Основной предпосылкой теории упругости является. Лекции по теории упругости. Задача теории упругости

Оглавление 4
От редактора перевода 10
Предисловие к третьему изданию 13
Предисловие ко второму изданию 15
Предисловие к первому изданию 16
Обозначения 20
Глава 1. Введение 22
§ 1. Упругость 22
§ 2. Напряжения 23
§ 3. Обозначения для сил и напряжений 24
§ 4. Компоненты напряжений 25
§ 5. Компоненты деформаций 26
§ 6. Закон Гука 28
§ 7. Индексные обозначения 32
Задачи 34
Глава 2. Плоское напряженное состояние и плоская деформация 35
§ 8. Плоское напряженное состояли 35
§ 9. Плоская деформация 35
§ 10. Напряжения в точке 37
§ 11. Деформации в точке 42
§ 12. Измерение поверхностных деформаций 44
§ 13. Построение круга деформаций Мора для розетки 46
§ 14. Дифференциальные уравнения равновесия 46
§ 15. Граничные условия 47
§ 16. Уравнения совместности 48
§ 17. Функция напряжений 50
Задачи 52
Глава 3. Двумерные задачи в прямоугольных координатах 54
§ 18. Решение в полиномах 54
§ 19. Концевые эффекты. Принцип Сен-Венана 58
§ 20. Определение перемещений 59
§ 21. Изгиб консоли, нагруженной на конце 60
§ 22. Изгиб балки равномерной нагрузкой 64
§ 23. Другие случаи балок с непрерывным распределением нагрузки 69
§ 24. Решение двумерной задачи при помощи рядов Фурье 71
§ 25. Другие приложения рядов Фурье. Нагрузка от собственного веса 77
§ 26. Влияние кондов. Собственные функции 78
Задачи 80
Глава 4. Двумерные задачи в полярных координатах 83
§ 27. Общие уравнения в полярных координатах 83
§ 28. Полярно-симметричное распределение напряжений 86
§ 29. Чистый изгиб кривых брусьев 89
§ 30. Компоненты деформаций в полярных координатах 93
§ 31. Перемещения при симметричных нолях напряжений 94
§ 32. Вращающиеся диски 97
§ 33. Изгиб кривого бруса силой, приложенной на конце 100
§ 34. Краевые дислокации 105
§ 35. Влияние круглого отверстия на распределение напряжений в пластинке 106
§ 36. Сосредоточенная сила, приложенная в некоторой точке прямолинейной границы 113
§ 37. Произвольная вертикальная нагрузка на прямолинейной границе 119
§ 38. Сила, действующая на острие клина 125
§ 39. Изгибающий момент, действующий на острие клина 127
§ 40. Действие на балку сосредоточенной силы 128
§ 41. Напряжения в круглом диске 137
§ 42. Сила, действующая в точке бесконечной пластинки 141
§ 43. Обобщенное решение двумерной задачи в полярных координатах 146
§ 44. Приложения обобщенного решения в полярных координатах 150
§ 45. Клин, нагруженный вдоль граней 153
§ 46. Собственные решения для клиньев и вырезов 155
Задачи 158
Глава 5. Экспериментальные методы. Метод фотоупругости и метод «муара» 163
§ 47. Экспериментальные методы и проверка теоретических решений 163
§ 48. Измерение напряжений фотоупругим методом 163
§ 49. Круговой полярископ 169
§ 50. Примеры определения напряжений фотоупругим методом 171
§ 51. Определение главных напряжений 174
§ 52. Методы фотоупругости в трехмерном случае 175
§ 53. Метод муара 177
Глава 6. Двумерные задачи в криволинейных координатах 180
§ 54. Функции комплексного переменного 180
§ 55. Аналитические функции и уравнение Лапласа 182
§ 56. Функции напряжений, выраженные через гармонические и комплексные функции 184
§ 57. Перемещения, отвечающие заданной функции напряжений 186
§ 58. Выражение напряжений и перемещений через комплексные потенциалы 188
§ 59. Результирующая напряжений, действующих по некоторой кривой. Граничные условия 190
§ 60. Криволинейные координаты 193
§ 61. Компоненты напряжений в криволинейных координатах 196
Задачи 198
§ 62. Решения в эллиптических координатах. Эллиптическое отверстие в пластинке с однородным напряженным состоянием 198
§ 63. Эллиптическое отверстие в пластинке, подвергнутой одноосному растяжению 202
§ 64. Гиперболические границы. Вырезы 206
§ 65. Биполярные координаты 208
§ 66. Решения в биполярных координатах 209
§ 67. Определение комплексных потенциалов по заданным граничным условиям. Методы Н. И. Мусхелишвили 214
§ 68 Формулы для комплексных потенциалов 217
§ 69. Свойства напряжений и деформаций, отвечающих комплексным потенциалам, аналитическим в области материала, расположенной вокруг отверстия 219
§ 70. Теоремы для граничных интегралов 221
§ 71. Отображающая функция ω(ξ)для эллиптического отверстия. Второй граничный интеграл 224
§ 72. Эллиптическое отверстие. Формула для ψ(ζ) 225
§ 73. Эллиптическое отверстие. Частные задачи 226
Задачи 229
Глава 7. Анализ напряжений и деформаций в пространственном случае 230
§ 74. Введение 230
§ 75. Главные напряжения 232
§ 76. Эллипсоид напряжений и направляющая поверхность напряжений 233
§ 77. Определение главных напряжений 234
§ 78. Инварианты напряжений 235
§ 79. Определение максимального касательного напряжения 236
§ 80. Однородная деформация 238
§ 81. Деформации в точке тела 239
§ 82. Главные оси деформаций 242
§ 83. Вращение 243
Задачи 245
Глава 8. Общие теоремы 246
§ 84. Дифференциальные уравнения равновесия 246
§ 85. Условия совместности 247
§ 86. Определение перемещений 250
§ 87. Уравнения равновесия в перемещениях 251
§ 88. Общее решение для перемещений 252
§ 89. Принцип суперпозиции 253
§ 90. Энергия деформации 254
§ 91. Энергия деформации для краевой дислокации 259
