TEORIJA ELASTIČNOSTI– grana mehanike kontinuuma koja proučava pomake, deformacije i naprezanja tijela koja miruju ili se gibaju pod utjecajem opterećenja. Svrha ove teorije je izvođenje matematičkih jednadžbi čije nam rješenje omogućuje odgovor na sljedeća pitanja: kolike će biti deformacije tog određenog tijela ako se na njega na poznatim mjestima primijeni opterećenje zadane veličine? Kakva će biti napetost u tijelu? Pitanje hoće li se tijelo srušiti ili će izdržati ta opterećenja usko je povezano s teorijom elastičnosti, ali, strogo govoreći, nije u djelokrugu ove teorije.

Broj mogućih primjera je neograničen - od određivanja deformacija i naprezanja u gredi koja leži na nosačima i opterećena je silama, do izračuna istih vrijednosti u strukturi zrakoplova, broda, podmornice, u kotaču kočije, u oklopu kada je pogođen projektilom, u planinskom lancu kada prolazite kroz prolaz, u okviru visoke zgrade itd. Ovdje treba napraviti upozorenje: strukture koje se sastoje od elemenata tankih stijenki izračunavaju se pomoću pojednostavljenih teorija koje se logično temelje na teoriji elastičnosti; takve teorije uključuju: teoriju otpornosti materijala na opterećenja (poznati "otporni materijal"), čija je zadaća uglavnom izračunati šipke i grede; konstrukcijska mehanika – proračun štapnih sustava (npr. mostova); i konačno, teorija ljuski je u biti samostalno i vrlo razvijeno područje znanosti o deformacijama i naprezanjima, čiji su predmet istraživanja najvažniji konstrukcijski elementi - ljuske tankih stijenki - cilindrične, konusne, sferoidne i koje imaju složenije oblike. Stoga se u teoriji elastičnosti obično razmatraju tijela čije se bitne dimenzije ne razlikuju previše. Dakle, razmatra se elastično tijelo zadanog oblika na koje djeluju poznate sile.

Osnovni koncepti teorije elastičnosti su naprezanja koja djeluju na male površine, a koje se mogu mentalno nacrtati u tijelu kroz zadanu točku M, deformacije male okoline točke M i pomicanje same točke M. Točnije, uvode se tenzori naprezanja s i J, tenzor malih deformacija e i J i vektor pomaka u i.

Kratka oznaka s i J, gdje su indeksi ja, j uzeti vrijednosti 1, 2, 3 treba shvatiti kao matricu oblika:

Slično treba shvatiti i kratki zapis za tenzor e i J.

Ako fizička točka tijela M uslijed deformacije zauzeo je novi položaj u prostoru M´, tada je vektor pomaka vektor s komponentama ( u x u y u z), ili, skraćeno, u i. U teoriji malih deformacija komponente u i i e ja smatraju se malim količinama (strogo govoreći, infinitezimalnim). Komponente tenzora e i J i vektor u ij povezani su Cauchyjevim formulama koje imaju oblik:

Jasno je da e xy= e yx, i, općenito govoreći, e i J= e ji, pa je tenzor deformacije po definiciji simetričan.

Ako je elastično tijelo pod djelovanjem vanjskih sila u ravnoteži (tj. brzine svih njegovih točaka jednake su nuli), tada je u ravnoteži i svaki dio tijela koji se od njega može mentalno izolirati. Iz tijela se izdvaja mali (strogo govoreći, infinitezimalni) pravokutni paralelopiped čiji su rubovi paralelni s koordinatnim ravninama Kartezijevog sustava Oxyz(Sl. 1).

Neka bridovi paralelopipeda imaju duljine dx, dy, dz prema tome (ovdje, kao i obično dx postoji diferencijal x, itd.). Prema teoriji naprezanja komponente tenzora naprezanja djeluju na plohe paralelopipeda koje se označavaju:

na rubu OADG:s xx, s xy, s xz

na rubu OABC:s yx, s yy, s yz

na rubu DABE:s zx, s zy, s zz

u ovom slučaju komponente s istim indeksima (na primjer s xx) djeluju okomito na lice, a s različitim indeksima - u ravnini mjesta.

Na suprotnim plohama, vrijednosti istih komponenti tenzora naprezanja malo su različite, to je zbog činjenice da su funkcije koordinata i mijenjaju se od točke do točke (uvijek, osim u poznatim najjednostavnijim slučajevima), i malenost promjene povezana je s malim dimenzijama paralelopipeda, pa možemo pretpostaviti da ako je na rubu OABC primjenjuje se napon s yy, tada na rubu GDEF primjenjuje se napon s yy+ds yy, i mala vrijednost ds yy upravo zbog svoje malenosti može se odrediti proširenjem u Taylorov red:

(ovdje se koriste parcijalne derivacije, jer komponente tenzora naprezanja ovise o x, g, z).

Slično, možemo izraziti naglaske na svim licima kroz s i J i ds i J. Zatim, da biste prešli s naprezanja na sile, morate pomnožiti veličinu naprezanja s površinom područja na koje djeluje (na primjer, s yy+ds yy pomnožiti sa dx dz). Kada se odrede sve sile koje djeluju na paralelopiped, moguće je, kao što se to radi u statici, napisati jednadžbu ravnoteže tijela, dok će u svim jednadžbama za glavni vektor ostati samo članovi s izvodnicama, jer naprezanja međusobno se poništavaju, a faktori dx dy dz su smanjene i kao rezultat

Slično se dobivaju jednadžbe ravnoteže koje izražavaju jednakost nuli glavnog momenta svih sila koje djeluju na paralelopiped, a koje se svode na oblik:

Ove jednakosti znače da je tenzor naprezanja simetričan tenzor. Dakle, za 6 nepoznatih komponenti s i J postoje tri jednadžbe ravnoteže, tj. jednadžbe statike nisu dovoljne za rješavanje problema. Izlaz je izraziti napone s i J kroz deformacije e i J pomoću jednadžbi Hookeovog zakona, a zatim deformacije e i J izraziti kroz pokrete u i pomoću Cauchyjevih formula i rezultat zamijenite u jednadžbe ravnoteže. Ovo proizvodi tri diferencijalne jednadžbe ravnoteže za tri nepoznate funkcije u x u y u z, tj. broj nepoznanica jednak je broju jednadžbi. Te se jednadžbe nazivaju Laméove jednadžbe

sile mase (težina i sl.) nisu uzete u obzir

D – Laplaceov operator, tj

Sada trebate postaviti rubne uvjete na površini tijela;

Glavne vrste ovih stanja su sljedeće:

1. Na poznatom dijelu površine tijela S 1 zadaju se pomaci, tj. vektor pomaka jednak je poznatom vektoru s komponentama ( f x; f y; f z ):

u x = f(xyz)

u y= f(xyz)

u z = f(xyz)

(f x, f y, f z– poznate koordinatne funkcije)

2. Na ostatku površine S Navedene su 2 površinske sile. To znači da je raspodjela naprezanja unutar tijela takva da vrijednosti naprezanja u neposrednoj blizini površine, a u granici, na površini na svakom elementarnom području, stvaraju vektor naprezanja jednak poznatom vanjskom vektoru opterećenja s komponente ( Fx ;Fy ; Fz) površinske sile. Matematički se to piše ovako: ako u točki A površine, jedinični normalni vektor na ovu površinu ima komponente n x, n y, n z tada u ovoj točki jednakosti moraju biti zadovoljene s obzirom na (nepoznate) komponente s i J:e i J, tada za tri nepoznanice dobijemo šest jednadžbi, odnosno nadodređen sustav. Ovaj sustav će imati rješenje samo ako su ispunjeni dodatni uvjeti u pogledu e i J. Ovi uvjeti su jednadžbe kompatibilnosti.

