명시적 차이 체계 템플릿. 차이 체계: 명시적 및 암시적 체계. 그리드법에 의한 파동방정식의 혼합문제 해결

솔루션 영역의 각 내부 노드에 대한 템플릿을 사용하여 열 방정식이 근사화됩니다.

여기에서 우리는 다음을 발견합니다:

초기 조건과 경계 조건을 사용하여 그리드 함수의 값은 0 시간 수준의 모든 노드에서 구됩니다.

그런 다음 비율을 사용하여

이 함수의 값은 첫 번째 시간 수준의 모든 내부 노드에서 발견되며 그 후에 경계 노드에서 값을 찾습니다.

결과적으로 첫 번째 시간 수준의 모든 노드에서 함수 값을 찾습니다. 그런 다음 이러한 관계를 사용하여 다른 모든 값 등을 찾습니다.

고려중인 차분 체계에서 다음 시간 수준에서 원하는 함수의 값은 공식을 사용하여 명시적으로 직접 찾습니다.

따라서 이 템플릿을 사용하여 고려된 차분 체계를 다음이라고 합니다. 명시적 차이 체계 . 그 정확성은 정상입니다.

이 차이 방식은 사용하기 쉽지만 심각한 단점이 있습니다. 명시적 차이 체계는 다음과 같습니다. 안정적인 솔루션을 가지고 있습니다 그런 경우에만, 조건이 충족되면 :

명시적 차이 체계 조건부로 안정적이다 . 조건이 충족되지 않으면 컴퓨터 데이터 반올림과 관련된 작은 계산 오류로 인해 솔루션이 급격히 변경됩니다. 솔루션을 사용할 수 없게 됩니다. 이 조건은 시간 단계에 매우 심각한 제한을 가하며, 이 문제를 해결하기 위한 계산 시간이 크게 증가하므로 허용되지 않을 수 있습니다.

다른 패턴을 사용하여 차분 체계를 고려해보세요.

방법 36

열 방정식에 대한 암시적 차분 체계입니다.

열 방정식으로 대체:

이 비율은 시간 수준의 각 내부 노드에 대해 작성되며 경계 노드의 값을 결정하는 두 가지 비율로 보완됩니다. 결과는 시간 수준에서 함수의 알려지지 않은 값을 결정하기 위한 방정식 시스템입니다.

문제 해결 계획은 다음과 같습니다.

초기 및 경계 조건을 사용하여 함수 값은 0 시간 수준에서 발견됩니다. 그리고 이러한 관계식과 경계조건을 이용하여 선형대수방정식의 체계를 구축하여 첫 번째 시간 수준에서 함수의 값을 구하고, 이후 이러한 관계식을 이용하여 다시 체계를 구축하고 그 값을 다음 단계에서 구하게 된다. 두 번째 시간 수준 등

명시적 스키마와의 차이점- 다음 시간 수준의 값은 기성 공식을 사용하여 직접 계산되지 않고 방정식 시스템을 풀어서 찾습니다. 미지수의 값은 SLAE를 풀어 암묵적으로 찾아냅니다. 따라서 차분 체계를 암시적(implicit)이라고 합니다. 명시적인 것과 달리 암시적인 것은 절대적으로 안정적입니다.

테마 #9

최적화 문제.

이러한 문제는 응용 수학에서 가장 중요한 문제 중 하나입니다. 최적화 수단 주어진 문제에 대해 가능한 모든 솔루션 중에서 최상의 옵션을 선택합니다. 이를 위해서는 해결하려는 문제를 수학적 문제로 공식화하여 개념에 더 좋거나 나쁘게 양적 의미를 부여하는 것이 필요합니다. 일반적으로 문제를 푸는 과정에서는 최적화된 매개변수 값을 찾는 과정이 필요합니다. 이러한 옵션을 설계. 그리고 설계 매개변수의 수에 따라 결정됩니다. 작업 차원.

솔루션은 설계 매개변수에 따라 달라지는 일부 기능을 사용하여 정량화됩니다. 이 함수는 표적 . 가장 최적의 값이 최대값(최소값)에 해당하도록 구축되었습니다.

- 목표 기능.

가장 간단한 경우는 목적 함수가 하나의 매개변수에 의존하고 명시적인 공식으로 제공되는 경우입니다. 여러 가지 대상 함수가 있을 수 있습니다.

