Za rješavanje mnogih navigacijskih problema koriste se formule sferne trigonometrije. Na temelju takvih formula sastavljaju se, primjerice, jednadžbe izolinija i gradijenata nekih navigacijskih parametara; zadaci utvrđivanja položaja plovila; određuju se vrijednosti kutova i stranica paralaktičkog trokuta kako bi se dobile koordinate položaja broda i korekcije kompasa metodama nautičke astronomije i još mnogo toga.

Zadatak sferne trigonometrije je utvrđivanje odnosa između stranica i kutova sfernog trokuta. Sferni trokut smatra se danim ako su poznata bilo koja tri njegova elementa. Rješavanje trokuta znači određivanje njegovih nepoznatih elemenata. U većini slučajeva, rješenje se izvodi pomoću takozvanih osnovnih formula, koje uključuju:

· formula (teorem) za kosinus stranice;

· formula (teorem) za kosinus kuta;

formula (teorem) sinusa;

· formula kotangenata, koja se naziva i formula četiriju susjednih elemenata;

· formula od pet elemenata.

U nekim slučajevima postaje potrebno koristiti dodatne formule, koje uključuju:

formule poluperimetra;

· Delambre-Gaussove formule;

Napierove analogije (proporcije).

Ove skupine formula imaju neke prednosti:

1) logaritamske su, stoga ne zahtijevaju korištenje tablica zbrojeva i razlika;

2) traženi kutovi se dobivaju iz najpovoljnijih funkcija - tangenti, tj. dati najmanje pogreške pri računanju kuta;

3) izbor četvrtine traženih kutova javlja se već u rješenju, stoga nema potrebe analizirati formulu za znakove.

Formula bočnog kosinusa (kosinusni teorem): u sfernom trokutu, kosinus stranice jednak je umnošku kosinusa druge dvije stranice plus umnožak sinusa tih stranica i kosinusa kuta između njih.

Formula kosinusa stranice povezuje stranice i jedan od kutova sfernog trokuta. Postoje ukupno tri formule:

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B(3.1)

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

Formula kosinusa kuta (teorem kosinusa za polarni trokut): u sfernom trokutu, kosinus kuta jednak je negativnom umnošku kosinusa druga dva kuta plus umnožak sinusa tih kutova i kosinusa stranice između njih.

Formula kosinusnog kuta povezuje kutove i jednu od stranica sfernog trokuta. Postoje ukupno tri formule:

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a

cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos b(3.2)

cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c

Formula kotangensa (formula četiri susjedna elementa):umnožak kotangensa krajnjeg kuta i sinusa srednjeg kuta jednak je umnošku kotangensa krajnje strane i sinusa srednje stranice minus umnožak kosinusa srednjih elemenata.

Formula povezuje četiri elementa koji leže u nizu.

ctg A sin B = ctg a sin c – cos c cos B

ctg A sin C = ctg a sin b – cos b cos C

ctg B sin A = ctg b sin c – cos c cos A(3.3)

ctg B sin C = ctg b sin a – cos a cos C

ctg C sin A = ctg c sin b – cos b cos A

ctg C sin B = ctg c sin a – cos a cos B

Formula sinusa (sinusni teorem): U sfernom trokutu sinusi stranica proporcionalni su sinusima suprotnih kutova.

Napierove analogije:

(3.5)

Koristeći Napierove analogije u kombinaciji s teoremom o sinusima, obično se rješavaju dvije vrste problema o kosom sfernom trokutu - kada su poznate dvije stranice i kut nasuprot jednoj od njih ili dva kuta i stranica nasuprot jednoj od njih. Kao što je gore spomenuto, korištenje ovih vrsta formula omogućuje vam pronalaženje nepoznatih elemenata bez korištenja logaritama zbrojeva i razlika. Međutim, korištenje samo ove dvije skupine formula dovodi do potrebe korištenja prethodno pronađenih elemenata pri izračunavanju nekih nepoznatih elemenata.

Kako ne biste koristili prethodno pronađene elemente zadnje dvije vrste problema, možete koristiti sljedeće algoritme:

Na primjer, kada su poznate dvije stranice i kut nasuprot jednoj od njih a, b, A, izračunavaju se pomoćne količine G I H:

krevetić G = cos A tan b

tan H = tan A cos b

sin B = sin A sin b cosec a

sin (c-G) = cos a sec b sin G(3.6)

sin (C+H) = cot a tan b sin H

Kada su poznata dva kuta i stranica nasuprot jednom od njih, izračunavaju se pomoćne veličine K i M:

jer ten B

tan M = tan a cos B

Tada se nepoznate količine izračunavaju pomoću formula:

sin b = sin a sin B cosec A

sin (C-K) = cos A sec B sin K (3.7)

sin (c+M) = cot A tan B sin M

Sferna trigonometrija

Važno poseban dio trigonometrije koji se koristi u astronomiji, geodeziji, navigaciji i drugim poljima je sferna trigonometrija, koja razmatra svojstva kutova između velikih kružnica na sferi i lukova tih velikih kružnica. Geometrija sfere bitno se razlikuje od euklidske planimetrije; Dakle, zbroj kutova sfernog trokuta, općenito govoreći, razlikuje se od 180°; trokut se može sastojati od tri prava kuta. U sfernoj trigonometriji, duljine stranica trokuta (lukovi velikih kružnica sfere) izražavaju se kroz središnje kutove koji odgovaraju tim lukovima. Stoga se, na primjer, sferni teorem sinusa izražava kao:

a postoje i dva kosinusna teorema koja su međusobno dualna.

