В правоъгълен трапец диагоналите са взаимни. Диагонали на трапец. Формули за намиране на диагонали на трапец

Отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапец, е равна на половината от разликата на основите
Триъгълниците, образувани от основите на трапец и отсечките на диагоналите до пресечната им точка, са подобни
Триъгълниците, образувани от сегменти на диагоналите на трапец, чиито страни лежат на страничните страни на трапеца - са еднакви по размер (имат еднаква площ)
Ако разширите страните на трапеца към по-малката основа, тогава те ще се пресичат в една точка с правата линия, свързваща средните точки на основите
Сегмент, свързващ основите на трапеца и минаващ през точката на пресичане на диагоналите на трапеца, се разделя от тази точка в пропорция, равна на съотношението на дължините на основите на трапеца
Отсечка, успоредна на основите на трапеца и прекарана през точката на пресичане на диагоналите, е разделена наполовина от тази точка и нейната дължина е равна на 2ab/(a + b), където a и b са основите на трапец

Свойства на отсечка, свързваща средината на диагоналите на трапец

Нека свържем средите на диагоналите на трапеца ABCD, в резултат на което ще имаме отсечка LM.
Отсечка, свързваща средните точки на диагоналите на трапец лежи на средната линия на трапеца.

Този сегмент успоредни на основите на трапеца.

Дължината на отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапец, е равна на половината от разликата на неговите основи.

LM = (AD - BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства на триъгълниците, образувани от диагоналите на трапец

Триъгълници, образувани от основите на трапеца и пресечната точка на диагоналите на трапеца - са подобни.
Триъгълниците BOC и AOD са подобни. Тъй като ъглите BOC и AOD са вертикални, те са равни.
Ъгли OCB и OAD са вътрешни ъгли, лежащи на кръст с успоредни прави AD и BC (основите на трапеца са успоредни една на друга) и секуща AC, следователно са равни.
Ъглите OBC и ODA са равни по същата причина (вътрешни на кръст).

Тъй като и трите ъгъла на един триъгълник са равни на съответните ъгли на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са подобни.

Какво следва от това?

За решаване на проблеми в геометрията сходството на триъгълниците се използва, както следва. Ако знаем дължините на два съответстващи елемента на подобни триъгълници, тогава намираме коефициента на подобие (разделяме единия на другия). Откъдето дължините на всички други елементи са свързани помежду си с точно същата стойност.

Свойства на триъгълници, лежащи на странична страна и диагонали на трапец

Да разгледаме два триъгълника, лежащи на страничните страни на трапеца AB и CD. Това са триъгълници AOB и COD. Въпреки факта, че размерите на отделните страни на тези триъгълници могат да бъдат напълно различни, но площите на триъгълниците, образувани от страничните страни и пресечната точка на диагоналите на трапеца, са равни, тоест триъгълниците са еднакви по размер.

Ако разширим страните на трапеца към по-малката основа, тогава точката на пресичане на страните ще бъде съвпадат с права линия, която минава през средата на основите.

Така всеки трапец може да бъде разширен в триъгълник. при което:

Триъгълниците, образувани от основите на трапец с общ връх в точката на пресичане на разширените страни, са подобни
Правата линия, свързваща средните точки на основите на трапеца, в същото време е медианата на построения триъгълник

Свойства на отсечка, свързваща основите на трапец

Ако начертаете сегмент, чиито краища лежат върху основите на трапец, който се намира в точката на пресичане на диагоналите на трапеца (KN), тогава съотношението на неговите съставни сегменти от страната на основата до точката на пресичане на диагоналите (KO/ON) ще бъде равно на отношението на основите на трапеца(пр. н. е./сл. н. е.).

KO/ON = BC/AD

Този имотследва от сходството на съответните триъгълници (виж по-горе).

