Chizma geometriyada qabul qilingan belgilar va belgilar. Belgilanish va simvolizm kesishgan chiziqlarni qanday belgilash kerak

Genetik simvolizm

Simvolizm - fanning istalgan sohasida qo'llaniladigan shartli nomlar va atamalarning ro'yxati va izohi.

Genetik simvolizmning asoslarini belgilarni belgilash uchun harflar ramziyligidan foydalangan Gregor Mendel qo'ygan. Dominant belgilar lotin alifbosining bosh harflari A, B, C va boshqalar bilan, retsessiv - kichik harflar - a, b, c va boshqalar bilan ko'rsatilgan. Mendel tomonidan taklif qilingan tom ma'nodagi simvolizm, aslida, belgilarning meros qonunlarini ifodalashning algebraik shaklidir.

O'tishni bildirish uchun quyidagi simvolizm qabul qilingan.

Ota-onalar lotincha P harfi bilan belgilanadi (ota-onalar - ota-onalar), keyin ularning genotiplari bir-birining yonida yoziladi. Ayol jinsi ♂ (Venera oynasi), erkak - ♀ (Mars qalqoni va nayzasi) belgisi bilan belgilanadi. Ota-onalar o'rtasida "x" qo'yiladi, bu chatishtirishni ko'rsatadi. Birinchi o'rinda ayolning genotipi, ikkinchisida esa erkak yoziladi.

Birinchi avlod F deb nomlanadi 1 (Filly - bolalar), ikkinchi avlod - F 2 va hokazo. Ularning yonida nasllarning genotiplarining belgilari mavjud.

Asosiy atama va tushunchalar lug'ati

Allellar (allelik genlar)- mutatsiyalar natijasida kelib chiqqan va juftlashgan gomologik xromosomalarning bir xil nuqtalarida (lokuslarida) joylashgan bir xil genning turli shakllari.

Alternativ belgilar- O'zaro eksklyuziv, qarama-qarshi xususiyatlar.

Gametalar (yunoncha "gametalar" dan "- turmush o'rtog'i) - allel juftlikdan bitta genni olib yuradigan o'simlik yoki hayvon organizmining jinsiy hujayrasi. Gametalar har doim genlarni "sof" shaklda olib yuradi, chunki meiotik hujayralar bo'linishi natijasida hosil bo'ladi va bir juft homolog xromosomalardan birini o'z ichiga oladi.

Gen (yunoncha "genos" dan "- tug'ilish) - DNK molekulasining ma'lum bir oqsilning birlamchi tuzilishi haqida ma'lumotni olib yuradigan qismi.

Genlar alleldir - homolog xromosomalarning bir xil hududlarida joylashgan juft genlar.

Genotip - organizmning irsiy moyilliklari (genlari) majmui.

Geterozigota (yunoncha "heteros" dan "- boshqa va zigota) - ma'lum bir gen uchun ikki xil allelga ega bo'lgan zigota ( Aa, Bb).

Geterozigotaliota-onasidan turli xil genlarni olgan shaxslar deb ataladi. Nasldagi geterozigotali shaxs bu xususiyat uchun bo'linishni beradi.

Gomozigota (yunoncha “homos” "- bir xil va zigota) - ma'lum bir genning bir xil allellariga ega bo'lgan zigota (ikkalasi ham dominant yoki ikkalasi ham retsessiv).

homozigot ota-onadan bir xil irsiy moyillikni (genlarni) qandaydir o'ziga xos xususiyatga ega bo'lgan individlar deyiladi. Nasldagi gomozigotli shaxs bo'linishni bermaydi.

homolog xromosomalar(yunoncha "homos" dan "- bir xil) - shakli, o'lchami, genlar to'plami bo'yicha bir xil bo'lgan juftlashgan xromosomalar. Diploid hujayrada xromosomalar to'plami har doim juft bo'ladi: bitta xromosoma onadan kelib chiqqan juftlikdan, ikkinchisi esa otadan.

Geterozigotaliota-onasidan turli xil genlarni olgan shaxslar deb ataladi. Shunday qilib, genotipga ko'ra, individlar homozigot (AA yoki aa) yoki geterozigota (Aa) bo'lishi mumkin.

Dominant xususiyat (gen) – ustunlik, namoyon bo'lish - lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi: A, B, C va boshqalar.

retsessiv xususiyat (gen) – bosilgan belgi - lotin alifbosining tegishli kichik harfi bilan belgilanadi: a, b c va boshqalar

Chorvachilikni tahlil qilish- testning genotipini aniqlashga imkon beradigan ushbu belgi uchun retsessiv homozigot bo'lgan boshqasi bilan sinov organizmini kesib o'tish.

Digibridni kesib o'tish- ikki juft muqobil belgilarda bir-biridan farq qiluvchi shakllarni kesib o'tish.

Monogibridni kesib o'tish- muqobil xususiyatlarning bir juftligida bir-biridan farq qiluvchi o'tish shakllari.

Toza chiziqlar - bir yoki bir nechta belgilar bo'yicha homozigot bo'lgan va ularning avlodlarida muqobil belgi hosil qilmaydigan organizmlar.

Soch quritgich - bu belgi.

Fenotip - organizmning kuzatish va tahlil qilish mumkin bo'lgan barcha tashqi belgilari va xususiyatlarining yig'indisi.

Genetik muammolarni hal qilish algoritmi

1. Vazifa darajasini diqqat bilan o'qing.
2. Muammo bayonini qisqacha yozib oling.
3. Kesilgan shaxslarning genotiplari va fenotiplarini yozing.
4. Kesishgan individlarni hosil qiluvchi gametalarning turlarini aniqlang va yozing.
5. Kesish natijasida olingan nasllarning genotip va fenotiplarini aniqlang va yozing.
6. Krossover natijalarini tahlil qiling. Buning uchun fenotip va genotip bo'yicha nasl sinflari sonini aniqlang va ularni son nisbat sifatida yozing.
7. Savolga javobni yozing.

(Muayyan mavzular bo'yicha masalalarni yechishda bosqichlar ketma-ketligi o'zgarishi va ularning mazmuni o'zgarishi mumkin.)

Formatlash vazifalari

1. Avval ayolning, keyin erkakning genotipini yozish odatiy holdir (to'g'ri yozuv ♀AABB x ♂aavb; noto'g'ri kirish- ♂ aavv x ♀AABB).
2. Bir xil allel juftlik genlari doimo yonma-yon yoziladi(to'g'ri yozuv - ♀AABB; noto'g'ri yozuv - ♀ABAB).
3. Genotipni yozishda belgilarni bildiruvchi harflar dominant yoki retsessiv xususiyatni ifodalashidan qat'i nazar, har doim alifbo tartibida yoziladi (to'g'ri belgi - ♀aaBB;noto'g'ri yozuv -♀ Vvaa).
4. Agar shaxsning faqat fenotipi ma'lum bo'lsa, unda uning genotipini yozishda faqat mavjudligi shubhasiz bo'lgan genlar yoziladi.Fenotip bilan aniqlab bo'lmaydigan gen "_" belgisi bilan ko'rsatilgan.(masalan, no'xat urug'ining sariq rangi (A) va silliq shakli (B) dominant belgilar bo'lsa va yashil rang (a) va ajin shakli (c) retsessiv bo'lsa, u holda sariq ajinli urug'li individning genotipi. quyidagicha yoziladi: A_vv).
5. Fenotip har doim genotip ostida yoziladi.
6. Gametalar ularni aylantirib yoziladi.(BUT).
7. Jismoniy shaxslarda ularning soni emas, balki gametalarning turlari aniqlanadi va qayd etiladi.

Nuqta - o'lchov xususiyatlariga ega bo'lmagan mavhum ob'ekt: balandligi, uzunligi, radiusi yo'q. Vazifa doirasida faqat uning joylashuvi muhim ahamiyatga ega

Nuqta raqam yoki bosh (katta) lotin harfi bilan ko'rsatilgan. Bir nechta nuqta - farqlash uchun turli raqamlar yoki turli harflar

nuqta A, nuqta B, nuqta C

A B C

1-band, 2-band, 3-band

1 2 3

Bir qog'ozga uchta "A" nuqtasini chizishingiz va bolani ikkita "A" nuqtasi orqali chiziq chizishga taklif qilishingiz mumkin. Lekin qaysi orqali qanday tushunish mumkin? A A A

Chiziq - bu nuqtalar to'plami. U faqat uzunlikni o'lchaydi. Uning kengligi va qalinligi yo'q.

Kichik (kichik) lotin harflari bilan ko'rsatilgan

a chiziq, b qator, c qator

a b c

Chiziq bo'lishi mumkin

1. agar uning boshlanishi va oxiri bir nuqtada bo'lsa, yopiq,
2. agar uning boshlanishi va oxiri bog'lanmagan bo'lsa, oching

yopiq chiziqlar

ochiq chiziqlar

Siz kvartiradan chiqib, do'kondan non sotib oldingiz va kvartiraga qaytib keldingiz. Qaysi qatorni oldingiz? To'g'ri, yopiq. Siz boshlang'ich nuqtaga qaytdingiz. Siz kvartiradan chiqib, do'kondan non sotib oldingiz, kirish eshigiga kirib, qo'shningiz bilan gaplashdingiz. Qaysi qatorni oldingiz? Ochiq. Siz boshlang'ich nuqtaga qaytmadingiz. Siz kvartiradan chiqdingiz, do'kondan non sotib oldingiz. Qaysi qatorni oldingiz? Ochiq. Siz boshlang'ich nuqtaga qaytmadingiz.