Primjena trigonometrijskih izračuna

Trigonometrijski proračuni koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i tehnike. Od velike je važnosti tehnika triangulacije, koja omogućuje mjerenje udaljenosti do obližnjih zvijezda u astronomiji, između orijentira u zemljopisu i upravljanje satelitskim navigacijskim sustavima. Također je vrijedna pažnje primjena trigonometrije u područjima kao što su teorija glazbe, akustika, optika, analiza financijskih tržišta, elektronika, teorija vjerojatnosti, statistika, biologija, medicina (uključujući ultrazvuk i kompjutoriziranu tomografiju), farmacija, kemija, teorija brojeva (i, kao posljedica, kriptografija), seizmologija, meteorologija, oceanologija, kartografija, mnoge grane fizike, topografija i geodezija, arhitektura, fonetika, ekonomija, elektroničko inženjerstvo, strojarstvo, računalna grafika, kristalografija.

Postoje mnoga područja u kojima se koriste trigonometrija i trigonometrijske funkcije. Na primjer, metoda triangulacije koristi se u astronomiji za mjerenje udaljenosti do obližnjih zvijezda, u geografiji za mjerenje udaljenosti između objekata iu satelitskim navigacijskim sustavima. Sinus i kosinus temeljni su za teoriju periodičkih funkcija, na primjer u opisivanju zvučnih i svjetlosnih valova.

Trigonometrija ili trigonometrijske funkcije koriste se u astronomiji (osobito za izračunavanje položaja nebeskih tijela kada je potrebna sferna trigonometrija), u pomorskoj i zračnoj navigaciji, u teoriji glazbe, u akustici, u optici, u analizi financijskih tržišta, u elektronici, u vjerojatnosti teoriji, u statistici, biologiji, medicinskim slikama (npr. kompjutorizirana tomografija i ultrazvuk), farmaciji, kemiji, teoriji brojeva (dakle kriptologiji), seizmologiji, meteorologiji, oceanografiji, mnogim fizičkim znanostima, geodeziji i geodeziji, u arhitekturi, u fonetici, u ekonomiji, u elektrotehnici, u strojarstvu, u građevinarstvu, u računalnoj grafici, u kartografiji, u kristalografiji, u razvoju igara i mnogim drugim područjima.

Za neke od naših klijenata kupnja nakita po narudžbi isplativo je ulaganje u obiteljski kapital, u stabilnu budućnost za djecu i unuke. Za druge klijentice, posebno lijepe dame, ekskluzivni nakit je još jedan način da istaknu svoj stil, ljepotu i zavidan društveni status. Za muškarce, ovo je opcija da svom odabraniku pokažete ljubav i pažnju.

G.P. Matvijevskaja Sferika i sferna trigonometrija u antici i na srednjovjekovnom istoku / Razvoj metoda astronomskih istraživanja. Broj 8, Moskva-Lenjingrad, 1979

G.P. Matvijevskaja

Sfere i sferna trigonometrija u antici i na srednjovjekovnom istoku

1. U antičko doba i srednjem vijeku potrebe astronomije poslužile su kao najvažniji poticaj za razvoj mnogih grana, matematike, a prije svega sferne trigonometrije, koja je bila matematički aparat za rješavanje specifičnih astronomskih problema. Kako se astronomija razvijala, njezina problematika postajala sve složenija, a zahtjevi za točnošću proračuna sve veći, ovaj se aparat postupno usavršavao, a sadržaj sferne trigonometrije obogaćivao u skladu s tim. Prikazan je kako u astronomskim raspravama - kao uvodni dio astronomije - tako iu posebnim matematičkim djelima.

Za povijest sferne trigonometrije posebno su važni starogrčki radovi o sferici - znanosti koja je uključivala elemente astronomije, geometrije o sferi i trigonometrije. Već do 4.st. PRIJE KRISTA e. dobila je puni razvoj i smatrala se pomoćnom astronomskom disciplinom. Najraniji poznati radovi o sferikama napisani su tijekom 4. stoljeća. PRIJE KRISTA e. - I stoljeće n. e. tako istaknuti znanstvenici antike kao što su Autolik, Euklid, Teodozije, Hipsikle, Menelaj.

