איזון מכני. מצב שיווי משקל של מערכת מכנית בקואורדינטות כלליות מיקום שיווי משקל יציב של מערכת מכנית על קואורדינטה

כפועל יוצא מהדוגמה של חקר תנועת התנודה של נקודה חומרית, התנועה התקינה של המערכת נגרמת מכוח אלסטי. קודם לכן הוכח שהכוח האלסטי שייך לשדה הכוח הפוטנציאלי. לכן, בהמשך למחקר של תנועות התנודות הטבעיות של מערכות מכניות, יש להניח שתנועות כאלה נגרמות על ידי כוחות השדה הפוטנציאלי. לפיכך, אם למערכת יש דרגות חופש, אז הכוחות המוכללים שלה ייכתבו במונחים של פונקציית הכוח U או האנרגיה הפוטנציאלית П בצורה:

כפועל יוצא מחקר התנועה של נקודה, התנודות שלה מתרחשות סביב מיקום שיווי המשקל. תנועת התנודה של המערכת תתרחש גם בסמוך למיקום שיווי המשקל שלה, המאופיין בתנאים.

תנאים אלו מצביעים על כך שתנועות תנודות של המערכת יכולות להתרחש ליד עמדות המאופיינות בקיצוניות יחסית של פונקציית הכוח או האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת. עם זאת, תנועה תנודה של המערכת אינה אפשרית ליד כל מיקום שיווי משקל.

קביעת מיקום שיווי משקל יציב של מערכת מכנית

תנו למערכת המכנית להיות מורכבת מנקודות חומר הנמצאות בשיווי משקל תחת פעולת הכוחות המופעלים עליהן. הבה ניתן את הנקודות של מערכת זו סטיות קטנות ממיקום שיווי המשקל ומהירויות ראשוניות קטנות. אז המערכת תתחיל לנוע. אם כל הזמן בעקבות הפרת שיווי המשקל, נקודות המערכת נשארות בסמיכות למיקום שיווי המשקל שלהן, אזי מיקום זה נקרא יציב. אחרת, שיווי המשקל של המערכת נקרא לא יציב. אפשר לדבר על תנודות של המערכת רק במקרה שבו תנודות אלו מתרחשות בסמוך למיקום של שיווי משקל יציב. אם המיקום של המערכת אינו יציב, כלומר, אם, עם סטייה קטנה ממצב שיווי המשקל ומהירויות נמוכות, המערכת מתרחקת ממנה עוד יותר, אז אי אפשר לדבר על תנודות של המערכת ליד מיקום זה. לכן, חקר תנודות המערכת צריך להתחיל בקביעת קריטריון ליציבות שיווי המשקל של מערכת מכנית.

קריטריון יציבות שיווי משקל למערכת מכנית שמרנית

קריטריון היציבות לשיווי המשקל של מערכת שמרנית נקבע על ידי משפט לגראנז'-דיריכל, שהוא כדלקמן: אם למערכת מכנית יש אילוצים נייחים והיא שמרנית, ואם במיקום שיווי המשקל של מערכת זו יש לאנרגיה הפוטנציאלית שלה מינימום (כלומר, לפונקציית הכוח יש מקסימום), אז שיווי המשקל של המערכת יציב.

בואו נוכיח את המשפט הזה. תנו למיקום המערכת המכנית להיקבע על ידי קואורדינטות כלליות הנמדדות ממיקום שיווי המשקל. אז בתפקיד זה יהיה לנו:

ניתן להתייחס לכמויות כקואורדינטות של נקודה במרחב ממדי. אז כל מיקום של המערכת יתאים לנקודה מסוימת במרחב הזה. בפרט, מקור הקואורדינטות O יתאים למיקום שיווי המשקל.

האנרגיה הפוטנציאלית P תיספר ממצב שיווי המשקל, בהנחה שבמיקום זה מה שלא מפר את כללי ההיגיון, שכן האנרגיה הפוטנציאלית נקבעת עד קבוע שרירותי.