§ 92. Принцип виртуальной работы 261
§ 93. Теорема Кастильяно 266
§ 94. Приложения принципа минимальной работы. Прямоугольные пластинки 270
§ 95. Эффективная ширина широких полок балок 273
Задачи 279
§ 96. Единственность решения 280
§ 97. Теорема взаимности 282
§ 98. Приближенный характер решений для плоского напряженного состояния 285
Задачи 287
Глава 9. Элементарные трехмерные задачи теории упругости 289
§ 99. Однородное напряженное состояние 289
§ 100. Растяжение призматического стержня под действием собственного веса 290
§ 101. Кручение круглых валов постоянного поперечного сечения 293
§ 102. Чистый изгиб призматических стержней 294
§ 103. Чистый изгиб пластинок 298
Глава 10. Кручение 300
§ 104. Кручение прямолинейных стержней 300
§ 105. Эллиптическое поперечное сечение 305
§ 106. Другие элементарные решения 307
§ 107. Мембранная аналогия 310
§ 108. Кручение стержня узкого прямоугольного поперечного сечения 314
§ 109. Кручение прямоугольных стержней 317
§ 110. Дополнительные результаты 320
§ 111. Решение задач о кручении энергетическим методом 323
§ 112. Кручение стержней прокатных профилей 329
§ 113. Экспериментальные аналогии 331
§ 114. Гидродинамические аналогии 332
§ 115. Кручение полых валов 335
§ 116. Кручение тонкостенных труб 339
§ 117. Винтовые дислокации 343
§ 118. Кручение стержня, одно из поперечных сечений которого остается плоским 345
§ 119. Кручение круглых валов переменного диаметра 347
Задачи 355
Глава 11. Изгиб брусьев 359
§ 120. Изгиб консоли 359
§ 121. Функция напряжений 361
§ 122. Круглое поперечное сечение 363
§ 123. Эллиптическое поперечное сечение 364
§ 124. Прямоугольное поперечное сечение 365
§ 125. Дополнительные результаты 371
§ 126. Несимметричные поперечные сечения 373
§ 127. Центр изгиба 375
§ 128. Решение задач изгиба с помощью метода мыльной пленки 378
§ 129. Перемещения 381
§ 130. Дальнейшие исследования изгиба брусьев 382
Глава 12. Осесимметричные напряжения и деформации в телах вращения 384
§ 131. Общие уравнения 384
§ 132. Решение в полиномах 387
§ 133. Изгиб круглой пластинки 388
§ 134. Трехмерная задача о вращающемся диске 391
§ 135. Сила, приложенная в некоторой точке бесконечного тела 393
§ 136. Сферический сосуд под действием внутреннего или внешнего равномерного давления 396
§ 137. Местные напряжения вокруг сферической полости 399
§ 138. Сила, приложенная на границе полубесконечного тела 401
§ 139. Нагрузка, распределенная по части границы полубесконечного тела 405
§ 140. Давление между двумя соприкасающимися сферическими телами 412
§ 141. Давление между двумя соприкасающимися телами. Более общий случай 417
§ 142. Соударение шаров 422
§ 143. Симметричная деформация круглого цилиндра 424
§ 144. Круглый цилиндр под действием опоясывающего давления 428
§ 145. Решение Буссинеска в виде двух гармонических функций 430
§ 146. Растяжение винтовой пружины (винтовые дислокации в кольце) 431
§ 147. Чистый изгиб части круглого кольца 434
Глава 13. Температурные напряжения 436
§ 148. Простейшие случаи распределения температурных напряжений. Метод устранения деформаций 436
Задачи 442
§ 149. Продольное изменение температуры в полосе 442
§ 150. Тонкий круглый диск: распределение температуры, симметричное относительно центра 445
§ 151. Длинный круглый цилиндр 447
Задачи 455
§ 152. Сфера 455
§ 153. Общие уравнения 459
§ 154. Теорема взаимности в термоупругости 463
§ 155. Полные термоупругие деформации. Произвольное распределение температуры 464
§ 156. Термоупругие перемещения. Интегральное решение В. М. Май-зеля 466
Задачи 469
§ 157. Начальные напряжения 469
§ 158. Общее изменение объема, связанное с начальными напряжениями 472
§ 159. Плоская деформация и плоское напряженное состояние. Метод устранения деформаций 472
§ 160. Двумерные задачи со стационарным потоком тепла 474
§ 161. Плоское термонапряженное состояние, вызванное возмущением однородного потока тепла изолированным отверстием 480
§ 162. Решения общих уравнений. Термоупругий потенциал перемещения 481
§ 163. Общая двумерная задача для круговых областей 485
§ 164. Общая двумерная задача. Решение в комплексных потенциалах 487
Глава 14. Распространение волн в упругой сплошной среде 490
§ 165. Введение 490
§ 166. Волны расширения и волны искажения в изотропной упругой среде 491
§ 167. Плоские волны 492
§ 168. Продольные волны в стержнях постоянного сечения. Элементарная теория 497
§ 169. Продольное соударение стержней 502
§ 170. Поверхностные волны Рэлея 510
§ 171. Волны со сферической симметрией в бесконечной среде 513
§ 172. Взрывное давление в сферической полости 514
Приложение. Применение конечно-разностных уравнений в теории упругости 518
§ 1. Вывод конечно-разностных уравнений 518
§ 2. Методы последовательных приближений 522
§ 3. Метод релаксации 525
§ 4. Треугольные и шестиугольные сетки 530
§ 5. Блочная и групповая релаксации 535
§ 6. Кручение стержней с многосвязными поперечными сечениями 536
§ 7. Точки, расположенные вблизи границы 538
§ 8. Бигармоническое уравнение 540
§ 9. Кручение круговых валов переменного диаметра 548
§ 10. Решение задач с помощью ЭВМ 551
Именной указатель 553
Предметный указатель 558