Te se jednadžbe često nazivaju uvjeti kontinuiteta, što znači da osiguravaju kontinuitet tijela nakon deformacije. Ovaj je izraz figurativan, ali neprecizan: ti uvjeti osiguravaju postojanje kontinuiranog polja pomaka ako komponente deformacija (ili naprezanja) uzmemo kao nepoznanice. Neispunjavanje ovih uvjeta ne dovodi do narušavanja kontinuiteta, već do izostanka rješenja problema.

Dakle, teorija elastičnosti daje diferencijalne jednadžbe i rubne uvjete koji omogućuju formuliranje rubnih problema, čije rješenje daje potpune informacije o raspodjeli naprezanja, deformacija i pomaka u tijelima koja se razmatraju. Metode rješavanja ovakvih problema vrlo su složene, a najbolji rezultati se postižu kombinacijom analitičkih metoda s numeričkim uz pomoć moćnih računala.

Vladimir Kuznjecov

4. GRAĐA ZEMLJE PREMA SEIZMOLOŠKIM PODACIMA

Osnove teorije elastičnosti: tenzor deformacija, tenzor naprezanja, Hookeov zakon, moduli elastičnosti, homogene deformacije, elastični valovi u izotropnoj sredini, Fermatov, Huygensov, Snellov zakon. Seizmički valovi. Razvoj seizmometrijskih motrenja: seizmičke postaje i njihove mreže, hodografi, valne putanje unutar Zemlje. Određivanje brzine širenja seizmičkih valova Hertlots-Wiechertovom jednadžbom. Brzine longitudinalnih i transverzalnih valova u ovisnosti o polumjeru Zemlje. Stanje Zemljine tvari prema seizmološkim podacima. Zemljina kora. Litosfera i astenosfera. Seizmologija i globalna tektonika.

Osnove teorije elastičnosti[Landau, Lifshits, 2003., str. 9-25, 130-144]

Tenzor deformacije

Mehanika čvrstih tijela, smatranih kontinuiranim medijem, je sadržaj teorija elastičnosti. Osnovne jednadžbe teorije elastičnosti postavio je O.L. Koshy i S.D. Poisson 20-ih godina 19. stoljeća (za više detalja vidi poglavlje 15).

Pod utjecajem primijenjenih sila, čvrsta tijela se u jednom ili drugom stupnju deformiraju, tj. mijenjaju svoj oblik i volumen. Da biste matematički opisali deformaciju tijela, postupite na sljedeći način. Položaj svake točke tijela određen je njezinim radijus vektorom r (s komponentama x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z) u određenom koordinatnom sustavu. Kada se tijelo deformira, sve njegove točke, općenito govoreći, se pomiču. Razmotrimo neku specifičnu točku tijela; ako je njegov radijus vektor prije deformacije bio r, tada će u deformiranom tijelu imati neki drugi

vrijednost r / (s komponentama x i / ). Pomak točke tijela tijekom deformacije tada ćemo prikazati vektorom r / - r, koji označavamo slovom u:

u = x/ − x .

Vektor u naziva se vektor deformacije(ili vektor pomaka). Poznavanje vektora u

kao funkcija x i potpuno određuje deformaciju tijela.

Kada se tijelo deformira, mijenjaju se udaljenosti između njegovih točaka. Ako je radijus vektor između njih prije deformacije bio dx i , tada je u deformiranom tijelu radijus

vektor između iste dvije točke bit će dx i / = dx i + du i . Udaljenost između točaka prije deformacije bila je jednaka:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2,

i nakon deformacije:

dl / = dx 1/2 + dx 2/2 + dx 3/2.

Na kraju dobivamo:

dl / 2 = dl 2 + 2 u

∂u i

∂u k

∂u l

∂u l

∂xk

∂xk

∂x i

∂x i

Ovi izrazi određuju promjenu elementa duljine kada se tijelo deformira. Tenzor u ik zove se tenzor naprezanja; po definiciji je simetričan:

u ik = u ki .

Kao svaki simetrični tenzor, tenzor u ik u svakoj točki može se svesti na

glavne osi i uvjeriti se da se u svakom elementu volumena tijela deformacija može promatrati kao skup od tri neovisne deformacije u tri okomita smjera – glavne osi tenzora deformacije. Gotovo u svim slučajevima deformacije tijela deformacije se pokažu malima. To znači da se promjena bilo koje udaljenosti u tijelu pokazuje malom u usporedbi sa samom udaljenošću. Drugim riječima, relativna izduženja su mala u usporedbi s jedinicom.

Osim nekih posebnih slučajeva, kojih se nećemo doticati, ako je tijelo podvrgnuto maloj deformaciji, tada su i sve komponente tenzora deformacije male. Stoga u izrazu (4.3) možemo zanemariti posljednji član kao malu veličinu drugog reda. Dakle, u slučaju malih deformacija, tenzor deformacije je određen izrazom:

u = 1			∂u i	+ ∂ u k ).
			∂xk	∂x i

Dakle, sile su uzrok kretanja (gibanja) koja se događaju u tijelu, a deformacije su rezultat kretanja [Khaikin, 1963, str. 176].

Glavna pretpostavka klasične teorije elastičnosti

U nedeformiranom tijelu raspored molekula odgovara stanju njegove toplinske ravnoteže. U isto vrijeme, svi njegovi dijelovi su u mehaničkoj ravnoteži jedni s drugima. To znači da ako odaberete neki volumen unutar tijela, tada je rezultanta svih sila koje djeluju na taj volumen iz drugih dijelova jednaka nuli.

Kada se deformira, mijenja se raspored molekula i tijelo se uklanja iz stanja ravnoteže u kojem je prvobitno bilo. Kao rezultat toga, u njemu će se pojaviti sile koje će nastojati vratiti tijelo u stanje ravnoteže. Te unutarnje sile koje nastaju tijekom deformacije nazivaju se unutarnja naprezanja. Ako tijelo nije deformirano, tada u njemu nema unutarnjih naprezanja.

Unutarnja naprezanja uzrokovana su molekulskim vezama, tj. sile međusobnog djelovanja molekula tijela međusobno. Za teoriju elastičnosti vrlo je važna činjenica da molekularne sile imaju vrlo mali radijus djelovanja. Njihov utjecaj prostire se oko čestice koja ih stvara samo na udaljenosti reda međumolekulskih. Ali u teoriji elastičnosti, kao iu makroskopskoj teoriji, razmatraju se samo udaljenosti koje su velike u usporedbi s međumolekularnim. Stoga, "radijus djelovanja" molekularnih sila u teoriji elastičnosti treba smatrati jednakim nuli. Možemo reći da su sile koje uzrokuju unutarnja naprezanja sile “kratkog dometa” u teoriji elastičnosti, koje se prenose iz svake točke samo na točke koje su joj najbliže.

Dakle, u klasičnoj teoriji elastičnosti, sile koje djeluju na bilo koji dio tijela iz dijelova koji ga okružuju očituju ovaj učinak samo izravno kroz površinu ovaj dio tijela.

Zapravo, autor temeljnog djela [Khaikin, 1963, str. 484].