ניקח מספר חיובי ונתאר מהנקודה O כדור ברדיוס . האזור התחום על ידי כדור זה יסומן על ידי המספר ייחשב שרירותי, אך קטן מספיק. לאחר מכן, עבור כל נקודה על גבול אזור D, יתקיים אי השוויון הבא:

שכן בנקודה O הפונקציה P שווה לאפס ויש לה מינימום.

תן הערך הקטן ביותר P על הגבול של אזור D שווה ל-P. אז עבור כל נקודה השייכת לגבול זה, יהיה לנו

הבה נוציא את המערכת משיווי המשקל על ידי מתן לנקודות שלה סטיות ראשוניות קטנות כל כך ומהירויות ראשוניות קטנות כל כך עד שהאי-שוויון מתקיים:

איפה הערכים ההתחלתיים של הפוטנציאל ו אנרגיה קינטית. אז יהיה לנו:

אבל עם תנועה נוספת של המערכת, בשל חוק שימור האנרגיה המכנית, שתקף למערכות שמרניות עם אילוצים נייחים, יתממש השוויון.

הַגדָרָה

איזון בר קיימא- זהו שיווי משקל שבו הגוף, שהוצא משיווי המשקל והשאיר לעצמו, חוזר למקומו הקודם.

זה קורה אם, עם תזוזה קלה של הגוף לכל כיוון מהמיקום ההתחלתי, תוצאת הכוחות הפועלים על הגוף הופכת ללא אפס ומופנית למיקום שיווי המשקל. לדוגמה, כדור השוכב בתחתית חלל כדורי (איור 1א).

הַגדָרָה

שיווי משקל לא יציב- זהו שיווי משקל בו הגוף, שהוצא ממצב שיווי המשקל והשאיר לעצמו, יחרוג עוד יותר ממצב שיווי המשקל.

במקרה זה, עם תזוזה קטנה של הגוף ממצב שיווי המשקל, תוצאת הכוחות המופעלים עליו אינה אפס ומכוונת ממצב שיווי המשקל. דוגמה לכך היא כדור הממוקם בחלק העליון של משטח כדורי קמור (איור 1 ב).

הַגדָרָה

איזון אדיש- זהו שיווי משקל בו הגוף, שהוצא משיווי המשקל והושאר לעצמו, אינו משנה את מיקומו (מצבו).

במקרה זה, עם תזוזות קטנות של הגוף ממקומו המקורי, תוצאת הכוחות המופעלים על הגוף נשארת שווה לאפס. לדוגמה, כדור שוכב על משטח שטוח (איור 1, ג).

איור.1. סוגים שונים של איזון גוף על תומך: א) איזון יציב; ב) שיווי משקל לא יציב; ג) שיווי משקל אדיש.

איזון סטטי ודינמי של גופים

אם כתוצאה מפעולת הכוחות הגוף אינו מקבל תאוצה, הוא יכול להיות במנוחה או לנוע בצורה אחידה בקו ישר. לכן, אנחנו יכולים לדבר על שיווי משקל סטטי ודינמי.

הַגדָרָה

איזון סטטי- זהו שיווי משקל שכזה כאשר, תחת פעולת הכוחות המופעלים, הגוף נמצא במנוחה.

איזון דינמי- זהו שיווי משקל שכזה כאשר, תחת פעולת כוחות, הגוף אינו משנה את תנועתו.

במצב של שיווי משקל סטטי הוא פנס תלוי על כבלים, כל מבנה בניין. כדוגמה לשיווי משקל דינמי, נוכל לשקול גלגל שמתגלגל על ​​משטח שטוח בהעדר כוחות חיכוך.

שיווי המשקל של מערכת מכנית הוא מצבה שבו כל הנקודות של המערכת הנבדקת נמצאות במנוחה ביחס למסגרת הייחוס שנבחרה.

הדרך הקלה ביותר לגלות את תנאי שיווי המשקל היא באמצעות הדוגמה של המערכת המכנית הפשוטה ביותר - נקודה חומרית. לפי החוק הראשון של הדינמיקה (ראה מכניקה), מצב המנוחה (או אחיד תנועה ישר) של נקודה חומרית במערכת הקואורדינטות האינרציאלית הוא השוויון לאפס של הסכום הווקטור של כל הכוחות המופעלים עליה.

