Izračun volumena tijela revolucije online. III Izračunavanje volumena rotacijskih tijela. Najbolji krevetić iz matematike. Kvalitativno. Ništa dodatno

Osim pronalaženje površine ravne figure pomoću određenog integrala najvažnija primjena teme je proračun obujma tijela rotacije. Gradivo je jednostavno, ali čitatelj mora biti pripremljen: potrebno je znati riješiti neodređeni integrali srednje složenosti i primijeniti Newton-Leibnizovu formulu u određeni integral . Kao i kod problema pronalaženja područja, potrebne su vam samopouzdane vještine crtanja - to je gotovo najvažnija stvar (budući da će sami integrali često biti laki). Uz pomoć metodičkog materijala možete savladati kompetentnu i brzu tehniku crtanja grafikona . Ali, zapravo, više puta sam govorio o važnosti crteža u lekciji. .

Općenito, postoji mnogo zanimljivih primjena u integralnom računu; pomoću određenog integrala možete izračunati površinu figure, volumen tijela rotacije, duljinu luka, površinu tijela, i još mnogo toga. Dakle, bit će zabavno, budite optimistični!

Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnoj ravnini. Zastupljeni? ... Pitam se tko je što predstavio ... =))) Već smo pronašli njegovo područje. Ali, osim toga, ova se figura također može rotirati, i to na dva načina:

– oko x-osi; - oko y-osi.

U ovom će članku biti riječi o oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, izaziva najveće poteškoće, ali je zapravo rješenje gotovo isto kao i kod uobičajenije rotacije oko x-osi. Kao bonus, vratit ću se na problem pronalaženja površine figure , i reći vam kako pronaći područje na drugi način - duž osi. Čak i nije toliki bonus jer se materijal dobro uklapa u temu.

Počnimo s najpopularnijom vrstom rotacije.

Izračunavanje obujma tijela nastalog rotacijom ravnog lika oko osi

Primjer 1

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom lika omeđenog crtama oko osi.

Riješenje: Kao u problemu pronalaženja područja, rješenje počinje crtežom ravnog lika. Odnosno, na ravnini je potrebno izgraditi lik omeđen linijama , , ne zaboravljajući da jednadžba definira os . Kako racionalnije i brže izraditi crtež možete pronaći na stranicama Grafovi i svojstva elementarnih funkcija i Određeni integral. Kako izračunati površinu figure . Ovo je kineski podsjetnik i ne stajem na ovom mjestu.

Crtež je ovdje prilično jednostavan:

Željena ravna figura je osjenčana plavom bojom, ona se okreće oko osi. Kao rezultat rotacije dobije se ovaj leteći tanjur blago jajolikog oblika koji je simetričan oko osi. Zapravo, tijelo ima matematičko ime, ali previše je lijeno pogledati nešto u priručniku, pa idemo dalje.

Kako izračunati volumen tijela rotacije?

Zapremina tijela rotacije može se izračunati po formuli:

U formuli mora postojati broj ispred integrala. Tako se dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je s ovom konstantom.

Kako postaviti granice integracije "a" i "be", mislim da je lako pogoditi iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je odozgo omeđena grafom parabole. Ovo je funkcija koja je implicirana u formuli.

U praktičnim zadacima ravna figura se ponekad može nalaziti ispod osi. Ovo ne mijenja ništa - funkcija u formuli je na kvadrat: , dakle volumen tijela revolucije je uvijek nenegativan, što je sasvim logično.

Izračunajte obujam okretnog tijela pomoću ove formule:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokazuje jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovor:

U odgovoru je potrebno navesti dimenziju - kubične jedinice. Odnosno, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 "kockica". Zašto baš kubični jedinice? Jer najuniverzalnija formulacija. Mogu biti kubični centimetri, mogu biti kubični metri, mogu biti kubični kilometri itd., eto koliko zelenih čovječuljaka vaša mašta može stati u leteći tanjur.

Primjer 2

Nađi obujam tijela nastala rotacijom oko osi figure omeđene linijama , ,

Ovo je primjer "uradi sam". Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.