Tenzor naprezanja

Zaključak da sve sile djeluju samo kroz površinu ključan je za klasičnu teoriju elastičnosti. Dopušta za bilo koji volumen tijela svaku od tri komponente rezultante svih unutarnjih naprezanja i sila

∫ F i dV (gdje je F i sila koja djeluje na jedinični volumen dV) pretvoriti u integral po površini tog volumena. U ovom slučaju, kao što slijedi iz vektorske analize, vektor F i mora biti divergencija nekog tenzora drugog ranga, tj. izgledati ovako:

F i = ∂ σ ik . (4.6)

∂xk

Tada se sila koja djeluje na određeni volumen može napisati kao integral po zatvorenoj površini koja pokriva taj volumen:

∫ Fi dV = ∫ ∂ ∂ σ x ik			= ∫ σ ik df k ,
gdje je vektor d f = df 2			Df 2	usmjerena	duž vanjske normale na površinu,

pokrivajući volumen dV.

Tenzor σ ik naziva se tenzor naprezanja. Kao što se može vidjeti iz (4.7), σ ik df k je i

komponenta sile koja djeluje na element površine d f. Odabirom površinskih elemenata u ravninama xy, yz, xz nalazimo da je komponenta σ ik tenzora naprezanja

je i-ta komponenta sile koja djeluje na jediničnu površinu okomitu na x os k. Dakle, na jedinici površine okomitoj na os x, normalna na

njena (usmjerena duž x osi) sila σ xx i tangencijalna (usmjerena duž y i z osi)

sile σ yx i σ zx.

Napominjemo da sila koja djeluje iz unutarnjih naprezanja na cijelu površinu tijela, za razliku od (4.7), iznosi:

− ∫ σ ik df k .

Zapisivanje momenta sila M ik koje djeluju na određeni volumen tijela, u obliku:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

i zahtijevajući da se izrazi kao integral samo po površini, dobivamo da je tenzor naprezanja simetričan:

σ ik = σ ki .

Do sličnog zaključka može se doći i na jednostavniji način [Sivukhin, 1974, str. 383]. Naime. Moment dM ik izravno je proporcionalan momentu tromosti elementara

volumen dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 i stoga dobivamo (F i x k − F k x i )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0, što automatski implicira relaciju (4.8).

Simetričnost tenzora naprezanja omogućuje njegovo dovođenje na glavne osi u svakoj točki, tj. u svakoj točki tenzor naprezanja može se predstaviti kao:

σ ik = σ xx + σ yy + σ zz .

U ravnoteži se unutarnje sile naprezanja moraju međusobno kompenzirati u svakom elementu volumena tijela, tj. treba biti F i = 0 . Dakle, jednadžbe

Ravnoteža deformiranog tijela ima oblik:

∂ σ ik = 0 .

∂xk

Ako je tijelo u polju gravitacije, tada treba nestati zbroja F + ρ g unutarnjih sila naprezanja F i sile teže ρ g koja djeluje na jedinicu volumena, ρ -

gustoća tijela, g – vektor ubrzanja slobodnog pada. Jednadžbe ravnoteže u ovom slučaju imaju oblik:

∂ σ ik + ρ g i = 0 .
∂xk

Naprezanje energije

Promotrimo neko deformirano tijelo i pretpostavimo da se njegova deformacija mijenja na način da se vektor deformacije u i promijeni za mali iznos δ u i .

Odredimo rad koji proizvode unutarnje sile naprezanja. Množenjem sile (4.6) s pomakom δ u i i integriranjem po cijelom volumenu tijela dobivamo:

		∫ ∂ x k
	δ RdV =		∂σik	δ ui dV .

Oznakom δ R označen je rad unutarnjih sila naprezanja po jedinici volumena tijela. Integrirajući po dijelovima, razmatrajući neograničenu sredinu koja nije deformirana u beskonačnosti, usmjeravajući integracijsku plohu u beskonačnost, tada na njoj σ ik = 0, dobivamo:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

Tako nalazimo:

δ R = − σ ikδ u ik .

Dobivena formula određuje rad promjene tenzora deformacije, koji određuje promjenu unutarnje energije tijela.

Stvaranje teorije elastičnosti i plastičnosti kao samostalne grane mehanike prethodio je rad znanstvenika 17. i 18. stoljeća još početkom 17. stoljeća. G. Galileo (1564-1642) pokušao je riješiti probleme rastezanja i savijanja grede. Bio je jedan od prvih koji je pokušao primijeniti proračune na probleme građevinarstva.

Teoriju savijanja tankih elastičnih šipki proučavali su tako istaknuti znanstvenici kao što su E. Mariotte, J. Bernoulli Sr., S.O. Coulomba, L. Eulera, a nastanak teorije elastičnosti kao znanosti možemo povezati s radovima R. Guna, T. Junga, J.L. Lagrange, S. Germain.

Robert Hooke (1635-1703) postavio je temelje mehanici elastičnih tijela objavivši 1678. r. rad u kojem je opisao zakon proporcionalnosti između opterećenja i vlačne deformacije koji je ustanovio. Thomas Young (1773-1829) na samom početku 19. stoljeća. uveo pojam modula elastičnosti kod napetosti i tlačenja. Također je uspostavio razliku između vlačne ili tlačne deformacije i posmične deformacije. Radovi Josepha Louisa Lagrangea (1736.-1813.) i Sophie Germain (1776.-1831.) datiraju iz istog vremena. Pronašli su rješenje za problem savijanja i vibracija elastičnih ploča. Kasnije su teoriju ploča unaprijedili S. Poisson i 781-1840) i L. Navier (1785-1836).

Dakle, krajem 18. i početkom 19.st. postavljeni su temelji čvrstoće materijala i stvoreno tlo za nastanak teorije elastičnosti. Nagli razvoj tehnologije pred matematiku je postavio veliki broj praktičnih problema, što je dovelo do brzog razvoja teorije. Jedan od mnogih važnih problema bio je problem proučavanja svojstava elastičnih materijala. Rješenje ovog problema omogućilo je dublje i potpunije proučavanje unutarnjih sila i deformacija koje nastaju u elastičnom tijelu pod utjecajem vanjskih sila.

Datumom nastanka matematičke teorije elastičnosti treba smatrati 1821. godinu, kada je objavljen rad L. Naviera, u kojem su formulirane osnovne jednadžbe.

Velike matematičke poteškoće rješavanja problema u teoriji elastičnosti privukle su pozornost mnogih istaknutih matematičara 19. stoljeća: Lamea, Clapeyrona, Poissona i dr. Teorija elastičnosti dalje je razvijena u djelima francuskog matematičara O. Cauchyja ( 1789-1857), koji je uveo koncept deformacije i napona, čime je pojednostavio izvođenje općih jednadžbi.

Godine 1828. osnovni aparat matematičke teorije elastičnosti našao je svoj završetak u radovima francuskih znanstvenika i inženjera G. Lamea (1795.-1870.) i B. Clapeyrona (1799.-1864.), koji su u to vrijeme predavali na Institutu. željezničkih inženjera u Petrogradu. Njihov zajednički rad omogućio je primjenu općih jednadžbi na rješavanje praktičnih problema.

Rješenje mnogih problema u teoriji elastičnosti postalo je moguće nakon što je francuski mehaničar B. Saint-Venant (1797.-1886.) iznio princip koji nosi njegovo ime i predložio učinkovitu metodu za rješavanje problema u teoriji elastičnosti. Njegova je zasluga, prema glasovitom engleskom znanstveniku A. Loveu (1863.-1940.), iu tome što je probleme torzije i savijanja greda povezao s općom teorijom.