במעבר למערכות מכניות מורכבות יותר, אין די בתנאי זה לבדו לשיווי המשקל שלהם. בנוסף לתנועה טרנסלציונית, הנגרמת על ידי כוחות חיצוניים שלא מתוגמלים, מערכת מכנית מורכבת יכולה לבצע תנועה סיבובית או עיוות. גלה את תנאי שיווי המשקל באופן מוחלט גוף מוצק- מערכת מכנית המורכבת מאוסף של חלקיקים שהמרחקים ההדדיים ביניהם אינם משתנים.

ניתן לבטל את האפשרות של תנועה טרנסלציונית (עם האצה) של מערכת מכנית באותו אופן כמו במקרה של נקודה חומרית, המחייבת שסכום הכוחות המופעלים על כל נקודות המערכת יהיה שווה לאפס. זהו התנאי הראשון לשיווי משקל של מערכת מכנית.

במקרה שלנו, גוף קשיח אינו יכול להתעוות, שכן הסכמנו שהמרחקים ההדדיים בין נקודותיו אינם משתנים. אבל בניגוד לנקודה חומרית, ניתן להפעיל זוג כוחות שווים ומכוונים הפוכים על גוף קשיח לחלוטין בנקודות השונות שלו. יתרה מכך, מכיוון שסכום שני הכוחות הללו שווה לאפס, המערכת המכנית הנחשבת של תנועה תרגום לא תפעל. עם זאת, ברור שתחת פעולתם של צמד כוחות שכזה, הגוף יתחיל להסתובב סביב ציר כלשהו במהירות זוויתית הולכת וגדלה.

התרחשות של תנועה סיבובית במערכת הנבדקת נובעת מנוכחות של רגעי כוחות לא מפוצים. מומנט הכוח ביחס לכל ציר הוא מכפלה של גודל כוח זה F לפי הכתף d, כלומר לפי אורך האנך שנפל מנקודת O (ראה איור), שדרכה עובר הציר, לפי הכיוון של הכוח. שימו לב שרגע הכוח עם הגדרה זו הוא גודל אלגברי: הוא נחשב חיובי אם הכוח מוביל לסיבוב נגד כיוון השעון, ושלילי אחרת. לפיכך, התנאי השני לשיווי משקל של גוף קשיח הוא הדרישה שסכום המומנטים של כל הכוחות סביב כל ציר סיבוב יהיה שווה לאפס.

במקרה שבו מתקיימים שני תנאי שיווי המשקל שנמצאו, הגוף הנוקשה יהיה במנוחה אם, ברגע שהכוחות החלו לפעול, המהירויות של כל הנקודות שלו היו שוות לאפס.

אחרת, הוא יבצע תנועה אחידה על ידי אינרציה.

ההגדרה השקולה של שיווי המשקל של מערכת מכנית אינה אומרת דבר על מה שיקרה אם המערכת תעזוב מעט את עמדת שיווי המשקל. במקרה זה, קיימות שלוש אפשרויות: המערכת תחזור למצב שיווי המשקל הקודם שלה; המערכת, למרות הסטייה, לא תשנה את מצב שיווי המשקל שלה; המערכת תצא משיווי משקל. המקרה הראשון נקרא מצב יציב של שיווי משקל, השני - אדיש, ​​השלישי - לא יציב. אופי מיקום שיווי המשקל נקבע על ידי התלות של האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת בקואורדינטות. האיור מציג את כל שלושת סוגי האיזון בדוגמה של כדור כבד שנמצא בשקע (איזון יציב), על שולחן אופקי חלק (אדיש), על גבי פקעת (לא יציבה) (ראה איור בעמ' 220 ).

הגישה לעיל לבעיית שיווי המשקל של מערכת מכנית נחשבה על ידי מדענים בעולם העתיק. לפיכך, חוק שיווי המשקל של מנוף (כלומר, גוף קשיח עם ציר סיבוב קבוע) נמצא על ידי ארכימדס במאה ה-3. לִפנֵי הַסְפִירָה ה.