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ - раздел механики, изучающий вызванные физическими воздействиями упругие деформации в твердом теле и возникающие при этом внутренние силы, как в состоянии покоя, так и в состоянии движения тела.Если ограничиться рассмотрением только тел, имеющих форму бруса (балка, стойка, вал и т. п.), то формально перечисленные выше задачи относятся к сопротивлению материалов, однако имеются существенные различия, которые заключаются, прежде всего, в исходных предпосылках и методах решения задач.Исходные предпосылки в теории сопротивления материалов, например закон плоских сечений при изгибе, более или менее оправдываются опытом в том случае, когда тело имеет форму бруса (стержня). Поэтому сопротивление материалов не может решать задачи на отыскание напряженного и деформированного состояния тела, если оно отлично от обычного стержня и представляет собой, например, пластинку, оболочку и т. п. (см. Тонкая пластинка, Оболочка).

Основные предпосылки теории упругости отличаются достаточной широтой и не ограничиваются такой формой тела, как стержень. Принятию более общих предпосылок в теории упругости соответствуют и более общие методы решения задач, их относительной строгости по сравнению с методами теории сопротивления материалов (если последние в рассматриваемой задаче вообще применимы). Теория упругости дает более точное решение поставленной задачи; это не исключает наличия в теории упругости различных приближенных методов, что обычно составляет т.н. прикладную теорию упругости, в отличие от математической теории упругости, в которой задачи решаются без специальных (дополнительных) допущений.

В основе классической теории упругости (называемой также линейной теорией упругости) лежит представление об упругом и линейно-деформируемом теле (см. Упругость). Такое тело наделяется наиболее простой, а именно, линейной зависимостью между слагающими деформаций и напряжениями (обобщенный закон Гука). Последнее в свою очередь означает, что если внешние силы, одновременно и статически прикладываемые к упругому телу, возрастают (или убывают) в известной пропорции, то в той же пропорции возрастают (или убывают) напряжения, деформации и перемещения в любой точке тела.