Свойства на отсечка, успоредна на основите на трапец

Ако начертаем сегмент, успореден на основите на трапеца и минаващ през точката на пресичане на диагоналите на трапеца, тогава той ще има следните свойства:

Определено разстояние (км) разполовена от пресечната точка на диагоналите на трапеца
Дължина на секциятаминаваща през точката на пресичане на диагоналите на трапеца и успоредна на основите е равна на KM = 2ab/(a + b)

Формули за намиране на диагонали на трапец

а, б- трапецовидни основи

c,d- страни на трапеца

d1 d2- диагонали на трапец

α β - ъгли с по-голяма основа на трапеца

Формули за намиране на диагоналите на трапец през основите, страните и ъглите в основата

Първата група формули (1-3) отразява едно от основните свойства на диагоналите на трапеца:

1. Сборът от квадратите на диагоналите на трапец е равен на сбора от квадратите на страните плюс два пъти произведението на неговите основи. Това свойство на диагоналите на трапеца може да се докаже като отделна теорема

2 . Тази формулаполучено чрез трансформиране на предишната формула. Квадратът на втория диагонал се прехвърля през знака за равенство, след което квадратният корен се извлича от лявата и дясната страна на израза.

3 . Тази формула за намиране на дължината на диагонала на трапец е подобна на предишната, с тази разлика, че друг диагонал е оставен от лявата страна на израза

Следващата група формули (4-5) са близки по смисъл и изразяват подобна връзка.

Групата формули (6-7) ви позволява да намерите диагонала на трапец, ако са известни по-голямата основа на трапеца, едната страна и ъгълът при основата.

Формули за намиране на диагоналите на трапец по височина

Забележка. Този урок предоставя решения на геометрични задачи за трапеци. Ако не сте намерили решение на геометрична задача от вида, който ви интересува, задайте въпрос във форума.

Задача.
Диагоналите на трапеца ABCD (AD | | BC) се пресичат в точка O. Намерете дължината на основата BC на трапеца, ако основата AD = 24 cm, дължина AO = 9 cm, дължина OS = 6 cm.

Решение.
Решението на този проблем е идеологически абсолютно идентично с предишните проблеми.

Триъгълниците AOD и BOC са подобни в три ъгъла - AOD и BOC са вертикални, а останалите ъгли са равни по двойки, тъй като се образуват от пресичането на една права и две успоредни прави.

Тъй като триъгълниците са подобни, всичките им геометрични размери са свързани помежду си, точно както геометричните размери на познатите ни сегменти AO и OC според условията на задачата. Това е

AO/OC = AD/BC
9 / 6 = 24 / пр.н.е
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Отговор: 16 см

Задача .
В трапеца ABCD е известно, че AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Намерете площта на трапеца.

Решение .
За да намерим височината на трапец от върховете на по-малката основа B и C, спускаме две височини към по-голямата основа. Тъй като трапецът е неравен, означаваме дължина AM = a, дължина KD = b ( да не се бърка с обозначението във формулатанамиране на площта на трапец). Тъй като основите на трапеца са успоредни и сме пуснали две височини, перпендикулярни на по-голямата основа, тогава MBCK е правоъгълник.

Средства
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Триъгълниците DBM и ACK са правоъгълни, така че техните прави ъгли се образуват от височините на трапеца. Нека означим височината на трапеца с h. Тогава по Питагоровата теорема

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
И
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Нека вземем предвид, че a = 16 - b, тогава в първото уравнение
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Нека заместим стойността на квадрата на височината във второто уравнение, получено с помощта на Питагоровата теорема. Получаваме:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Така че KD = 12
Където
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Намерете площта на трапеца през неговата височина и половината от сбора на основите
, където a b - основата на трапеца, h - височината на трапеца
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2

Отговор: площта на трапеца е 80 cm2.

Ако диагоналите в равнобедрен трапец са перпендикулярни, следният теоретичен материал ще бъде полезен при решаването на задачата.

1. Ако диагоналите в равнобедрен трапец са перпендикулярни, височината на трапеца е равна на половината от сбора на основите.

Нека начертаем права CF, успоредна на BD, през точка C и продължим правата AD, докато се пресече с CF.

Четириъгълник BCFD е успоредник (BC∥ DF като основа на трапец, BD∥ CF по конструкция). Така че CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC.