בשנת 1717 פיתח יוהאן ברנולי גישה שונה לחלוטין למציאת תנאי שיווי המשקל למערכת מכנית - שיטת התזוזות הווירטואליות. הוא מבוסס על המאפיין של כוחות תגובת הקשר הנובעים מחוק שימור האנרגיה: עם סטייה קטנה של המערכת ממצב שיווי המשקל, העבודה הכוללת של כוחות תגובת הקשר שווה לאפס.

כאשר פותרים בעיות של סטטיקה (ראה מכניקה), על בסיס תנאי שיווי המשקל שתוארו לעיל, החיבורים הקיימים במערכת (תומכים, חוטים, מוטות) מאופיינים בכוחות התגובה הנוצרים בהם. הצורך לקחת את הכוחות הללו בחשבון בעת ​​קביעת תנאי שיווי המשקל במקרה של מערכות המורכבות ממספר גופים מוביל לחישובים מסורבלים. עם זאת, בשל העובדה שעבודת כוחות התגובה של הקשר שווה לאפס עבור סטיות קטנות ממצב שיווי המשקל, ניתן להימנע מלהתייחס לכוחות אלו באופן כללי.

בנוסף לכוחות התגובה, כוחות חיצוניים פועלים גם על נקודות של מערכת מכנית. מה העבודה שלהם עם סטייה קטנה מעמדת שיווי המשקל? מכיוון שהמערכת נמצאת בתחילה במנוחה, כל תנועה של המערכת דורשת עבודה חיובית. באופן עקרוני, עבודה זו יכולה להיעשות הן על ידי כוחות חיצוניים והן על ידי כוחות תגובה של קשרים. אבל, כפי שאנו כבר יודעים, העבודה הכוללת של כוחות התגובה היא אפס. לכן, כדי שהמערכת תעזוב את מצב שיווי המשקל, העבודה הכוללת של כוחות חיצוניים לכל תזוזה אפשרית חייבת להיות חיובית. כתוצאה מכך, ניתן לנסח את מצב חוסר האפשרות של תנועה, כלומר מצב שיווי המשקל, כדרישה שכלל העבודה של הכוחות החיצוניים תהיה לא חיובית עבור כל תזוזה אפשרית: .

הבה נניח שכאשר נקודות המערכת זזות, התברר שסכום העבודה של כוחות חיצוניים היה שווה ל. ומה קורה אם המערכת עושה תנועות - תנועות אלו אפשריות באותו אופן כמו הראשונות; אולם, עבודתם של כוחות חיצוניים תשנה כעת סימן: . בטענה בדומה למקרה הקודם, אנו מגיעים למסקנה שכעת למצב שיווי המשקל של המערכת יש את הצורה: , כלומר, העבודה של כוחות חיצוניים חייבת להיות לא שלילית. הדרך היחידה "ליישב" את שני התנאים הכמעט סותרים אלו היא לדרוש את השוויון המדויק לאפס מכלל העבודה של כוחות חיצוניים עבור כל תזוזה אפשרית (וירטואלית) של המערכת ממצב שיווי המשקל:. תנועה אפשרית (וירטואלית) פירושה כאן תנועה מנטלית אינסופית של המערכת, שאינה סותרת את הקשרים שנכפים עליה.

אז, מצב שיווי המשקל של מערכת מכנית בצורה של עקרון התזוזות וירטואליות מנוסח באופן הבא:

"לשיווי המשקל של כל מערכת מכנית עם חיבורים אידיאליים, הכרחי ומספיק שסכום העבודות היסודיות הפועלות על מערכת הכוחות לכל תזוזה אפשרית יהיה שווה לאפס."

באמצעות העיקרון של תזוזות וירטואליות, הבעיות של לא רק סטטיות, אלא גם הידרוסטטיות ואלקטרוסטטיות נפתרות.

איזון מכני

איזון מכני- המצב של מערכת מכנית, שבה סכום כל הכוחות הפועלים על כל אחד מחלקיקיה שווה לאפס וסכום המומנטים של כל הכוחות המופעלים על הגוף ביחס לכל ציר סיבוב שרירותי שווה גם הוא לאפס .

במצב של שיווי משקל, הגוף נמצא במנוחה (וקטור המהירות שווה לאפס) במסגרת הייחוס שנבחרה, או שהוא נע באופן אחיד בקו ישר או מסתובב ללא תאוצה משיקית.