Диаграмма растяжения-сжатия для такого материала в обычных координатах «напряжение - деформация» представляет собой прямую наклонную линию (OA), проходящую через начало координат. Если процесс медленной разгрузки происходит, следуя той же кривой ВАО, причем в обратном порядке проходятся те же состояния, что и при нагрузке по ОАВ, а график процесса возвращается в начальную точку О, то такое тело принято называть нелинейно-упругим. Если при медленной разгрузке график процесса не возвращается в исходную точку, то тело считается упругопластическим. Законы образования деформаций в нелинейно-упругом теле изучаются нелинейной теорией упругости.В случае конечных деформаций основные уравнения теории упругости, даже при наличии линейно-упругого тела, оказываются нелинейными (отсюда понятие о геометрической нелинейности). В случае конечных деформаций и нелинейного упругого тела имеем дело с нелинейностью физической и геометрической.

Основной предпосылкой всех ветвей теории упругости (линейная, нелинейная), как следует из самого наименования науки, является наделение тела свойством идеальной упругости, т. е. полной обратимости деформаций. Общей предпосылкой ко всем ветвям механики деформируемого тела или сплошных сред (сопротивление материалов, теория упругости, теория пластичности, строительная механика и т. д.) является представление о сплошном строении упругого тела. По этой гипотезе тело сплошное, т. е. непрерывное до деформации, остается непрерывным (без пустот и разрывов) и после деформации; непрерывным остается любой объем тела и элементарный (микрообъем) в том числе. В связи с этим деформации и перемещения точек тела считаются непрерывными функциями координат.

В большинстве задач современной теории упругости считается, что материал однороден и наделен свойствами шаровой изотропии, т. е. физические свойства материала по всем направлениям внутри материала одинаковы. В классической теории упругости исключается из рассмотрения влияние для любого мгновения всех напряжений тела, имевших место в предыдущие моменты времени (что и вытекает из понятия идеальной упругости тела). В противном случае (случай упругого гистерезиса и т. п.) следовало бы обратиться к наследственной теории упругости (см. Ползучесть).Выводы теории упругости широко используются в многочисленных областях техники. В сейсмологии по результатам изучения распространения упругих волн в земной коре вычисляют координаты очага землетрясений.

В строительстве выводы и методы теории упругости применяются для вычисления напряжений и деформаций в инженерных сооружениях (туннели, фундаментные плиты, оболочки, массивные плотины и т. п.). В машиностроении методами теории упругости определяются напряжения в лопатках водяных и паровых турбин, в элементах шарикоподшипников и других сложных деталях машин. В геологии используют теории упругости для определения давления горных пород, деформаций земной коры и т. п.В классической теории упругости принимаются следующие вполне приемлемые для всех инженерных сооружений (исключая отдельные случаи точного приборостроения и т. п.) допущения геометрического характера: а) перемещения тела малы по сравнению с его линейными размерами; б) относительные удлинения и относительные сдвиги в материале малы по сравнению с единицей; в) углы поворота тела также малы по сравнению с единицей, а квадраты углов поворота малы по сравнению с относительными удлинениями и сдвигами.

Основные уравнения теории упругости. Уравнения теории упругости составляются в той или иной (в зависимости от геометрии наружной и внутренней поверхностей исследуемого тела), наиболее удобной в каждом отдельном случае, прямолинейной координатной или криволинейной системе (декартовая, цилиндрическая, сферическая, триортогональная системы криволинейных координат и т. д.). Составленные в одной координатной системе уравнения могут быть легко переписаны и в другой системе, с использованием известных формул преобразования координат; приводимые ниже уравнения записаны в прямолинейной декартовой системе координат (хх, х2, х3).

Математический аппарат классической теории упругости сводится к следующим основным 15 уравнениям, справедливым для каждой точки внутри тела, и к трем уравнениям, справедливым для точек на границе тела. Для каждой точки внутри тела могут быть написаны три дифференциальные уравнения равновесия, связывающие компоненты тензора напряжений по трем взаимно-перпендикулярным площадкам, мысленно проведенным через рассматриваемую точкуДля каждой точки внутри тела могут быть написаны шесть дифференциальных геометрических соотношений между проекциями (компонентами) смещения рассматриваемой точки и компонентами тензора деформации (компоненты деформации с двумя одинаковыми индексами). Если тело обладает упругой анизотропией, то закон Гука содержит не две упругие постоянные (G и JLI), как в случае изотропного тела, а больше (но не более 21).Кроме того, для каждой точки на границе тела, направляющие косинусы нормали (v) к наружной поверхности тела соответственно cos (хх v) = lu cos (х2 v) = l2, cos (xs v) = Z3, могут быть записаны три граничные уравнения, связывающие компоненты внешней (поверхностной) нагрузки (Pijj Рз.) с компонентами напряжений внутри тела возле его границы.Совокупность указанных уравнений (трех статических, и пяти геометрических, шести физических) совместно с последними тремя граничными условиями (в которых отражается конкретная геометрия наружной поверхности тела и конкретные поверхностные нагрузки) дает принципиальную возможность решить задачу о напряженном и деформированном состоянии упругого тела.