1. o'z-o'zidan kesishadi
2. o'z-o'zidan kesishmasdan

o'z-o'zidan kesishgan chiziqlar

o'z-o'zidan kesishmaydigan chiziqlar

1. To'g'riga
2. singan chiziq
3. qiyshiq

to'g'ri chiziqlar

singan chiziqlar

egri chiziqlar

To'g'ri chiziq - egri bo'lmagan, boshi ham, oxiri ham bo'lmagan, har ikki yo'nalishda ham cheksiz cho'zilishi mumkin bo'lgan chiziq.

To'g'ri chiziqning kichik bir qismi ko'rinib turganda ham, u ikki yo'nalishda cheksiz davom etadi, deb taxmin qilinadi.

U kichik (kichik) lotin harfi bilan belgilanadi. Yoki ikkita katta (katta) lotin harflari - to'g'ri chiziqda joylashgan nuqtalar

to'g'ri chiziq a

a

to'g'ri chiziq AB

B A

to'g'ri chiziqlar bo'lishi mumkin

1. Agar ular umumiy nuqtaga ega bo'lsa, kesishadi. Ikki chiziq faqat bir nuqtada kesishishi mumkin.
   • perpendikulyar, agar ular to'g'ri burchak ostida (90 °) kesishsa.
2. parallel, agar ular kesishmasa, umumiy nuqtaga ega emaslar.

parallel chiziqlar

kesishuvchi chiziqlar

perpendikulyar chiziqlar

Nur - to'g'ri chiziqning boshi bo'lgan, lekin oxiri bo'lmagan qismi, u faqat bitta yo'nalishda cheksiz ravishda cho'zilishi mumkin.

Rasmdagi yorug'lik nurining boshlang'ich nuqtasi quyoshdir.

Quyosh

Nuqta chiziqni ikki qismga ajratadi - ikkita nur A A

Nur kichik (kichik) lotin harfi bilan ko'rsatilgan. Yoki ikkita katta (katta) lotin harflari, bu erda birinchisi - nur boshlanadigan nuqta, ikkinchisi - nurda yotgan nuqta.

nur a

a

nur AB

B A

Agar nurlar mos keladi

1. bir xil to'g'ri chiziqda joylashgan
2. bir nuqtadan boshlang
3. bir tomonga qaratilgan

AB va AC nurlari mos tushadi

CB va CA nurlari mos tushadi

C B A

Kesim to‘g‘ri chiziqning ikki nuqta bilan chegaralangan qismi, ya’ni uning boshi ham, oxiri ham bor, ya’ni uning uzunligini o‘lchash mumkin. Segmentning uzunligi - uning boshlang'ich va oxirgi nuqtalari orasidagi masofa.

Bir nuqta orqali har qanday miqdordagi chiziqlar, shu jumladan to'g'ri chiziqlar ham o'tkazilishi mumkin.

Ikki nuqta orqali - cheksiz miqdordagi egri, lekin faqat bitta to'g'ri chiziq

ikki nuqtadan o'tuvchi egri chiziqlar

B A

to'g'ri chiziq AB

B A

To'g'ri chiziqdan bir parcha "kesildi" va segment qoldi. Yuqoridagi misoldan uning uzunligi ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofa ekanligini ko'rishingiz mumkin. ✂ B A ✂

Segment ikkita bosh (katta) lotin harflari bilan belgilanadi, birinchisi segment boshlanadigan nuqta, ikkinchisi esa segment tugaydigan nuqtadir.

AB segmenti

B A

Vazifa: chiziq, nur, segment, egri chiziq qayerda?

Singan chiziq - bu 180 ° burchak ostida bo'lmagan ketma-ket bog'langan segmentlardan iborat chiziq

Uzoq segment bir nechta qisqa qismlarga "buzilgan".

Ko'p chiziqning bo'g'inlari (zanjirning bo'g'inlariga o'xshash) poliliniyani tashkil etuvchi segmentlardir. Qo'shni havolalar - bir havolaning oxiri boshqasining boshi bo'lgan havolalar. Qo'shni bo'g'inlar bir xil to'g'ri chiziqda yotmasligi kerak.

Ko'p chiziqning cho'qqilari (tog'larning cho'qqilariga o'xshash) poliliniya boshlanadigan nuqta, ko'p chiziqni tashkil etuvchi segmentlar bog'langan nuqtalar, poliliniya tugaydigan nuqtadir.

Ko'p chiziq uning barcha uchlarini sanab o'tish orqali belgilanadi.

singan chiziq ABCDE

A ko'p chiziq cho'qqi, B ko'p chiziq cho'qqi, C ko'p chiziq cho'qqi, D ko'p chiziq cho'qqi, E ko'p chiziq cho'qqisi

AB siniq chizig'i, BC siniq chizig'i, CD siniq chizig'i, DE singan chizig'i

AB va BC havolalari qo'shni

havola BC va havola CD qo'shni

havola CD va DE havolasi ulashgan

A B C D E 64 62 127 52

Ko'p chiziq uzunligi uning bog'lanish uzunliklarining yig'indisidir: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Vazifa: qaysi singan chiziq uzunroq, a qaysi biri ko'proq cho'qqilarga ega? Birinchi qatorda barcha bog'lamlar bir xil uzunlikda, ya'ni 13 sm. Ikkinchi qatorda bir xil uzunlikdagi barcha bog'lanishlar mavjud, ya'ni 49 sm. Uchinchi qatorda bir xil uzunlikdagi barcha bog'lanishlar mavjud, ya'ni 41 sm.

Ko'pburchak - bu yopiq ko'p chiziq

Ko'pburchakning yon tomonlari (ular iboralarni eslab qolishingizga yordam beradi: "to'rt tarafga boring", "uy tomon yuguring", "stolning qaysi tomonida o'tirasiz?") siniq chiziqning bog'lanishlari. Ko'pburchakning qo'shni tomonlari siniq chiziqning qo'shni bo'g'inlaridir.

Ko'pburchakning uchlari ko'p chiziqning uchlaridir. Qo'shni cho'qqilar ko'pburchakning bir tomonining so'nggi nuqtalari.

Ko'pburchak uning barcha uchlarini sanab o'tish orqali belgilanadi.

o'z-o'zidan kesishmasdan yopiq poliliniya, ABCDEF

poligon ABCDEF

ko‘pburchak cho‘qqisi A, ko‘pburchak cho‘qqisi B, ko‘pburchak cho‘qqisi C, ko‘pburchak cho‘qqisi D, ko‘pburchak cho‘qqisi E, ko‘pburchak uchi F

A cho'qqisi va B cho'qqisi qo'shni

B cho'qqisi va C cho'qqisi qo'shni

C cho'qqisi va D cho'qqisi qo'shni

D cho'qqisi va E cho'qqisi qo'shni

E cho'qqisi va F cho'qqisi qo'shni

F cho'qqisi va A cho'qqisi qo'shni

ko'pburchak tomoni AB, ko'pburchak tomoni BC, ko'pburchak tomoni CD, ko'pburchak tomoni DE, ko'pburchak tomoni EF

AB tomoni va BC tomoni qo'shni

yon BC va yon CD qo'shni

yon CD va yon DE qo'shni

DE tomoni va EF tomoni ulashgan

yon EF va yon FA qo'shni

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Ko'pburchakning perimetri ko'p chiziqning uzunligi: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Uchta uchli ko'pburchak uchburchak deb ataladi, to'rtta - to'rtburchak, beshta - beshburchak va hokazo.

Ma'ruza va amaliy mashg'ulotlarda yozuv va belgilar tizimi qabul qilinadi (2,3-jadvallar), prof. N.F.Chetveruxin. Ushbu belgilar tizimi hozirgi vaqtda Rossiyaning etakchi universitetlarining tavsif geometriyasi va muhandislik grafikasi kafedralari tomonidan keng qo'llaniladi.

jadval 2

GEOMETRIK OB'YEKTLARNING BARZLARI

Geometrik shakl (ob'ekt)	Belgi va misol
Nuqta	Lotin alifbosining bosh harfi: LEKIN, DA, FROM, ... yoki arab raqami: 1 , 2 , 3 , … (rim raqami bo'lishi mumkin: I, II, III, …). proyeksiya markazi S. Kelib chiqishi O(xat). Cheksizlikka nuqta: S¥, LEKIN ¥ , DA ¥ , ….
Chiziq - tekis yoki kavisli	Lotin alifbosining kichik harfi: a,b,c, …. Gorizontal h; frontal f; profil to'g'ri chiziq yoki egri (profil) R; aylanish o'qi i; proyeksiya yo'nalishi yoki kosmosdagi ko'rish yo'nalishi: s- ustida P 1, v- ustida P 2; koordinata o'qlari: x, y, z; proyeksiya o'qlari x, y, z yoki x 12, x24 va hokazo. ( AB) nuqtalar bilan aniqlangan toʻgʻri chiziq LEKIN va DA; Ι AB I - segment uzunligi AB, segmentning tabiiy kattaligi AB. Agar matnda tegishli so'zlar bo'lsa, qavslar berilmaydi (masalan, to'g'ri chiziq AB).
Sirt (shu jumladan tekislik)	G(gamma), S(sigma), L(lambda), ....
Proyeksiya tekisligi	Yunon alifbosining bosh harfi: P(pi) indeks qo'shilishi bilan. P 1– proyeksiyalarning gorizontal tekisligi; P 2– proyeksiyalarning frontal tekisligi; P 3– proyeksiyalarning profil tekisligi; P 4, P 5, … qoʻshimcha proyeksiya tekisliklari.
Burchak	Yunon alifbosining kichik harfi: a, b, g, ….
Ob'ekt proyeksiyasi	A 1, b 1, S1– nuqtaning gorizontal proyeksiyalari LEKIN, chiziqlar b, yuzalar S; A 2, b 2, S2– nuqtaning frontal proyeksiyalari LEKIN, To'g'riga b, yuzalar S; va hokazo.