예를 들어 항공기를 설계할 때 최대의 신뢰성, 최소의 중량 및 비용 등을 동시에 보장해야 합니다. 그러한 경우에는 다음을 입력하십시오. 우선순위 시스템 . 각 목표 함수에는 특정 목표 승수가 할당되어 결과적으로 일반화된 목표 함수(절충 함수)가 얻어집니다.

일반적으로 최적의 솔루션은 문제의 물리적 기능과 관련된 여러 조건에 의해 제한됩니다. 이러한 조건은 평등 또는 불평등의 형태를 취할 수 있습니다.

제한이 있는 상태에서 최적화 문제를 해결하기 위한 이론과 방법은 응용 수학 섹션 중 하나의 연구 주제입니다. 수학 프로그래밍.

목적 함수가 설계 매개변수에 대해 선형이고 매개변수에 부과된 제약조건도 선형이면 다음과 같습니다. 일 선형 프로그래밍 . 1차원 최적화 문제를 해결하는 방법을 고려하십시오.

목적함수가 최대값을 갖는 값을 찾는 것이 필요합니다. 목적 함수가 분석적으로 주어지고 해당 도함수에 대한 표현식을 찾을 수 있으면 세그먼트의 끝이나 도함수가 사라지는 지점에서 최적의 솔루션이 달성됩니다. 이것이 중요한 포인트입니다. 모든 임계점에서 목적함수의 값을 찾아 최대값을 선택하는 것이 필요합니다.

일반적으로 해결책을 찾기 위해 다양한 검색 방법이 사용됩니다. 결과적으로 최적의 솔루션을 포함하는 세그먼트가 좁아집니다.

몇 가지 검색 방법을 살펴보겠습니다. 목적 함수가 구간에서 하나의 최대값을 갖는다고 가정해 보겠습니다. 이 경우 노드 포인트 로 분할하면 해당 노드 포인트에서 목적 함수가 계산됩니다. 목적 함수의 최대값이 노드 에 있다고 가정하면 최적의 솔루션은 구간에 있다고 가정할 수 있습니다. 결과적으로 최적의 솔루션을 포함하는 세그먼트가 좁아집니다. 결과로 생성된 새 세그먼트는 다시 여러 부분으로 나뉩니다. 각 파티션마다 최적의 솔루션을 포함하는 세그먼트가 요소만큼 줄어듭니다.

축소 단계가 생성된다고 가정합니다. 그런 다음 원래 세그먼트가 요소만큼 감소됩니다.

즉, 달리는 동안 수행합니다(*)

이 경우 목적 함수가 계산됩니다.

최소한의 수식(*)이 얻어지는 값을 찾는 것이 필요합니다.

계산 횟수.

방법 37

반분할법.

에 대한 검색 방법을 고려하십시오. 각 단계에서 최적의 솔루션을 포함하는 세그먼트가 절반으로 줄어들기 때문에 이를 절반 분할 방법이라고 합니다.

특정 축소 단계에서 목적 함수가 계산되는 지점을 특별하게 선택하여 검색 효율성을 높일 수 있습니다.

방법 38

황금분할법.

다음 중 하나 효과적인 방법황금분할법이다. 세그먼트의 황금분할은 조건을 만족하는 지점입니다.

두 개의 점이 있습니다: =0.382 +0.618

0,618 +0,382 .

세그먼트는 점으로 나누어지고 그 이후에는 목적 함수가 최대가 되는 점이 있습니다. 그 결과 길이가 0.618( - )인 수정된 세그먼트가 발견되었습니다.

좁아진 세그먼트에 대한 황금분할의 한 값은 이미 알려져 있으므로 각 후속 단계에서 한 지점(황금분할의 두 번째 지점)에서만 목적 함수 계산이 필요합니다.

방법 39

좌표 상승(하강) 방법.

목적 함수가 여러 매개변수 값에 의존하는 경우의 최적화 문제를 고려해 보겠습니다. 가장 간단한 검색 방법은 좌표 상승(하강) 방법입니다.

노드 구성, 그리드의 내부(경계선이 아닌) 지점에서 차이 방정식의 형태를 결정하는 그리드 함수의 값입니다. 일반적으로 템플릿 이미지가 있는 그림에서 도함수 계산과 관련된 점은 선으로 연결됩니다.

