Integrallarning asosiy xossalari. Noaniq integralning asosiy xossalari. Aniq integralda o'zgaruvchining o'zgarishi

Asosiy integratsiya formulalari hosilalar uchun formulalarni teskari aylantirish orqali olinadi, shuning uchun ko'rib chiqilayotgan mavzuni o'rganishni boshlashdan oldin, 1 ta asosiy funktsiyani farqlash uchun formulalarni takrorlash kerak (ya'ni hosilalar jadvalini eslang).

Antiderivativ tushunchasi bilan tanishib, noaniq integralning ta’rifi hamda differentsiallash va integrasiya amallarini solishtirar ekan, o’quvchilar integrasiya operatsiyasi ko’p qiymatli ekanligiga e’tibor berishlari kerak, chunki. ko'rib chiqilayotgan interval bo'yicha cheksiz antiderivativlar to'plamini beradi. Biroq, aslida, faqat bitta antiderivativni topish muammosi hal qilinadi, chunki berilgan funksiyaning barcha antiderivativlari bir-biridan doimiy qiymat bilan farqlanadi

qayerda C– ixtiyoriy qiymat 2 .

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar.

Antiderivativ funktsiyani aniqlang.

Noaniq integral nima?

Integrand nima?

Antiderivativ funksiyalar turkumining geometrik ma'nosini ko'rsating.

6. Oilada nuqtadan o'tuvchi egri chiziqni toping

2. Noaniq integralning xossalari.

ODDIY INTEGRALLAR JADVALI

Bu erda talabalar noaniq integralning quyidagi xossalarini o'rganishlari kerak.

Mulk 1. Noaniq integralning hosilasi 3-funktsiyaning integrasiga teng (ta'rifi bo'yicha)

Mulk 2. Integralning differensiali integralga teng

bular. agar differentsial belgisi integral belgisidan oldin kelsa, ular bir-birini bekor qiladi.

Mulk 3. Agar integral belgisi differensial belgi oldida bo'lsa, u holda ular bir-birini bekor qiladi va funktsiyaga ixtiyoriy doimiy qiymat qo'shiladi.

Mulk 4. Bir funktsiyaning ikkita anti hosilasining ayirmasi doimiy qiymatdir.

Mulk 5. Integral belgisi ostidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin

qayerda LEKIN doimiy sondir.

Aytgancha, bu xususiyatni tenglikning ikkala qismini (2.4) 2-xususiyatni hisobga olgan holda farqlash orqali osongina isbotlash mumkin.

Mulk 6. Funksiya yig‘indisining (farqining) integrali bu funksiyalar integrallarining yig‘indisiga (farqiga) teng (agar ular alohida mavjud bo‘lsa)

Bu xususiyat differensiallash orqali ham oson isbotlanadi.

Mulkni tabiiy umumlashtirish 6

. (2.6)

Integratsiyani differentsiallashga teskari harakat sifatida ko'rib chiqsak, to'g'ridan-to'g'ri eng oddiy hosilalar jadvalidan eng oddiy integrallarning quyidagi jadvalini olish mumkin.

Oddiy noaniq integrallar jadvali

1. , qaerda, (2.7)

2. , bu erda, (2.8)

4. , bu yerda, (2.10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

Eng oddiy noaniq integrallarning (2.7) - (2.16) formulalarini yoddan o'rganish kerak. Ularni bilish zarur, ammo integratsiyani o'rganish uchun etarli emas. Barqaror integratsiya ko'nikmalariga faqat juda ko'p muammolarni hal qilish orqali erishiladi (odatda har xil turdagi 150-200 ta misol).

Quyida integrallarni yuqoridagi jadvaldan ma'lum (2.7) - (2.16) integrallar yig'indisiga aylantirish orqali soddalashtirish misollari keltirilgan.

Misol 1.

Bu xossalar integralni elementar integrallardan biriga keltirish va keyingi hisoblash uchun uni o'zgartirishni amalga oshirish uchun ishlatiladi.

1. Noaniq integralning hosilasi integralga teng:

2. Noaniq integralning differensiali integralga teng:

3. Ayrim funksiya differensialining noaniq integrali shu funksiya va ixtiyoriy konstanta yig‘indisiga teng:

4. Integral belgisidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin:

Bundan tashqari, a ≠ 0

5. Yig‘indining (farq) integrali integrallarning yig‘indisiga (farqiga) teng:

6. Xususiyat 4 va 5 xossalarning birikmasidir:

Bundan tashqari, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Noaniq integralning o'zgarmaslik xususiyati:

Agar , keyin

8. Mulk:

Agar , keyin

Aslida, bu xususiyat o'zgaruvchan o'zgarish usuli yordamida integratsiyaning alohida holati bo'lib, keyingi bobda batafsilroq muhokama qilinadi.