3-jadval

MUNOSABATLAR VA MANTIQIY AMALIYATLARNING RIMLARI

Imzo	Belgining ma'nosi	Misol, tushuntirish
Ì yoki É Î yoki "	Ob'ektlarning to'plamlar, kichik to'plamlar sifatida o'zaro tegishliligi (hodisasi). nuqta	tÌ G- chiziq t yuzasiga tegishli G; sirt G chiziqdan o'tadi t; GÉ t- xuddi shunday (ochiq qismi bilan belgi har doim kattaroq to'plamga qaraydi). t "A- chiziq t nuqtadan o'tadi LEKIN; nuqta LEKIN qatorga tegishli t; LEKINÎ t– xuddi shunday (O belgisi ochiq qismi bilan toʻplam tomon buriladi).
∩	chorraha	a ∩ b- chiziqlar a va b kesishmoq; S (a ∩ b) - samolyot S kesishuvchi chiziqlar bilan o'rnatiladi a va b.
= yoki	Natija tengligi	LEKIN=a∩b- nuqta LEKIN chiziqlarning kesishishi natijasida olingan a va b.ê ABê=ê EFê - segment AB segmentga teng EF. A 2=IN 2– nuqtalarning frontal proyeksiyalari LEKIN va DA mos.
ΙΙ	Parallellik	(AB) I (SD) – to‘g‘ri chiziqlar AB va CD paralleldir.
^	Perpendikulyarlik	AB^CD
®	Ko'rsatilgan, operatsiyalar ketma-ketligi	LEKIN 1® LEKIN 2 - nuqtaning gorizontal proyeksiyasida LEKIN jabha qurish.

4. GRAFIK ISHLARNI BAJARISH BO‘YICHA METODIK KO‘RSATMALAR.

Grafik ish № 1

"Proyeksiya"

Mashq:

1. A3 formatida, uyning ikkita berilgan proyeksiyasiga ko'ra, tasvirni 2 marta kattalashtirib, profil proektsiyasini quring.

2. Chizmada belgilang va jadvalning pastki o'ng burchagida (stol o'lchami - 100x100 mm) asosiy yozuv ustida joylashgan, bo'shliqdagi chiziqlar o'rnini belgilang va yozing (umumiy pozitsiya chizig'i, uchta darajali chiziq, uchta proyeksiyalash chizig'i). chiziqlar, bir juft parallel chiziqlar, bir juft kesishgan chiziqlar, bir juft kesishuvchi chiziqlar).

3. To'g'ri chiziqning umumiy holatda tabiiy o'lchamini va uning proyeksiya tekisliklariga moyillik burchaklarini aniqlang.

4. Belgilangan beshta nuqtaning koordinatalarini aniqlang. Jadvaldagi ma'lumotlarni formatning yuqori o'ng burchagiga kiriting (jadval o'lchami 40x60 mm).

5. A4 formatida uyning aksonometrik proyeksiyasini tanlash va qurish, aksonometrik o'qlar diagrammasini chizish. Axonometriyani rangli qalamlar bilan soya qiling.

Grafik ishni bajarish bo'yicha ko'rsatmalar No 1. A3 varaqda varaqning o'rtasiga koordinata o'qlarini chizing. Sizning versiyangizga ko'ra, tasvirni 2 marta kattalashtirib, "Uy" ning ikkita proektsiyasini yarating. "Uy" asosining frontal proyeksiyasi OX o'qida bo'lishi kerak. Proyeksiya aloqasining chiziqlaridan foydalanib, "uy" ning uchinchi proyeksiyasini quring.

Keyin, topshiriqda ko'rsatilgan to'g'ri chiziqlarni "uy" ning uchta proektsiyasida lotin alifbosining bosh harflari bilan ketma-ket aniqlang va belgilang. Natijalarni jadvalga yozing. Jadvalni to'ldirishga misol rasmda ko'rsatilgan.

P 1 va P 2 tekislikda umumiy holatda topilgan to'g'ri chiziq uchun to'g'ri burchakli uchburchak usuli va uning gorizontal va frontal proyeksiya tekisliklariga (a va b) moyillik burchaklaridan foydalanib, tabiiy o'lchamini aniqlang va belgilang.

Har qanday beshta belgilangan nuqta uchun koordinatalarni aniqlang. Jadvalga qiymatlarni mm bilan kiriting. Jadvalni to'ldirishga misol rasmda ko'rsatilgan.

Axonometrik proyeksiyaning turini shunday tanlangki, tekisliklar (yuzlar) uy tasviridagi chiziqlarga proyeksiyalanmaydi. A4 formatida ikkilamchi gorizontal proyeksiya va aksonometrik o'qlarni saqlagan holda tanlangan aksonometrik proyeksiyani yarating.

Rangli qalamlardan foydalanib, "Uy" ning aksonometrik proektsiyasini ranglang. Yuqori o'ng burchakda aksonometrik o'qlarning diagrammasini chizing. 9.10-rasmdagi grafik ish namunasi.

1-sonli "Proyeksiya" grafik ishi uchun topshiriqlarning variantlari

Grafik ish № 2

"Kesilgan prizma va kesilgan silindrni qurish"

Mashq:

Grafik ish ikkita A3 formatda bajariladi va ikkita vazifadan iborat.

Vazifa raqami 1. To'g'ridan-to'g'ri olti burchakli prizmaning uchta proyeksiyasini tuzing (o'z versiyangiz bo'yicha jadvaldan qurish uchun ma'lumotlarni oling). Proyeksiya tekisliklarini almashtirish usulidan foydalanib, kesim konturining tabiiy hajmini qurish. Tozalash. Aksonometrik proyeksiyani tanlang va chizing. O'lchamlarni qo'llamang. Chizma qurilish uchun nuqtalarni va proektsion ulanishning chiziqlarini ko'rsatishi kerak.

Cheksizlik.J. Uollis (1655).

Birinchi marta ingliz matematigi Jon Valisning "Konusli kesmalar haqida" risolasida uchraydi.

Natural logarifmlar asosi. L. Eyler (1736).

Matematik doimiy, transsendental son. Bu raqam ba'zan chaqiriladi Perov bo'lmagan Shotlandiya sharafiga olim Nepier, "Logarifmlarning ajoyib jadvalining tavsifi" asari muallifi (1614). Birinchi marta doimiy 1618 yilda nashr etilgan Nepierning yuqorida tilga olingan asarining ingliz tiliga tarjimasi ilovasida yashirincha mavjud. Xuddi shu konstanta birinchi marta shveytsariyalik matematik Yakob Bernulli tomonidan foizli daromadning chegaraviy qiymati masalasini hal qilish jarayonida hisoblab chiqilgan.

2,71828182845904523...

Bu doimiyning birinchi ma'lum qo'llanilishi, bu erda u harf bilan belgilangan b, Leybnitsning 1690-1691 yillardagi Gyuygensga maktublarida topilgan. xat e 1727 yilda Eylerdan foydalanishni boshlagan va bu maktub bilan birinchi nashr uning "Mexanika" yoki "Harakat ilmi", 1736 yilda analitik tarzda bayon qilingan. Mos ravishda, e odatda deyiladi Eyler raqami. Nima uchun xat tanlangan? e, aniq ma'lum emas. Ehtimol, bu so'zning u bilan boshlanishi bilan bog'liqdir eksponentsial("eksponensial", "eksponensial"). Yana bir taxmin, harflar a, b, c va d allaqachon boshqa maqsadlarda keng qo'llaniladi va e birinchi "bepul" xat edi.

Doira aylanasining diametriga nisbati. V. Jons (1706), L. Eyler (1736).

Matematik konstanta, irratsional son. "Pi" raqami, eski nomi - Ludolfning raqami. Har qanday irratsional son singari, p cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasr bilan ifodalanadi:

p=3,141592653589793...

Birinchi marta bu raqamni yunoncha p harfi bilan belgilash ingliz matematigi Uilyam Jons tomonidan "Matematikaga yangi kirish" kitobida ishlatilgan va u Leonhard Eyler ishidan keyin umumiy qabul qilingan. Bu belgi yunoncha pērīya - aylana, periferiya va pīrīmos - perimetr so'zlarining bosh harfidan kelib chiqqan. Iogann Geynrix Lambert 1761 yilda p ning irratsional emasligini, 1774 yilda Adrien Mari Legendre p 2 ning irratsionalligini isbotladi. Legendre va Eyler p ning transsendental bo'lishi mumkinligini taxmin qilishdi, ya'ni. butun sonli koeffitsientli hech qanday algebraik tenglamani qanoatlantira olmaydi, oxir-oqibat 1882 yilda Ferdinand fon Lindemann tomonidan isbotlangan.

xayoliy birlik. L. Eyler (1777, matbuotda - 1794).