Primjer 3

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom oko osi apscisa lika omeđenog linijama , , i

Riješenje: Oslikajmo na crtežu ravnu figuru omeđenu linijama , , , , ne zaboravimo da jednadžba definira os:

Željena figura je osjenčana plavom bojom. Kada se okrene oko osi, dobije se takva nadrealna krafna sa četiri ugla.

Volumen tijela rotacije izračunava se kao razlika volumena tijela.

Prvo, pogledajmo lik koji je zaokružen crvenom bojom. Kada se okreće oko osi, dobiva se krnji stožac. Označimo volumen ovog krnjeg stošca kao .

Razmotrimo lik koji je zaokružen u zelenoj boji. Ako ovu figuru okrenete oko osi, također ćete dobiti krnji stožac, samo malo manji. Označimo njegov volumen s .

I, očito, razlika u volumenu je upravo volumen naše "krafne".

Koristimo standardnu formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

1) Lik zaokružen crvenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

2) Lik zaokružen zelenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela revolucije:

Odgovor:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg stošca.

Sama odluka često se donosi kraće, otprilike ovako:

Sada napravimo pauzu i razgovarajmo o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane s tomovima, što je Perelman (nije isto) primijetio u knjizi Zanimljiva geometrija. Pogledajte ravnu figuru u riješenom zadatku - čini se da je male površine, a volumen tijela revolucije je nešto više od 50 kubičnih jedinica, što se čini prevelikim. Inače, prosječna osoba tijekom cijelog života popije tekućinu zapremine sobe od 18 četvornih metara, što se, naprotiv, čini premalom zapreminom.

Općenito, obrazovni sustav u SSSR-u doista je bio najbolji. Ista Perelmanova knjiga, koju je napisao 1950. godine, vrlo dobro razvija, kako je rekao humorist, razmišljanje i uči vas tražiti originalna nestandardna rješenja problema. Nedavno sam ponovno pročitao neka poglavlja s velikim zanimanjem, preporučujem ga, dostupan je čak i humanitarcima. Ne, ne morate se smiješiti što sam predložio bespontovy razbibrigu, erudicija i široki pogledi u komunikaciji su sjajna stvar.

Nakon lirske digresije, upravo je prikladno riješiti kreativni zadatak:

Primjer 4

Izračunajte obujam tijela koje nastaje rotacijom oko osi ravnog lika omeđenog pravcima , , gdje je .

Ovo je primjer "uradi sam". Imajte na umu da se sve događa u bendu, drugim riječima, dana su gotovo gotova ograničenja integracije. Također pokušajte pravilno nacrtati grafove trigonometrijskih funkcija, ako je argument podijeljen s dva: , tada su grafovi dvaput rastegnuti duž osi. Pokušajte pronaći barem 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama i učiniti crtež točnijim. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Usput, zadatak se može riješiti racionalno i ne baš racionalno.

Volumen tijela rotacije može se izračunati po formuli:

U formuli mora postojati broj ispred integrala. Tako se dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je s ovom konstantom.

Kako postaviti granice integracije "a" i "be", mislim da je lako pogoditi iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je omeđena paraboličnim grafikonom na vrhu. Ovo je funkcija koja je implicirana u formuli.

U praktičnim zadacima ravna figura se ponekad može nalaziti ispod osi. Ovo ne mijenja ništa - integrand u formuli je na kvadrat:, dakle integral je uvijek nenegativan , što je sasvim logično.

Izračunajte obujam okretnog tijela pomoću ove formule:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokazuje jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovor:

Primjer 2

Odredi obujam tijela nastalog rotacijom oko osi lika omeđenog linijama,,

Ovo je primjer "uradi sam". Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.

Primjer 3

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom oko apscisne osi lika omeđenog linijama ,, i

Riješenje: Nacrtajmo ravnu figuru na crtežu, omeđenu linijama ,,,, ne zaboravljajući da jednadžba postavlja os:

Željena figura je osjenčana plavom bojom. Kada se okrene oko osi, dobije se takva nadrealna krafna sa četiri ugla.

Volumen tijela rotacije izračunava se kao razlika volumena tijela.

Prvo, pogledajmo lik koji je zaokružen crvenom bojom. Kada se okreće oko osi, dobiva se krnji stožac. Volumen tog krnjeg stošca označimo s.