Ako su se francuski matematičari bavili uglavnom općim teorijskim problemima, onda su ruski znanstvenici dali veliki doprinos razvoju znanosti o snazi ​​rješavanjem mnogih hitnih praktičnih problema. Od 1828. do 1860. izvrsni znanstvenik M. V. Ostrogradski (1801.-1861.) predavao je matematiku i mehaniku na petrogradskim tehničkim sveučilištima. Njegova istraživanja vibracija koje nastaju u elastičnom mediju bila su važna za razvoj teorije elastičnosti. Ostrogradsky je obučavao čitavu galaksiju znanstvenika i inženjera. Među njima treba navesti D.I. Zhuravsky (1821.-1891.), koji je, radeći na izgradnji željeznice Sankt Peterburg-Moskva, stvorio ne samo nove nacrte mostova, već i teoriju za proračun mostova, a također je izveo formulu. za tangencijalna naprezanja u gredi na savijanje.

A. V. Gadolin (1828.-1892.) primijenio je Lameov problem osnosimetrične deformacije cijevi debelih stijenki na proučavanje naprezanja koja nastaju u cijevima topničkih topova, kao jedan od prvih koji je primijenio teoriju elastičnosti na određeni inženjerski problem.

Među ostalim problemima riješenim krajem 19. stoljeća, vrijedi istaknuti rad Kh. S. Golovina (1844.-1904.), koji je izvršio točan proračun zakrivljene grede koristeći metode teorije elastičnosti, što je omogućilo odrediti stupanj točnosti približnih rješenja.

Velike zasluge za razvoj nauke o snazi ​​pripadaju V. L. Kirpičevu (1845-1913). Uspio je značajno pojednostaviti različite metode proračuna statički neodređenih konstrukcija. Prvi je primijenio optičku metodu za eksperimentalno određivanje napona i stvorio metodu sličnosti.

Bliska veza s građevinskom praksom, integritet i dubina analize karakteriziraju sovjetsku znanost. I. G. Bubnov (1872.-1919.) razvio je novu približnu metodu za integraciju diferencijalnih jednadžbi, koju je briljantno razvio B. G. Galerkin (1871.-1945.). Trenutno se naširoko koristi Bubnov-Galerkinova varijacijska metoda. Radovi ovih znanstvenika u teoriji savijanja ploča od velike su važnosti. Nastavljajući Galerkinova istraživanja, P.F. Papkovich (1887-1946).

Metodu rješavanja ravninskog problema u teoriji elastičnosti, temeljenu na primjeni teorije funkcija kompleksne varijable, predložio je G.V. Kolosov (1867-1936). Kasnije je ovu metodu razvio i generalizirao N.I. Muskelishvili (1891-1976). Niz problema o stabilnosti štapova i ploča, vibracijama štapova i diskova, te teoriji udara i sabijanja elastičnih tijela riješio je A.N. Dinnik (1876-1950). Radovi L.S. su od velike praktične važnosti. Leibenzon (1879-1951) o stabilnosti elastične ravnoteže dugih upredenih štapova, o stabilnosti sfernih i cilindričnih ljuski. Glavni radovi V. Z. Vlasova (1906.-1958.) o općoj teoriji prostornih šipki tankih stijenki, presavijenih sustava i ljuski od velike su praktične važnosti.

Teorija plastičnosti ima kraću povijest. Prvu matematičku teoriju plastičnosti stvorio je Saint-Venant 70-ih godina 19. stoljeća. na temelju pokusa francuskog inženjera G. Tresca. Početkom 20.st. R. Mises bavio se problemima plastičnosti. G. Genki, L. Prandtl, T. Karman. Od 30-ih godina 20. stoljeća teorija plastičnosti privlači pažnju velikog kruga istaknutih stranih znanstvenika (A. Nadai, R. Hill, V. Prager, F. Hodge, D. Drucker i dr.). Radovi o teoriji plastičnosti sovjetskih znanstvenika V.V. Sokolovski, A.Yu. Ishlinsky, G.A. Smirnova-Alyaeva, L.M. Kachanova. Temeljni doprinos stvaranju teorije plastičnosti deformacije dao je A.A. Iljušin. A.A. Gvozdev je razvio teoriju za proračun ploča i ljuski na temelju destruktivnih opterećenja. Ovu teoriju uspješno je razvio A.R. Ržanjicin.

Teorija puzanja kao grana mehanike deformabilnog tijela nastala je relativno nedavno. Prva istraživanja na ovom području datiraju iz 20-ih godina 20. stoljeća. Njihova opća priroda određena je činjenicom da je problem puzanja bio od velikog značaja za elektroenergetiku i inženjeri su bili prisiljeni tražiti jednostavne i brzo dovodeći do cilja metode za rješavanje praktičnih problema. U stvaranju teorije puzanja veliku ulogu imaju oni autori koji su dali značajan doprinos stvaranju moderne teorije plastičnosti. dakle zajedništvo mnogih ideja i pristupa. U našoj zemlji, prvi radovi na mehaničkoj teoriji puzanja pripadali su N.M. Belyaev (1943), K.D. Mirtov (1946), prve studije N.N. Malinina, Yu.N. Rabotnova.

Istraživanja u području elastično-viskoznih tijela provedena su u radovima A.Yu. Ishlinsky, A.N. Gerasimova, A.R. Rzhanitsyna, Yu.N. Rabotnova. Primjena ove teorije na starenje materijala, prvenstveno betona, dana je u radovima N.X. Harutyunyan, A.A. Gvozdeva, G.N.Maslova. Veliki broj istraživanja puzanja polimernih materijala proveli su istraživački timovi pod vodstvom A.A. Iljušina, A.K. Malmeister, M.I. Rozovski, G.N. Savina.

Sovjetska država posvećuje veliku pažnju znanosti. Organizacija istraživačkih instituta i sudjelovanje velikih timova znanstvenika u razvoju aktualnih problema omogućili su podizanje sovjetske znanosti na višu razinu.

U kratkom pregledu nije moguće detaljnije se zadržati na radu svih znanstvenika koji su pridonijeli razvoju teorije elastičnosti i plastičnosti. Oni koji se žele detaljno upoznati s poviješću razvoja ove znanosti mogu se pozvati na udžbenik N.I. Bezukhov, gdje je data detaljna analiza glavnih faza u razvoju teorije elastičnosti i plastičnosti, kao i opsežna bibliografija.

1.1.Osnovne hipoteze, principi i definicije

Teorija naprezanja kao grana mehanike kontinuuma temelji se na nizu hipoteza, od kojih bi glavne bile hipoteza o kontinuitetu i prirodnom (pozadinskom) stanju naprezanja.

Prema hipotezi kontinuiteta, sva tijela se smatraju potpuno neprekinutima i prije primjene opterećenja (prije deformacije) i nakon njegovog djelovanja. U tom slučaju svaki volumen tijela ostaje čvrst (kontinuiran), uključujući i elementarni volumen, odnosno beskonačno mali. U tom smislu, deformacije tijela se smatraju kontinuiranim funkcijama koordinata kada se materijal tijela deformira bez stvaranja pukotina ili diskontinuiranih nabora u njemu.

Hipoteza o prirodnom stresnom stanju pretpostavlja prisutnost početne (pozadinske) razine napetosti u tijelu, koja se obično uzima kao nula, a stvarni stresovi uzrokovani vanjskim opterećenjem smatraju se porastom stresa iznad prirodne razine.

Uz gore navedene glavne hipoteze, u teoriji naprezanja usvojen je i niz temeljnih principa, među kojima je, prije svega, potrebno spomenuti obdarenost tijela idealnom elastičnošću, sfernom izotropijom, savršenom homogenošću i linearni odnos između naprezanja i deformacija.

Idealna elastičnost je sposobnost materijala podvrgnutih deformaciji da povrate svoj prvobitni oblik (veličinu i volumen) nakon uklanjanja vanjskog opterećenja (vanjski utjecaj). Gotovo sve stijene i većina građevinskih materijala imaju određeni stupanj elastičnosti; ti materijali uključuju i tekućine i plinove.