Ma'lumki, tenglama x 2 \u003d 1 ikkita ildizga ega: 1 va -1 . Xayoliy birlik tenglamaning ikkita ildizidan biridir x 2 \u003d -1, lotin harfi bilan belgilanadi i, boshqa ildiz: -i. Bu belgini Lotin so'zining birinchi harfini olgan Leonhard Eyler taklif qilgan xayolparast(xayoliy). Shuningdek, u barcha standart funktsiyalarni murakkab domenga kengaytirdi, ya'ni. shaklda ifodalanadigan raqamlar to'plami a+ib, qayerda a va b haqiqiy sonlardir. "Murakkab son" atamasi 1831 yilda nemis matematigi Karl Gauss tomonidan keng qo'llanilishiga kiritilgan, garchi bu atama ilgari 1803 yilda frantsuz matematigi Lazar Karno tomonidan xuddi shu ma'noda qo'llanilgan.

Birlik vektorlari. V. Gamilton (1853).

Birlik vektorlari ko'pincha koordinata tizimining koordinata o'qlari bilan bog'lanadi (xususan, Dekart koordinata tizimining o'qlari bilan). O'q bo'ylab yo'naltirilgan birlik vektori X, belgilangan i, eksa bo'ylab yo'naltirilgan birlik vektor Y, belgilangan j, va o'q bo'ylab yo'naltirilgan birlik vektori Z, belgilangan k. Vektorlar i, j, k orts deb ataladi, ular identifikatsiya modullariga ega. "Ort" atamasi ingliz matematiki va muhandisi Oliver Xevisayd (1892) tomonidan kiritilgan va yozuv i, j, k Irlandiyalik matematik Uilyam Hamilton.

Sonning butun qismi, antie. K. Gauss (1808).

X sonining [x] sonining butun qismi x dan oshmaydigan eng katta butun sondir. Demak, =5, [-3,6]=-4. [x] funksiyasi “x ga qarshi” deb ham ataladi. Butun qism funksiya belgisi 1808 yilda Karl Gauss tomonidan kiritilgan. Ba'zi matematiklar o'rniga 1798 yilda Legendre tomonidan taklif qilingan E (x) belgisidan foydalanishni afzal ko'rishadi.

Parallellik burchagi. N.I. Lobachevskiy (1835).

Lobachevskiy tekisligida - chiziq orasidagi burchakbnuqtadan o'tishOto'g'ri chiziqqa parallela, nuqtadan iborat emasO, va dan perpendikulyarO ustida a. α bu perpendikulyarning uzunligi. Nuqta olib tashlanganligi sababliO to'g'ridan-to'g'ri aparallellik burchagi 90° dan 0° gacha kamayadi. Lobachevskiy parallellik burchagi formulasini berdiP( α )=2arctg e - α /q , qayerda q Lobachevskiy fazosining egriligi bilan bog'liq bo'lgan ba'zi doimiydir.

Noma'lum yoki o'zgaruvchan miqdorlar. R. Dekart (1637).

Matematikada o'zgaruvchi - bu qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlar to'plami bilan tavsiflangan miqdor. Bu vaqtincha fizik kontekstdan ajratilgan holda ko'rib chiqilgan haqiqiy jismoniy miqdorni ham, haqiqiy dunyoda o'xshashi bo'lmagan ba'zi mavhum miqdorni ham anglatishi mumkin. O'zgaruvchi tushunchasi 17-asrda paydo bo'lgan. dastlab tabiatshunoslik talablari ta’sirida bo‘lib, u faqat holatlarni emas, balki harakat, jarayonlarni o‘rganishni birinchi o‘ringa olib chiqdi. Bu kontseptsiya o'zining ifodalanishi uchun yangi shakllarni talab qildi. Rene Dekartning literal algebrasi va analitik geometriyasi ana shunday yangi shakllar edi. Birinchi marta to‘g‘ri to‘rtburchak koordinatalar sistemasi va x, y yozuvi Rene Dekart tomonidan 1637 yilda o‘zining “Usul haqida so‘z” asarida kiritilgan. Per Ferma ham koordinata usulining rivojlanishiga hissa qo'shgan, ammo uning ishi birinchi marta vafotidan keyin nashr etilgan. Dekart va Ferma koordinata usulidan faqat tekislikda foydalandilar. Uch o'lchovli makon uchun koordinata usuli birinchi marta 18-asrda Leonhard Eyler tomonidan qo'llanilgan.

Vektor. O.Koshi (1853).

Eng boshidan vektor deganda kattalik, yo'nalish va (ixtiyoriy) qo'llash nuqtasi bo'lgan ob'ekt tushuniladi. Vektor hisobining boshlanishi Gaussda (1831) kompleks sonlarning geometrik modeli bilan birga paydo bo'ldi. Vektorlar bo'yicha ilg'or operatsiyalar Gamilton tomonidan o'zining kvaternion hisobining bir qismi sifatida nashr etilgan (kvarternionning xayoliy komponentlari vektor hosil qilgan). Bu atamani Hamilton kiritgan vektor(Lotin so'zidan vektor, tashuvchi) va ba'zi vektor tahlil operatsiyalarini tasvirlab berdi. Ushbu formalizm Maksvell tomonidan elektromagnetizmga oid asarlarida qo'llanilgan va shu bilan olimlar e'tiborini yangi hisob-kitoblarga qaratgan. Tez orada Gibbsning Vektor tahlilining elementlari (1880-yillar) paydo bo'ldi va keyin Heaviside (1903) vektor tahliliga zamonaviy ko'rinish berdi. Vektor belgisining o'zi 1853 yilda frantsuz matematigi Avgustin Lui Koshi tomonidan kiritilgan.

Qo'shish, ayirish. J. Vidman (1489).

Ko'rinishidan, ortiqcha va minus belgilari nemis "kossistlar" (ya'ni algebraistlar) matematik maktabida ixtiro qilingan. Ular Yan (Iohannes) Vidmanning 1489 yilda nashr etilgan “Barcha savdogarlar uchun tez va yoqimli hisob” darsligida qo'llaniladi. Bundan oldin qo'shimcha harf bilan belgilangan p(lotin tilidan ortiqcha"ko'proq") yoki lotincha so'z va boshqalar("va" birikmasi) va ayirish - harf bilan m(lotin tilidan minus"kamroq, kamroq"). Vidmanda plyus belgisi nafaqat qo'shimchani, balki "va" birlashmasini ham almashtiradi. Ushbu belgilarning kelib chiqishi noma'lum, ammo ular ilgari savdoda foyda va zarar belgisi sifatida ishlatilgan. Tez orada ikkala ramz ham Evropada keng tarqalgan bo'lib qoldi - Italiya bundan mustasno, u eski belgilarni taxminan bir asr davomida ishlatgan.

Ko'paytirish. V.Outred (1631), G.Leybnits (1698).

Eğimli xoch ko'rinishidagi ko'paytirish belgisi 1631 yilda ingliz Uilyam Outred tomonidan kiritilgan. Undan oldin, eng ko'p ishlatiladigan harf M, garchi boshqa belgilar ham taklif qilingan bo'lsa-da: to'rtburchakning ramzi (frantsuz matematigi Erigon, 1634), yulduzcha (shveytsariyalik matematik Iogan Rahn, 1659). Keyinchalik Gotfrid Vilgelm Leybnits harf bilan adashmaslik uchun xochni nuqta bilan almashtirdi (17-asr oxiri). x; undan oldin bunday ramziylikni nemis astronomi va matematigi Regiomontanus (XV asr) va ingliz olimi Tomas Xarriot (1560 -1621) topgan.

Bo'lim. I.Ran (1659), G.Leybnits (1684).

Uilyam Outred bo'linish belgisi sifatida / slashdan foydalangan. Yo'g'on ichak bo'limi Gotfrid Leybnitsni bildira boshladi. Ulardan oldin xat ham tez-tez ishlatilgan D. Fibonachchidan boshlab, fraksiyaning gorizontal chizig'i ham qo'llaniladi, bu Heron, Diophantus tomonidan va arab yozuvlarida ishlatilgan. Angliya va Qo'shma Shtatlarda 1659 yilda Iogan Rahn (ehtimol Jon Pell ishtirokida) tomonidan taklif qilingan ÷ (obelus) belgisi keng tarqaldi. Matematik standartlar bo'yicha Amerika milliy qo'mitasining urinishi ( Matematik talablar milliy qo'mitasi) obelusni amaliyotdan olib tashlash (1923) natijasiz edi.

Foiz. M. de la Port (1685).

Birlik sifatida olingan butunning yuzdan bir qismi. "Foiz" so'zining o'zi lotincha "pro centum" dan kelib chiqqan bo'lib, "yuz" degan ma'noni anglatadi. 1685 yilda Parijda Matye de la Portning "Tijorat arifmetikasi qo'llanmasi" kitobi nashr etildi. Bir joyda, bu foizlar haqida edi, keyin "cto" (cento uchun qisqa) degan ma'noni anglatadi. Biroq, yozuvchi bu "cto" ni kasr deb adashib, "%" deb yozgan. Shunday qilib, matn terish xatosi tufayli bu belgi qo'llanila boshlandi.

Darajalar. R. Dekart (1637), I. Nyuton (1676).