Courant-Isakson-Ries 방식(KIR)은 때때로 S.K.라는 이름과 연관되기도 합니다. Godunov, 그것은 에서 밝혀졌습니다. . 근사 순서입니다. KIR 방식은 조건부로 안정적입니다. 쿠랑 조건 하에서 . 계산 영역의 내부 지점에서 Courant-Isakson-Ries 체계에 대한 차이 방정식을 제시해 보겠습니다.

역풍 차이 방식(영문 문헌에서는 역풍)이라는 이름을 가진 이러한 방식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이들의 장점은 솔루션 종속성 영역을 보다 정확하게 고려한다는 것입니다. 표기법을 소개하면

그러면 두 체계 모두 다음 형식으로 작성될 수 있습니다.

(차이 방정식의 흐름 형태);

(여기서 두 번째 차이점이 있는 용어는 명시적으로 구별되어 체계에 안정성을 제공합니다.)

(유한 증분의 방정식).

또한 고려하십시오 불확정 계수 방법차이 체계를 구성하려면 전송 방정식에 대한 첫 번째 정확도의 오른쪽 모서리가 필요합니다.

이 계획은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

Courant-Isakson-Ries 체계는 특성의 수치적 방법과 밀접한 관련이 있습니다. 주자 간단한 설명그러한 방법에 대한 아이디어.

수신된 마지막 두 가지 구성표( 다른 표시전송률)은 다음과 같이 해석될 수 있습니다. 결정해야 할 값인 노드 (t n + 1 , x m )를 통과하고 해당 지점에서 레이어 t n 과 교차하는 특성을 구축해 보겠습니다. . 명확성을 위해 전송 속도 c가 양수라고 가정합니다.

하위 시간 레이어의 노드 x m - 1과 x m 사이에 선형 보간을 수행하면 다음을 얻습니다.

다음으로, 특성을 따라 u n (x") 값을 변경하지 않고 상위 레이어 t n + 1로 전송합니다. 즉, 다음과 같이 설정합니다. . 마지막 값을 근사해로 간주하는 것은 당연합니다. 동차방정식옮기다. 이 경우

또는 Courant 수에서 다시 그리드 매개변수로 전달됩니다.

저것들. 다른 방법으로 우리는 에서 안정적인 잘 알려진 "왼쪽 모서리" 구성표에 도달했습니다. 노드(tn+1,xm)에서 나오는 특성과 시간상 n번째 레이어의 교차점이 노드(tn,xm-1)의 왼쪽에 위치할 때, 이에 대한 해를 구한다. , 보간법을 사용하지 않고 외삽법을 사용하므로 불안정한 것으로 나타납니다.

c > 0에 대한 "오른쪽 모서리" 방식의 불안정성 또한 명백합니다. 이를 증명하기 위해 스펙트럼 기준이나 Courant, Friedrichs 및 Levi 조건을 사용할 수 있습니다. 사례 c에 대해서도 유사한 추론이 수행될 수 있습니다.< 0 и схемы "правый уголок".

불안정한 4점 체계언제 얻은 , 근사 순서는 입니다. 차이 체계에 대한 격자 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

Lax-Wendroff 방식다음과 같은 경우에 발생합니다. . Lax-Wendroff 방식의 근사 순서는 다음과 같습니다. . 이 계획은 Courant 조건 하에서 안정적입니다. .

이 방식은 불확정 계수 방법을 사용하거나 근사 오류의 선행항을 보다 정확하게 고려하여 얻을 수 있습니다. Lax-Wendroff 방식을 도출하는 과정을 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 근사에 대한 이전의 4점 체계에 대한 연구를 수행하면(이 연구는 매우 기본적이며 테일러 급수에서 미분 문제의 정확한 해의 그리드에 대한 투영 함수의 분해로 축소됩니다), 우리는 다음을 얻습니다. 오류의 주요 용어

근사오차의 주항에 대한 식을 도출할 때 원래의 미분전송식의 결과를 사용하였다.

이는 원래 방정식 (3.3)을 먼저 시간 t에 대해 미분한 다음 x 좌표에 대해 미분하고 결과 비율 중 하나를 다른 비율에서 빼서 얻습니다.