Основные 15 уравнений теории упругости могут быть преобразованы последовательно, выражая компоненты напряжений через компоненты деформации (с помощью физических уравнений) и далее, компоненты деформации - через компоненты смещения. В результате остаются три уравнения Ляме, содержащие только компоненты смещения. Уравнения Бельтрами совместно с тремя дифференциальными уравнениями равновесия и граничными условиями полностью решают задачу теории упругости о напряженном состоянии заданного упругого тела. Такое решение задачи теории упругости составляет так называемый метод сил.

По аналогии со строительной механикой стержневых систем, в теории упругости возможен и т. н. смешанный метод, когда за основные (первоначальные) неизвестные принимаются некоторые из компонентов перемещений и некоторые из компонентов напряжений. Значение напряжений и деформаций в каждой точке тела позволяет судить о прочности тела при заданных нагрузках и об эксплуатационных качествах изделий. Если в результате решения задачи теории упругости окажется, что в каких-либо точках тела напряжения превосходят предел упругости материала, то для вычисления действительных значений напряжений и деформаций в этом теле следует пользоваться законами теории пластичности.

Лит. Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 4 изд., 1VL., 1954; Галеркин В. Г., Собрание сочинений, т. 1-2, М., 1952 -53; Лехпицкий С. Г., Теория упругости анизотропного тела, М.-Д., 1950; Тимошенко С. П., Устойчивость упругих систем, пер. с англ., 2 изд., М., 1955, его же, Пластинки и оболочки, пер. с англ., М.-Л., 1948, Математическая теория упругости, пер. с англ., М.- Л., 1935, Теория упругости, Л.-М., 1939; Гекслер И. В., Статика упругого тела, пер. с нем., вып. 2, Л.-М., 1934; Филоненко-Вородич М. М., Теория упругости, 4 изд., М., 1959; Гибкие пластинки и оболочки, М., 195 6; Гольденвейзер А. Л., Теория упругих тонких оболочек, М., 1953, Новожилов В. В., Основы нелинейной теории упругости, Л.-М., 1948, Кутилин Д. И., Теория конечных деформаций, М.- Л., 1947; Лурье А И., Пространственные задачи теории упругости, М., 1955, Основы теории упругости, пластичности и ползучести, М., 1901.

Созданию теории упругости и пластичности как самостоятельного раздела механики предшествовали работы ученых XVII и XVIII вв, Еще в начале XVII в. Г. Галилей (1564-1642) сделал попытку решить задачи о растяжении и изгибе бруса. Он был одним из первых, кто попытался применить расчеты к инженерно-строительным задачам.

Теорией изгиба тонких упругих стержней занимались такие выдаю­щиеся ученые, как Э. Мариотт, Я. Бернулли-старший, Ш.О. Кулон, Л. Эйлер, причем становление теории упругости как науки можно свя­зать с работами Р. Гуна, Т. Юнга, Ж.Л. Лагранжа, С. Жермен.

Роберт Гук (1635-1703) положил начало механике упругих тел, опубликовав в 1678 r . работу, в которой описал установленный им за кон пропорциональности между нагрузкой и деформацией при растя­жении. Томас Юнг (1773-1829) в самом начале XIX в. ввел понятие модуля упругости при растяжении и сжатии. Он установил также раз­личие между деформацией растяжения или сжатия и деформацией сдви­га. К этому же времени относятся работы Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813) и Софи Жермен (1776-1831). Они нашли решение задачи об изгибе и колебаниях упругих пластинок. В дальнейшем теорию пластинок усовершенствовали С. Пуассон и 781-1840) и Л. Навье (1785-1836).

Так, к концу XVIII и началу XIX вв. были заложены основы со­противления материалов и создана почва для возникновения теории упругости. Быстрое развитие техники ставило перед математикой огромное количество практических задач, что и привело к быстрому развитию теории. Одной из многих важных проблем была проблема ис­следования свойств упругих материалов. Решение этой проблемы да­вало возможность более глубоко и полно изучить внутренние силы и деформации, возникающие в упругом теле под действием внешних сил.

Датой возникновения математической теории упругости надо счи­тать 1821 г., когда вышла в свет работа Л. Навье, в которой были сформулированы основные уравнения.