Sferna izotropija pretpostavlja ista svojstva materijala u svim smjerovima djelovanja opterećenja; njen antipod je anizotropija, odnosno različitost svojstava u različitim smjerovima (neki kristali, drvo itd.). Istodobno, ne treba brkati koncepte sferne izotropije i homogenosti: na primjer, homogenu strukturu drva karakterizira anizotropija - razlika u čvrstoći stabla duž i poprijeko vlakana. Elastične, izotropne i homogene materijale karakterizira linearni odnos između naprezanja i deformacija, opisan Hookeovim zakonom, koji se obrađuje u odgovarajućem dijelu udžbenika.

Temeljno načelo u teoriji naprezanja (i između ostalog deformacije) je načelo lokalnog djelovanja samouravnoteženih vanjskih opterećenja - Saint-Venantovo načelo. Prema tom principu, uravnoteženi sustav sila koji djeluje na tijelo u bilo kojoj točki (crti) uzrokuje naprezanje u materijalu koje brzo opada s udaljenošću od mjesta na kojem se primjenjuje opterećenje, na primjer, prema eksponencijalnom zakonu. Primjer takve radnje bilo bi rezanje papira škarama, pri čemu se deformira (prereže) beskrajno mali dio lista (linija), dok se ostatak lista papira neće poremetiti, odnosno doći će do lokalne deformacije. Primjena Saint-Venantovog načela pomaže pojednostaviti matematičke izračune pri rješavanju problema procjene PDV-a zamjenom zadanog opterećenja koje je teško matematički opisati jednostavnijim, ali ekvivalentnim.

Govoreći o predmetu proučavanja teorije naprezanja, potrebno je dati definiciju samog naprezanja, koje se razumijeva kao mjera unutarnjih sila u tijelu, unutar određenog njegovog presjeka, raspoređena po presjeku koji se razmatra i suprotstavljanje vanjskom opterećenju. U tom slučaju, naponi koji djeluju na poprečno područje i okomito na njega nazivaju se normalnim; prema tome, naponi paralelni s ovim područjem ili ga dodiruju bit će tangencijalni.

Razmatranje teorije naprezanja pojednostavljeno je uvođenjem sljedećih pretpostavki, koje praktički ne smanjuju točnost dobivenih rješenja:

Relativna izduženja (skraćenja), kao i relativni pomaci (smični kutovi) mnogo su manji od jedinice;

Pomaci točaka tijela tijekom njegove deformacije su mali u usporedbi s linearnim dimenzijama tijela;

Kutovi rotacije presjeka tijekom savijanja tijela također su vrlo mali u usporedbi s jedinicom, a njihovi kvadrati su zanemarivi u usporedbi s vrijednostima relativnih linearnih i kutnih deformacija.

Rusko državno sveučilište

nafte i plina nazvan po. I.M.Gubkina

Zavod za tehničku mehaniku

SAŽETAK

"Teorija elastičnosti"

Izvršio: Polyakov A. A.

Provjerio: Evdokimov A.P.

Moskva 2011

teorija jednadžba elastičnosti

1. Uvod

Teorija stanja naprezanja i deformacija u točki tijela

2.1 Teorija naprezanja

2 Teorija deformacije

3 Odnos naprezanja i deformacije za elastična tijela

Osnovne jednadžbe teorije elastičnosti. Vrste problema u teoriji elastičnosti

1 Osnovne jednadžbe teorije elastičnosti

2 Vrste problema u teoriji elastičnosti

4. Jednadžbe teorije elastičnosti u pomacima (Lameove jednadžbe)

Varijacijski principi teorije elastičnosti

1 Princip mogućih kretanja (Lagrangeov princip)

2 Načelo mogućih stanja (Castillanovo načelo)

3 Odnos između točnog rješenja i rješenja dobivenih na temelju načela Lagrangea i Castigliana

Popis korištene literature

1. Uvod

Teorije naprezanja i deformacija stvorio je O. Cauchy. Oni su izloženi u radu predstavljenom Pariškoj akademiji znanosti 1822. godine, čiji je sažetak objavljen 1823. godine i nekoliko kasnijih članaka. O. Cauchy je izveo tri jednadžbe ravnoteže za elementarni tetraedar, dokazao zakon sparivanja tangencijalnih naprezanja, uveo pojmove glavnih osi i glavnih naprezanja, te izveo diferencijalne jednadžbe ravnoteže (obično se ne izvode u kolegiju o čvrstoći materijala) . Također je uveo plohu normalnih naprezanja (Cauchyjevu kvadriku), na kojoj se nalaze krajevi radijus vektora, čiji se smjerovi podudaraju sa smjerom normala na površine, a vrijednost je obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu iz apsolutna vrijednost normalnog naprezanja u tom području, te je dokazano da je ta površina površina drugog reda sa središtem u ishodištu. Mogućnost transformacije površine normalnih naprezanja na glavne osi ukazuje na postojanje triju međusobno glavnih okomitih područja u svakoj točki.

Sličnu površinu tangencijalnih naprezanja uveo je ruski mehaničar G.V. Kolosov 1933. godine

Geometrijsko tumačenje stanja naprezanja u prostoru u obliku elipsoida naprezanja dali su G. Lame i B. Clapeyron u svojim memoarima predanim Pariškoj akademiji znanosti 1828. i objavljenim 1833. godine.

Geometrijski prikaz stanja naprezanja na ravnini za jedan niz područja koja prolaze kroz glavnu os u obliku kruga naprezanja predložio je K. Kuhlmann u svojoj knjizi 1866. godine.

Za opći slučaj napregnutog stanja vrlo jasnu geometrijsku interpretaciju na ravnini dao je O. More (tzv. Mohrov kružni dijagram) 1882. Iz njega se može izvući niz važnih zaključaka o ekstremiteta glavnih naprezanja, položaj područja u kojima su tangencijalni naponi maksimalni, te o veličinama tih maksimalnih posmičnih naprezanja.

O. Cauchy dao je definiciju deformacija, izveo njihovu ovisnost o pomacima u posebnom slučaju malih deformacija (te se ovisnosti u pravilu ne izvode u tečaju o čvrstoći materijala), definirao pojmove glavnih naprezanja i glavnih deformacija. , te dobivene ovisnosti komponenti naprezanja o komponentama deformacije, kako za izotropno tako i za anizotropno elastično tijelo. Kod čvrstoće materijala obično se utvrđuju ovisnosti komponenata deformacije o komponentama naprezanja za izotropno tijelo. Zovu se Hookeov generalizirani zakon, iako je, naravno, ovaj naziv uvjetan, budući da R. Hooke nije poznavao pojam napetosti.

U tim ovisnostima Cauchy je prvi uveo dvije konstante i zapisao ovisnosti naprezanja o deformaciji u obliku

m, ,

Međutim, kasnije je O. Cauchy prihvatio koncept L. Naviera. Prema njoj, elastična tijela sastoje se od molekula, između kojih pri deformaciji nastaju sile koje djeluju u smjerovima ravnih linija koje povezuju molekule i proporcionalne su promjeni udaljenosti između molekula. Tada je broj konstanti elastičnosti za opći slučaj anizotropnog tijela 15, a za izotropno tijelo dobivamo jednu konstantu elastičnosti. Tu su hipotezu zastupali S. Poisson, a u početku G. Lamé i B. Clapeyron. Na temelju njega Poisson je utvrdio da je koeficijent poprečne deformacije 1/4.