הגדרה באמצעות האנרגיה של המערכת

מכיוון שאנרגיה וכוחות מחוברים על ידי תלות בסיסית, הגדרה זו מקבילה להגדרה הראשונה. עם זאת, ניתן להרחיב את ההגדרה במונחים של אנרגיה על מנת לקבל מידע על יציבות עמדת שיווי המשקל.

סוגי איזון

בוא ניתן דוגמה למערכת עם דרגת חופש אחת. במקרה זה, תנאי מספיק למיקום שיווי המשקל יהיה נוכחות של קיצון מקומי בנקודה הנחקרת. כידוע, התנאי לקיצון מקומי של פונקציה הניתנת להבדלה הוא השוויון לאפס של הנגזרת הראשונה שלו. כדי לקבוע מתי נקודה זו היא מינימום או מקסימום, יש צורך לנתח את הנגזרת השנייה שלה. היציבות של תנוחת שיווי המשקל מאופיינת באפשרויות הבאות:

• שיווי משקל לא יציב;
• איזון יציב;
• איזון אדיש.

שיווי משקל לא יציב

במקרה בו הנגזרת השנייה שלילית, האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת נמצאת במצב של מקסימום מקומי. זה אומר שמיקום שיווי המשקל לֹא יַצִיב. אם המערכת נעקרת במרחק קטן, היא תמשיך בתנועתה עקב הכוחות הפועלים על המערכת.

איזון בר קיימא

נגזרת שנייה > 0: אנרגיה פוטנציאלית במינימום מקומי, מיקום שיווי משקל בהתמדה(ראה משפט לגרנז' על יציבות שיווי משקל). אם המערכת תוזז למרחק קטן, היא תחזור למצב של שיווי משקל. שיווי המשקל יציב אם מרכז הכובד של הגוף תופס את המיקום הנמוך ביותר בהשוואה לכל העמדות השכנות האפשריות.

איזון אדיש

נגזרת שנייה = 0: באזור זה, האנרגיה אינה משתנה, ומיקום שיווי המשקל הוא אָדִישׁ. אם המערכת תוזז למרחק קטן, היא תישאר במצב החדש.

יציבות במערכות עם מספר רב של דרגות חופש

אם למערכת יש כמה דרגות חופש, אז ייתכן שיתברר ששיווי המשקל יציב בשינויים בכיוונים מסוימים, ולא יציב באחרים. הדוגמה הפשוטה ביותר למצב כזה היא "אוכף" או "מעבר" (במקום זה יהיה נחמד למקם תמונה).

שיווי המשקל של מערכת עם מספר דרגות חופש יהיה יציב רק אם הוא יציב בכל הכיוונים.

קרן ויקימדיה. 2010 .

ראה מה זה "איזון מכני" במילונים אחרים:

איזון מכני- mechaninė pusiausvyra statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. איזון מכני vok. mechanisches Gleichgewicht, n rus. איזון מכני, n pranc. équilibre mécanique, m … Fizikos terminų žodynas

- ... ויקיפדיה

מעברי שלב מאמר I ... ויקיפדיה

מצבה של מערכת תרמודינמית, בה היא מגיעה באופן ספונטני לאחר פרק זמן ארוך מספיק בתנאי בידוד מהסביבה, ולאחר מכן פרמטרי המצב של המערכת אינם משתנים עוד עם הזמן. בידוד…… האנציקלופדיה הסובייטית הגדולה

שִׁוּוּי מִשׁקָל- (1) המצב המכני של חוסר תנועה של הגוף, שהוא תוצאה של כוחות ה-R. הפועלים עליו (כאשר סכום כל הכוחות הפועלים על הגוף הוא אפס, כלומר, אינו מעניק תאוצה). יש R .: א) יציבים, כאשר, כאשר חורגים מ ... ... האנציקלופדיה הפוליטכנית הגדולה

מצב המכני מערכת, שעבורה כל הנקודות שלה קבועות ביחס למסגרת ההתייחסות הנתונה. אם מסגרת ההתייחסות הזו היא אינרציאלית, אז R.m. מוחלט, אחרת יחסי. תלוי בהתנהגות הגוף לאחר... מילון פוליטכני אנציקלופדי גדול