Bir misolni ko'rib chiqing:

Avval 5-xususiyatni, keyin 4-xususiyatni qo‘lladik, so‘ngra antiderivativlar jadvalidan foydalandik va natijaga erishdik.

Onlayn integral kalkulyatorimizning algoritmi yuqorida sanab o'tilgan barcha xususiyatlarni qo'llab-quvvatlaydi va integralingiz uchun osonlikcha batafsil yechim topadi.

Ingliz tili: Vikipediya saytni yanada xavfsizroq qiladi. Siz kelajakda Vikipediyaga ulana olmaydigan eski veb-brauzerdan foydalanyapsiz. Qurilmangizni yangilang yoki AT administratoringizga murojaat qiling.

中文: ① ② ③ ④ shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng Salom).

Espanol: Vikipediya oʻz joyida. Usted está un utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse for Vikipedia in Futuro. Ma'muriyatga tegishli ma'lumotlarga murojaat qiling. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais: Vikipediya va uning xavfsizligini oshirish uchun sayt. Qadimgi veb-navigatorni ishga tushirish uchun Vikipediyaga ulanishdan foydalanish mumkin. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Ma'lumotlar qo'shimchalari va texnikalar va ingliz tilini o'z ichiga oladi.

日本語: ① ② ③ ③ ④ niè shǒuwàn níng, 今後, 今後するするするする接続できできます ↑, ↑ 管理面面更新 ↑ lííííííííííííííííííííííííííííííííííííí HIPííííí

nemis tili: Vikipediya Sicherheit der Webseite deb nomlanadi. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Vikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-administrator va. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise englischer Sprache-da Du unten topdi.

Italiano: Vikipediya sta rendendo il sito più sicuro. Vikipediyani futuro bilan bog'lash uchun brauzerdan foydalanmang. Eng afzal ko'rganingizda, ma'lumotni boshqarish yoki boshqarish imkoniyati mavjud. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico ingliz tilida.

magyar: Biz Vikipediyadan foydalanamiz. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Shvetsiya: Vikipediyani ko'r sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Vikipediya va framtiden. Yangilash IT-administrator bilan aloqada bo'ladi. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på Engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Biz ishonchsiz TLS protokoli versiyalari, xususan, saytlarimizga ulanishda brauzeringiz dasturiy taʼminotiga tayanadigan TLSv1.0 va TLSv1.1 uchun qoʻllab-quvvatlashni olib tashlaymiz. Bunga odatda eskirgan brauzerlar yoki eski Android smartfonlari sabab bo'ladi. Yoki bu korporativ yoki shaxsiy "Veb xavfsizligi" dasturiy ta'minotining aralashuvi bo'lishi mumkin, bu aslida ulanish xavfsizligini pasaytiradi.

Saytlarimizga kirish uchun veb-brauzeringizni yangilashingiz yoki boshqa yo'l bilan bu muammoni hal qilishingiz kerak. Bu xabar 2020-yil 1-yanvargacha qoladi. Shu sanadan keyin brauzeringiz serverlarimiz bilan aloqa o‘rnatolmaydi.

Ushbu maqolada aniq integralning asosiy xususiyatlari haqida batafsil so'z boradi. Ular Riman va Darbu integrali tushunchasi yordamida isbotlangan. Aniq integralni hisoblash 5 ta xususiyat tufayli o'tadi. Qolganlari turli iboralarni baholash uchun ishlatiladi.

Aniq integralning asosiy xossalariga o'tishdan oldin a dan b dan oshmasligiga ishonch hosil qilish kerak.

Aniq integralning asosiy xossalari

Ta'rif 1

X \u003d a uchun aniqlangan y \u003d f (x) funktsiyasi adolatli tenglikka o'xshaydi ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

Isbot 1

Bu erdan biz chegaralari mos keladigan integralning qiymati nolga teng ekanligini ko'ramiz. Bu Riman integralining natijasidir, chunki [ a oraliqdagi istalgan bo'lim uchun har bir integral yig'indisi s; a ] va har qanday nuqta tanlash z i nolga teng, chunki x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , shuning uchun biz integral funksiyalarning chegarasi nolga teng ekanligini olamiz.