Ko'rsatkichning zamonaviy yozuvi Rene Dekart tomonidan o'zining " geometriyalar"(1637), ammo ko'rsatkichlari 2 dan katta bo'lgan tabiiy kuchlar uchun. Keyinchalik, Isaak Nyuton bu yozuv shaklini manfiy va kasr ko'rsatkichlarga kengaytirdi (1676), talqini shu vaqtga qadar taklif qilingan: Flaman matematiki va muhandis Simon Stevin, ingliz matematigi Jon Vallis va frantsuz matematigi Albert Jirard.

arifmetik ildiz n haqiqiy sonning th darajasi a≥0, - manfiy bo'lmagan son n--chi darajaga teng a. 2-darajali arifmetik ildiz kvadrat ildiz deyiladi va darajani ko'rsatmasdan yozilishi mumkin: √. 3-darajali arifmetik ildiz kub ildiz deyiladi. O'rta asr matematiklari (masalan, Kardano) kvadrat ildizni R x belgisi bilan belgilagan (lotin tilidan olingan). Radiks, ildiz). Zamonaviy belgi birinchi marta 1525 yilda Kossist maktabidan nemis matematigi Kristof Rudolf tomonidan ishlatilgan. Bu belgi xuddi shu so'zning stilize qilingan birinchi harfidan kelib chiqqan radikal. Radikal ifoda ustidagi chiziq dastlab yo'q edi; uni keyinchalik Dekart (1637) boshqa maqsadda (qavslar o'rniga) kiritgan va bu xususiyat tez orada ildiz belgisi bilan birlashgan. 16-asrda kub ildizi quyidagicha belgilangan: R x .u.cu (lot. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) ixtiyoriy darajaning ildizi uchun odatiy belgidan foydalanishni boshladi. Ushbu format Isaak Nyuton va Gotfrid Leybnits tufayli yaratilgan.

Logarifm, o'nlik logarifm, natural logarifm. I. Kepler (1624), B. Kavalyeri (1632), A. Prinsheym (1893).

"Logarifm" atamasi shotland matematigi Jon Nepierga tegishli. "Logarifmlarning ajoyib jadvalining tavsifi", 1614); u yunoncha ligos (so'z, munosabat) va arifthmos (son) so'zlarining birikmasidan kelib chiqqan. J. Napier logarifmi ikki sonning nisbatini o'lchash uchun yordamchi sondir. Logarifmning zamonaviy ta'rifini birinchi marta ingliz matematigi Uilyam Gardiner (1742) bergan. Ta'rifga ko'ra, sonning logarifmi b sabab bilan a (a ≠ 1, a > 0) - ko'rsatkich m, bu raqamni oshirish kerak a(logarifm asosi deb ataladi) olish uchun b. Belgilangan log a b. Shunday qilib, m = log a b, agar a m = b.

O'nlik logarifmlarning birinchi jadvallari 1617 yilda Oksford matematika professori Genri Briggs tomonidan nashr etilgan. Shuning uchun chet elda o'nlik logarifmlar ko'pincha briglar deb ataladi. "Tabiiy logarifm" atamasi Pietro Mengoli (1659) va Nikolas Merkator (1668) tomonidan kiritilgan, garchi londonlik matematika o'qituvchisi Jon Spidell 1619 yildayoq natural logarifmlar jadvalini tuzgan.

19-asrning oxirigacha logarifmning umumiy qabul qilingan yozuvi, asosi yoʻq edi. a belgisining chap tomonida va tepasida ko'rsatilgan jurnal, keyin ustiga. Oxir-oqibat, matematiklar taglik uchun eng qulay joy belgidan keyin chiziq ostida joylashgan degan xulosaga kelishdi. jurnal. Logarifmning belgisi - "logarifm" so'zining qisqarishi natijasi - logarifmlarning birinchi jadvallari paydo bo'lishi bilan deyarli bir vaqtning o'zida turli shakllarda uchraydi, masalan Jurnal- I. Kepler (1624) va G. Briggs (1631), jurnal- B. Kavalyeri (1632). Belgilanish ln chunki natural logarifmni nemis matematigi Alfred Pringsheym (1893) kiritgan.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens. V.Outred (17-asr oʻrtalari), I.Bernulli (18-asr), L.Eyler (1748, 1753).

Sinus va kosinusning qisqartmasi 17-asr oʻrtalarida Uilyam Outred tomonidan kiritilgan. Tangens va kotangens uchun qisqartmalar: tg, ctg 18-asrda Iogan Bernoulli tomonidan kiritilgan, ular Germaniya va Rossiyada keng tarqalgan. Boshqa mamlakatlarda bu funktsiyalarning nomlari qo'llaniladi. tan, karavot Albert Girard tomonidan ilgari, 17-asr boshlarida taklif qilingan. Leonard Eyler (1748, 1753) trigonometrik funktsiyalar nazariyasini zamonaviy ko'rinishga keltirdi va biz unga haqiqiy simvolizmning mustahkamlanishi uchun ham qarzdormiz."Trigonometrik funktsiyalar" atamasi 1770 yilda nemis matematigi va fizigi Georg Simon Klugel tomonidan kiritilgan.

Hindiston matematiklarining sinus chizig'i dastlab deb nomlangan "arha jiva"("yarim simli", ya'ni akkordning yarmi), keyin so'z "archa" tashlandi va sinus chizig'i oddiygina chaqirila boshlandi "jiva". Arab tarjimonlari bu so‘zni tarjima qilmaganlar "jiva" Arabcha so'z "vatar", kamon va akkordni bildiradi va arab harflari bilan yoziladi va sinus chizig'ini chaqira boshladi. "jiba". Chunki arab tilida qisqa unlilar ko'rsatilmagan, so'zda esa uzun "va" "jiba""y" yarim unlisi bilan bir xil tarzda ifodalangan, arablar sinus qator nomini talaffuz qila boshladilar. "jibe", bu so'zma-so'z "bo'shliq", "ko'krak" degan ma'noni anglatadi. Arab tilidagi asarlarni lotin tiliga tarjima qilganda, yevropalik tarjimonlar bu so‘zni tarjima qilganlar "jibe" Lotin so'zi sinus, bir xil ma'noga ega."Tangent" atamasi (lot.tangenslar- teginish) daniyalik matematik Tomas Finke tomonidan o'zining "Davra geometriyasi" (1583) asarida kiritilgan.

Arksin. K.Scherfer (1772), J.Lagrange (1772).

Teskari trigonometrik funksiyalar - trigonometrik funktsiyalarga teskari bo'lgan matematik funktsiyalar. Teskari trigonometrik funktsiyaning nomi tegishli trigonometrik funktsiya nomidan "arc" prefiksini qo'shish orqali hosil bo'ladi (lat. yoy- yoy).Teskari trigonometrik funksiyalar odatda oltita funktsiyani o'z ichiga oladi: arksinus (arksin), arkkosin (arccos), arktangent (arctg), arkkotangent (arcctg), arksekant (arksekant) va arksekant (arccosec). Birinchi marta teskari trigonometrik funksiyalar uchun maxsus belgilar Daniel Bernulli (1729, 1736) tomonidan ishlatilgan.Teskari trigonometrik funksiyalarni prefiks bilan belgilash usuli yoy(latdan. yoy, arc) avstriyalik matematik Karl Sherferda paydo bo'lgan va frantsuz matematigi, astronomi va mexaniki Jozef Lui Lagranj tufayli mustahkam o'rin egallagan. Bu, masalan, odatiy sinus sizga aylana yoyi bo'ylab cho'zilgan akkordni topishga imkon beradi va teskari funktsiya qarama-qarshi masalani hal qiladi. 19-asrning oxirigacha ingliz va nemis matematika maktablari boshqa belgilarni taklif qildilar: sin -1 va 1/sin, lekin ular keng qo'llanilmaydi.

Giperbolik sinus, giperbolik kosinus. V. Rikkati (1757).

Tarixchilar giperbolik funksiyalarning birinchi ko'rinishini ingliz matematigi Avraam de Moivr (1707, 1722) asarlarida aniqladilar. Ularning zamonaviy ta'rifi va batafsil o'rganilishi italiyalik Vinchenzo Rikkati tomonidan 1757 yilda "Opusculorum" asarida amalga oshirilgan bo'lib, u ularni belgilashni ham taklif qilgan: sh,ch. Rikkati bitta giperbolani ko'rib chiqishdan chiqdi. Giperbolik funktsiyalarning xususiyatlarini mustaqil kashfiyot va keyingi o'rganishni nemis matematigi, fizigi va faylasufi Iogann Lambert (1768) amalga oshirdi, u oddiy va giperbolik trigonometriya formulalari o'rtasida keng parallellik o'rnatdi. N.I. Lobachevskiy keyinchalik bu parallelizmdan foydalanib, oddiy trigonometriya giperbolik bilan almashtirilgan Evklid bo'lmagan geometriyaning izchilligini isbotlashga harakat qildi.

Trigonometrik sinus va kosinus koordinata aylanasidagi nuqtaning koordinatalari bo'lgani kabi, giperbolik sinus va kosinus ham giperboladagi nuqtaning koordinatalari hisoblanadi. Giperbolik funktsiyalar ko'rsatkich bilan ifodalanadi va trigonometrik funktsiyalar bilan chambarchas bog'liq: sh(x)=0,5(e x-e-x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Trigonometrik funktsiyalarga o'xshab, giperbolik tangens va kotangens mos ravishda giperbolik sinus va kosinus, kosinus va sinus nisbati sifatida aniqlanadi.

Differensial. G. Leybnits (1675, matbuotda 1684).