Большие математические трудности решения задач теории упруго­сти привлекли к ней внимание многих выдающихся ученых-математи­ков XIX в.: Ламе, Клапейрона, Пуассона и др. Дальнейшее развитие теория упругости получила в трудах французского математика О. Коши (1789-1857), который ввел понятия деформации и напряжения, упростив тем самым вывод общих уравнений.

В 1828 г. основной аппарат математической теории упругости на­шел свое завершение в трудах французских ученых и инженеров Г. Ла­ме (1795-1870) и Б. Клапейрона (1799-1864), преподававших в то вре­мя в Институте инженеров путей сообщения в Петербурге. В их сов­местной работе дано приложение общих уравнений к решению практи­ческих проблем.

Решение многих задач теории упругости стало возможным после того, как французский механик Б. Сен-Венан (1797-1886) выдвинул принцип, носящий его имя, и предложил эффективный метод решения задач теории упругости. Заслуга его, по словам известного английского ученого А. Лява (1863-1940), заключается еще и в том, что он увязал проблемы кручения и изгиба балок с общей теорией.

Если французские математики занимались в основном общими проблемами теории, то русские ученые внесли большой вклад в разви­тие науки о прочности решением многих актуальных практических задач. С 1828 но 1860 г. в петербургских технических вузах препода­вал математику и механику выдающийся ученый М. В. Остроградс­кий (1801-1861). Его исследования по вопросам колебаний, возни­кающих в упругой среде, имели важное значение для развития теории упругости. Остроградский воспитал плеяду ученых и инженеров. Сре­ди них следует назвать Д. И. Журавского (1821-1891), который, ра­ботая на строительстве Петербурго-Московской железной дороги, создал не только новые схемы мостов, но и теорию расчета мостовых ферм, а также вывел формулу касательных напряжений в изгибаемой балке.

А. В. Гадолин (1828-1892) применил задачу Ламе об осесимметричной деформации толстостенной трубы к исследованию напряжений, возникающих в стволах артиллерийских орудий, одним из первых при­ложив теорию упругости к конкретной инженерной задаче.

Из других задач, решенных в конце XIX в., нужно отметить работы X. С. Головина (1844-1904), произведшего методами теории упруго сти точный расчет кривого бруса, что дало возможность определить степень точности приближенных решений.

Большая заслуга в развитии науки о прочности принадлежит В. Л. Кирпичеву (1845-1913). Ему удалось значительно упростить различные методы расчета статически неопределимых конструкций. Он первый применил оптический метод к экспериментальному опреде­лению напряжений, создал метод подобия.

Тесная связь с практикой строительства, принципиальность и глу­бина анализа характеризуют советскую науку. И. Г. Бубнов (1872- 1919) разработал новый приближенный метод интегрирования диффе­ренциальных уравнений, блестяще развитый Б. Г. Галеркиным (1871-1945). Вариационный метод Бубнова-Галеркина в настоя­щее время получил широкое распространение. Большое значение име­ют труды этих ученых в теории изгиба пластинок. Новые важные ре­зультаты, продолжая исследования Галеркина, получил П.Ф. Папкович (1887-1946).

Метод решения плоской задачи теории упругости, основанный на применении теории функций комплексного переменного, был предло­жен Г.В. Колосовым (1867-1936). Впоследствии этот метод был раз­вит и обобщен Н.И. Мусхелишвили (1891-1976). Ряд задач по устой­чивости стержней и пластинок, вибрациям стержней и дисков, по тео­рии удара и сжатия упругих тел решил А.Н. Динник (1876-1950). Большое практическое значение имеют работы Л.С. Лейбензона (1879-1951) по устойчивости упругого равновесия длинных закру­ченных стержней, по устойчивости сферических и цилиндрических оболочек. Важное практическое значение имеют капитальные работы В. 3. Власова (1906-1958) по общей теории тонкостенных простран­ственных стержней, складчатых систем и оболочек.

Теория пластичности имеет более короткую историю. Первая мате­матическая теория пластичности была создана Сен-Венаном в 70-е годы XIX в. на основании опытов французского инженера Г. Треска. В начале XX в. над проблемами пластичности работали Р. Мизес. Г. Генки, Л. Прандтль, Т. Карман. С 30-х годов XX в, теория плас­тичности привлекла к себе внимание большого круга видных зарубеж­ных ученых (А. Надаи, Р. Хилла, В. Прагера, Ф. Ходжа, Д. Друккера и др.). Широко известны работы по теории пластичности советских уче­ных В.В. Соколовского, А.Ю. Ишлинского, Г.А. Смирнова-Аляева, Л. М. Качанова. Фундаментальный вклад в создание деформационной теории пластичности внес А.А. Ильюшин. А.А. Гвоздев разработал теорию расчета пластинок и оболочек по разрушающим нагрузкам Эта теория успешно развита А.Р. Ржаницыным.

Теория ползучести как раздел механики деформируемого тела сформировалась сравнительно недавно. Первые исследования в этой области относятся к 20-м годам XX в. Их общий характер определяет­ся тем, что проблема ползучести представляла большую важность для энергомашиностроения и инженеры были вынуждены искать простые и быстро ведущие к цели методы решения практических задач. В создании теории ползучести большая роль принадлежит тем авторам, ко­торые внесли существенный вклад в создание современной теории пластичности. отсюда общность многих идей и подходов. В нашей стране первые работы по механической теории ползучести принадлежат Н.М. Беляеву (1943), К.Д. Миртову (1946), к концу 40-х годов отно­сятся первые исследования Н. Н. Малинина, Ю.Н. Работнова.

Исследования в области упруговязких тел выполнены в работах А.Ю. Ишлинского, А.Н. Герасимова, А.Р. Ржаницына, Ю.Н. Работнова. Применение этой теории к стареющим материалам, в первую очередь к бетону, дано в работах Н.X. Арутюняна, А.А. Гвоздева, Г.Н Маслова. Большой объем исследований ползу чести полимерных материалов выполнен научными коллективами под руководством А.А. Ильюшина, А.К. Малмейстера, М.И. Розовского, Г.Н. Савина.

Советское государство уделяет большое внимание науке. Органи­зация научно-исследовательских институтов, участие в разработке актуальных проблем больших коллективов ученых позволили поднять советскую науку на более высокую ступень.

В кратком обзоре нет возможности подробнее остановиться на рабо­тах всех ученых, внесших свой вклад в развитие теории упругости и пластичности. Желающие подробно ознакомиться с историей развития этой науки могут обратиться к учебнику Н.И. Безухова, где дан детальный разбор основных этапов развития теории упругости и плас­тичности, а также приведена обширная библиография.

1.1.Основные гипотезы, принципы и определения

Теория напряжений как раздел механики сплошных сред базируется на ряде гипотез, основными из которых следует назвать гипотезы сплошности и естественного (фонового) напряженного состояния.

Согласно гипотезе о сплошности все тела принимаются за совершенно сплошные как до приложения нагрузки (до деформирования), так и после ее действия. При этом сплошным (непрерывным) остается любой объем тела, в том числе и элементарный, то есть бесконечно малый. В связи с этим деформации тела считаются непрерывными функциями координат, когда материал тела деформируется без образования в нем трещин или прерывистых складок.

Гипотеза об естественном напряженном состоянии предполагает наличие начального (фонового) уровня напряженности тела, обычно принимаемого за нулевой, а фактические напряжения, вызываемые внешней нагрузкой, считаются приращения напряжений над ест естественным уровнем.

Наряду с названными основными гипотезами, в теории напряжений принят и ряд основополагающих принципов, среди которых в первую очередь необходимо назвать наделение тел идеальной упругостью, шаровой изотропией, совершенной однородностью, линейной зависимостью между напряжениями и деформациями.

Идеальная упругость есть способность материалов, подвергаемых деформированию, восстанавливать свою первоначальную форму (размеры и объем) после снятия внешней нагрузки (внешнего воздействия). Практически все горные породы и большинство строительных материалов обладают в известной степени упругостью, к этим материалам можно отнести и жидкости, и газы.

Шаровая изотропия предполагает одинаковость свойств материалов во всех направлениях действия нагрузки, антиподом ей является анизотропия, то есть неодинаковость свойств в различных направлениях (некоторые кристаллы, древесина и др.). При этом нельзя смешивать понятия шаровой изотропии и однородности: например, для однородной структуры древесины свойственна анизотропия – различие в прочности дерева вдоль и поперек волокон. Упругим, изотропным и однородным материалам присуща линейная зависимость между напряжениями и деформациями, описываемая законом Гука, рассмотрению которого посвящен соответствующий раздел учебного пособия.

Основополагающим принципом в теории напряжений (и деформаций, в том числе) является и принцип локальности действия самоуравновешенных внешних нагрузок – принцип Сен-Венана. Согласно этому принципу, приложенные к телу в какой либо точке (линии) уравновешенная система сил вызывает в материале напряжения, быстро убывающие по мере удаления от места приложения нагрузки, например, по экспоненциальному закону. Примером такого действия может служить разрезание бумаги ножницами, которые деформируют (режут) бесконечно малую часть листа (линию), тогда как остальные части листа бумаги не будут нарушены, то есть будет иметь место локальная деформация. Применение принципа Сен-Венана способствует упрощению математических выкладок при решении задач по оценке НДС за счет замены заданной сложной для математического описания нагрузки на более простую, но эквивалентную ей.

Говоря о предмете изучения в теории напряжений, следует дать и определение самого напряжения, под которым понимается мера внутренних усилий в теле, в пределах некоторого его сечения, распределенных по рассматриваемому сечению и противодействующих внешней нагрузке. При этом напряжения, действующие на поперечной площадке и перпендикулярной ей, называются нормальными; соответственно напряжения, параллельные этой площадке или касающиеся ее, будут касательными.

Рассмотрение теории напряжений упрощается при введении следующих допущений, практически не снижающих точность получаемых решений:

Относительные удлинения (укорочения), а также относительные сдвиги (углы сдвига) много меньше единицы;

Перемещения точек тела при его деформировании малы по сравнению с линейными размерами тела;

Углы поворота сечений при изгибном деформировании тела также очень малы по сравнению с единицей, а их квадраты пренебрежимо малы в сравнении с величинами относительных линейных и угловых деформаций.

В главах 4-6 были выведены основные уравнения теории упругости, устанавливающие законы изменения напряжений и деформаций в окрестности произвольной точки тела, а также соотношения, связывающие напряжения с деформациями и деформации с перемещениями. Приведем полную систему уравнений теории упругости в декартовых координатах.

Уравнения равновесия Навье:

Соотношения Коши:

Закон Гука (в прямой и обратной формах):

Напомним, что здесь е = е х + е у + e z - относительная объемная деформация, а по закону парности касательных напряжений Xj. = Tj; и соответственно у~ = ^ 7 . Входящие в (16.3, а) постоянные Ляме определяются по формулам (6.13).

Из приведенной системы видно, что она включает 15 дифференциальных и алгебраических уравнений, содержащих 15 неизвестных функций (6 компонент тензора напряжений, 6 компонент тензора деформаций и 3 компоненты вектора перемещения).

В силу сложности полной системы уравнений нельзя найти общее решение, которое было бы справедливо для всех задач теории упругости, встречающихся на практике.

Существуют различные способы уменьшения количества уравнений, если в качестве неизвестных функций принять, например, только напряжения или перемещения.

Если, решая задачу теории упругости, исключить из рассмотрения перемещения, то вместо соотношений Коши (16.2) можно получить уравнения, связывающие между собой компоненты тензора деформаций. Продифференцируем деформацию г х, определяемую первым равенством (16.2), два раза по у, деформацию г у - два раза по х и сложим полученные выражения. В результате получим

Выражение, стоящее в скобках, согласно (16.2) определяет угловую деформацию у. Таким образом, последнее равенство можно записать в виде

Аналогично можно получить еще два равенства, которые вместе с последним соотношением составляют первую группу уравнений совместности деформаций Сен-Венана:

Каждое из равенств (16.4) устанавливает связь между деформациями в одной плоскости. Из соотношений Коши могут быть также получены условия совместности, связывающие деформации в разных плоскостях. Продифференцируем выражения (16.2) для угловых деформаций следующим образом: у - по z у - по х;

По у; сложим два первых равенства и вычтем третье. В результате получим

Дифференцируя это равенство по у и учитывая, что,

приходим к следующему соотношению:

С помощью круговой подстановки получим еще два равенства, которые вместе с последним соотношением составляют вторую группу уравнений совместности деформаций Сен-Венана:

Уравнения совместности деформаций называются также условиями сплошности или неразрывности. Эти термины характеризуют тот факт, что при деформировании тело остается сплошным. Если представить тело состоящим из отдельных элементов и принять деформации е х, у в виде произвольных функций, то в деформированном состоянии из этих элементов не удастся сложить сплошное тело. При выполнении условий (16.4), (16.5) перемещения границ отдельных элементов будут таковы, что тело и в деформированном состоянии останется сплошным.

Таким образом, одним из способов сокращения количества неизвестных при решении задач теории упругости является исключение из рассмотрения перемещений. Тогда вместо соотношений Коши в полную систему уравнений будут входить уравнения совместности деформаций Сен-Венана.

Рассматривая полную систему уравнений теории упругости, следует обратить внимание на то, что она практически не содержит факторов, определяющих напряженно-деформированное состояние тела. К таким факторам относятся форма и размеры тела, способы его закрепления, действующие на тело нагрузки, за исключением объемных сил X, Y, Z.

Таким образом, полная система уравнений теории упругости устанавливает лишь общие закономерности изменения напряжений, деформаций и перемещений в упругих телах. Решение же конкретной задачи может быть получено, если заданы условия нагружения тела. Это дается в граничных условиях, которые и отличают одну задачу теории упругости от другой.

С математической точки зрения также понятно, что общее решение системы дифференциальных уравнений включает в себя произвольные функции и постоянные, которые и должны быть определены из граничных условий.