Ta'rif 2

[ a oraliqda integrallanadigan funksiya uchun; b ] , ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x sharti bajariladi.

Isbot 2

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, integratsiyaning yuqori va pastki chegaralarini joylarda o'zgartirsangiz, u holda integralning qiymati qiymatni teskari tomonga o'zgartiradi. Bu xossa Riman integralidan olingan. Biroq, segmentning bo'linishini raqamlash x = b nuqtadan boshlanadi.

Ta'rif 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x segmentida aniqlangan y = f (x) va y = g (x) tipidagi integrallanuvchi funksiyalar uchun ishlatiladi [ a ; b] .

Isbot 3

y = f (x) ± g (x) funksiyaning integral yig‘indisini z i nuqtalari berilgan segmentlarga bo‘lish uchun yozing: s = ∑ i = 1 n f z i ± g z i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (z i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g z i x i - x i - 1 = s f ± s g

Bu erda s f va s g - segmentni bo'lish uchun y = f (x) va y = g (x) funktsiyalarning integral yig'indisi. l = m a x i = 1, 2, da chegaraga o'tgandan keyin. . . , n (x i - x i - 1) → 0 lim l → 0 s = lim l → 0 s f ± s g = lim l → 0 s g ± lim l → 0 s g bo‘lishini olamiz.

Rimanning ta'rifiga ko'ra, bu ifoda ekvivalentdir.

Ta'rif 4

Aniq integral belgisidan doimiy omilni chiqarish. [ a oraliqdan integrallanuvchi funksiya; ixtiyoriy qiymati k bo'lgan b ] ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x ko'rinishdagi haqiqiy tengsizlikka ega.

Isbot 4

Aniq integralning xususiyatini isbotlash avvalgisiga o'xshaydi:

s = ∑ i = 1 n k f z i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f z i (x i - x i - 1) = k s f ⇒ lim l → 0 s (lim l → 0) s f) = k lim l → 0 s f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Ta'rif 5

Agar y = f (x) ko rinishdagi funksiya a ∈ x , b ∈ x ga ega bo lgan x oraliqda integrallansa, ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x ni olamiz.

Isbot 5

Mulk c ∈ a uchun haqiqiy deb hisoblanadi; b, c ≤ a va c ≥ b uchun. Tasdiqlash avvalgi xususiyatlarga o'xshash tarzda amalga oshiriladi.

Ta'rif 6

Funksiya segmentidan integrallash qobiliyatiga ega bo'lganda [ a ; b], keyin bu har qanday ichki segment c uchun amalga oshirilishi mumkin; d ∈ a; b.

Isbot 6

Isbot Darboux xususiyatiga asoslangan: agar segmentning mavjud bo'limiga nuqtalar qo'shilsa, u holda pastki Darboux summasi kamaymaydi va yuqorisi ko'paymaydi.

Ta'rif 7

Funktsiya [ a ; b ] dan f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 har qanday x ∈ a qiymati uchun; b , u holda ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 ekanligini olamiz.

Xususiyatni Rieman integralining ta'rifi yordamida isbotlash mumkin: f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 manfiy bo'lmasligi sharti bilan segmentning bo'linish nuqtalari va z i nuqtalarining istalgan tanlovi uchun har qanday integral yig'indisi.

Isbot 7

Agar y = f (x) va y = g (x) funksiyalar [ a segmentida integrallansa; b ] bo‘lsa, quyidagi tengsizliklar o‘rinli hisoblanadi:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Ta'kidlanishicha, biz integratsiyaga yo'l qo'yilishi mumkinligini bilamiz. Ushbu xulosa boshqa xususiyatlarni isbotlashda qo'llaniladi.

Ta'rif 8

Integrallanuvchi funksiya uchun y = f (x) segmentdan [ a ; b ] ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ko‘rinishdagi haqiqiy tengsizlikka egamiz.

Isbot 8

Bizda shunday - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Oldingi xususiyatdan biz tengsizlikni had bo‘yicha integrallash mumkinligini va u - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ko‘rinishdagi tengsizlikka mos kelishini oldik. Bu qo‘sh tengsizlikni boshqa ko‘rinishda yozish mumkin: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Ta'rif 9

y = f (x) va y = g (x) funksiyalar [ a segmentidan integrallashganda; b ] uchun g (x) ≥ 0 har qanday x ∈ a uchun; b , m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x ko'rinishdagi tengsizlikni olamiz, bu erda m = m i n x ∈ a ; b f (x) va M = m a x x ∈ a; b f (x) .