D. Green je 1839. izveo odnos između deformacija i naprezanja bez korištenja hipoteze o molekularnoj strukturi elastičnih tijela. Dobio ih je na temelju načela očuvanja energije, uvodeći pojam elastičnog potencijala, te pokazao da je pri korištenju linearnih ovisnosti šest komponenata deformacije o šest komponenata naprezanja od 36 koeficijenata 21 neovisan, tj. u općem slučaju anizotropno tijelo, broj konstanti elastičnosti je 21 Za izotropno tijelo broj konstanti elastičnosti se smanjuje na dvije. Teorija u kojoj je broj konstanti elastičnosti za anizotropno tijelo jednak 15, a za izotropno tijelo 1, ponekad se nazivala "rarikonstantna" ili "jednokonstantna", a teorija u kojoj je broj konstanti elastičnosti za anizotropno tijelo jednak je 21, a za izotropno tijelo 2 - "multikonstantan" .

Spor između pristaša ovih teorija potaknuo je fizičare na eksperimentalna istraživanja.

G. Wertheim je na temelju mjerenja unutarnjih volumena staklenih i metalnih cijevi pod aksijalnim naprezanjem 1848. ustanovio da koeficijent poprečne deformacije nije jednak 1/4. Smatrao je da je različit za različite materijale, ali za mnoge materijale blizu 1/3.

I JA. Kupfer, ispitujući metalne šipke na napetost i torziju 1853. godine, također je otkrio da omjer modula smicanja i napetosti ne odgovara vrijednosti poprečne deformacije, jednakoj 1/4.

Godine 1855. F. Neumann je ispitao uzorke pravokutnog presjeka na savijanje i izmjerio kutove rotacije dviju strana grede (presjek ima trapezoidni oblik). Kao rezultat toga, pokazao je da koeficijent poprečne deformacije nije jednak 1/4. G. Kirchhoff, učenik F. Neumanna, došao je do istog zaključka na temelju testova izvedenih 1859. na kombiniranom savijanju i torziji okruglih mjedenih šipki, ugrađenih na jednom kraju, a na drugom opterećenih koncentriranom silom, mjereći kut uvijanja štapa i kut zakreta presjeka .

Veliko eksperimentalno istraživanje koeficijenata poprečne deformacije za različite vrste čelika proveo je jedan od učenika G. Kirchhoffa M.F. Okatov 1865. - 1866. godine Rezultate je predstavio u svojoj doktorskoj disertaciji Ispitivanja torzije i savijanja tankih prizmi izrezanih iz monokristala, kao i ispitivanja stlačivosti kristala pod ravnomjernom kompresijom koje je proveo W. Voigt i opisao u svojim brojnim člancima, kasnije sabranim u. knjiga objavljena 1910. Potvrdili su ispravnost teorije više konstanti.

Detaljnu studiju matematičke strukture Hookeovog zakona za anizotropna tijela proveo je 1984. godine mehaničar i inženjer Jan Rychlewski na temelju koncepta elastičnog stanja koji je uveo. Posebno je pokazao da 21 elastična konstanta predstavlja šest pravih modula krutosti, 12 razdjelnika krutosti i tri kuta.

2. Teorija stanja naprezanja i deformacija u točki tijela

1 Teorija naprezanja

Unutarnji čimbenici sile koji nastaju pri opterećenju elastičnog tijela karakteriziraju stanje pojedinog dijela tijela, ali ne daju odgovor na pitanje koja je točka poprečnog presjeka najopterećenija, odnosno, kako kažu, opasna točka. Stoga je potrebno uvesti u razmatranje neku dodatnu veličinu koja karakterizira stanje tijela u određenoj točki.

Ako je tijelo na koje djeluju vanjske sile u ravnoteži, tada se unutarnje sile otpora javljaju u bilo kojem njegovom dijelu. Označimo unutarnjom silom koja djeluje na elementarnu površinu, a normalom na tu površinu do tada veličinu

zove se ukupni napon.

U općem slučaju, ukupni napon ne podudara se u smjeru s normalom na elementarno područje, pa je prikladnije raditi s njegovim komponentama duž koordinatnih osi -

Ako se vanjska normala podudara s bilo kojom koordinatnom osi, na primjer, s osi X, tada će komponente naprezanja poprimiti oblik: ispada da je komponenta okomita na presjek i naziva se normalnim naprezanjem, a komponente će ležati u presječnu ravninu i nazivaju se tangencijalni naponi.

Za lakše razlikovanje normalnih i tangencijalnih naprezanja obično se koriste druge oznake: - normalno naprezanje, - tangencijalno naprezanje.

Izaberimo iz tijela pod djelovanjem vanjskih sila infinitezimalni paralelopiped čiji su bridovi paralelni s koordinatnim ravninama, a bridovi imaju duljinu . Na svakoj plohi takvog elementarnog paralelopipeda postoje tri komponente naprezanja paralelne s koordinatnim osima. Ukupno, na šest lica dobivamo 18 komponenti naprezanja.

Normalni naponi se označavaju u obliku , gdje indeks označava normalu na odgovarajuću površinu (tj. može poprimiti vrijednosti). Tangencijalni naponi imaju oblik ; ovdje prvi indeks odgovara normali na područje na kojem djeluje ovo posmično naprezanje, a drugi označava os paralelnu s kojom je to naprezanje usmjereno (slika 1).

Sl. 1. Normalni i posmični naponi

Za ove napone usvojeno je sljedeće pravilo predznaka. Normalno naprezanje smatra se pozitivnim u napetosti ili, što je isto, kada se poklapa sa smjerom vanjske normale na područje na koje djeluje. Posmično naprezanje smatra se pozitivnim ako je na površini čija se normala podudara sa smjerom koordinatne osi paralelne s njom, usmjereno prema pozitivnoj koordinatnoj osi koja odgovara ovom naprezanju.

Komponente naprezanja su funkcije tri koordinate. Na primjer, normalno naprezanje u točki može se označiti koordinatama

U točki koja je na infinitezimalnoj udaljenosti od točke koja se razmatra, naprezanje se može proširiti u Taylorov niz s točnošću do infinitezimala prvog reda:

Za područja koja su paralelna s ravninom, mijenja se samo koordinata x, a prirasta. Dakle, na plohi paralelopipeda koja se podudara s ravninom, normalni napon će biti , a na paralelnoj plohi, koja se nalazi na beskrajno maloj udaljenosti, - Naprezanja na preostalim paralelnim plohama paralelopipeda povezana su na sličan način. Dakle, od 18 komponenti napona samo je devet nepoznato.

U teoriji elastičnosti dokazan je zakon sparivanja tangencijalnih naprezanja, prema kojemu su na dva međusobno okomita područja komponente tangencijalnih naprezanja okomite na sjecište tih područja međusobno jednake:

Jednakosti (2) dovode do činjenice da od devet komponenti naprezanja koje karakteriziraju napregnuto stanje u točki tijela ostaje samo šest:

Može se pokazati da naprezanje (3) ne samo da karakterizira napregnuto stanje tijela u određenoj točki, već ga i jedinstveno definira. Kombinacija ovih naprezanja tvori simetričnu matricu koja se naziva tenzor naprezanja:

(4)

Kada se tenzor pomnoži sa skalarnom veličinom, dobije se novi tenzor čije su sve komponente puta veće od komponenti izvornog tenzora.

2 Teorija deformacije

Pod utjecajem vanjskih opterećenja elastično tijelo mijenja svoj oblik i deformira se. U tom slučaju točke tijela zauzimaju neki novi položaj. Za određivanje deformacije elastičnog tijela uspoređujemo položaje točaka tijela prije i nakon primjene opterećenja.