שיווי משקל תרמודינמי הוא מצבה של מערכת תרמודינמית מבודדת, שבה בכל נקודה עבור כל התהליכים הכימיים, הדיפוזיה, הגרעיניים ואחרים, קצב התגובה קדימה שווה לקצב ההיפוך. תרמודינמית ... ... ויקיפדיה

שִׁוּוּי מִשׁקָל- המצב המאקרו הסביר ביותר של חומר, כאשר המשתנים, ללא קשר לבחירה, נשארים קבועים ב- תיאור מלאמערכות. שיווי משקל מובחן: מכני, תרמודינמי, כימי, פאזה וכו': ראה ... ... מילון אנציקלופדיבמטלורגיה

תוכן 1 הגדרה קלאסית 2 הגדרה באמצעות האנרגיה של המערכת 3 סוגי שיווי משקל ... ויקיפדיה

מעברי שלבים המאמר הוא חלק מסדרת "תרמודינמיקה". הרעיון של פאזה שיווי משקל של שלבים מעבר פאזה קוונטי קטעי תרמודינמיקה התחלות התרמודינמיקה משוואת מצב ... ויקיפדיה

שיווי משקל של מערכת מכניתהוא מצב שבו כל הנקודות של מערכת מכנית נמצאות במנוחה ביחס למסגרת הייחוס הנבדקת. אם מסגרת ההתייחסות היא אינרציאלית, שיווי המשקל נקרא מוּחלָט, אם לא אינרציאלי - קרוב משפחה.

כדי למצוא את תנאי שיווי המשקל לגוף נוקשה לחלוטין, יש צורך לחלק אותו נפשית למספר גדול של אלמנטים קטנים מספיק, שכל אחד מהם יכול להיות מיוצג על ידי נקודה חומרית. כל האלמנטים הללו מקיימים אינטראקציה זה עם זה - כוחות האינטראקציה הללו נקראים פְּנִימִי. בנוסף, כוחות חיצוניים יכולים לפעול על מספר נקודות בגוף.

לפי החוק השני של ניוטון, כדי שתאוצת נקודה תהיה אפס (ותאוצת נקודה במנוחה תהיה אפס), הסכום הגיאומטרי של הכוחות הפועלים על אותה נקודה חייב להיות אפס. אם הגוף במנוחה, אז גם כל הנקודות (האלמנטים) שלו במנוחה. לכן, עבור כל נקודה בגוף, אנו יכולים לכתוב:

היכן הסכום הגיאומטרי של כל הכוחות החיצוניים והפנימיים הפועלים אניהאלמנט של הגוף.

המשוואה פירושה שלשיווי משקל של גוף יש צורך ומספיק שהסכום הגיאומטרי של כל הכוחות הפועלים על אלמנט כלשהו בגוף זה יהיה שווה לאפס.

ממנו קל לקבל את התנאי הראשון לשיווי משקל של גוף (מערכת של גופים). כדי לעשות זאת, מספיק לסכם את המשוואה על כל מרכיבי הגוף:

.

הסכום השני שווה לאפס לפי החוק השלישי של ניוטון: הסכום הווקטור של כל הכוחות הפנימיים של המערכת שווה לאפס, שכן כל כוח פנימי מתאים לכוח השווה בערכו המוחלט ומנוגד בכיוון.

כתוצאה מכך,

.

התנאי הראשון לשיווי משקל של גוף קשיח(מערכות הגוף)הוא השוויון לאפס של הסכום הגיאומטרי של כל הכוחות החיצוניים המופעלים על הגוף.

תנאי זה הכרחי אך אינו מספק. קל לאמת זאת על ידי זכירת פעולת הסיבוב של זוג כוחות, שגם הסכום הגיאומטרי שלהם שווה לאפס.

התנאי השני לשיווי משקל של גוף קשיחהוא השוויון לאפס של סכום המומנטים של כל הכוחות החיצוניים הפועלים על הגוף, ביחס לכל ציר.

לפיכך, תנאי שיווי המשקל לגוף קשיח במקרה של מספר שרירותי של כוחות חיצוניים נראים כך:

.