Към 4 свойства на квадратни корени подготвителна версия. Свойства на корените, формулировки, доказателства, примери. Вече напълно сам

\(\sqrt(a)=b\) ако \(b^2=a\), където \(a≥0,b≥0\)

Примери:

\(\sqrt(49)=7\), защото \(7^2=49\)
\(\sqrt(0,04)=0,2\), защото \(0,2^2=0,04\)

Как да извадя корен квадратен от число?

За да извлечете корен квадратен от число, трябва да си зададете въпроса: кое число на квадрат ще даде израза под корена?

Например. Извлечете корена: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); в) \(\sqrt(0,001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

а) Какво число на квадрат ще даде \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

б) Какво число на квадрат ще даде \(\frac(4)(9)\)?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

в) Какво число на квадрат ще даде \(0,0001\)?

\(\sqrt(0,0001)=0,01\)

г) Какво число на квадрат ще даде \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? За да дадете отговор на въпроса, трябва да го преведете на грешен.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Коментирайте: Въпреки че \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) също отговарят на зададените въпроси , но те не се вземат предвид, тъй като квадратният корен винаги е положителен.

Основното свойство на корена

Както знаете, в математиката всяко действие има обратно действие. Събирането има изваждане, умножението има деление. Обратното на повдигането на квадрат е ваденето на квадратен корен. Следователно тези действия се отменят взаимно:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Това е основното свойство на корена, което се използва най-често (включително в OGE)

Пример . (задача от OGE). Намерете стойността на израза \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Решение :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Пример . (задача от OGE). Намерете стойността на израза \((\sqrt(85)-1)^2\)

решение:

Отговор: \(86-2\sqrt(85)\)

Разбира се, когато работите с квадратен корен, трябва да използвате други.

Пример . (задача от OGE). Намерете стойността на израза \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
решение:

Отговор: \(220\)

4 правила, които винаги се забравят

Коренът не винаги се извлича

Пример: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) и т.н. - извличането на корен от число не винаги е възможно и това е нормално!

Корен на число, също и число

Няма нужда да третирате \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) по някакъв специален начин. Това са числа, но не цели числа, да, но не всичко в нашия свят се измерва в цели числа.

Коренът се взема само от неотрицателни числа

Следователно в учебниците няма да видите такива записи \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) и т.н.

Погледнах отново чинията ... И да тръгваме!

Нека започнем с едно просто:

Чакай малко. това, което означава, че можем да го напишем така:

Схванах го? Ето следващия за вас:

Корените на получените числа не са точно извлечени? Не се притеснявайте, ето няколко примера:

Но какво ще стане, ако няма два множителя, а повече? Един и същ! Формулата за умножение на корен работи с произволен брой фактори:

Вече напълно независими:

Отговори:Много добре! Съгласете се, всичко е много лесно, основното е да знаете таблицата за умножение!

Коренно деление

Разбрахме умножението на корените, сега нека да преминем към свойството на делението.

Спомнете си, че формулата общ изгледизглежда така:

И това означава, че коренът на частното е равен на частното на корените.

Е, нека да разгледаме примерите:

Това е цялата наука. И ето един пример:

Всичко не е толкова гладко, колкото в първия пример, но както виждате, няма нищо сложно.

Ами ако изразът изглежда така:

Просто трябва да приложите формулата в обратен ред:

И ето един пример:

Можете също да видите този израз:

Всичко е същото, само тук трябва да запомните как да превеждате дроби (ако не си спомняте, погледнете темата и се върнете!). Спомняте ли си? Сега решаваме!

Сигурен съм, че сте се справили с всичко, всичко, сега нека се опитаме да изградим корени в степен.

степенуване

Какво се случва, ако квадратният корен се повдигне на квадрат? Просто е, запомнете значението на корен квадратен от число – това е число, чийто корен квадратен е равен на.

И така, ако повдигнем на квадрат число, чийто квадратен корен е равен, тогава какво получаваме?

Добре, разбира се, !

Нека да разгледаме примери:

Всичко е просто, нали? А ако коренът е в различна степен? Всичко е наред!

Придържайте се към същата логика и запомнете свойствата и възможните действия със силите.