다음으로 교체 2차 미분 O(h 2) 까지 우변의 두 번째 항에서 우리는 원본에 근사하는 새로운 차이 체계를 얻습니다. 미분 방정식정밀하게 . 계산 그리드의 내부 노드에서 Lax-Wendroff 체계에 대한 그리드 방정식은 다음과 같습니다.

암시적 6점 체계 q = 0에서 발생합니다. 근사 순서로 , 에 .

1. 좌표계에서 xOt계단이 있는 직사각형 그리드 만들기 시간축을 따라 오축을 따라 단계 τ로 에서:

ㅏ) 엑스 나 =이아, 나= 엘, N , n=L/h;

비) 티 케이 =케이τ, k= 엘,중 , 중=T/τ;

V) 그리고 나 , 케이 = 유(엑스 나 ,티 케이) = 유(에에,케이τ).

2. 함수 값 계산 유(엑스 나 , 티 케이) 선 위에 놓인 노드에서 x= 0과 x=L:

3. 계산 유 나 ,0 =f(에에),나= 1, N .

4. (1.16) 또는 (1.23)을 사용하여 모든 내부 노드에 대한 솔루션을 찾습니다. 유 나 , 케이 + N , 나= 엘,N -엘, k= 0, 중 -엘.

1.3. 그리드법에 의한 파동방정식의 혼합문제 해결

1.3.1. 문제의 공식화. 방법 알고리즘

파동 방정식에 대해 혼합 문제(즉, 주어진 초기 조건과 경계 조건)를 고려합니다.

지역에 디=(0≤x≤ 엘, 0≤t ≤ T) 초기 조건 있음

및 경계 조건

우리는 에프(엑스),g(엑스)은 충분히 매끄러운 함수이며 도메인의 두 모서리에서 일치 조건이 충족됩니다. 디(엑스=0, 티=0), (x=L, 티=0), 솔루션의 존재와 고유성을 보장합니다. 유(엑스, 티).

원래 문제를 이산화하기 위해 도메인에서 구성합니다.

직사각형 격자

어디 시간 – 방향의 그리드 간격 엑스, τ는 방향의 그리드 스텝입니다. 티,

2차 중심차(1.10)를 사용하여 부분 도함수를 근사화하고 각 내부 그리드 노드에 대해 차이 방정식 시스템을 얻습니다.

이는 노드( 엑스 나 , 티 케이) 오류가 있음 영형(시간 2 + τ2).

여기 유 나 , 케이함수의 대략적인 값입니다. 그리고(엑스,티) 노드( 엑스 나 ,티 케이).

λ를 놓으면 = τ/ 시간, 우리는 3계층 차분 체계를 얻습니다.

Scheme (1.28)은 값을 연결하기 때문에 3계층이라고 합니다. 유 나 , 케이기능 그리고(엑스,티) 숫자가 포함된 세 개의 시간 레이어( 케이-엘), 케이, (케이+1).

차이 방식(1.28)은 "십자형" 유형의 5점 3층 패턴에 해당합니다(그림 1.2).

구성표 (1.28)은 값과 관련이 있습니다. 유 나 , 케이 =유(에에, kτ) 시간에 따라 세 개의 레이어를 거쳐 레벨( 케이+1) 방법을 알아야 합니다 유 나 , 케이, 그리고 유 나 , 케이-1 , 이는 미분 방정식(1.24)에 2차 도함수가 포함되어 있다는 사실의 결과입니다. 문제 (1.24) - (1.26)의 수치해는 대략적인 값을 계산하는 것으로 구성됩니다. 유 나 , 케이 솔루션 유(엑스, 티) 노드에서 ( 엑스 나 ,티) 에 나 = 1, N , 케이=1, 중 . (1.28)에 따른 계산 방식은 명시적이므로 노드에서 함수 값을 대략적으로 계산할 수 있습니다. 케이+1) 이전 두 레이어에 대해 알려진 값에 따른 번째 레이어. 처음 두 레이어에서는 함수 값이 초기 조건(1.25)에 따라 결정됩니다. 우리는 믿는다

시간 미분의 경우 근사값(1.5)을 사용합니다.

근사치(1.30)는 다음과 같습니다. 에 대한(τ).

(1.29), (1.31)은 처음 두 행에 대한 해를 제공합니다. 케이=0, 케이=1. 대체 k= 1/1(1.28)이면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

방정식 (1.32) 오른쪽의 모든 항에는 다음 값이 포함됩니다. 그리고 나 , 케이그리드의 처음 두 행에서만; 그러나 이 모든 값은 초기 조건으로부터 알려져 있습니다.