Razmotrimo točku neopterećenog tijela i njen novi položaj nakon primjene opterećenja. Vektor se naziva vektor pomaka točke (slika 2).

sl.2. Vektor kretanja točke

Moguće su dvije vrste gibanja: gibanje cijelog tijela kao jedinstvene cjeline bez deformacije - takva gibanja proučava teorijska mehanika kao gibanja apsolutno krutog tijela i gibanje povezano s deformacijom tijela - takva gibanja proučava teorija elastičnosti.

Označimo projekcije vektora pomaka točke na koordinatne osi s, redom. One su jednake razlici između odgovarajućih koordinata točaka i :

i su funkcije koordinata:

Deformacija tijela uzrokovana je razlikama u kretanju njegovih različitih točaka. Infinitezimalni paralelepiped s bridovima odrezanim od elastičnog tijela u blizini proizvoljne točke, zbog različitih pomicanja svojih točaka, deformira se na način da se mijenja duljina njegovih bridova i iskrivljuju prvobitni pravi kutovi između ploha.

Na slici 3.3 prikazana su dva brida ovog paralelopipeda: a duljina brida je jednaka i duljina brida je

Nakon deformacije točke zauzimaju položaj. U tom slučaju točka će dobiti pomak čije su komponente u ravnini crtanja jednake, a točka koja se nalazi na beskrajno maloj udaljenosti od točke će dobiti pomak komponente koji će se razlikovati od komponenti pomaka točke za beskonačno mali iznos zbog promjene koordinate

sl.3. Linearne i kutne deformacije

Komponente gibanja točke razlikovat će se od komponenti gibanja točke za beskrajno malo zbog promjene koordinate

Duljina projekcije rebra na os nakon deformacije:

Projekcija apsolutnog izduženja rebra na os

Relativno izduženje duž osi

(6)

naziva se linearna deformacija u smjeru osi.

Linearne deformacije po smjerovima osi i

(7)

Promotrimo promjenu kutova između bridova paralelopipeda (slika 3). Tangens kuta zakreta brida u ravnini

Zbog malenosti deformacija a, linearna deformacija se može zanemariti zbog svoje malenosti u odnosu na jedinicu, a tada

Na sličan način možete odrediti kut rotacije ruba u istoj ravnini:

Iskrivljenje pravog kuta naziva se kutna deformacija i definira se kao zbroj kutova rotacije rebara i:

(8)

Na isti način određuju se kutne deformacije u dvije druge koordinatne ravnine:

(9)

Formule (6)-(9) daju šest glavnih ovisnosti za linearne i kutne deformacije o komponentama pomaka. Te se ovisnosti nazivaju Cauchyjeve jednadžbe:

(10)

U granici, kada duljine bridova paralelopipeda teže nuli, Cauchyjeve relacije određuju linearne i kutne deformacije u blizini točke

Pozitivne linearne deformacije odgovaraju izduženjima, a negativne linearne deformacije odgovaraju skraćivanjima. Kut pomaka se smatra pozitivnim kada se kut između pozitivnih smjerova odgovarajućih koordinatnih osi smanjuje, a negativnim u protivnom.

Slično tenzoru naprezanja, deformirano stanje tijela u određenoj točki opisuje se tenzorom deformacija

(11)

Poput tenzora naprezanja, tenzor deformacija je simetrična matrica koja sadrži devet komponenti, od kojih je šest različitih.

2.3 Odnos naprezanja i deformacije za elastična tijela

Odnosi između naprezanja i deformacija su fizičke prirode. Ograničavajući se na male deformacije, odnos između naprezanja i deformacija može se smatrati linearnim.

Pri ispitivanju šipke na napetost (o mehaničkim ispitivanjima materijala detaljnije će biti riječi u sljedećem odjeljku) uspostavlja se proporcionalni odnos između normalnog naprezanja i linearne deformacije u jednom smjeru, što se naziva Hookeov zakon:

gdje se konstanta elastičnosti naziva uzdužni modul elastičnosti.

Istom eksperimentalnom metodom utvrđena je veza između linearnih deformacija u uzdužnom i poprečnom smjeru:

gdje je linearna deformacija u poprečnom smjeru, druga konstanta elastičnosti, koja se naziva Poissonov omjer.

U mehaničkim ispitivanjima čistog smicanja utvrđen je izravno proporcionalan odnos između posmičnog naprezanja i kutne deformacije u ravnini djelovanja tog naprezanja, što je nazvano Hookeovim zakonom smicanja:

gdje je veličina treća konstanta elastičnosti i naziva se modul smicanja. Međutim, ova konstanta elastičnosti nije neovisna, jer vezano uz prve dvije ovisnosti

Da bismo ustanovili odnos između deformacija i naprezanja, odabiremo infinitezimalni paralelopiped iz tijela (slika 1) i razmatramo učinak samo normalnih naprezanja. Razlika u naprezanjima na suprotnim stranama paralelepipeda može se zanemariti, jer dovodi do deformacija višeg reda sitnosti.

Odredimo produljenje rebra paralelno s naprezanjem, prema Hookeovom zakonu (3.12) doći će do relativnog produljenja rebra.

Naprezanje uzrokuje slično istezanje u smjeru okomitom na rebro

a u smjeru ruba - skraćivanje, koje je prema (13).

ili, uzimajući u obzir izraz deformacije

Slično se određuje i relativno skraćenje rebra pod djelovanjem naprezanja

Na temelju načela neovisnosti o djelovanju sila, ukupno relativno produljenje rebra može se odrediti kao zbroj istezanja uslijed djelovanja svakog naprezanja:

Slično, linearne deformacije mogu se odrediti u smjerovima druge dvije osi:

U skladu s Hookeovim zakonom smicanja (14), odnos između kutnih deformacija i posmičnih naprezanja može se prikazati neovisno za svaku od tri ravnine paralelne s koordinatnim ravninama:

Tako je dobiveno šest formula koje izražavaju linearni odnos između komponenti deformacije i naprezanja u izotropnom elastičnom tijelu i nazivaju se generalizirani Hookeov zakon:

(16)

3. Osnovne jednadžbe teorije elastičnosti. Vrste problema u teoriji elastičnosti

Glavni zadatak teorije elastičnosti je određivanje stanja naprezanja i deformacija prema zadanim uvjetima opterećenja i pričvršćenja tijela.

Stanje naprezanja-deformacije određuje se ako se pronađu komponente tenzora (s) naprezanja i vektora pomaka, devet funkcija.

3.1 Osnovne jednadžbe teorije elastičnosti

Da biste pronašli ovih devet funkcija, trebate napisati osnovne jednadžbe teorije elastičnosti, odnosno:

Diferencijalni Cauchies

(17)

gdje su komponente tenzora linearnog dijela Cauchyjeve deformacije;

komponente tenzora derivacije pomaka po radijusu.

Diferencijalne jednadžbe ravnoteže

gdje su komponente tenzora naprezanja; - projekcija tjelesne sile na j os.

Hookeov zakon za linearno elastično izotropno tijelo

gdje su Lameove konstante; za izotropno tijelo. Ovdje su normalni i posmični naponi; deformacije odnosno kutovi smicanja.

Gornje jednadžbe moraju zadovoljiti Saint-Venantove ovisnosti

U teoriji elastičnosti problem je riješen ako su zadovoljene sve osnovne jednadžbe.

2 Vrste problema u teoriji elastičnosti

Rubni uvjeti na površini tijela moraju biti zadovoljeni, a ovisno o vrsti rubnih uvjeta razlikuju se tri vrste problema u teoriji elastičnosti.