Funktsiya o'sishining asosiy, chiziqli qismi.Agar funktsiya y=f(x) bitta o'zgaruvchi x da mavjud x=x0hosila va o'sishDy \u003d f (x 0 +? x)-f (x 0)funktsiyalari f(x) sifatida ifodalanishi mumkinDy \u003d f "(x 0) Dx + R (Dx) , qaerda a'zo R bilan solishtirganda cheksiz kichikDx. Birinchi a'zody=f"(x 0 )Dxbu kengayishda funksiyaning differensiali deyiladi f(x) nuqtadax0. DA Gotfrid Leybnits, Yakob va Iogan Bernulli so'zining asarlari"differentsiya"o‘sish ma’nosida ishlatilgan, I. Bernulli D orqali ifodalagan. G. Leybnits (1675, 1684 yilda nashr etilgan) "cheksiz kichik farq" belgisini ishlatgan.d- so'zning birinchi harfi"differensial"dan tashkil topgan"differentsiya".

Noaniq integral. G. Leybnits (1675, matbuotda 1686).

"Integral" so'zini birinchi marta bosma nashrlarda Yakob Bernulli (1690) ishlatgan. Ehtimol, bu atama lotin tilidan olingan butun son- butun. Boshqa bir taxminga ko'ra, asos lotincha so'z edi integro- qayta tiklash, tiklash. ∫ belgisi matematikada integralni belgilash uchun ishlatiladi va lotincha so'zning birinchi harfining stilize qilingan tasviridir. xulosa - so'm. U birinchi marta 17-asr oxirida differensial va integral hisobining asoschisi, nemis matematigi Gotfrid Leybnits tomonidan qo'llanilgan. Differensial va integral hisoblash asoschilaridan yana biri Isaak Nyuton o'z asarlarida integralning muqobil ramziyligini taklif qilmagan, garchi u turli variantlarni sinab ko'rgan bo'lsa-da: funktsiya ustidagi vertikal chiziq yoki funktsiya oldida turgan kvadrat belgisi yoki chegaralaydi. Funktsiya uchun noaniq integral y=f(x) berilgan funksiyaning barcha antiderivativlari yig'indisidir.

Aniq integral. J. Furye (1819-1822).

Funktsiyaning aniq integrali f(x) pastki chegara bilan a va yuqori chegara b farq sifatida belgilanishi mumkin F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , qayerda F(x)- ba'zi antiderivativ funktsiya f(x) . Aniq integral a ∫ b f(x)dx son jihatdan x o'qi, to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan raqamning maydoniga teng x=a va x=b va funksiya grafigi f(x). Fransuz matematigi va fizigi Jan Baptiste Jozef Furye 19-asr boshlarida biz oʻrganib qolgan shaklda aniq integralni loyihalashni taklif qildi.

Hosil. G. Leybnits (1675), J. Lagranj (1770, 1779).

Hosila - funktsiyaning o'zgarish tezligini tavsiflovchi differentsial hisobning asosiy tushunchasi f(x) argument o'zgarganda x . Bu funktsiya o'sishining uning argumentining o'sishiga nisbati chegarasi sifatida aniqlanadi, chunki agar bunday chegara mavjud bo'lsa, argumentning o'sishi nolga moyil bo'ladi. Bir nuqtada chekli hosilasi bo'lgan funksiya shu nuqtada differentsiallanuvchi deyiladi. Hosilni hisoblash jarayoni differentsiatsiya deb ataladi. Teskari jarayon integratsiyadir. Klassik differentsial hisobda hosila ko'pincha chegaralar nazariyasi tushunchalari orqali aniqlanadi, ammo tarixan chegaralar nazariyasi differensial hisobdan kechroq paydo bo'lgan.

"Loyima" atamasi 1797 yilda Jozef Lui Lagrange tomonidan kiritilgan; dy/dx- Gotfrid Leybnits 1675 yilda. Harf ustidagi nuqta bilan hosilani vaqtga nisbatan belgilash usuli Nyutondan (1691) kelgan.Ruscha "funktsiyaning hosilasi" atamasi birinchi marta rus matematiki tomonidan ishlatilganVasiliy Ivanovich Viskovatov (1779-1812).

Xususiy hosila. A. Legendre (1786), J. Lagranj (1797, 1801).

Ko'p o'zgaruvchilarning funktsiyalari uchun qisman hosilalar aniqlanadi - qolgan argumentlar doimiy deb hisoblangan argumentlardan biriga nisbatan hosilalar. Belgilash ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ y 1786 yilda frantsuz matematigi Adrien Mari Legendre tomonidan kiritilgan; fx",zx"- Jozef Lui Lagranj (1797, 1801); ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ x ∂ y- ikkinchi tartibli qisman hosilalar - nemis matematigi Karl Gustav Yakob Yakobi (1837).

Farq, o'sish. I. Bernulli (17-asr oxiri - 18-asrning birinchi yarmi), L. Eyler (1755).

O'sishning D harfi bilan belgilanishi birinchi marta shveytsariyalik matematik Iogan Bernulli tomonidan qo'llanilgan. "Delta" belgisi 1755 yilda Leonhard Eyler ishidan keyin keng tarqalgan amaliyotga kirdi.

so'm. L. Eyler (1755).

Yig'indi qiymatlarni qo'shish natijasidir (raqamlar, funktsiyalar, vektorlar, matritsalar va boshqalar). n ta a 1, a 2, ..., a n sonlarining yig‘indisini belgilash uchun yunoncha “sigma” S harfi ishlatiladi: a 1 + a 2 + ... + a n = S n i=1 a i = S n 1 a i. Yig'indi uchun S belgisi 1755 yilda Leonhard Eyler tomonidan kiritilgan.

Ish. K. Gauss (1812).

Mahsulot ko'paytirish natijasidir. n ta a 1, a 2, ..., a n sonlarning koʻpaytmasini belgilash uchun yunoncha “pi” P harfi ishlatiladi: a 1 a 2 ... a n = n n i=1 a i = n n 1 a i . Masalan, 1 3 5 ... 97 99 =? 50 1 (2i-1). Mahsulot uchun n belgisi 1812 yilda nemis matematigi Karl Gauss tomonidan kiritilgan. Rus matematik adabiyotida "ish" atamasi birinchi marta 1703 yilda Leonti Filippovich Magnitskiy tomonidan uchragan.

Faktorial. K.Krump (1808).

n sonining faktoriali (belgilangan n!, "en faktorial" deb talaffuz qilinadi) n gacha bo'lgan barcha natural sonlarning ko'paytmasi: n! = 1 2 3 ... n. Masalan, 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Ta'rifi bo'yicha 0! = 1. Faktorial faqat manfiy bo'lmagan butun sonlar uchun aniqlanadi. n sonning faktoriali n ta elementning almashinishlari soniga teng. Masalan, 3! = 6, albatta,

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Uch elementning barcha oltita va faqat oltita almashtirishlari.

"Faktorial" atamasi frantsuz matematigi va siyosatchisi Lui Fransua Antuan Arbogast (1800) tomonidan kiritilgan bo'lib, n! - fransuz matematigi Kristian Kramp (1808).

Modul, mutlaq qiymat. K. Weierstrass (1841).

Modul, haqiqiy sonning mutlaq qiymati x - manfiy bo'lmagan son quyidagicha aniqlanadi: |x| = x ≥ 0 uchun va |x| = -x uchun x ≤ 0. Masalan, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Kompleks sonning moduli z = a + ib √ (a 2 + b 2) ga teng haqiqiy sondir.

Taxminlarga ko'ra, "modul" atamasi ingliz matematiki va faylasufi, Nyutonning shogirdi Rojer Kotes tomonidan qo'llanilishini taklif qilgan. Gotfrid Leybnits ham ushbu funktsiyadan foydalangan, u "modul" deb atagan va quyidagicha belgilagan: mol x. Mutlaq qiymat uchun umumiy qabul qilingan belgi 1841 yilda nemis matematigi Karl Veyershtras tomonidan kiritilgan. Kompleks sonlar uchun bu tushunchani 19-asr boshlarida frantsuz matematiklari Avgustin Koshi va Jan Robert Argan kiritgan. 1903 yilda avstriyalik olim Konrad Lorenz vektor uzunligi uchun xuddi shu simvolizmdan foydalangan.

Norm. E. Shmidt (1908).

Norm bu vektor fazoda aniqlangan va vektor uzunligi yoki son moduli tushunchasini umumlashtiruvchi funktsiyadir. “Norm” belgisi (lotincha “norma” – “qoida”, “namuna” soʻzidan) 1908 yilda nemis matematigi Erxard Shmidt tomonidan kiritilgan.

Cheklash. S. Luillier (1786), V. Gamilton (1853), ko'plab matematiklar (20-asr boshlarigacha)

Limit - matematik tahlilning asosiy tushunchalaridan biri bo'lib, ko'rib chiqilayotgan o'zgaruvchan qiymat uning o'zgarishi jarayonida ma'lum bir doimiy qiymatga cheksiz yaqinlashadi. Cheklash tushunchasi 17-asrning ikkinchi yarmida Isaak Nyuton, shuningdek, Leonhard Eyler va Jozef Lui Lagranj kabi 18-asr matematiklari tomonidan intuitiv ravishda ishlatilgan. Ketma-ketlik chegarasining birinchi qat'iy ta'riflari 1816 yilda Bernard Bolzano va 1821 yilda Avgustin Koshi tomonidan berilgan. Lim belgisi (lotincha limes - chegara so'zining dastlabki 3 ta harfi) 1787 yilda shveytsariyalik matematik Simon Antoine Jan Lhuillier bilan paydo bo'lgan, ammo uning qo'llanilishi hali zamonaviyga o'xshamasdi. Bizga ko'proq tanish bo'lgan lim iborasi birinchi marta 1853 yilda irlandiyalik matematik Uilyam Hamilton tomonidan ishlatilgan.Weierstrass zamonaviyga yaqin belgini kiritdi, lekin odatdagi o'q o'rniga u teng belgisini ishlatdi. O'q 20-asrning boshlarida bir vaqtning o'zida bir nechta matematiklar bilan paydo bo'lgan - masalan, 1908 yilda ingliz matematigi Godfrid Hardi bilan.