그 후 해결 방법을 알고 그리고 나 ,1 ,그리고 나,2, (1.28)을 사용하여 함수의 값을 계산할 수 있습니다. 그리고 나 , 케이세 번째 시간 레이어, 네 번째 등

위에서 설명한 계산 방식 (1.28) – (1.31)은 문제 (1.24) – (1.26)을 정확하게 근사화합니다. 에 대한(τ+ 시간 2). τ에 대한 낮은 차수의 근사는 τ에 대한 도함수에 대해 너무 대략적인 근사를 사용하여 설명됩니다. 티 공식 (1. 30)에서.

이제 수렴과 안정성의 문제를 고려해 보겠습니다. 여기서는 증거를 제시하지 않고 최종 결과를 공식화하는 데만 국한됩니다. Courant 조건이 만족되면 계산 방식이 안정적입니다.

이는 (1.33)이 충족되면 예를 들어 첫 번째 레이어의 계산에서 발생하는 작은 오류가 각각의 새로운 시간 레이어를 통과할 때 무한정 증가하지 않음을 의미합니다. Courant 조건이 충족되면 차이 방식(1.28)이 균일하게 수렴됩니다. 시간→0 그리고 τ→0 차이 문제 (1.28) – (1.31)의 해는 원래 문제 (1.24) – (1.26)의 해에 균일하게 경향이 있습니다.

조건(1.33)은 수렴에 충분하지만 반드시 필요한 것은 아닙니다. 즉, (1.33)이 성립하지 않는 방정식과 구간의 값이 있지만 여전히 올바른 결과가 얻어지는 것입니다. 문제는 수렴을 보장할 수 없다는 것입니다. 물론 일반적인 경우에는 수렴을 확실하게 보장하는 것이 바람직하므로 조건 (1.33)을 만족해야 한다.

따라서 단계 크기가 선택되자마자 시간방향으로 엑스, 시간에 따른 단계 크기 τ에 제한이 있습니다. 모든 명시적 방법의 특징은 이를 사용할 때 해당 유형(1.33)의 특정 조건을 준수해야 한다는 점이며, 이는 방법의 수렴과 안정성을 보장합니다.

그리드와 패턴. 대부분의 차이 체계에서 그리드 노드는 자연 좌표계 또는 특별히 선택된 영역에 그려진 일부 직선(다차원 문제의 경우 초평면)의 교차점에 위치합니다. G.

변수 중 하나가 시간의 물리적 의미를 갖는 경우 티, 그리드는 일반적으로 선(또는 초평면) 사이에 선이 있도록 구성됩니다. 티 = 티 중. 이러한 선이나 초평면에 있는 그리드 노드 집합을 레이어라고 합니다.

각 레이어에는 하나의 공간 좌표만 변경되는 방향이 구별됩니다. 예를 들어 변수의 경우 엑스, 와이, 티방향이 있어요 엑스 (티 = const, 와이 = const) 및 방향 와이 (티 = const, 엑스 = const).

차이 체계 (26.2)와 (26.4)를 컴파일하여 영역의 모든 내부 노드에서 도함수의 동일한 유형 차이 근사를 사용했습니다. 즉, 각 차분 방정식을 작성할 때 특정 그리드 노드 근처에서 동일한 수의 노드를 가져와 엄격하게 정의된 구성을 형성하며 이를 이 차분 체계의 템플릿이라고 합니다(그림 26.2 참조).

정의. 템플릿에 차분 체계가 기록된 노드를 정규 노드, 나머지 노드를 불규칙 노드라고 합니다.

불규칙은 일반적으로 경계 노드이고 때로는 경계 근처에 있는 노드이기도 합니다(이 노드 근처에서 가져온 템플릿이 영역 경계를 넘어갑니다).

차이 구성표의 편집은 템플릿 선택으로 시작됩니다. 템플릿이 항상 차이 체계를 고유하게 정의하는 것은 아니지만 템플릿의 속성에 상당한 영향을 미칩니다. 예를 들어 나중에 그림의 템플릿에서 살펴보겠습니다. 26.2 비열전도 문제(26.1)에 대해 좋은 차분 체계를 구성하는 것은 불가능합니다. 각 유형의 방정식과 경계값 문제에는 고유한 템플릿이 필요합니다.