Isbot 9

Tasdiqlash xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi. M va m eng katta va deb hisoblanadi eng kichik qiymat y = f (x) funksiya , [ a segmentidan aniqlangan; b ] , keyin m ≤ f (x) ≤ M . Ikki karrali tengsizlikni y = g (x) funktsiyaga ko'paytirish kerak, bu m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) ko'rinishdagi qo'sh tengsizlikning qiymatini beradi. Uni segmentga birlashtirish kerak [ a ; b ] bo'lsa, biz isbotlanishi kerak bo'lgan tasdiqni olamiz.

Natija: g (x) = 1 uchun tengsizlik m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) ga aylanadi.

Birinchi o'rtacha formula

Ta'rif 10

y = f (x) oraliqda integrallanuvchi uchun [ a ; b ] bilan m = m i n x ∈ a; b f (x) va M = m a x x ∈ a; b f (x) m ∈ m son mavjud; ∫ a b f (x) d x = m · b - a ga mos keladigan M .

Natija: y = f (x) funksiya [ a segmentidan uzluksiz bo lganda; b ], keyin shunday c ∈ a soni mavjud; b , ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a tengligini qanoatlantiradi.

Umumlashtirilgan shakldagi o'rtacha qiymatning birinchi formulasi

Ta'rif 11

y = f (x) va y = g (x) funksiyalar [ a segmentidan integrallanadigan bo lganda; b ] bilan m = m i n x ∈ a; b f (x) va M = m a x x ∈ a; b f (x) , va x ∈ a ning istalgan qiymati uchun g (x) > 0; b. Demak, bizda m ∈ m son mavjud; ∫ a b f (x) g (x) d x = m · ∫ a b g (x) d x tenglikni qanoatlantiradigan M .

Ikkinchi o'rtacha qiymat formulasi

Ta'rif 12

y = f (x) funksiya [ a segmentidan integrallansa ; b ] , va y = g (x) monotonik bo'lsa, u holda c ∈ a bo'lgan son mavjud; b , bu yerda ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x ko‘rinishdagi adolatli tenglikni olamiz.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Anti hosila va noaniq integral.

(a; b) oraliqdagi f(x) ga qarshi hosila funksiyasi shunday F(x) funksiya bo‘lib, berilgan oraliqdagi istalgan x uchun tenglik bajariladi.

Agar doimiy S ning hosilasi nolga teng ekanligini hisobga olsak, u holda tenglik . Demak, f(x) funksiya ixtiyoriy doimiy C uchun F(x)+C antiderivativlar to‘plamiga ega va bu antiderivativlar bir-biridan ixtiyoriy doimiy qiymat bilan farqlanadi.

f(x) funksiyaning butun anti hosilalari to'plami bu funktsiyaning noaniq integrali deb ataladi va belgilanadi. .

Ifodaga integrand, f(x) esa integrand deyiladi. Integrand f(x) funksiyaning differentsialidir.

Noma’lum funksiyani berilgan differentsial bo‘yicha topish amali noaniq integrasiya deb ataladi, chunki integrallash natijasi bitta F(x) funksiya emas, balki uning F(x)+C ga qarshi hosilalari to‘plamidir.

Jadval integrallari

Integrallarning eng oddiy xossalari

1. Integratsiya natijasining hosilasi integralga teng.

2. Funksiya differentsialining noaniq integrali funksiyaning o‘zi va ixtiyoriy doimiyning yig‘indisiga teng.

3. Koeffitsientni noaniq integral belgisidan chiqarish mumkin.

4. Funksiyalar yig‘indisi/farqining noaniq integrali funksiyalarning noaniq integrallari yig‘indisi/ayrimiga teng.

Aniqlik uchun noaniq integralning birinchi va ikkinchi xossalarining oraliq tengliklari berilgan.

Uchinchi va toʻrtinchi xossalarni isbotlash uchun tengliklarning oʻng tomonlarining hosilalarini topish kifoya:

Bu hosilalar integrallarga teng bo'lib, bu birinchi xususiyatga ko'ra isbotdir. U oxirgi o'tishlarda ham qo'llaniladi.

