-добри“ функции за задачата.

Има по-рационално решение: то се състои в преход към обратни функции и интегриране по оста.

Как да преминем към обратни функции? Грубо казано, трябва да изразите "x" чрез "y". Първо, нека се справим с параболата:

Това е достатъчно, но нека се уверим, че същата функция може да бъде извлечена от долния клон:

С права линия всичко е по-лесно:

Сега погледнете оста: моля, периодично накланяйте главата си надясно на 90 градуса, докато обяснявате (това не е шега!). Фигурата, от която се нуждаем, лежи върху сегмента, който е обозначен с червена пунктирана линия. В същото време на сегмента правата линия е разположена над параболата, което означава, че площта на фигурата трябва да се намери с помощта на формулата, която вече ви е позната:. Какво се промени във формулата? Само едно писмо и нищо повече.

! Забележка: Границите на интегриране по оста трябва да бъдат зададени строго отдолу нагоре!

Намиране на областта:

Следователно на сегмента:

Обърнете внимание как съм извършил интегрирането, това е най-рационалният начин, а в следващия параграф от заданието ще стане ясно защо.

За читателите, които се съмняват в правилността на интеграцията, ще намеря производни:

Получава се оригиналният интегранд, което означава, че интегрирането е извършено правилно.

Отговор:

2) Изчислете обема на тялото, образувано от въртенето на тази фигура около оста.

Ще преначертая чертежа в малко по-различен дизайн:

И така, фигурата, оцветена в синьо, се върти около оста. Резултатът е "витаеща пеперуда", която се върти около оста си.

За да намерим обема на тялото на въртене, ще интегрираме по оста. Първо трябва да преминем към обратните функции. Това вече беше направено и описано подробно в предишния параграф.

Сега отново накланяме главата си надясно и изучаваме фигурата си. Очевидно обемът на тялото на въртене трябва да се намери като разликата между обемите.

Завъртаме фигурата, оградена в червено около оста, което води до пресечен конус. Нека обозначим този обем с .

Завъртаме фигурата, оградена в зелено, около оста и я обозначаваме чрез обема на полученото тяло на въртене.

Обемът на нашата пеперуда е равен на разликата в обемите.

Използваме формулата, за да намерим обема на въртящо се тяло:

Как се различава от формулата от предишния параграф? Само с букви.

И тук е предимството на интегрирането, за което наскоро говорих, че е много по-лесно да се намери, отколкото първо да повдигнем интегранта на 4-та степен.

Отговор:

Въпреки това, болнава пеперуда.

Имайте предвид, че ако една и съща плоска фигура се завърти около оста, тогава ще се получи напълно различно тяло на революция, с различен, естествено, обем.

Пример 6

Дадена е плоска фигура, ограничена от линии и ос.

1) Отидете на обратни функции и намерете областта на плоска фигура, ограничена от тези линии, като интегрирате върху променливата.
2) Изчислете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

Това е пример за „направи си сам“. Тези, които желаят, могат също да намерят площта на фигурата по "обичайния" начин, като по този начин завършат теста от точка 1). Но ако, повтарям, завъртите плоска фигура около оста, тогава получавате напълно различно тяло на въртене с различен обем, между другото, правилният отговор (също и за тези, които обичат да решават).

Пълното решение на двете предложени точки от задачата в края на урока.

О, и не забравяйте да наклоните главата си надясно, за да разберете ротационните тела и в рамките на интеграцията!

Исках, вече беше, да довърша статията, но днес дадоха интересен пример само за намиране на обема на въртеливо тяло около оста у. прясно:

Пример 7

Изчислете обема на тялото, образувано от въртене около оста на фигурата, ограничена от кривите и. Лявото неизползвано разклонение на параболата съответства на обратната функция - графиката на функцията е разположена на сегмента над оста;

Логично е да се приеме, че обемът на едно въртеливо тяло трябва да се търси вече като сбор от обемите на въртящите се тела!

Използваме формулата:

В такъв случай:

Отговор:

IN проблемът с намирането на площта на фигурачесто се използва сумирането на площите, а сумирането на обемите на телата на въртене очевидно е рядкост, тъй като такова разнообразие почти изпадна от моето зрително поле. Все пак е добре, че разглежданият пример се появи своевременно - успяхме да извадим много полезни неща.

Успешно популяризиране на фигури!