명시적 및 암시적 차이 체계

차분 솔루션의 실제 계산 문제에 대해 논의해 보겠습니다. 대부분의물리적 문제는 시간을 변수 중 하나로 포함하는 방정식으로 이어집니다. 이러한 방정식의 경우 일반적으로 혼합 경계값 문제가 제기되며 대표적인 경우는 열전도 문제(26.1)입니다.

이러한 문제에는 계층화된 계산 알고리즘이 사용됩니다. 구성표 (26.2)와 (26.4)의 예를 통해 이를 고려해 보겠습니다.

초기 레이어의 구성표 (26.4)에서 중= 0이면 초기 조건으로 인해 해가 알려져 있습니다. 넣어보자 중= 방정식 (26.4)에서 0입니다. 그런 다음 인덱스의 각 값에 대해 N방정식에 미지수가 하나 포함되어 있습니다. ; 여기에서 결정할 수 있습니다 ~에
가치 그리고 경계조건(26.3)에 의해 결정됩니다. 따라서 첫 번째 레이어의 값이 계산됩니다. 이를 기반으로 두 번째 레이어의 솔루션도 비슷한 방식으로 계산됩니다.

각 방정식의 구성표 (26.4)에는 다음 레이어의 함수 값이 하나만 포함됩니다. 이 값은 초기 레이어에서 알려진 함수 값으로 명시적으로 쉽게 표현될 수 있으므로 이러한 방식을 명시적이라고 합니다.

구성표 (26.2)에는 각 방정식에 새 레이어의 함수에 대해 알려지지 않은 여러 값이 포함되어 있습니다. 이러한 계획을 암시적이라고 합니다. 실제로 해를 계산하기 위해 경계 조건(26.3)을 고려하여 체계(26.2)를 다음 형식으로 다시 작성합니다.

(26.5)

각 레이어에서 구성표 (26.5)는 수량을 결정하기 위한 선형 방정식 시스템입니다.
; 이 방정식의 우변은 이전 레이어의 해 값을 포함하고 있기 때문에 알려져 있습니다. 선형 시스템의 행렬은 삼중대각선이며 대수적 스윕으로 솔루션을 계산할 수 있습니다.

지금 고려되는 알고리즘은 다소 일반적입니다. 이는 1차원 및 다차원 문제에 대한 많은 암시적 차분 체계에 사용됩니다. 다음으로 우리는 인덱스 대신에 중약어를 자주 사용한다

이러한 표기법에서 명시적 차이 체계와 암시적 차이 체계는 각각 다음과 같은 형식을 취합니다.

불일치. 일반 연산자 미분 방정식을 고려하십시오(반드시 선형일 필요는 없음).

오 = 에프, 또는 오 – 에프 = 0.

운영자 교체 ㅏ차이 연산자 ㅏ 시간, 오른쪽 에프– 일부 그리드 기능 , 그리고 정확한 해결책 유– 차이 솔루션 와이, 우리는 차이 계획을 작성합니다

또는
. (26.6)

정확한 해를 대입하면 유관계식 (26.6)으로 들어가면 일반적으로 말해서 해법은 이 관계식을 만족하지 못할 것입니다.
. 가치

잔차라고 합니다.

잔차는 일반적으로 Taylor 계열 전개를 사용하여 추정됩니다. 예를 들어, 열 방정식(26.1a)에 대한 명시적 차분 체계(26.4)의 불일치를 찾아보겠습니다. 우리는 이 방정식을 정식 형식으로 작성합니다.

왜냐면 이 경우에는
저것

노드 주위의 Taylor 공식으로 해를 확장해 보겠습니다. 엑스 N , 티 중), 다음에 대해 연속적인 4차 도함수가 존재한다고 가정합니다. 엑스그리고 두 번째 티

(26.7)

어디

이러한 확장을 잔차 표현으로 대체하고 도함수의 연속성으로 인해 수량 간의 차이를 무시합니다.
에서 ( 엑스 N , 티 중) 찾다

(26.8)

따라서 잔차(26.8)는 다음과 같이 0이 되는 경향이 있습니다.
그리고
원래 문제에 대한 차분 체계의 근접성은 잔차의 크기에 따라 결정됩니다. 잔차가 0이 되는 경향이 있는 경우 시간그리고 0에 가까워지면 그러한 차이 체계가 미분 문제에 가까워진다고 말합니다. 근사치는 아르 자형-번째 주문인 경우
.