Прочетете теорията по темата "" и всичко ще ви стане пределно ясно.

Например, ето един израз:

В този пример степента е четна, но какво ще стане, ако е нечетна? Отново приложете свойствата на мощността и факторизирайте всичко:

С това всичко изглежда ясно, но как да извлечете корена от число в степен? Ето например това:

Доста просто, нали? Ами ако степента е по-голяма от две? Следваме същата логика, използвайки свойствата на степените:

Е, всичко ясно ли е? След това решете вашите собствени примери:

А ето и отговорите:

Въведение под знака на корена

Какво просто не сме се научили да правим с корените! Остава само да практикувате въвеждането на числото под знака на корена!

Съвсем лесно е!

Да кажем, че имаме номер

Какво можем да направим с него? Е, разбира се, скрийте тройката под корена, като помните, че тройката е корен квадратен от!

Защо ни трябва? Да, само за да разширим нашите възможности при решаване на примери:

Как ви харесва това свойство на корените? Прави живота много по-лесен? За мен е така! само трябва да помним, че можем да въвеждаме само положителни числа под знака за квадратен корен.

Опитайте сами този пример:
успяхте ли Да видим какво трябва да получите:

Много добре! Успяхте да въведете число под знака корен! Нека да преминем към нещо също толкова важно - помислете как да сравнявате числа, съдържащи квадратен корен!

Сравнение на корена

Защо трябва да се научим да сравняваме числа, съдържащи квадратен корен?

Много просто. Често в големи и дълги изрази, срещани на изпита, получаваме ирационален отговор (сещате ли се какъв е? Вече говорихме за това днес!)

Трябва да поставим получените отговори на координатната линия, например, за да определим кой интервал е подходящ за решаване на уравнението. И тук възниква проблемът: на изпита няма калкулатор, а без него как да си представим кое число е по-голямо и кое по-малко? Това е!

Например, определете кое е по-голямо: или?

Няма да кажете веднага. Добре, нека използваме анализираното свойство за добавяне на число под знака за корен?

След това напред:

Е, очевидно, колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен!

Тези. ако означава.

От това твърдо заключаваме, че И никой няма да ни убеди в обратното!

Извличане на корени от големи числа

Преди това въведохме фактор под знака на корена, но как да го извадим? Просто трябва да го разложите и да извлечете извлеченото!

Възможно е да се отиде по друг начин и да се разложи на други фактори:

Не е лошо, нали? Всеки от тези подходи е правилен, решете как се чувствате комфортно.

Факторингът е много полезен при решаването на такива нестандартни задачи като тази:

Ние не се страхуваме, ние действаме! Разлагаме всеки фактор под корена на отделни фактори:

А сега опитайте сами (без калкулатор! Няма да е на изпита):

това ли е краят Ние не спираме на половината път!

Това е всичко, не е толкова страшно, нали?

Се случи? Браво, прав си!

Сега опитайте този пример:

И един пример е труден орех, така че не можете веднага да разберете как да подходите към него. Но ние, разбира се, сме в зъбите.

Е, нека започнем с факторизирането, става ли? Веднага отбелязваме, че можете да разделите число на (припомнете си знаците за делимост):

А сега опитайте сами (отново без калкулатор!):

Е, проработи ли? Браво, прав си!

Обобщаване

1. Корен квадратен (аритметичен корен квадратен) от неотрицателно число е неотрицателно число, чийто квадрат е равен.
   .
2. Ако просто вземем корен квадратен от нещо, винаги получаваме един неотрицателен резултат.
3. Свойства на аритметичен корен:
4. Когато сравнявате квадратни корени, трябва да се помни, че колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен.

Как ви харесва квадратният корен? Всичко е ясно?

Опитахме се да ви обясним без вода всичко, което трябва да знаете на изпита за корен квадратен.

Сега е твой ред. Пишете ни дали тази тема е трудна за вас или не.

Научихте ли нещо ново или вече всичко беше толкова ясно.

Пишете в коментарите и успех на изпитите!

Заглавие: Независим и тестови работипо алгебра и геометрия за 8 клас.

Помагалото съдържа самостоятелни и контролни работи по всички най-важни теми от курса по алгебра и геометрия за 8. клас.

Творбите се състоят от 6 варианта на три нива на трудност. Дидактическите материали са предназначени за организиране на диференцирана самостоятелна работа на учениците.

СЪДЪРЖАНИЕ
АЛГЕБРА 4
C-1 Рационално изразяване. Намаляване на фракцията 4
C-2 Събиране и изваждане на дроби 5
K-1 Рационални дроби. Събиране и изваждане на дроби 7
C-3 Умножение и деление на дроби. Повишаване на дроб на степен 10
C-4 Преобразуване на рационални изрази 12
C-5 Обратна пропорционалност и нейната графика 14
K-2 Рационални дроби 16
C-6 Аритметичен квадратен корен 18
C-7 Уравнение x2 = a. Функция y = y[x 20
C-8 Корен квадратен от произведение, дроб, степен на 22
K-3 Аритметичен квадратен корен и неговите свойства 24
C-9 Вмъкване и умножение в квадратен корен 27
C-10 Преобразуване на изрази, съдържащи квадратни корени 28
K-4 Приложение на свойствата на аритметичния корен квадратен 30
C-11 Непълни квадратни уравнения 32
C-12 Формула за квадратен корен 33
С-13 Решаване на задачи с помощта на квадратни уравнения. Теорема на Виета 34
K-5 Квадратни уравнения 36
C-14 Дробни рационални уравнения 38
C-15 Приложение на дробни рационални уравнения. Решаване на проблеми 39
K-6 дробни рационални уравнения 40
C-16 Свойства на числови неравенства 43
К-7 Числени неравенства и техните свойства 44
С-17 Линейни неравенства с една променлива 47
С-18 Системи линейни неравенства 48
К-8 Линейни неравенства и системи от неравенства с една променлива 50
C-19 степен c отрицателен показател 52
K-9 степен с цяло число 54
K-10 Годишен тест 56
ГЕОМЕТРИЯ (Според Погорелов) 58
C-1 Свойства и особености на успоредник". 58
C-2 правоъгълник. Ромб. Квадрат 60
K-1 успоредник 62
C-3 Теорема на Талес. Средна линия на триъгълник 63
C-4 Трапец. Средна линия на трапеца 66
К-2 Трапец. Средни линии на триъгълник и трапец .... 68
C-5 Питагорова теорема 70
С-6 Теорема, обратна на Питагоровата теорема. Перпендикулярно и наклонено 71
C-7 Неравенство на триъгълник 73
K-3 Питагорова теорема 74
C-8 Решаване на правоъгълни триъгълници 76
C-9 Свойства на тригонометричните функции 78
К-4 Правоъгълен триъгълник (обобщен тест) 80
С-10 Координати на средата на сегмента. Разстояние между точките. Уравнение на окръжност 82
C-11 Уравнение на права линия 84
К-5 декартови координати 86
С-12 Движение и неговите свойства. Централна и аксиална симетрия. навърши 88
С-13. Паралелен трансфер 90
C-14 Концепцията за вектор. Векторно равенство 92
C-15 Операции с вектори в координатна форма. Колинеарни вектори 94
C-16 Операции с вектори в геометрична форма 95
C-17 Точков продукт 98
К-6 вектори 99
K-7 Годишен тест 102
ГЕОМЕТРИЯ (По Атанасян) 104
C-1 Свойства и характеристики на успоредник 104
C-2 правоъгълник. Ромб. Квадрат 106
К-1 четириъгълници 108
C-3 Площ на правоъгълник, квадрат 109
C-4 Площ на успоредник, ромб, триъгълник 111
C-5 Трапецовидна площ 113
C-6 Питагорова теорема 114
K-2 квадратчета. Питагорова теорема 116
C-7 Дефиниция на подобни триъгълници. Свойство на ъглополовяща на триъгълник 118
С-8 Признаци за подобие на триъгълници 120
К-3 Подобие на триъгълници 122
C-9 Прилагане на сходство при решаване на проблеми 124
C-10 Връзки между страни и ъгли правоъгълен триъгълник 126
K-4 Приложение на подобието при решаване на проблеми. Връзки между страни и ъгли на правоъгълен триъгълник 128
C-11 Тангента към окръжност 130
C-12 Централен и вписан ъгъл 132
C-13 Теорема за произведението на отсечки от пресичащи се хорди. Забележителни триъгълни точки 134
C-14 Вписани и описани окръжности 136
K-5 Circle 137
C-15 Векторно събиране и изваждане 139
C-16 Векторно умножение с числото 141
C-17 Средна линия на трапеца 142
К-6 вектори. Прилагане на вектори за решаване на проблеми 144
K-7 Годишен тест 146
ОТГОВОРИ 148
ЛИТЕРАТУРА 157

ПРЕДГОВОР .
1. Една относително малка книга съдържа пълен комплект работа по проверка(включително финални тестове) за целия курс по алгебра и геометрия за 8. клас, така че е достатъчно да закупите по един комплект книги за клас.
Изпитите са предназначени за урока, самостоятелна работа- 20-35 минути, в зависимост от темата. За удобство при ползване на книгата заглавието на всяка самостоятелна и контролна работа отразява нейния предмет.

2. Колекцията ви позволява да извършвате диференциран контрол на знанията, тъй като задачите са разделени на три нива на сложност A, B и C. Ниво A съответства на задължителните изисквания на програмата, B - средното ниво на сложност, ниво C задачите са предназначени за ученици, които проявяват повишен интерес към математиката, както и за използване в класни стаи, училища, гимназии и лицеи с задълбочено проучванематематика. За всяко ниво са дадени 2 еквивалентни варианта един до друг (както обикновено са написани на дъската), така че една книга на бюро е достатъчна за урока.

Изтеглете безплатно електронна книга в удобен формат, гледайте и четете:
Изтеглете книгата за самостоятелна и контролна работа по алгебра и геометрия за 8 клас. Ершова А.П., Голобородко В.В., 2004 г. - fileskachat.com, бързо и безплатно изтегляне.

• Самостоятелна и контролна работа по геометрия за 11 клас. Голобородко В.В., Ершова А.П., 2004 г
• Самостоятелна и контролна работа по алгебра и геометрия за 9 клас. Ершова А.П., Голобородко В.В., 2004
• Самостоятелна и контролна работа по алгебра и геометрия, 8 клас, Ершова А.П., Голобородко В.В., Ершова А.С., 2013 г.

В тази статия ще анализираме основните свойства на корена. Нека започнем със свойствата на аритметичния квадратен корен, да дадем техните формулировки и да дадем доказателства. След това ще разгледаме свойствата на аритметичния корен от n-та степен.

Навигация в страницата.

Свойства на квадратен корен

В този раздел ще разгледаме следните основни свойства на аритметичния корен квадратен:

Във всяко от написаните равенства лявата и дясната част могат да бъдат разменени, например равенството може да бъде пренаписано като . В тази "обратна" форма свойствата на аритметичния квадратен корен се прилагат, когато опростяване на изразиточно толкова често, колкото и в "директната" форма.

Доказателството на първите две свойства се основава на дефиницията на аритметичния квадратен корен и на . И за да оправдаете последното свойство на аритметичния квадратен корен, трябва да запомните.

Така че нека започнем с доказателство за свойството на аритметичния корен квадратен от произведението на две неотрицателни числа: . За да направите това, според дефиницията на аритметичния корен квадратен, е достатъчно да се покаже, че е неотрицателно число, чийто квадрат е равен на a b. Хайде да го направим. Стойността на израза е неотрицателна като произведение на неотрицателни числа. Свойството степен на произведението на две числа ни позволява да запишем равенството , и тъй като по дефиницията на аритметичния корен квадратен и , тогава .

По подобен начин се доказва, че аритметичният корен квадратен от произведението на k неотрицателни множители a 1 , a 2 , …, a k е равен на произведението от аритметичния корен квадратен от тези множители. Наистина ли, . От това равенство следва, че .

Ето няколко примера: и .

Сега да докажем свойство на аритметичния корен квадратен от частно: . Свойството естествен коефициент на степен ни позволява да запишем равенството , а , докато има неотрицателно число. Това е доказателството.

Например и .

Време е за разглобяване свойство на аритметичния квадратен корен от квадрата на число, под формата на равенство се записва като . За да го докажете, разгледайте два случая: за a≥0 и за a<0 .

Очевидно е, че за a≥0 равенството е вярно. Също така е лесно да се види, че за a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 и (−a) 2 =a 2 . По този начин, , което трябваше да се докаже.

Ето няколко примера: и .

Току-що доказаното свойство на квадратния корен ни позволява да обосновем следния резултат, където a е всяко реално число, а m е всяко. Наистина, свойството степенуване ни позволява да заменим степента a 2 m с израза (a m) 2 , тогава .

Например, и .

Свойства на корена n-та

Нека първо изброим основните свойства на n-ти корени:

Всички написани равенства остават валидни, ако в тях се разменят лявата и дясната страна. В тази форма те също често се използват, главно при опростяване и трансформиране на изрази.

Доказателството за всички изразени свойства на корена се основава на дефиницията на аритметичния корен на n-та степен, на свойствата на степента и на дефиницията на модула на числото. Нека ги докажем по приоритет.

Да започнем с доказателството свойства на n-тия корен на продукт . За неотрицателни a и b стойността на израза също е неотрицателна, както и произведението на неотрицателни числа. Свойството произведение на естествените степени ни позволява да напишем равенството . По дефиниция на аритметичния корен на n-та степен и, следователно, . Това доказва разглежданото свойство на корена.

Това свойство се доказва по подобен начин за произведението на k фактора: за неотрицателни числа a 1 , a 2 , …, a n и .

Ето примери за използване на свойството корен на n-та степен на продукта: и .

Нека докажем коренно свойство на частното. За a≥0 и b>0 условието е изпълнено и .

Да покажем примери: и .

Продължаваме напред. Нека докажем свойство на корен n-ти от число на степен n. Тоест, ние ще го докажем за всяко реално a и естествено m. За a≥0 имаме и , което доказва равенството , и равенството очевидно. За<0 имеем и (последният преход е валиден поради свойството степен с четен показател), което доказва равенството , и е вярно поради факта, че когато говорим за корен на нечетна степен, взехме за всяко неотрицателно число c .

Ето примери за използване на анализираното коренно свойство: и .

Пристъпваме към доказателството на свойството на корена от корена. Нека разменим дясната и лявата част, тоест ще докажем валидността на равенството , което ще означава валидността на първоначалното равенство. За неотрицателно число a квадратният корен от формата е неотрицателно число. Спомняйки си свойството за повдигане на степен на степен и използвайки дефиницията на корена, можем да напишем верига от равенства от вида . Това доказва разглежданото свойство на корен от корен.

Свойството на корен от корен от корен се доказва по подобен начин и т.н. Наистина ли, .

Например, и .

Нека докажем следното свойство за намаляване на коренния експонент. За да направим това, по силата на дефиницията на корена, е достатъчно да покажем, че има неотрицателно число, което, когато е повдигнато на степен n m, е равно на a m. Хайде да го направим. Ясно е, че ако числото a е неотрицателно, то коренът n-ти от числото a е неотрицателно число. При което , което завършва доказателството.

Ето пример за използване на парсираното основно свойство: .

Нека докажем следното свойство, свойството на корена на степента на формата . Очевидно е, че за a≥0 степента е неотрицателно число. Освен това неговата n-та степен е равна на a m, наистина, . Това доказва разглежданото свойство на степента.

Например, .

Да продължим. Нека докажем, че за всякакви положителни числа a и b, за които условието a , тоест a≥b . А това противоречи на условието а

Например даваме правилното неравенство .

Накрая остава да докажем последното свойство на корена n-ти. Нека първо докажем първата част от това свойство, тоест ще докажем, че за m>n и 0 . След това, поради свойствата на степен с естествен показател, неравенството , тоест a n ≤ a m . И полученото неравенство за m>n и 0

По същия начин, от противно, се доказва, че за m>n и a>1 условието е изпълнено.

Нека дадем примери за приложението на доказаното свойство на корена в конкретни числа. Например неравенствата и са верни.

Библиография.

• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клетки. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати за технически училища).