Zeta funktsiyasi, d Riemann zeta funktsiyasi. B. Rimann (1857).

s = s + it kompleks o'zgaruvchining analitik funktsiyasi, s > 1 uchun, mutlaq va bir xil yaqinlashuvchi Dirixle qatori bilan aniqlanadi:

z(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

s > 1 uchun Eyler mahsuloti ko'rinishidagi tasvir amal qiladi:

z(lar) = n p (1-p -s) -s ,

bunda mahsulot barcha tub sonlar ustida olinadi p. Zeta funktsiyasi sonlar nazariyasida katta rol o'ynaydi.Haqiqiy o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida zeta funktsiyasi 1737 yilda (1744 yilda nashr etilgan) L. Eyler tomonidan kiritilgan bo'lib, uning mahsulotga parchalanishini ko'rsatdi. Keyin bu funktsiyani nemis matematigi L. Dirichlet va ayniqsa, rus matematigi va mexaniki P.L. Chebishev tub sonlarning taqsimot qonunini o'rganishda. Biroq zeta funksiyasining eng chuqur xossalari keyinroq, nemis matematigi Georg Fridrix Bernxard Riman (1859) ishidan so‘ng ochildi, bu yerda zeta funksiyasi kompleks o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida ko‘rib chiqildi; u 1857 yilda "zeta funktsiyasi" nomini va z(s) belgisini ham kiritgan.

Gamma funksiyasi, Eyler D-funksiyasi. A. Legendre (1814).

Gamma funksiya - bu faktorial tushunchani kompleks sonlar maydoniga kengaytiruvchi matematik funktsiya. Odatda D(z) bilan belgilanadi. z-funksiya birinchi marta 1729 yilda Leonhard Eyler tomonidan kiritilgan; formula bilan aniqlanadi:

D(z) = limn→∞ n!n z /z(z+1)...(z+n).

Ko'p sonli integrallar, cheksiz hosilalar va qatorlar yig'indilari G-funktsiyasi orqali ifodalanadi. Analitik sonlar nazariyasida keng qo'llaniladi. "Gamma funktsiyasi" nomi va D(z) belgisi 1814 yilda frantsuz matematigi Adrien Mari Legendre tomonidan taklif qilingan.

Beta funktsiyasi, B funktsiyasi, Eyler B funktsiyasi. J. Binet (1839).

Ikki o‘zgaruvchining p va q funksiyasi, p>0, q>0 uchun tenglik bilan aniqlangan:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Beta funksiyani D-funksiya bilan ifodalash mumkin: V(p, q) = D(p)G(q)/G(p+q).Butun sonlar uchun gamma funksiya faktorialni umumlashtirish bo‘lgani kabi, beta funksiya ham ma’lum ma’noda binom koeffitsientlarini umumlashtirishdir.

Ko'pgina xususiyatlar beta funksiyasi yordamida tasvirlangan.elementar zarralar ishtirok etish kuchli o'zaro ta'sir. Bu xususiyatni italyan nazariy fizigi payqaganGabriele Veneziano 1968 yilda. Boshlandi torlar nazariyasi.

"Beta-funksiya" nomi va B(p, q) yozuvi 1839 yilda frantsuz matematigi, mexaniki va astronomi Jak Filipp Mari Binet tomonidan kiritilgan.

Laplas operatori, Laplas. R. Merfi (1833).

X 1, x 2, ..., x n o‘zgaruvchilardan ph (x 1, x 2, ..., x n) funksiyasini bajaradigan D chiziqli differentsial operatori funktsiyani bog‘laydi:

Dph \u003d ∂ 2 ph / ∂x 1 2 + ∂ 2 ph / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 ph / ∂x n 2.

Xususan, bitta o‘zgaruvchining ph(x) funksiyasi uchun Laplas operatori 2-hosilning operatori bilan mos tushadi: Dph = d 2 ph/dx 2 . Dph = 0 tenglama odatda Laplas tenglamasi deb ataladi; bu erda "Laplas operatori" yoki "Laplas" nomlari kelib chiqadi. D belgisi 1833 yilda ingliz fizigi va matematigi Robert Merfi tomonidan kiritilgan.

Gamilton operatori, nabla operatori, Gamiltonian. O. Xevisayd (1892).

Shaklning vektor differentsial operatori

∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂y j+ ∂/∂z k,

qayerda i, j, va k- koordinata vektorlari. Nabla operatori orqali vektor tahlilining asosiy operatsiyalari, shuningdek, Laplas operatori tabiiy tarzda ifodalanadi.

1853 yilda irland matematigi Uilyam Rouen Hamilton ushbu operatorni taqdim etdi va uning uchun ∇ belgisini teskari yunoncha D (delta) harfi shaklida kiritdi. Gamiltonda ramzning nuqtasi chap tomonga ishora qilgan; keyinchalik Shotlandiya matematigi va fizigi Piter Gutri Teytning asarlarida ramz zamonaviy ko'rinishga ega bo'ldi. Hamilton bu belgini "atled" so'zi deb atadi ("delta" so'zi orqaga o'qiladi). Keyinchalik ingliz olimlari, jumladan, Oliver Xevisayd bu belgini Finikiya alifbosidagi ∇ harfi kelgan joyda nomidan keyin "nabla" deb atashni boshladilar. Harfning kelib chiqishi arfa kabi musiqa asbobi bilan bog'liq bo'lib, qadimiy yunoncha nabla (nabla) "arfa" degan ma'noni anglatadi. Operator Gamilton operatori yoki nabla operatori deb nomlangan.

Funktsiya. I. Bernulli (1718), L. Eyler (1734).

To'plamlar elementlari orasidagi munosabatni aks ettiruvchi matematik tushuncha. Aytishimiz mumkinki, funktsiya bu "qonun", "qoida" bo'lib, unga ko'ra bir to'plamning har bir elementi (ta'rif sohasi deb ataladi) boshqa to'plamning biron bir elementi (qiymatlar sohasi deb ataladi) bilan bog'lanadi. Funktsiyaning matematik kontseptsiyasi bir miqdor boshqa miqdorning qiymatini qanday to'liq aniqlashi haqidagi intuitiv fikrni ifodalaydi. Ko'pincha "funktsiya" atamasi sonli funktsiyani anglatadi; ya'ni ba'zi raqamlarni boshqalar bilan bir qatorga qo'yadigan funktsiya. Uzoq vaqt davomida matematiklar qavssiz dalillar keltirdilar, masalan, bu kabi - phx. Ushbu belgi birinchi marta 1718 yilda shveytsariyalik matematik Iogan Bernulli tomonidan qo'llanilgan.Qavslar faqat argumentlar ko'p bo'lsa yoki argument murakkab ifoda bo'lsa ishlatilgan. O'sha davrlarning aks-sadolari keng tarqalgan va hozirda qayd etilgansin x, lg xva hokazo. Lekin asta-sekin qavslardan foydalanish f(x) umumiy qoidaga aylandi. Bunda asosiy xizmat Leonhard Eylerga tegishli.

Tenglik. R. Rekord (1557).

Tenglik belgisi 1557 yilda uelslik shifokor va matematik Robert Rekord tomonidan taklif qilingan; qahramonning konturi hozirgisidan ancha uzunroq edi, chunki u ikkita parallel segmentlar tasviriga taqlid qilgan. Muallif dunyoda bir xil uzunlikdagi ikkita parallel segmentdan ko'ra tengroq narsa yo'qligini tushuntirdi. Bungacha qadimgi va o‘rta asrlar matematikasida tenglik og‘zaki ifodalangan (masalan, est egale). 17-asrda Rene Dekart æ dan (lat. aequalis), va u koeffitsient manfiy bo'lishi mumkinligini ko'rsatish uchun zamonaviy tenglik belgisidan foydalangan. Fransua Viet ayirishni tenglik belgisi bilan belgiladi. Rekordning ramzi darhol tarqalmadi. Rekord belgisining tarqalishiga qadim zamonlardan beri xuddi shu belgidan chiziqlar parallelligini ko'rsatish uchun foydalanilganligi to'sqinlik qilgan; oxirida parallelizm ramzini vertikal qilishga qaror qilindi. Kontinental Evropada "=" belgisi Gotfrid Leybnits tomonidan faqat 17-18-asrlar oxirida, ya'ni Robert Rekord vafotidan 100 yildan ko'proq vaqt o'tgach, uni birinchi marta ishlatgan.

Taxminan bir xil, taxminan bir xil. A. Gyunter (1882).

Imzo" ≈" 1882 yilda nemis matematigi va fizigi Adam Vilgelm Zigmund Gyunter tomonidan "tenglik haqida" munosabatlarining ramzi sifatida kiritilgan.

Ko'proq kamroq. T. Xarriot (1631).