식 (26.8)은 일반 그리드 노드에서만 불일치를 나타냅니다. (26.3)과 (26.1b)를 비교하면 불규칙한 매듭의 불일치를 쉽게 찾을 수 있습니다.

비고 1.영역에서 일정한 계수(26.1)를 갖는 열전도 문제의 해는 무한 횟수 연속 미분 가능합니다. 그러나 Taylor 시리즈 확장(26.7)에서 5번째 이상의 도함수를 고려하면 불일치(26.8)에 더 높은 차수의 작은 항만 추가됩니다. 그리고 시간, 즉. 본질적으로 잔차의 모양은 변경되지 않습니다.

비고 2.어떤 이유로 원래 문제의 해를 소수의 횟수로 미분 가능하게 합시다. 예를 들어, 매끄럽지만 2차 도함수가 없는 가변 열전도율 문제의 경우 솔루션에는 3차 연속 도함수만 있습니다. 그러면 Taylor 급수 확장(26.7)에서 마지막 항은 다음과 같습니다.
정확히 서로 상쇄되지는 않습니다. 이로 인해 다음 유형의 구성원이 잔차(26.8)에 나타납니다.
저것들. 불일치는 4배 연속 미분 가능한 솔루션보다 작은 차수를 갖습니다.

비고 3.그 안에 함수가 포함되어 있다는 사실을 고려하여 잔차 표현식을 변환함으로써 유(엑스,티)는 원래 방정식과 관계의 정확한 해입니다.

이 식을 (26.8)로 대체하면,

공간과 시간의 단계를 선택하면
저것 주요 멤버잔차는 사라지고 더 높은 수준의 작은 항만 나타납니다. 그리고 시간(우리는 생략했습니다). 이 기술은 정확도가 향상된 차분 체계를 구축하는 데 사용됩니다.

차이 방식

차이 방식미분 방정식과 추가 조건(예: 경계 조건 및/또는 초기 분포)을 포함하는 일부 미분 문제와 관련된 대수 방정식의 유한 시스템입니다. 따라서 차분 체계는 연속적인 특성을 갖는 미분 문제를 유한 방정식 시스템으로 축소하는 데 사용됩니다. 수치해이는 근본적으로 컴퓨터에서 가능합니다. 미분 방정식과 관련된 대수 방정식은 차이 방법을 사용하여 얻습니다. 이는 차이 체계 이론을 미분 문제를 해결하기 위한 다른 수치 방법(예: Galerkin 방법과 같은 투영 방법)과 구별합니다.

차분 방식의 해를 미분 문제의 근사해라고 합니다.

공식적인 정의는 대수 방정식의 형태에 큰 제한을 두지 않지만 실제로는 미분 문제에 해당하는 체계만 고려하는 것이 합리적입니다. 차이 체계 이론의 중요한 개념은 수렴, 근사, 안정성 및 보수주의의 개념입니다.

근사

도메인에 정의된 함수에 정의된 미분 연산자는 다음과 같은 단계에 따라 그리드에 정의된 함수에 정의된 유한 차분 연산자에 의해 특정 클래스의 함수에 대해 근사화된다고 합니다.

다음과 같은 경우 근사값에 순서가 있다고 합니다.

여기서 는 특정 기능에 의존하지만 단계에는 의존하지 않는 상수입니다. 위에서 사용된 표준은 다를 수 있으며 근사의 개념은 선택에 따라 달라집니다. 균일한 연속성의 표준에 대한 이산 아날로그가 자주 사용됩니다.

때때로 적분 규범의 이산적 유사체가 사용됩니다.

예. 유한 차분 연산자에 의한 연산자 근사

제한된 구간에서는 평활 함수 클래스의 2차입니다.

유한 차분 문제는 미분 문제와 근사하며 근사는 차수입니다. 단, 미분 방정식 자체와 경계(및 초기) 조건이 해당 유한 차분 연산자에 의해 근사되고 근사가 차수가 있는 경우입니다.