Prva vrsta. Sile su dane na površinu tijela. Granični uvjeti

Druga vrsta. Zadaci kod kojih je pomak specificiran na površini tijela. Granični uvjeti

Treća vrsta. Mješoviti problemi teorije elastičnosti. Na dijelu površine tijela zadane su sile, a na dijelu površine tijela pomak. Granični uvjeti

Zadaci u kojima su zadane sile ili pomaci na površini tijela, a potrebno je pronaći stanje naprezanja i deformacija unutar tijela i ono što nije zadano na površini nazivamo izravnim zadacima. Ako su unutar tijela navedeni naponi, deformacije, pomaci itd., a potrebno je utvrditi što nije navedeno unutar tijela, kao i pomaci i naprezanja na površini tijela (odnosno pronaći razloge koji su uzrokovali takve stanje naprezanja-deformacije)), onda se takvi problemi nazivaju inverznim.

4. Jednadžbe teorije elastičnosti u pomacima (Lameove jednadžbe)

Za određivanje jednadžbi teorije elastičnosti u pomacima pišemo: diferencijalne jednadžbe ravnoteže (18) Hookeov zakon za linearno elastično izotropno tijelo (19)

Ako uzmemo u obzir da se deformacije izražavaju preko pomaka (17), pišemo:

Također treba podsjetiti da je kut smicanja povezan s pomacima sljedećim odnosom (17):

(23)

Zamjenom izraza (22) u prvu jednadžbu jednakosti (19) dobivamo normalna naprezanja

(24)

Imajte na umu da pisanje itz u ovom slučaju ne podrazumijeva zbrajanje preko i.

Zamjenom izraza (23) u drugu jednadžbu jednakosti (19) dobivamo da su posmična naprezanja

(25)

Napišimo jednadžbe ravnoteže (18) u proširenom obliku za j = 1

(26)

Zamjenom izraza za normalna (24) i tangencijalna (25) naprezanja u jednadžbu (26), dobivamo

gdje je λ Lameova konstanta, koja je određena izrazom:

Zamijenimo izraz (28) u jednadžbu (27) i napišimo,

gdje je određeno izrazom (22), ili u proširenom obliku

Podijelimo izraz (29) s G i zbrojimo slične članove i dobijemo prvu Lameovu jednadžbu:

(30)

gdje je Laplaceov operator (harmonijski operator), koji se definira kao

(31)

Na sličan način možete dobiti:

(32)

Jednadžbe (30) i (32) mogu se napisati na sljedeći način:

(33)

Jednadžbe (33) ili (30) i (32) su Laméove jednadžbe. Ako su volumne sile jednake nuli ili konstantne, tada

(34)

Štoviše, zapis u ovom slučaju ne implicira zbrajanje preko i. Ovdje

Može se pokazati da takav prikaz pomaka kroz harmonijsku funkciju pretvara Lameovu jednadžbu (33) u identitet. Često se nazivaju uvjetima Popkovich-Grodskog. Četiri harmonijske funkcije nisu potrebne jer se φ0 može postaviti na nulu.

4. Varijacijski principi teorije elastičnosti.

1 Princip mogućih kretanja (Lagrangeov princip)

Lagrangeov princip. Za tijelo u ravnoteži, rad vanjskih i unutarnjih sila na svim mogućim infinitezimalnim prirastima pomaka jednak je nuli.

Koristeći Clapeyronov teorem, koji za elastično deformirano tijelo promjenom pomaka, dobivamo Lagrangeov princip

U mehanici deformabilnih tijela moguća su gibanja ona koja zadovoljavaju vanjska i unutarnja ograničenja nametnuta tijelu.

Vanjske veze su uvjeti pričvršćivanja, unutarnje veze su uvjet kontinuiteta.

Da bi se zadovoljile unutarnje veze, potrebno je da priraštaji pomaka budu kontinuirane jednoznačne funkcije koordinata.

U ovom obliku, Lagrangeov princip vrijedi za sva deformabilna tijela.

Za elastična tijela utvrđeno je da

(41)

Tada će (40), uzimajući u obzir (41), biti napisano kao

(42)

gdje je W specifična deformacija, i

Ovdje je U varijacija ukupne potencijalne energije tijela.

Zamijenimo izraz (43) u (42), a kako se sile ne mijenjaju, pišemo da

(44)

Jednadžba (44) je Lagrangeova varijacijska jednadžba.

Ako su sile konzervativne, tada prva dva integrala predstavljaju promjenu potencijala vanjskih sila tijekom prijelaza iz nedeformiranog stanja u deformirano.

Potencijal vanjskih sila

(45)

gdje je - mogući rad vanjskih sila pri prijelazu iz nedeformiranog u deformirano stanje izračunat pod pretpostavkom da vanjske sile ostaju nepromijenjene. Ukupna energija sustava

Zatim, uzimajući u obzir izraze (44) - (46), Lagrangeov princip će biti napisan:

odnosno varijacija ukupne energije sustava u položaju ravnoteže na mogućim pomacima jednaka je nuli. Izraz (47) je Lagrangeova varijacijska jednadžba u slučaju djelovanja samo konzervativnih sila.

U stabilnom ravnotežnom položaju ukupna energija P je minimalna,

Lagrangeov princip je princip minimalne energije.

2 Načelo mogućih stanja (Castillanovo načelo)

Moguća stanja nazvat ćemo ona koja su u skladu s vanjskim i unutarnjim silama, odnosno ona koja zadovoljavaju jednadžbe ravnoteže.

Jednadžba (57) ispisuje Castiglianov princip. Kod mogućih promjena napregnutog stanja tijela, varijacija je jednaka integralu po onom dijelu površine tijela na kojem su navedeni pomaci iz produkata mogućih površinskih sila i pomaka.

3 Odnos između točnog rješenja i rješenja dobivenih na temelju načela Lagrangea i Castigliana

Na temelju Lagrangeovog principa, odabirom nekih funkcija, ili skupa njih, a kako je skup funkcija ograničen, dobivamo manji broj stupnjeva slobode sustava, čime se smanjuju stupnjevi slobode dizajna. Odnosno, u energetskom smislu, rješenje se pokazuje čvršćim od onoga točno.

Ako uzmemo integralne karakteristike, tada je aproksimativno rješenje rigidniji integral.

Kod rješavanja problema opterećenja jednostavno oslonjene grede poprečnom silom na sredini raspona (slika 1.), približno rješenje će dati manji pomak pod djelovanjem sile nego kod egzaktnog rješenja.

točno rješenje

Kada se isti problem rješava Castiglianovim varijacijskim principom, budući da uvjet kontinuiteta nije zadovoljen, sustav dobiva veću slobodu nego u stvarnosti.

Točno rješenje nalazi se između ove dvije približne metode (Lagrange i Castigliano). Ponekad je razlika između dobivenih rješenja mala.

5. Popis korištene literature

1. Aleksandrov A.V., Potapov V.D. Osnove teorije elastičnosti i plastičnosti. 400 str.Viša škola 1990.

2. Veretimus D.K. Osnove teorije elastičnosti I. dio. Metodički priručnik za kolegij Osnove teorije elastičnosti i plastičnosti. 2005.-37s.

Veretimus D.K. Osnove teorije elastičnosti II. Odnos napregnutog i deformiranog stanja. Metodički priručnik za kolegij “Osnove teorije elastičnosti i plastičnosti”, 2005.-53 str.

Veretimus D.K. Osnove teorije elastičnosti.Dio Osnove teorije elastičnosti.Metodički priručnik za predmet “Osnove teorije elastičnosti” 2005.-45 str.