Bu ikki belgi 1631 yilda ingliz astronomi, matematigi, etnografi va tarjimoni Tomas Xarriot tomonidan foydalanishga kiritilgan, undan oldin "ko'proq" va "kamroq" so'zlari ishlatilgan.

Taqqoslash qobiliyati. K. Gauss (1801).

Taqqoslash - ikki butun n va m sonlar orasidagi nisbat, ya'ni bu sonlarning n-m ayirmasi berilgan butun a soniga bo'linib, taqqoslash moduli deb ataladi; u yoziladi: n≡m(mod a) va "n va m raqamlari taqqoslanadigan modul a" deb o'qiladi. Masalan, 3≡11(mod 4), chunki 3-11 4 ga bo'linadi; 3 va 11 raqamlari mos modul 4. Taqqoslashlar tengliklarga o'xshash ko'plab xususiyatlarga ega. Demak, taqqoslashning bir qismidagi atama qarama-qarshi belgi bilan boshqa qismga o'tkazilishi va bir xil modulli taqqoslashlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish, taqqoslashning ikkala qismini bir xil songa ko'paytirish va hokazo. Masalan,

3≡9+2 (mod 4) va 3-2≡9 (mod 4)

Shu bilan birga haqiqiy taqqoslashlar. Va 3≡11 (mod 4) va 1≡5 (mod 4) juft haqiqiy taqqoslashlardan quyidagining to'g'riligi quyidagicha:

3+1≡11+5(mod 4)

3-1≡11-5(mod 4)

3 1≡11 5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3 23≡11 23(mod 4)

Raqamlar nazariyasida turli xil taqqoslashlarni echish usullari ko'rib chiqiladi, ya'ni. u yoki bu turdagi taqqoslashni qanoatlantiradigan butun sonlarni topish usullari. Modullarni taqqoslash birinchi marta nemis matematigi Karl Gauss tomonidan 1801 yilda chop etilgan "Arifmetik tadqiqotlar" kitobida ishlatilgan. U, shuningdek, taqqoslash uchun matematikada o'rnatilgan simvolizmni taklif qildi.

Identifikatsiya. B. Rimann (1857).

Identifikatsiya - ikkita analitik ifodaning tengligi, unga kiritilgan harflarning har qanday ruxsat etilgan qiymatlari uchun amal qiladi. a+b = b+a tengligi a va b ning barcha sonli qiymatlari uchun amal qiladi va shuning uchun bir xillik hisoblanadi. Shaxslarni qayd qilish uchun ba'zi hollarda 1857 yildan boshlab "≡" ("bir xil teng" deb o'qing) belgisi qo'llanilgan, uning muallifi nemis matematigi Georg Fridrix Bernxard Rimanndir. Yozilishi mumkin a+b ≡ b+a.

Perpendikulyarlik. P.Erigon (1634).

Perpendikulyarlik - ikkita to'g'ri chiziq, tekislik yoki to'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro joylashishi, bu raqamlar to'g'ri burchak hosil qiladi. Perpendikulyarlikni bildirish uchun ⊥ belgisi 1634 yilda frantsuz matematiki va astronomi Per Erigon tomonidan kiritilgan. Perpendikulyarlik tushunchasi bir qator umumlashmalarga ega, ammo ularning barchasi, qoida tariqasida, ⊥ belgisi bilan birga keladi.

Parallellik. V. Outred (1677 yil vafotidan keyin nashri).

Parallellik - ayrim geometrik shakllar orasidagi munosabat; masalan, to'g'ri chiziqlar. Turli geometriyalarga qarab turlicha aniqlanadi; masalan, Evklid geometriyasida va Lobachevskiy geometriyasida. Parallelizm belgisi qadim zamonlardan beri ma'lum bo'lib, uni Heron va Iskandariya Pappus ishlatgan. Dastlab, ramz joriy tenglik belgisiga o'xshardi (faqat kengaytirilgan), ammo ikkinchisining paydo bo'lishi bilan chalkashmaslik uchun belgi vertikal || aylantirildi. Ushbu shaklda birinchi marta 1677 yilda ingliz matematigi Uilyam Outred asarlarining vafotidan keyingi nashrida paydo bo'ldi.

Chorraha, birlashma. J. Peano (1888).

To'plamlar kesishmasi - bu barcha berilgan to'plamlarga bir vaqtning o'zida tegishli bo'lgan va faqat shu elementlarni o'z ichiga olgan to'plamdir. To'plamlar birlashmasi - bu asl to'plamlarning barcha elementlarini o'z ichiga olgan to'plam. Kesishish va birlashma yuqoridagi qoidalarga muvofiq ma'lum to'plamlarga yangi to'plamlarni belgilovchi to'plamlar ustidagi amallar deb ham ataladi. Mos ravishda ∩ va ∪ bilan belgilanadi. Masalan, agar

A= (♠ ♣ ) va B= (♣ ♦ ),

Bu

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

O'z ichiga oladi, o'z ichiga oladi. E. Shreder (1890).

Agar A va B ikkita to'plam bo'lsa va A da B ga tegishli bo'lmagan elementlar bo'lmasa, ular A ni B tarkibida mavjud deb aytishadi. Ular A⊂B yoki B⊃A yozadilar (Bda A mavjud). Masalan,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

"O'z ichiga oladi" va "o'z ichiga oladi" belgilari 1890 yilda nemis matematigi va mantiqi Ernst Shreder bilan birga paydo bo'lgan.

Mansublik. J. Peano (1895).

Agar a A to'plamining elementi bo'lsa, u holda a∈A yozing va "a A ga tegishli" deb o'qing. Agar a A elementi bo'lmasa, a∉A deb yozing va "a A ga tegishli emas" deb o'qing. Dastlab, "o'z ichiga olgan" va "mansub" ("element hisoblanadi") munosabatlari ajratilmagan, ammo vaqt o'tishi bilan bu tushunchalar farqlashni talab qilgan. A'zolik belgisi ∈ birinchi marta 1895 yilda italiyalik matematik Juzeppe Peano tomonidan qo'llanilgan. ∈ belgisi yunoncha esti - bo'lish so'zining birinchi harfidan kelib chiqqan.

Umumjahon miqdor ko'rsatkichi, ekzistensial miqdor ko'rsatkichi. G. Gentzen (1935), C. Pirs (1885).

Kvantor - bu predikatning haqiqat sohasini ko'rsatadigan mantiqiy operatsiyalarning umumiy nomi (matematik bayonot). Faylasuflar uzoq vaqtdan beri predikatning haqiqat doirasini cheklaydigan mantiqiy operatsiyalarga e'tibor berishgan, lekin ularni operatsiyalarning alohida sinfi sifatida ajratib ko'rsatishmagan. Miqdor-mantiqiy konstruktsiyalar ilmiy va kundalik nutqda keng qo'llanilsa-da, ularning rasmiylashtirilishi faqat 1879 yilda nemis mantiqi, matematigi va faylasufi Fridrix Lyudvig Gotlob Fregening "Tushunchalar hisobi" kitobida sodir bo'lgan. Fregening yozuvi og'ir grafik konstruktsiyalarga o'xshardi va qabul qilinmadi. Keyinchalik, yana ko'plab muvaffaqiyatli belgilar taklif qilindi, ammo 1885 yilda amerikalik faylasuf, mantiq va matematik Charlz Pirs tomonidan taklif qilingan ekzistensial kvantifikator uchun ∃ belgisi ("mavjud", "bor" deb o'qing) va universal kvant uchun ∀ ( nemis matematigi va mantiqi Gerxard Karl Erich Gentzen tomonidan 1935 yilda ekzistensial kvant belgisiga o'xshatish yo'li bilan yaratilgan "har qanday", "har bir", "har bir" o'qing (inglizcha mavjudlik (mavjud) va Har qanday so'zlarning teskari birinchi harflari). har qanday)). Masalan, kirish

(∀e>0) (∃d>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

quyidagicha o'qiladi: "har qanday e>0 uchun d>0 mavjud bo'lib, barcha x uchun x 0 ga teng bo'lmagan va |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Bo'sh to'plam. N. Burbaki (1939).

Hech qanday elementni o'z ichiga olmaydigan to'plam. Bo'sh to'plam belgisi 1939 yilda Nikolas Burbakining kitoblarida kiritilgan. Bourbaki 1935 yilda tashkil etilgan fransuz matematiklari guruhining umumiy taxallusidir. Bourbaki guruhi a'zolaridan biri Ø belgisining muallifi Andre Vayl edi.

Q.E.D. D. Knut (1978).

Matematikada dalil deganda ma'lum bir fikrning to'g'riligini ko'rsatuvchi, ma'lum qoidalarga asoslangan fikrlashning ketma-ketligi tushuniladi. Uyg'onish davridan beri isbotning oxiri matematiklar tomonidan "Q.E.D.", lotincha "Quod Erat Demonstrandum" iborasidan - "Nima isbotlanishi kerak edi" deb belgilandi. 1978 yilda amerikalik kompyuter fanlari professori Donald Edvin Knut kompyuterni joylashtirish tizimini yaratishda ramzdan foydalangan: to'ldirilgan kvadrat, vengriyalik amerikalik matematik Pol Richard Halmos nomi bilan atalgan "Halmos belgisi". Bugungi kunda isbotning tugallanishi odatda Halmos belgisi bilan belgilanadi. Shu bilan bir qatorda, boshqa belgilar ishlatiladi: bo'sh kvadrat, to'g'ri burchakli uchburchak, // (ikki chiziq), shuningdek, ruscha "ch.t.d." qisqartmasi.