쿠란트 조건

Courant 조건(영어 문헌, Eng. Courant-Friedrichs-Levy 조건 , CFL) - 차이 문제에서 섭동의 전파 속도는 미분 문제의 전파 속도보다 작아서는 안 됩니다. 이 조건이 충족되지 않으면 차분 체계의 결과가 미분 방정식을 풀지 못하는 경향이 있습니다. 즉, 한 시간 단계에서 입자는 두 개 이상의 셀을 "통과"해서는 안 됩니다.

계수가 미분 방정식의 해에 의존하지 않는 회로의 경우 쿠랑 조건은 안정성을 따릅니다.

편향된 그리드의 구성표

이러한 그리드 구성에서는 결과가 설정되고 데이터가 서로 오프셋됩니다. 예를 들어, 결과 포인트는 데이터 포인트 사이의 중간에 있습니다. 어떤 경우에는 더 간단한 경계 조건을 사용할 수 있습니다.

또한보십시오

연결

• "차이 체계" - "쌍곡선 방정식의 차이 체계"에 관한 Wikibooks 장
• Demyanov A. Yu., Chizhikov D. V. 2차 정확도의 암시적 하이브리드 단조 차분 방식
• V. S. Ryaben'kii, A. F. Filippov.미분방정식의 안정성에 대하여. -M .: Gostekhizdat, 1956.
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• Berezin I.S., Zhidkov N.P.계산 방법, - 모든 버전.
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• G. I. Marchuk.계산 수학의 방법. -M .: Nauka, 1977.

노트

위키미디어 재단. 2010.

다른 사전에 "차이 체계"가 무엇인지 확인하십시오.

미분 방정식과 추가(초기, 경계 등) 조건을 근사하는 차분 방정식 시스템입니다. 원래 미분 문제 R.s의 근사치 이것은 원래 문제를 대략적으로 이산화하는 한 가지 방법입니다. 수학백과사전

유한 요소 차이 방식- 유한요소법 - [A.S. Goldberg. 영어 러시아어 에너지 사전. 2006] 주제 에너지 일반 동의어 유한 요소법 EN 유한 체적차 일정 …

차이 체계는 미분 방정식과 추가 조건(예: 경계 조건 및/또는 초기 ... ... Wikipedia)을 포함하는 미분 문제와 관련된 대수 방정식의 유한 시스템입니다.

제어 볼륨을 기반으로 한 유한 차분 계산 방식- (예: 열 및 물질 전달, 열 전도성) [A.S. Goldberg. 영어 러시아어 에너지 사전. 2006] EN 제어량 기반 유한차분계획의 에너지 전반에 대한 주제 … 기술 번역가 핸드북

계획: 그래픽 문서; 프리젠테이션, 이미지, 가장 일반적인 용어로 표현, 단순화(예: 보고서 구성표) 전자 기기, 많은 구성요소(집적 회로)를 포함합니다. 그래픽 문서 ... ... 위키피디아

미분 방정식의 경계값 문제에 해당하는 변분 문제를 기반으로 하는 차분 방식입니다. R.in 구축의 주요 아이디어. 와 함께. 그것은 Ritz 방법에서 좌표 함수를 특별히 선택한다는 것입니다 ... ... 수학백과사전

gierbolpch 방정식을 푸는 방법을 해결하기 위한 수치적 방법. 계산 알고리즘을 기반으로 유형을 지정합니다. 다양한 수학적 많은 경우 모델은 쌍곡선 미분 방정식으로 이어집니다. 유형. 이러한 방정식은 정확한 이알리트를 갖습니다. ... ... 수학백과사전

근사해법을 연구하는 전산수학의 한 분야 미분 방정식이를 유한 차분 방정식(차분 체계)으로 대체합니다. R.s. t. 차이 체계를 구성하는 방법을 연구합니다. ... ... 수학백과사전

편미분 방정식을 푸는 수치적 방법은 대략적인 풀이 방법이며, 그 결과 문제의 해가 숫자 표로 표시됩니다. 정확한 솔루션(명시적인 공식, 시리즈 등의 형태) 희귀로만 지을 수 있습니다 ... ... 수학백과사전

계산 알고리즘을 기반으로 기체 역학 문제를 해결하는 방법. 기체 역학 문제를 해결하기 위한 수치적 방법 이론의 주요 측면을 고려하고, 관성 보존 법칙의 형태로 기체 역학 방정식을 작성합니다. 수학백과사전 전자책