Триъгълникът ACF е правоъгълен (ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата права). Тъй като в равнобедрен трапец диагоналите са равни и CF=BD, то CF=AC, тоест триъгълникът ACF е равнобедрен с основа AF. Това означава, че нейната височина CN също е медианата. И тъй като медианата на правоъгълен триъгълник, начертана към хипотенузата, е равна на половината от нея, тогава

какво в общ изгледможе да се напише като

където h е височината на трапеца, a и b са неговите основи.

2. Ако диагоналите в равнобедрен трапец са перпендикулярни, то височината му е равна на средната линия.

Тъй като средната линия на трапеца m е равна на половината от сбора на основите, тогава

3. Ако диагоналите в равнобедрен трапец са перпендикулярни, тогава площта на трапеца е равна на квадрата на височината на трапеца (или квадрата на полусумата на основите, или квадрата на средната линия ).

Тъй като площта на трапец се намира по формулата

и височината, половината от сбора на основите и средната линия на равнобедрен трапец с перпендикулярни диагонали са равни една на друга:

4. Ако диагоналите в равнобедрен трапец са перпендикулярни, тогава квадратът на неговия диагонал е равен на половината от квадрата на сбора от основите, както и на два пъти квадрата на височината и два пъти квадрата на средната линия.

Тъй като площта на изпъкнал четириъгълник може да се намери чрез неговите диагонали и ъгъла между тях, като се използва формулата

Отново питагоровият триъгълник :))) Ако част от големия диагонал от голямата основа до пресечната точка се обозначи с x, то от очевидното сходство на правоъгълни триъгълници с равни ъгли следва.x/64 = 36/x, следователно x = 48;48/64 = 3/ 4, така че ВСИЧКИ правоъгълни триъгълници, образувани от основи, диагонали и страна, перпендикулярна на основата, са подобни на триъгълник със страни 3,4,5. Единственото изключение е триъгълник, образуван от парчета диагонали и наклонена страна, но той не ни интересува :). (За да стане ясно, въпросното сходство е просто тригонометрични функции на ъгли, НАЗВАНИ ПО РАЗЛИЧЕН начин:) вече знаем тангенса на ъгъла между големия диагонал и голямата основа, той е равен на 3/4, което означава, че синусът е равно на 3/5, а косинусът е 4 /5:)) Можеш да пишеш веднага

Отговори. Долната основа е 80, височината на трапеца ще бъде 60, а горната ще бъде 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)

Подобни задачи:

1. Основата на призмата е триъгълник, чиято една страна е 2 см, а другите две са с дължина 4 см и сключват ъгъл 45 с равнината на основата от равен куб.

2. Основата на наклонената призма е равностранен триъгълник със страна а; една от страничните стени е перпендикулярна на равнината на основата и е ромб, чийто по-малък диагонал е равен на c. Намерете обема на призмата.

3. В наклонена призма основата е правоъгълен триъгълник, чиято хипотенуза е равна на c, единият остър ъгъл е 30, страничният ръб е равен на k и сключва ъгъл 60 с равнината на основата. Намерете обема на призмата.

1. Намерете страната на квадрата, ако диагоналът му е 10 cm

2. В равнобедрен трапец тъпият ъгъл е 135 градуса, основата е 4 см, а височината е 2 см, намерете площта на трапеца?

3. Височината на трапеца е 3 пъти по-голяма от едната основа, но наполовина по-малка от другата. Намерете основите на трапеца и височината, ако лицето на трапеца е 168 см квадрат?

4. В триъгълник ABC, ъгъл A = Под ъгъл = 75 градуса. Намерете BC, ако лицето на триъгълника е 36 cm квадрат.

1. В трапец ABCD със страни AB и CD диагоналите се пресичат в точка O

а) Сравнете повърхнините на триъгълниците ABD и ACD

б) Сравнете повърхнините на триъгълниците ABO и CDO

в) Докажете, че OA*OB=OC*OD

2. Основата на равнобедрен триъгълник се отнася към страната като 4:3, а прекараната към основата височина е 30 см. Намерете отсечките, на които ъглополовящата на ъгъла при основата дели тази височина.

3. Правата AM е допирателна към окръжност, AB е хорда на тази окръжност. Докажете, че ъгъл MAB се измерва с половината от дъгата AB, разположена вътре в ъгъл MAB.