С изключение намиране на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл (виж 7.2.3.)най-важното приложение на темата е изчисляване на обема на въртеливото тяло. Материалът е прост, но читателят трябва да бъде подготвен: необходимо е да можете да решите неопределени интегралисредна сложност и приложете формулата на Нютон-Лайбниц в определен интеграл, nНеобходими са и добри умения за чертане. Като цяло има много интересни приложения в интегралното смятане; използвайки определен интеграл, можете да изчислите площта на фигура, обема на въртящо се тяло, дължината на дъгата, повърхността на тялото и много повече. Представете си някаква плоска фигура в координатната равнина. Представено? ... Сега тази фигура също може да се завърта, и то по два начина:

- около оста x ;

- около оста y .

Нека да разгледаме и двата случая. Вторият метод на въртене е особено интересен, той причинява най-големи трудности, но всъщност решението е почти същото като при по-често срещаното въртене около оста x. Нека започнем с най-популярния тип ротация.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртенето на плоска фигура около ос ОХ

Пример 1

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане на фигурата, ограничена с линии, около оста.

Решение:Както в проблема с намирането на областта, решението започва с чертеж на плоска фигура. Тоест в самолета XOYнеобходимо е да се изгради фигура, ограничена от линии, като не се забравя, че уравнението определя оста. Чертежът тук е доста прост:

Желаната плоска фигура е оцветена в синьо, тя е тази, която се върти около оста. В резултат на въртене се получава такава леко яйцевидна летяща чиния с два остри върха по оста. ОХ, симетричен спрямо оста ОХ. Всъщност тялото има математическо име, вижте в справочника.

Как да изчислим обема на въртеливото тяло? Ако тялото е образувано в резултат на въртене около осОХ, мислено се разделя на успоредни слоеве с малка дебелина dxкоито са перпендикулярни на оста ОХ. Обемът на цялото тяло очевидно е равен на сумата от обемите на такива елементарни слоеве. Всеки слой, подобно на кръгъл резен лимон, е висок нисък цилиндър dxи с основен радиус f(х). Тогава обемът на един слой е произведението на основната площ π f 2 до височината на цилиндъра ( dx), или π∙ f 2 (х)∙dx. И площта на цялото тяло на революция е сумата от елементарни обеми или съответния определен интеграл. Обемът на въртеливото тяло може да се изчисли по формулата:

Как да зададете границите на интеграция "a" и "be" е лесно да се познае от завършения чертеж. Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Плоската фигура е ограничена от параболата отгоре. Това е функцията, която се подразбира във формулата. В практически задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста ОХ. Това не променя нищо - функцията във формулата е на квадрат: f 2 (х), По този начин, обемът на тялото на въртене винаги е неотрицателен, което е съвсем логично. Изчислете обема на тялото на въртене, като използвате тази формула:

Както вече отбелязахме, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да бъдете внимателни.

Отговор:

В отговора е необходимо да посочите размерността - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 "кубчета". Защо точно кубичен единици? Защото това е най-универсалната формула. Може да има кубични сантиметри, може да има кубични метри, може да има кубични километри и т.н., ето колко малки зелени човечета въображението ви може да побере в една летяща чиния.

Пример 2

Намерете обема на тяло, образувано от въртене около ос ОХфигура, ограничена от линии , , .

Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока.

Пример 3

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите , , и .

Решение:Нека изобразим на чертежа плоска фигура, ограничена от линии , , , , като не забравяме, че уравнението х= 0 определя оста ой:

Желаната фигура е оцветена в синьо. Когато се върти около оста ОХсе оказва плосък ъглов багел (шайба с две конични повърхности).

Обемът на тялото на въртене се изчислява като разлика в обема на тялото. Първо, нека разгледаме фигурата, която е оградена в червено. Когато се върти около оста ОХкоето води до пресечен конус. Нека обозначим обема на този пресечен конус като V 1 .

Помислете за фигурата, която е оградена в зелено. Ако завъртим тази фигура около оста ОХ, тогава получавате и пресечен конус, само малко по-малък. Нека означим неговия обем с V 2 .

Очевидно разликата в обема V = V 1 - V 2 е обемът на нашата "поничка".

Използваме стандартната формула за намиране на обема на въртящо се тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обемът на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Самото решение често се прави по-кратко, нещо подобно: