인형용 Power 시리즈는 솔루션의 예입니다. 기능 계열과 그 수렴: 균일 및 비균일. 기능적 행. 파워 시리즈. 시리즈의 수렴 범위

도메인에서 함수를 정의하자

정의.표현

~라고 불리는 기능의옆에.

예시.

일부 값의 경우 계열이 수렴할 수 있고 다른 값의 경우 발산할 수 있습니다.

예시.

시리즈의 수렴 영역을 찾으십시오. 이 시리즈는 값에 대해 정의됩니다.

인 경우 급수 수렴에 필요한 기준이 충족되지 않으므로 급수가 발산합니다. 시리즈가 발산하는 경우; if는 무한히 감소하는 기하학적 진행입니다.

수렴 급수 와 이 급수 를 비교 하면 연구 급수 의 수렴 영역 을 알 수 있습니다 .

기능 계열의 값을 사용하여 숫자 계열을 얻습니다.

숫자 시리즈가 수렴하면 점을 호출합니다. 수렴점기능적 행.

계열의 모든 수렴점 집합은 수렴 영역을 형성합니다. 수렴 영역은 일반적으로 축의 일부 간격입니다.

각 점에서 숫자 급수가 수렴하면 기능 급수가 호출됩니다. 수렴의 영역에서.

기능 계열의 합은 계열의 수렴 영역에 정의된 변수의 일부 함수입니다.

속성이 시리즈의 구성원으로 알려진 경우 함수에는 어떤 속성이 있습니까?

기능의 연속성은 연속성에 대한 결론을 내리기에 충분하지 않습니다.

일련의 연속 함수를 연속 함수로 수렴하는 것은 함수 급수의 수렴의 한 가지 중요한 특징을 나타내는 추가 조건에 의해 제공됩니다.

정의. 함수 급수는 이 급수의 부분 합에 제한이 있는 경우 도메인에서 수렴이라고 합니다.

정의. 어떤 양수에 대해 불평등이 모든 사람에게 유지되는 숫자가 있는 경우 기능적 급수를 해당 영역에서 균일하게 수렴한다고 합니다.

기하학적 감각 균일 수렴

함수의 그래프를 관계식으로 정의된 스트립으로 둘러싸면 그래프 모두충분히 시작하는 기능 매우 중요한 , 전적으로한계 함수의 그래프를 둘러싸고 있는 이 "-띠"에 있습니다.

균일하게 수렴하는 급수의 속성 .

1. 연속 함수로 구성된 일부 영역에서 균일하게 수렴하는 급수의 합은 이 영역에서 연속 함수입니다.

2. 이러한 계열은 용어별로 구분할 수 있습니다.

3. 시리즈는 용어별로 통합될 수 있습니다.

기능 급수가 균일하게 수렴하는지 여부를 확인하려면 Weierstrass 충분 수렴 검정을 사용해야 합니다.

정의. 기능 시리즈는 지배불평등이 이 지역 전체에 대해 유지되는 양의 항을 갖는 수렴하는 숫자 계열이 있는 경우 변화의 일부 영역에서.

Weierstrass 기호(기능 계열의 균일 수렴).

기능 범위 균일하게 수렴이 영역에서 지배적이라면 수렴 영역에서.

즉, 어떤 영역의 함수가 절대값에서 해당 양수를 초과하지 않고 숫자 계열이 수렴하면 기능 계열은 이 영역에서 균일하게 수렴됩니다.

예시. 기능 계열의 균일 수렴을 증명합니다.

해결책. . 이 계열의 공통 항을 수치 계열의 공통 항으로 바꾸되 절대값은 계열의 각 구성원을 초과합니다. 이를 위해서는 급수의 공통항이 최대가 되는 시점을 결정해야 합니다.

결과적인 수치 계열은 수렴합니다. 즉, Weierstrass 테스트에 따라 기능 계열이 균일하게 수렴됩니다.

예시. 급수의 합을 구하십시오.

급수의 합을 찾기 위해 우리는 기하학적 진행의 합에 대해 잘 알려진 공식을 사용합니다.

식 (1)의 왼쪽 부분과 오른쪽 부분을 미분하면 다음을 얻을 수 있습니다.

계산할 합계에서 1차 및 2차 도함수에 비례하는 항을 선택합니다.

파생 상품을 계산해 보겠습니다.

파워 시리즈.

기능 계열 중에는 거듭제곱 계열과 삼각 계열 계열이 있습니다.

정의. 형태의 기능 시리즈

권력 속의 권력이라고 한다. 표현식은 상수입니다.

급수가 의 거듭제곱 급수인 경우 .

거듭제곱 급수의 수렴 영역. 아벨의 정리.

정리. 거듭제곱 급수가 한 점에서 수렴하면 수렴하고, 더욱이 절대값, 즉 간격에서 더 작은 값에 대해 절대적으로 수렴합니다.

증거.

rad의 수렴으로 인해, 그것의 공통 항은 0이 되는 경향이 있어야 하므로 이 급수의 모든 항은 균일하게 제한됩니다. 일정한 양수 가 있어 모든 부등식에 대해 ., 이는 모두에 대해 중심이 . 가리키다

수렴 영역 기능 계열은 실제 축의 특정 집합 E에 정의된 / 함수가 구성원인 계열입니다. 예를 들어, 급수의 항은 구간에 정의되고 급수의 항은 세그먼트에 정의됩니다. 집합 D ⊂ E이고 집합 D에 속하지 않는 각 점에서 발산하면 급수를 집합 D에 수렴한다고 하고 D를 급수의 수렴 영역이라고 합니다. 급수 (1)이 이 집합에 수렴하면 집합 D에 절대 수렴이라고 합니다. 급수 (1)이 집합 D에 수렴하는 경우, 그 합 S는 D에 정의된 함수가 됩니다. 일부 기능 계열의 수렴은 알려진 충분한 기준을 사용하여 찾을 수 있습니다. 예를 들어 Dapamber의 기호, Cauchy의 기호와 같이 양수 요소가 있는 계열에 대해 설정됩니다. 예 1. 급수 M의 수렴 영역 찾기 수치 급수가 p > 1에 대해 수렴하고 p > 1에 대해 발산하므로 p - Igx를 가정하여 이 급수를 얻습니다. Igx > T, 즉 x > 10이면 Igx ^ 1일 때 발산합니다. 즉, 0에서< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х >0은 L = 이후로 발산합니다. x = 0에서 계열의 발산은 분명합니다. 예 3. 급수의 수렴 영역 찾기 이 급수의 항은 집합에서 정의되고 연속적입니다. Kosh 기호를 적용하면 모든 것을 찾습니다. 따라서 시리즈는 x의 모든 값에 대해 발산합니다. 기능 계열(1)의 n번째 부분합을 Sn(x)로 표시합니다. 이 급수가 집합 D에 수렴하고 그 합이 5(g)와 같으면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 여기서 집합 D에 수렴하는 급수의 합은 다음과 같습니다. n번째 나머지기능 시리즈 (1). x € D의 모든 값에 대해 관계가 유지되므로 따라서. 즉, 수렴 급수의 나머지 Rn(x)는 x 6 D에 관계없이 0이 되는 경향이 있습니다. 균일 수렴 모든 수렴 계열 함수 중에서 소위 균일 수렴 급수가 중요한 역할을 합니다. 집합 D에 수렴하는 기능 급수가 주어지고 그 합은 S(x)와 같습니다. n번째 부분합을 취합니다. 기능 급수 FUNCTIONAL SERIES 수렴 영역 균일 수렴 Weierstrass 기준 균일 수렴 기능 급수의 속성은 집합 PS1)에 대해 균일하게 수렴한다고 합니다. FI. 논평. 여기서 숫자 N은 모든 x ∈ 10에 대해 동일합니다. z에 의존하지 않고 숫자 e의 선택에 의존하므로 N = N(e)라고 씁니다. 집합 ft에 대한 함수 S(x)에 대한 함수 급수 £ /n(®)의 균일 수렴은 종종 다음과 같이 표시됩니다. 집합 ft에 대한 급수 /n(x)의 균일 수렴에 대한 정의는 다음과 같습니다. 논리 기호를 사용하여 더 짧게 작성: 기능 행. 세그먼트 [a, 6]을 집합 ft로 취하고 함수의 그래프를 플로팅합니다. 숫자 n > N과 모든 a에 대해 성립하는 부등식 | G [a, b] 및 y = 5(g) + e(그림 1). 예제 1은 선분에 균일하게 수렴합니다. 이 급수는 교대하고, 임의의 x € [-1,1]에 대해 라이프니츠 검정의 조건을 충족하므로 선분 (-1,1]에 수렴합니다. S(x)를 그 합과 Sn (x) - 그의 n번째 부분 합집합. 시리즈의 나머지는 절대값에서 첫 번째 항의 절대값을 초과하지 않습니다. 경우 실행됩니다. 여기에서 우리는 n > \를 찾습니다. 숫자를 취하면(여기서 [a]는 다음을 초과하지 않는 가장 큰 정수를 나타냄), 불평등 | e는 모든 숫자 n > N 및 모든 x € [-1,1)에 대해 유지됩니다. 이것은 이 급수가 세그먼트 [-1,1)에 균일하게 수렴한다는 것을 의미합니다. I. 집합 D에 수렴하는 모든 함수 급수가 예제 2에서 균일하게 수렴하는 것은 아닙니다. 급수가 구간에 수렴하지만 균일하지는 않다는 것을 보여 드리겠습니다. 4 급수의 n번째 부분합 £n(*)을 계산해 봅시다. 차이 S(x) - 5'(x)(계열의 나머지)의 절대값이 같으면 이 계열이 세그먼트와 합에 수렴하는 시작 위치가 있습니다. 그런 숫자 e를 취합시다. n에 대한 부등식을 해결해 봅시다. 에 대해 불평등이 유지될 것입니다. 따라서 x에 의존하지 않는 그러한 숫자 N(e)는 세그먼트의 모든 x에 대해 즉시 불평등을 유지합니다. , 존재하지 않는다. 그러나 세그먼트 0이 더 작은 세그먼트로 대체되면 후자에서 이 계열은 함수 S0으로 균일하게 수렴됩니다. 실제로, for, 따라서 for all x at 한번에 §3. Weierstrass 기준 함수 급수의 균일 수렴에 대한 충분한 기준은 Weierstrass 정리에 의해 제공됩니다. 정리 1(Weierstrass 테스트). 집합 Q의 모든 x에 대해 절대값의 함수 급수 구성원이 양의 항을 가진 수렴 숫자 시리즈 П=1의 해당 구성원, 즉 모든 x ∈ Q에 대해 해당 구성원을 초과하지 않는다고 가정합니다. 그러면 함수 시리즈 1) 집합에서 П는 절대적으로 균일하게 수렴합니다. 그리고 Tek, 정리의 조건에 따라 급수 (1)의 항은 전체 집합 Q에 대해 조건 (3)을 만족하므로, 비교 기준에 의해 급수 2 \fn(x)\는 다음과 같이 수렴합니다. 모든 x ∈ H, 결과적으로 급수 (1)은 P에 절대적으로 수렴합니다. 급수 (1)의 균일 수렴을 증명합시다. Sn(x)로 표시하고 급수 (1)과 (2)의 부분합을 각각 표시합니다. 우리는 임의의 (임의로 작은) 숫자 e > 0을 취합니다. 그런 다음 숫자 시리즈 (2)의 수렴은 숫자 N = N(e)의 존재를 의미하므로 결과적으로 모든 숫자 n > N(e에 대해 -e ) 및 모든 x6n에 대해, 즉 시리즈 (1)은 세트 P에 균일하게 수렴합니다. 비고. 숫자 급수(2)는 종종 기능 급수(1)에 대해 메이저라이징(majorizing) 또는 메이저(majorant)라고 합니다. 예 1. 균일 수렴에 대한 급수를 조사하십시오. 부등식은 모두에게 적용됩니다. 그리고 모두를 위해. 숫자 시리즈는 수렴합니다. Weierstrass 테스트 덕분에 고려된 기능 계열은 전체 축에서 절대적으로 균일하게 수렴됩니다. 예 2. 균일 수렴을 위한 급수 조사 급수의 항은 세그먼트 [-2,2|에서 정의되고 연속적입니다. 모든 자연 n에 대한 세그먼트 [-2,2)에서 이후, 따라서, 부등식은 유지됩니다. 숫자 시리즈가 수렴하기 때문에 Weierstrass 테스트에 따르면 원래 기능 시리즈는 세그먼트에서 절대적으로 균일하게 수렴됩니다. 논평. 함수 급수(1)는 수치적 주요 급수(2)가 없는 경우 집합 Piv에 균일하게 수렴할 수 있습니다. 즉, Weierstrass 기준은 균일 수렴을 위한 충분한 기준일 뿐이지만 필수는 아닙니다. 예시. 위(예)와 같이 계열은 세그먼트 1-1,1]에 균일하게 수렴됩니다. 그러나 이에 대한 주요 수렴 수열(2)은 없습니다. 실제로, 모든 자연수 n과 모든 x ∈ [-1,1)에 대해 부등식이 성립하고 평등이 달성됩니다. 따라서 원하는 주 급수 (2)의 항은 반드시 조건을 만족해야 하지만 수치 급수 FUNCTIONAL SERIES 수렴 영역 균일 수렴 Weierstrass 테스트 균일 수렴 기능 급수의 특성은 발산합니다. 이것은 시리즈 £ op도 발산한다는 것을 의미합니다. 균일하게 수렴하는 계열 함수의 속성 균일하게 수렴하는 계열 함수에는 여러 가지 중요한 속성이 있습니다. 정리 2. 세그먼트 [a, b]에 균일하게 수렴하는 급수의 모든 항에 [a, 6]에 경계를 둔 동일한 함수 q(x)를 곱하면 결과 기능 급수가 균일하게 수렴됩니다. 급수 £ fn(x)를 구간 [a, b\]에서 함수 S(x)로 균일하게 수렴하고 함수 g(x)를 경계로 설정합니다. 즉, 다음과 같은 상수 C > 0이 존재합니다. 임의의 숫자 e > 0에 대한 급수의 균일 수렴의 정의 모든 n > N 및 모든 x ∈ [a, b]에 대해 5n(ar)이 부분 합일 때 부등식이 유지되는 숫자 N이 있습니다. 고려중인 시리즈의 따라서 우리는 누구에게나 가질 것입니다. 급수는 [a, b| 함수 정리 3. 함수 급수의 모든 항 fn(x)이 연속이고 급수가 세그먼트 [a, b\. 그런 다음 시리즈의 합 S(x)는 이 구간에서 연속입니다. M 구간 [o, b]에 임의의 두 점 zr + Ax가 있다고 가정하겠습니다. 이 급수는 세그먼트 [a, b]에 균일하게 수렴하므로 임의의 숫자 e > 0에 대해 숫자 N = N(e)이 있으므로 모든 n > N에 대해 불평등이 유지됩니다. 여기서 5n(x)는 다음의 부분 합입니다. 시리즈 fn (x). 이러한 부분 합 Sn(x)는 [a, 6)에서 연속적인 유한 함수 fn(x)의 합으로 구간 [a, 6]에서 연속적입니다. 따라서 고정된 숫자 no > N(e) 및 주어진 숫자 e에 대해 조건 |을 만족하는 부등식 Ax가 되는 숫자 6 = 6(e) > 0이 있습니다. 부등식 (1)과 (2)를 고려하면 조건 |을 충족하는 증분 Ax에 대해 다음을 얻습니다. 이것은 합계 Six)가 점 x에서 연속적임을 의미합니다. x는 세그먼트 [a, 6]의 임의의 점이므로 5(x)는 |a, 6|에서 연속적입니다. 논평. 구간 [a, 6]에 대해 연속적이지만 (a, 6]에 불균일하게 수렴하는 함수 급수는 합계로 불연속 함수를 가질 수 있습니다. 예 1. 구간 |0,1에 대한 함수 급수를 고려합니다. ). n번째 부분합을 계산해 봅시다. 그러므로, 비록 계열의 구성원이 연속적이지만 세그먼트에서 불연속적입니다. 증명된 정리 덕분에 이 급수는 구간에 균일하게 수렴하지 않습니다. 예제 2. 급수를 고려하십시오. 위에 표시된 것처럼 이 급수는 에 수렴합니다. 1과 수치 급수가 수렴하기 때문에 급수는 Weierstrass 기준에 따라 균일하게 수렴됩니다. 따라서 x > 1에 대해 이 급수의 합은 연속입니다. 논평. 함수를 리만 함수(이 함수는 정수론에서 큰 역할을 함)라고 합니다. 정리 4(기능 계열의 항별 적분). 급수의 모든 항 fn(x)를 연속이라고 하고 급수가 세그먼트 [a, b]에서 함수 S(x)로 균일하게 수렴하도록 합니다. 함수 fn(x)의 연속성과 구간 [a, 6]에서 주어진 급수의 균일한 수렴으로 인해 그 합 5(x)는 연속적이며 따라서 에서 적분할 수 있습니다. 차이점을 고려하십시오. [o, b]에 대한 시리즈의 균일 수렴에서 모든 e > 0에 대해 숫자 N(e) > 0이 있으므로 모든 숫자에 대해 n > N(e) 및 모든 x €에 대해 [a, 6] 부등식은 성립할 것 수렴 급수 00의 모든 항이 연속 도함수를 가지며 이러한 도함수로 구성된 급수는 구간 [a, b]에 균일하게 수렴합니다. 그러면 어느 지점에서든 등식은 참입니다. 즉, 주어진 급수는 다음과 같을 수 있습니다. M 임의의 두 점을 취합시다. 그런 다음 정리 4에 의해 함수 o-(x)는 연속 함수의 균일하게 수렴하는 시리즈의 합으로 연속적입니다.따라서 등식을 미분함으로써 우리는 얻다

기능적 행. 파워 시리즈.
시리즈의 수렴 범위

이유 없는 웃음은 달랑베르의 상징이다

따라서 기능적 행의 시간이 도래했습니다. 주제, 특히 이 단원을 성공적으로 마스터하려면 일반적인 숫자 시리즈에 정통해야 합니다. 계열이 무엇인지 잘 이해하고 비교 기호를 적용하여 수렴을 위한 계열을 연구할 수 있어야 합니다. 따라서 이제 막 주제를 공부하기 시작했거나 고등 수학의 찻주전자라면, 필요한세 가지 수업을 순서대로 진행합니다. 찻주전자 행,달랑베르의 상징. 코시의 징후그리고 교대 행. 라이프니츠 기호. 무조건 셋다! 수열 문제 해결에 대한 기본 지식과 기술이 있다면 새로운 자료가별로 없기 때문에 기능 계열을 다루는 것은 매우 쉬울 것입니다.

이번 강의에서는 함수 급수의 개념(일반적으로 무엇인지)을 살펴보고, 실제 작업의 90%에서 발견되는 거듭제곱 급수에 대해 알아보고, 수렴을 찾는 일반적인 일반적인 문제를 해결하는 방법을 배웁니다. 반지름, 수렴 간격 및 거듭제곱 급수의 수렴 영역. 또한 다음 자료를 고려하는 것이 좋습니다. 기능을 거듭제곱 계열로 확장, 그리고 초보자에게 구급차가 제공됩니다. 약간의 휴식 후 다음 단계로 이동합니다.

또한 기능 시리즈 섹션에는 수많은 대략적인 계산을 위한 응용, 그리고 일반적으로 교육 문헌에서 별도의 장으로 할당되는 푸리에 시리즈는 약간 다릅니다. 기사가 하나뿐이지만 길고 많고 많은 추가 예가 있습니다!

이제 랜드마크가 설정되었습니다.

기능 계열과 전원 계열의 개념

극한에서 무한대를 얻는다면, 그러면 솔루션 알고리즘도 작업을 완료하고 작업에 대한 최종 답변을 제공합니다. "시리즈 수렴"(또는 둘 중 하나)입니다. 이전 단락의 사례 #3을 참조하십시오.

한계에서 0이 아니고 무한대가 아닌 것으로 판명되면, 그렇다면 우리는 실제로 1 번에서 가장 일반적인 경우를 가지고 있습니다. 시리즈는 특정 간격으로 수렴합니다.

이 경우 한도는 . 계열의 수렴 간격을 찾는 방법은 무엇입니까? 우리는 불평등을 만듭니다:

에 모든 작업 이 유형의 불평등의 왼쪽에 있어야합니다 한계 계산 결과, 그리고 부등식의 오른쪽에 엄격하게 단위. 왜 이 불평등이 왜 오른쪽에 있고 왜 불평등이 있는지 설명하지 않겠습니다. 레슨웨어 실용적인 오리엔테이션, 그리고 교직원들이 내 이야기에 목을 매지 않고 몇 가지 정리가 명확 해져서 이미 매우 좋습니다.

모듈로 작업하고 이중 불평등을 해결하는 기술은 기사의 첫 해에 자세히 고려되었습니다. 기능 범위, 하지만 편의를 위해 모든 작업에 대해 가능한 한 자세히 설명하려고 합니다. 우리는 모듈로 부등식을 나타냅니다 학교 규칙 . 이 경우:

반쯤 뒤에.

두 번째 단계에서는 발견된 구간의 끝에서 급수의 수렴을 조사할 필요가 있습니다.

먼저 구간의 왼쪽 끝을 가져와 거듭제곱 급수에 대입합니다.

~에

숫자 시리즈가 수신되었으며 수렴에 대해 검토해야 합니다(이전 수업에서 이미 익숙한 작업).

1) 계열은 부호 교대입니다.
2) - 급수의 항은 모듈로 감소합니다. 또한 시리즈의 각 다음 항은 모듈러스에서 이전 항보다 작습니다. , 그래서 감소는 단조롭다.
결론: 시리즈가 수렴합니다.

모듈로 구성된 시리즈의 도움으로 다음과 같은 방법을 정확히 알아낼 것입니다.
– 수렴(일반화된 고조파 계열의 "참조" 계열).

따라서 결과 숫자 시리즈는 절대적으로 수렴합니다.

~에 - 수렴합니다.

! 나는 상기시킨다 모든 수렴하는 양수 급수도 절대적으로 수렴한다는 것입니다.

따라서 거듭제곱 급수는 수렴하고 절대적으로 발견된 구간의 양 끝에서 수렴합니다.

대답:연구된 거듭제곱 급수의 수렴 영역:

그것은 생명에 대한 권리와 대답의 또 다른 디자인을 가지고 있습니다. 시리즈는 다음과 같은 경우 수렴합니다.

때때로 문제의 조건에서 수렴 반경을 지정해야 합니다. 고려 된 예에서 .

실시예 2

거듭제곱 급수의 수렴 영역 찾기

해결책:우리는 시리즈의 수렴 간격을 찾습니다 사용하여달랑베르의 상징 (그러나 속성에 따른 것은 아닙니다! - 기능 시리즈에는 그러한 속성이 없습니다):

시리즈는 에 수렴합니다.

왼쪽우리는 떠날 필요가있다 뿐, 그래서 우리는 부등식의 양쪽에 3을 곱합니다:

– 계열은 부호가 번갈아 나타납니다.
– - 급수의 항은 모듈로 감소합니다. 계열의 다음 각 항은 이전 항보다 절대값이 작습니다. , 그래서 감소는 단조롭다.

결론: 시리즈가 수렴합니다.

우리는 수렴의 본질에 대해 그것을 조사합니다:

이 시리즈를 분기 시리즈와 비교하십시오.
우리는 비교의 한계 부호를 사용합니다:

0이 아닌 유한 수가 얻어지며, 이는 급수가 급수와 함께 발산함을 의미합니다.

따라서 급수는 조건부로 수렴합니다.

2) 언제 – 발산(증명된 대로).

대답:연구된 거듭제곱 급수의 수렴 영역: . 의 경우 급수가 조건부로 수렴합니다.

고려된 예에서, 거듭제곱 급수의 수렴 영역은 반구간이고, 그 간격의 모든 지점에서 거듭제곱 급수 절대적으로 수렴, 그리고 그 시점에서 밝혀진 바와 같이, 조건부로.

실시예 3

거듭제곱 급수의 수렴 구간을 찾고 찾은 구간의 끝에서 수렴을 조사합니다.

이것은 직접 만든 예입니다.

드물지만 발생하는 몇 가지 예를 고려하십시오.

실시예 4

시리즈의 수렴 영역을 찾으십시오.

해결책: d'Alembert 테스트를 사용하여 이 급수의 수렴 구간을 찾습니다.

(1) 시리즈의 다음 멤버와 이전 멤버의 비율을 구성합니다.

(2) 4층 분수를 없애라.

(3) 큐브 및 거듭제곱 연산 규칙에 따라 단일 차수로 요약됩니다. 분자에서 우리는 학위를 영리하게 분해합니다. 다음 단계에서 분수를 줄이는 방식으로 확장합니다. 팩토리얼이 자세히 설명되어 있습니다.

(4) 입방체 아래에서 분자를 분모로 나눈 항을 항으로 나누어 . 우리는 줄일 수 있는 모든 것을 줄입니다. 승수는 제한 기호에서 꺼내고 "동적"변수 "en"에 의존하는 것이 없기 때문에 빼낼 수 있습니다. "x"에 대해 음수가 아닌 값을 취하기 때문에 모듈 기호는 그려지지 않습니다.

극한에서 0이 얻어지며 이는 최종 답을 줄 수 있음을 의미합니다.

대답:시리즈는 에 수렴합니다.

그리고 처음에는 "끔찍한 스터핑"이 있는 이 행을 해결하기 어려울 것 같았습니다. 솔루션이 눈에 띄게 줄어들기 때문에 극한의 0 또는 무한대는 거의 선물입니다!

실시예 5

급수의 수렴 영역 찾기

이것은 직접 만든 예입니다. 조심하세요 ;-) 풀 솔루션은 강의 마지막에 나오는 답입니다.

기술 사용 측면에서 참신한 요소를 포함하는 몇 가지 예를 더 고려하십시오.

실시예 6

급수의 수렴 구간을 찾고 찾은 구간의 끝에서 수렴을 조사합니다.

해결책:거듭제곱의 일반적인 용어에는 교번을 보장하는 인자가 포함됩니다. 솔루션 알고리즘은 완전히 보존되지만 한계를 컴파일할 때 모듈이 모든 "빼기"를 파괴하기 때문에 이 요소를 무시(작성하지 않음)합니다.

d'Alembert 테스트를 사용하여 계열의 수렴 구간을 찾습니다.

우리는 표준 부등식을 구성합니다.
시리즈는 에 수렴합니다.
왼쪽우리는 떠날 필요가있다 모듈만, 그래서 우리는 부등식의 양쪽에 5를 곱합니다.

이제 친숙한 방식으로 모듈을 확장합니다.

이중 부등식의 중간에 "x"만 남겨 두어야 합니다. 이를 위해 부등식의 각 부분에서 2를 뺍니다.

는 연구된 거듭제곱 급수의 수렴 간격입니다.

발견된 구간의 끝에서 계열의 수렴을 조사합니다.

1) 거듭제곱 계열의 값을 대체합니다. :

매우 조심하십시오. 승수는 자연적인 "en"에 대해 교대를 제공하지 않습니다. (상수 승수와 마찬가지로) 수치 계열의 수렴이나 발산에 어떤 식으로든 영향을 미치지 않기 때문에 우리는 시리즈에서 결과 빼기를 제거하고 잊어버립니다.

다시 공지그 값을 거듭제곱 급수의 공통 항에 대입하는 과정에서 인수를 줄였습니다. 이것이 발생하지 않으면 제한을 잘못 계산했거나 모듈을 잘못 확장했음을 의미합니다.

따라서 수치 급수의 수렴을 조사할 필요가 있다. 여기에서 한계 비교 기준을 사용하고 이 계열을 발산 고조파 계열과 비교하는 것이 가장 쉽습니다. 그러나 솔직히 말해서, 나는 궁극적인 비교의 표시에 몹시 지쳤으므로 솔루션에 약간의 다양성을 추가하겠습니다.

따라서 급수는 다음과 같이 수렴됩니다.

부등식의 양변에 9를 곱합니다.

구식 농담을 기억하면서 두 부분에서 루트를 추출합니다.

모듈 확장:

모든 부분에 하나를 추가합니다.

는 연구된 거듭제곱 급수의 수렴 간격입니다.

발견된 구간의 끝에서 거듭제곱 급수의 수렴을 조사합니다.

1) 이면 다음 수열을 얻습니다.

승수는 "en" 의 자연 값 때문에 흔적도 없이 사라졌습니다.

기능 범위 공식적으로 쓰여진 표현이라고 합니다

유1 (엑스) + 유 2 (엑스) + 유 3 (엑스) + ... + 유 N ( 엑스) + ... , (1)

어디 유1 (엑스), 유 2 (엑스), 유 3 (엑스), ..., 유 N ( 엑스), ... - 독립 변수의 함수 시퀀스 엑스.

시그마가 있는 기능 계열의 축약된 표기법:.

기능 시리즈의 예는 다음과 같습니다. :

(2)

(3)

독립 변수 제공 엑스어떤 가치 엑스0 함수 시리즈 (1)에 대입하면 숫자 시리즈를 얻습니다.

유1 (엑스 0 ) + 유 2 (엑스 0 ) + 유 3 (엑스 0 ) + ... + 유 N ( 엑스 0 ) + ...

얻은 수치 급수가 수렴하면 기능 급수 (1)은 수렴한다고합니다. 엑스 = 엑스0 ; 발산하는 경우 계열(1)이 발산한다고 합니다. 엑스 = 엑스0 .

예제 1. 함수 급수의 수렴 조사(2) 값 엑스= 1 및 엑스 = - 1 .
해결책. ~에 엑스= 1 우리는 숫자 시리즈를 얻습니다

라이프니츠 검정에 따라 수렴합니다. ~에 엑스= - 1 우리는 숫자 시리즈를 얻습니다

발산 고조파 시리즈의 곱으로 – 1로 발산합니다. 따라서 시리즈 (2)는 다음에서 수렴합니다. 엑스= 1이고 에서 발산 엑스 = - 1 .

기능 계열 (1)의 수렴에 대한 이러한 테스트가 구성원 정의 영역에서 독립 변수의 모든 값에 대해 수행되면 이 영역의 점은 두 세트로 나뉩니다. 가치를 가진 엑스그 중 하나에서 시리즈 (1)은 수렴하고 다른 하나에서는 발산합니다.

기능 계열이 수렴하는 독립 변수의 값 집합을 해당 수렴영역 .

예제 2. 기능 계열의 수렴 영역 찾기

해결책. 시리즈의 구성원은 전체 숫자 라인에 정의되고 분모와 기하학적 진행을 형성합니다 큐= 죄 엑스. 따라서 급수는 다음과 같이 수렴합니다.

그리고 다음과 같은 경우 발산합니다.

(값은 불가능합니다). 그러나 가치와 다른 가치에 대해서는 엑스. 따라서 시리즈는 모든 값에 대해 수렴합니다. 엑스, 게다가 . 수렴 영역은 이러한 점을 제외하고 전체 숫자 선입니다.

예제 3. 함수 계열의 수렴 영역 찾기

해결책. 급수의 항은 분모와 함께 기하학적 진행을 형성합니다. 큐=ln 엑스. 따라서 급수는 if , 또는 , whence 에 수렴합니다. 이것은 이 시리즈의 수렴 영역입니다.

예제 4. 함수 급수의 수렴 조사

해결책. 임의의 값을 취합시다. 이 값으로 숫자 시리즈를 얻습니다.

(*)

공통 용어의 극한 찾기

결과적으로 급수(*)는 임의로 선택된 경우에 발산합니다. 어떤 가치를 위해 엑스. 수렴 영역은 빈 집합입니다.

기능 계열의 균일 수렴 및 속성

개념으로 넘어가자 기능 계열의 균일 수렴 . 허락하다 에스(엑스)는 이 급수의 합이고, 에스N ( 엑스) - 합계 N이 시리즈의 첫 번째 멤버. 기능 범위 유1 (엑스) + 유 2 (엑스) + 유 3 (엑스) + ... + 유 N ( 엑스) + ... 간격에 균일하게 수렴한다고 합니다. ㅏ, 비] , 임의의 작은 수인 경우 ε > 0 그런 숫자가 있습니다 N, 모두를 위한 것 N ≥ N불평등이 충족될 것이다

|에스(엑스) − 에스 N ( 엑스)| < ε

누구에게나 엑스세그먼트에서 [ ㅏ, 비] .

위의 속성은 다음과 같이 기하학적으로 설명될 수 있습니다.

함수의 그래프를 고려하십시오 와이 = 에스(엑스) . 이 곡선 주위에 너비가 2인 스트립을 구성합니다. ε N즉, 곡선을 구성합니다. 와이 = 에스(엑스) + ε N그리고 와이 = 에스(엑스) − ε N(아래 그림에서 녹색입니다).

그럼 어떤 ε N함수 그래프 에스N ( 엑스) 고려 중인 밴드에 전적으로 속합니다. 동일한 밴드에는 모든 후속 부분합의 그래프가 포함됩니다.

위에서 설명한 기능이 없는 수렴 기능 계열은 불균일하게 수렴합니다.

균일하게 수렴하는 함수 급수의 속성을 하나 더 고려하십시오.

특정 구간에서 균일하게 수렴하는 일련의 연속 함수의 합 [ ㅏ, 비] , 이 세그먼트에 연속적인 함수가 있습니다..

실시예 5함수 급수의 합이 연속인지 확인

해결책. 합을 구하자 N이 시리즈의 첫 번째 멤버:

만약 엑스> 0 , 그러면

만약에 엑스 < 0 , то

만약에 엑스= 0 , 그러면

따라서 .

우리의 연구는 이 급수의 합이 불연속 함수라는 것을 보여주었습니다. 그 그래프가 아래 그림에 나와 있습니다.

함수 계열의 균일 수렴에 대한 Weierstrass 검정

개념을 통해 Weierstrass 기준에 접근합시다. 대부분의 기능 시리즈 . 기능 범위

유1 (엑스) + 유 2 (엑스) + 유 3 (엑스) + ... + 유 N ( 엑스) + ...

4.1. 기능 계열: 기본 개념, 수렴 영역

정의 1. 구성원이 하나 또는
어떤 집합에 정의된 여러 독립변수를 호출 기능 범위.

구성원이 하나의 독립 변수의 함수인 함수 계열을 고려하십시오. 엑스. 첫 번째의 합계 N시리즈 멤버는 주어진 기능 시리즈의 부분 합입니다. 일반 회원 의 기능이 있습니다 엑스일부 지역에서 정의됩니다. 한 지점에서 기능적 시리즈를 고려하십시오. . 해당 숫자 시리즈의 경우 수렴, 즉 이 계열의 부분합에는 제한이 있습니다.
(어디 - 숫자 시리즈의 합), 다음 점은 호출됩니다 수렴점기능 범위 . 숫자 라인의 경우 발산하면 점이라고합니다. 분기점기능적 행.

정의 2. 융합영역기능 범위 이러한 모든 값의 집합이라고 합니다. 엑스, 기능 계열이 수렴합니다. 모든 수렴점으로 구성된 수렴 영역은 다음과 같이 표시됩니다. . 참고 아르 자형.

기능 시리즈는 지역에서 수렴 , 어떤 경우 그것은 숫자 시리즈로 수렴하는 반면, 그 합은 어떤 함수가 될 것입니다. . 이 소위 제한 기능시퀀스 : .

기능 계열의 수렴 영역을 찾는 방법 ? 달랑베르 기호와 유사한 기호를 사용할 수 있습니다. 숫자의 경우 구성하다 고정된 한계를 고려하십시오. 엑스:
. 그 다음에 불평등에 대한 해결책이다 그리고 방정식 풀기 (우리는 방정식의 해만 취합니다.
대응하는 숫자 시리즈가 수렴하는 것).

실시예 1. 시리즈의 수렴 영역을 찾으십시오.

해결책. 나타내다 , . 한계를 구성하고 계산하십시오
, 시리즈의 수렴 영역은 부등식에 의해 결정됩니다. 및 방정식 . 방정식의 근인 점에서 원래 급수의 수렴을 추가로 조사해 보겠습니다.

만약 , , 그러면 발산 계열을 얻습니다. ;

b) 만약 , , 다음 행 조건부로 수렴(에 의해

라이프니츠 테스트, 예 1, 강의 3, sec. 3.1).

따라서 수렴영역은 행은 다음과 같습니다. .

4.2. 거듭제곱 급수: 기본 개념, Abel의 정리

소위 기능 계열의 특별한 경우를 고려하십시오. 파워 시리즈 , 어디
.

정의 3. 전원 다음형식의 기능적 계열이라고 합니다.

어디 - 상수, 호출 시리즈 계수.

거듭제곱 급수는 증가하는 거듭제곱으로 배열된 "무한 다항식"입니다. . 임의의 숫자 라인 ~이다
전원 계열의 특별한 경우 .

에 대한 거듭제곱 급수의 특별한 경우를 고려하십시오. :
. 종류 알아보기
주어진 급수의 수렴 영역 .

정리 1(아벨의 정리). 1) 전원 시리즈의 경우 한 점에서 수렴 , 그러면 절대적으로 수렴합니다. 엑스, 이에 대한 불평등 .

2) 전력 계열이 다음에서 발산하는 경우 , 다음으로 분기합니다. 엑스, 무엇을 위해 .

증거. 1) 조건에 따라 거듭제곱 급수는 점에 수렴합니다. ,

즉, 숫자 시리즈는 수렴

(1)

필요한 수렴 기준에 따라 공통 항은 0이 되는 경향이 있습니다. . 따라서 숫자가 있습니다 시리즈의 모든 구성원은 다음 수로 제한됩니다.
.

지금 고려 엑스, 무엇을 위해 , 일련의 절대값을 구성합니다. .
이 시리즈를 다른 형식으로 작성해 보겠습니다. , 다음 (2).

불평등에서
우리는, 즉 열

계열(2)의 해당 구성원보다 큰 구성원으로 구성됩니다. 열 분모가 있는 기하학적 진행의 수렴 급수입니다. , 게다가 , 왜냐하면 . 따라서 급수 (2)는 다음으로 수렴합니다. . 그래서 파워 시리즈 절대적으로 수렴합니다.

2) 행을 보자 에서 분기 , 다시 말해서,

번호선이 갈라진다 . 우리가 그것을 증명하자 엑스 () 계열이 분기됩니다. 증명은 모순에 의한 것입니다. 일부를 위해

고정( ) 급수는 수렴한 다음 모두 수렴합니다. (이 정리의 첫 번째 부분 참조) 특히, , 이것은 정리 1의 조건 2)와 모순된다. 정리가 증명된다.

결과. Abel의 정리는 거듭제곱 급수의 수렴점의 위치를 판단하는 것을 가능하게 합니다. 포인트라면 는 거듭제곱 급수의 수렴점이고, 그 다음 간격 수렴 포인트로 가득 차 있습니다. 분기점이 점이라면 , 그 다음에
무한 간격 분기점으로 채워져 있습니다(그림 1).

쌀. 1. 급수의 수렴과 발산의 간격

그런 수가 있음을 알 수 있다. , 모두를 위한 것
파워 시리즈 절대적으로 수렴하고, - 분기합니다. 시리즈가 한 점 0에서만 수렴한다고 가정합니다. , 그리고 시리즈가 모두에 대해 수렴하는 경우 , 그 다음에 .

정의 4. 수렴구간파워 시리즈 이 간격은 , 모두를 위한 것 이 시리즈는 절대적으로 수렴합니다. 엑스이 간격 밖에 있으면 계열이 분기됩니다. 숫자 아르 자형~라고 불리는 수렴 반경파워 시리즈.

논평. 간격의 끝에서 거듭제곱 급수의 수렴 또는 발산 문제는 각 특정 급수에 대해 별도로 해결됩니다.

거듭제곱 급수의 수렴 간격과 반경을 결정하는 방법 중 하나를 보여 드리겠습니다.

전원 시리즈를 고려하십시오 그리고 나타내다 .

구성원의 일련의 절대 값을 만들어 보겠습니다.

그리고 그것에 d'Alembert의 검정을 적용하십시오.

존재하자

달랑베르 검정에 따르면 급수는 다음과 같이 수렴합니다. , 그리고 다음과 같은 경우 발산합니다. . 여기에서 시리즈는 에서 수렴한 다음 수렴 구간에서 수렴합니다. . 에서 계열은 다음과 같은 이유로 발산합니다. .
표기법 사용 , 우리는 거듭제곱 급수의 수렴 반경을 결정하는 공식을 얻습니다.