Razmotrite figuru koja je zaokružena zelenom bojom. Ako ovu figuru okrenete oko osi, također ćete dobiti krnji stožac, samo malo manji. Označimo njegov volumen s .

I, očito, razlika u volumenu je upravo volumen naše "krafne".

Koristimo standardnu formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

1) Lik zaokružen crvenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

2) Lik zaokružen zelenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela revolucije:

Odgovor:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg stošca.

Sama odluka često se donosi kraće, otprilike ovako:

Sada napravimo pauzu i razgovarajmo o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane s tomovima, što je Perelman (drugi) primijetio u knjizi Zanimljiva geometrija. Pogledajte ravnu figuru u riješenom zadatku - čini se da je male površine, a volumen tijela revolucije je nešto više od 50 kubičnih jedinica, što se čini prevelikim. Inače, prosječna osoba tijekom cijelog života popije tekućinu zapremine sobe od 18 četvornih metara, što se, naprotiv, čini premalom zapreminom.

Općenito, obrazovni sustav u SSSR-u doista je bio najbolji. Ista knjiga Perelmana, objavljena davne 1950., vrlo dobro razvija, kako je rekao humorist, razmišljanje i uči vas tražiti originalna nestandardna rješenja problema. Nedavno sam ponovno pročitao neka poglavlja s velikim zanimanjem, preporučujem ga, dostupan je čak i humanitarcima. Ne, ne morate se smiješiti što sam predložio bespontovy razbibrigu, erudicija i široki pogledi u komunikaciji su sjajna stvar.

Nakon lirske digresije, upravo je prikladno riješiti kreativni zadatak:

Primjer 4

Izračunaj obujam tijela koje nastaje rotacijom oko osi ravnog lika omeđenog linijama,, gdje je.

Ovo je primjer "uradi sam". Imajte na umu da se sve stvari događaju u pojasu, drugim riječima, zapravo su dana gotova ograničenja integracije. Ispravno crtajte grafove trigonometrijskih funkcija, podsjetit ću vas na gradivo lekcije o geometrijske transformacije grafova : ako je argument djeljiv s dva: , tada se grafovi razvlače duž osi dva puta. Poželjno je pronaći najmanje 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama točnije dovršiti crtež. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Usput, zadatak se može riješiti racionalno i ne baš racionalno.

Neka linija bude ograničena. ravninska figura dana je u polarnom koordinatnom sustavu.

Primjer: Izračunajte opseg: x 2 +y 2 =R 2

Izračunajte duljinu 4. dijela kružnice koja se nalazi u I kvadrantu (h≥0, y≥0):

Ako je jednadžba krivulje dana u param-tom obliku:
, funkcije x(t), y(t) su definirane i kontinuirane zajedno sa svojim izvodnicama na intervalu [α,β]. Derivacija, zatim zamjena u formuli:
a s obzirom na to

dobivamo
dodajte množitelj
pod znakom korijena i konačno dobivamo

Napomena: dana je ravninska krivulja, također možete razmotriti funkciju zadanu parametrima u prostoru, tada će se dodati funkcija z=z(t) i formula

Primjer: Izračunajte duljinu astroida danu jednadžbom: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0

Izračunajte duljinu 4. dijela:

prema formuli

Duljina luka ravninske krivulje, dana u polarnom koordinatnom sustavu:

Neka je jednadžba krivulje dana u polarnom koordinatnom sustavu:
je kontinuirana funkcija, zajedno sa svojom derivacijom na segmentu [α,β].

Formule za prijelaz iz polarnih koordinata:

smatrati parametarskim:

ϕ - parametar, prema f-le

Primjer: Izračunajte duljinu krivulje:
>0

Z-cija: izračunajte polovicu opsega:

Volumen tijela, izračunat iz površine poprečnog presjeka tijela.

Neka je zadano tijelo omeđeno zatvorenom plohom i neka je poznata površina bilo kojeg presjeka tog tijela ravninom okomitom na os Ox. Ovo područje ovisit će o položaju ravnine rezanja.

neka cijelo tijelo bude zatvoreno između 2 ravnine okomite na x-os, koje je sijeku u točkama x=a, x=b (a

Da bismo odredili obujam takvog tijela, podijelimo ga na slojeve pomoću sekanti koje su okomite na os Ox i sijeku je u točkama. U svakom parcijalnom intervalu
. Izaberimo

i za svaku vrijednost i=1,….,n konstruiramo cilindrično tijelo čija je generatrisa paralelna s Ox, a vodilica je kontura presjeka tijela ravninom x=C i , volumen takav elementarni cilindar s baznom površinom S=C i i visinom ∆h i . V i =S(C i)∆x i . Volumen svih takvih elementarnih cilindara bit će
. Limit tog zbroja, ako postoji i konačan je pri max ∆h  0, naziva se volumen zadanog tijela.

. Budući da je V n integralni zbroj za funkciju S(x) kontinuiranu na segmentu, tada navedena granica postoji (t-ma postojanja) i izražava se s def. sastavni.

- volumen tijela, izračunat iz površine poprečnog presjeka.

Volumen tijela revolucije:

Neka je tijelo nastalo rotacijom oko Ox osi krivocrtnog trapeza omeđenog grafom funkcije y=f(x), Ox osi i ravnima x=a, x=b.

Neka je funkcija y=f(x) definirana i kontinuirana na segmentu i nenegativna na njemu, tada je presjek tog tijela ravninom okomitom na Ox kružnica polumjera R=y(x)=f(x ) . Područje kruga S (x) \u003d Py 2 (x) \u003d P 2. Zamjena formule
dobivamo formulu za izračunavanje volumena tijela rotacije oko osi Ox:

Ako, međutim, krivocrtni trapez rotira oko osi Oy, omeđen grafom kontinuiranim na funkciji, tada je volumen takvog tijela rotacije:

Isti volumen može se izračunati pomoću formule:
. Ako je linija dana parametarskim jednadžbama:

Promjenom varijable dobivamo:

Ako je linija dana parametarskim jednadžbama:

y (α)= c , y (β)= d . Promjenom y = y (t) dobivamo:

Izračunajte okretna tijela oko y-osi parabole, .

2) Izračunajte V okretnog tijela oko osi OX krivocrtnog trapeza omeđenog ravnom linijom y \u003d 0, lukom (sa središtem u točki (1;0) i polumjerom=1), s .

Površina tijela rotacije

Neka je zadana površina nastala rotacijom krivulje y=f(x) oko x-osi. Potrebno je odrediti S te površine na .

Neka je funkcija y \u003d f (x) određena i kontinuirana, neka je nenegativna i nenegativna u svim točkama segmenta [a; c]

Nacrtajmo tetive čije duljine označavamo redom (n-tetive)

prema Lagrangeovom teoremu:

Površina cijele opisane izlomljene linije bit će jednaka

Definicija: granica ove sume, ako je konačna, kada je najveća karika polilinije max , naziva se površina razmatrane površine revolucije.

Može se dokazati da je stoti limit zbroja jednak limitu integriranog zbroja za p-th

Formula za S površinu tijela rotacije =

S površine formirane rotacijom luka krivulje x=g(x) oko osi Oy na

Nastavak sa svojim derivatom

Ako je krivulja parametarski dana ur-mix=x(t) ,g= t(t) funkcijex’(t), g’(t), x(t), g(t) definirani su na segmentu [a; b], x(a)= a, x(b)= bzatim mijenjanje zamjenex= x(t)

Ako je krivulja dana parametarski, mijenjajući formulu, dobivamo:

Ako je jednadžba krivulje dana u polarnom koordinatnom sustavu

Spovršina rotacije oko osi bit će jednaka

Zapremina tijela rotacije može se izračunati po formuli:

U formuli mora postojati broj ispred integrala. Tako se dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je s ovom konstantom.

Kako postaviti granice integracije "a" i "be", mislim da je lako pogoditi iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je odozgo omeđena grafom parabole. Ovo je funkcija koja je implicirana u formuli.

Izračunajte obujam okretnog tijela pomoću ove formule:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokazuje jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovor:

Primjer 2

Odredi obujam tijela koje nastaje rotacijom oko osi lika omeđenog linijama , ,