Shunday qilib, integratsiya muammosi farqlashning teskari muammosi bo'lib, bu muammolar o'rtasida juda yaqin bog'liqlik mavjud:

birinchi xususiyat integratsiyani tekshirish imkonini beradi. Amalga oshirilgan integratsiyaning to'g'riligini tekshirish uchun olingan natijaning hosilasini hisoblash kifoya. Agar differensiallash natijasida olingan funksiya integrandga teng bo'lib chiqsa, bu integrasiya to'g'ri amalga oshirilganligini bildiradi;

noaniq integralning ikkinchi xossasi funktsiyaning ma'lum differensialidan uning anti hosilasini topishga imkon beradi. Noaniq integrallarni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash ushbu xususiyatga asoslanadi.

1.4 Integratsiya shakllarining o'zgarmasligi.

Invariant integratsiya - argumentlari guruh elementlari yoki bir hil fazoning nuqtalari bo'lgan funktsiyalar uchun integratsiya turi (bunday fazoning istalgan nuqtasi boshqasiga o'tkazilishi mumkin). belgilangan harakat guruhlar).

f(x) funksiya f.w differensial ko‘rinishdagi integralini hisoblashga keltiriladi, bunda

Quyida r(x) ning aniq formulasi keltirilgan. Shartnoma sharti shaklga ega .

bu yerda Tg gOG yordamida X da siljish operatorini bildiradi: Tgf(x)=f(g-1x). X=G topologiya bo'lsin, o'z-o'zidan chapga siljishlar bilan ishlaydigan guruh. I. va. G mahalliy ixcham bo'lgan taqdirdagina mavjud bo'ladi (xususan, cheksiz o'lchovli guruhlarda int. mavjud emas). I.ning kichik toʻplami uchun va. xarakterli funktsiya cA (A bo'yicha 1 ga teng va A tashqarisida 0) chap Haar o'lchovini m (A) belgilaydi. Ushbu o'lchovning aniqlovchi xususiyati uning chapga siljishlar ostida o'zgarmasligi: barcha gOG uchun m(g-1A)=m(A). Guruhdagi chap Haar o'lchovi o'rnatilgan skalyar omilgacha yagona tarzda aniqlanadi. Agar Haar oʻlchovi m maʼlum boʻlsa, I. va. f funksiyasi formula bilan berilgan . To'g'ri Haar o'lchovi shunga o'xshash xususiyatlarga ega. Uzluksiz homomorfizm mavjud (guruh xususiyatini saqlaydigan xaritalash) G guruhining DG guruhiga (ko'paytirishga nisbatan) qo'ydi. buning uchun raqamlar

bu erda dmr va dmi o'ng va chap Haar o'lchovlari. DG(g) funksiyasi chaqiriladi. G guruhining moduli. Agar , u holda G guruhi chaqiriladi. bir modulli; bu holda, o'ng va chap Haar chora-tadbirlar bir xil bo'ladi. Yilni, yarim sodda va nilpotent (xususan, kommutativ) guruhlar unimoduldir. Agar G n o'lchovli Li guruhi bo'lsa va q1,...,qn chap o'zgarmas 1-shakllar fazosida bazis bo'lsa, G dagi chap Haar o'lchovi n-shakl bilan beriladi. Hisoblash uchun mahalliy koordinatalarda

qi ni hosil qilsa, siz G guruhining har qanday matritsasini amalga oshirishdan foydalanishingiz mumkin: 1-shakl g-1dg matritsasi chapda o'zgarmas va uning koeffitsienti. chap oʻzgarmas skalyar 1-shakllar boʻlib, ulardan kerakli bazis tanlanadi. Masalan, GL(n, R) to'liq matritsa guruhi unimodulli bo'lib, undagi Haar o'lchovi shakl bilan berilgan. Mayli X=G/H - bir jinsli fazo bo'lib, u uchun mahalliy ixcham G guruhi transformatsion guruh va yopiq kichik guruh H qaysidir nuqtaning stabilizatori hisoblanadi. I.I.ning X da mavjud boʻlishi uchun DG(h)=DH(h) tengligi barcha hOH uchun amal qilishi zarur va yetarli. Xususan, bu H ixcham yoki yarim oddiy bo'lganda to'g'ri. I.ning toʻliq nazariyasi va. cheksiz o'lchovli manifoldlarda mavjud emas.

O'zgaruvchilarning o'zgarishi.