Ovi radovi omogućuju vam da se jasno upoznate s početnom fazom razvoja sferne trigonometrije.

Svi rezultati do kojih su Grci došli na području astronomije i trigonometrije bili su, kao što je poznato, generalizirani u 2. stoljeću. u djelu Ptolemeja pod naslovom "Matematička zbirka u 13 knjiga". Kasnije, vjerojatno u 3. stoljeću, nazvana je "velika" knjiga, od čega je u srednjem vijeku nastao općeprihvaćeni naziv "Almagest": tako se riječ "al-majisti" izgovarala na latinskom - arabiziranom oblik “megiste” (najveći).

Za razliku od "velike" Ptolomejeve knjige, djela njegovih prethodnika, potrebna za astronomske proračune i spojena u kasnom helenističkom razdoblju (najkasnije od 4. stoljeća) u jednu zbirku, nazvana su "Mala astronomija". Trebalo ih je proučavati nakon Euklidovih Elemenata da bi se razumio Almagest. U arapskoj literaturi se stoga pojavljuju pod nazivom “srednje knjige” (kutub al-mutawassita).

Ova zbirka uključuje djela Euklida “Podaci”, “Optika”, “Fenomeni” i pseudoeuklidsku “Katoptriku”, Arhimedova djela (“O sferi i cilindru”, “Mjerenje kruga”, “Leme”). ), Aristarh ("O veličinama i udaljenostima" Sunca i Mjeseca"), Hipsikle ("O izlasku sazviježđa duž ekliptike"), Autolika ("O pokretnoj sferi", "O izlasku i zalasku zvijezda fiksnih "), Teodozije ("Kugle", "O danima i noćima", "O stanovima") i Menelaj ("Kugle"). Menelajevo djelo je dodano Maloj astronomiji, možda kasnije.

Među prvim prijevodima djela klasika grčke znanosti pojavio se arapski prijevod “srednjih” knjiga, uključujući djela o sferici. Kasnije su više puta komentirani. Među prevodiocima i komentatorima mogu se navesti tako istaknuti znanstvenici kao što su Costa ibn Luka (IX stoljeće), al-Makhani (IX stoljeće), Sabit ibn Korra (X stoljeće), Ibn Iraq (X-XI stoljeća), Nasir ad-Din at. -Tusi (XIII st.) itd.

Grčkoj “Maloj astronomiji” istočnjački su znanstvenici kasnije dodali djela “O mjerenju figura” Banua Muse, “Podatke” i “Knjigu o potpunom četverokutu” Thabita ibn Korre, “Raspravu o potpunom četverokutu” Nasir ad-Din al-Tusi.

Potrebu za dubljim upoznavanjem “srednjih” knjiga dobro su prepoznali istočnjački matematičari i astronomi, a naglašavali su je još u 17. stoljeću. u poznatoj bibliografskoj enciklopediji Hadži Halife, “Otkrivanje naslova knjiga i nauka”. Tekst ovih rasprava, kao i komentari na njih, sačuvan je u brojnim arapskim rukopisima. To uključuje, na primjer, rukopisnu zbirku koju još nitko nije proučavao, pohranjenu u Državnoj javnoj knjižnici. M. E. Saltykov-Shchedrin u Lenjingradu (zbirka Khanykov, br. 144).

Još 1902. godine poznati povjesničar matematike A. Björnbo sa žaljenjem je primijetio da se premalo pažnje posvećuje onom području antičke znanosti koje se može definirati kao “uvod u astronomiju” i koje se ogleda u “prosjeku” knjige. Posebno je inzistirao na potrebi cjelovitog kritičkog izdanja teksta djela i, u vezi s tim, postavio pitanje proučavanja njihovih arapskih verzija. Velike zasluge za proučavanje “male astronomije” pripadaju samom A. Björnbou, kao i F. Gulchu, I.L. Heiberg, P. Tannery, A. Chvalina, J. Maugene i dr. Međutim, još nije sve učinjeno u tom smjeru. Ovo se posebno odnosi na "srednje" knjige u arapskom tumačenju.

Znanstvenici istočnog srednjeg vijeka često su činili značajne dodatke grčkim djelima, nudili vlastite dokaze teorema i ponekad uvodili nove ideje u antičku teoriju. S ove točke gledišta, arapske verzije radova posvećenih sferici zaslužuju veliku pozornost. Osobito je važno proučavanje komentara na Menelajevo djelo, koje su sastavili Abu Nasr ibn Iraq i Nasir ad-Din al-Tusi, a koji su odigrali značajnu ulogu u povijesti sferne trigonometrije.

2. Najstarija djela o sferi koja su stigla do nas - i, općenito, od matematičkih djela Grka - su rasprave Autolika iz Pitane (oko 310. pr. Kr.) "O rotirajućoj sferi" i "O izlascima sunca". i Postavke.” Obje se tiču ​​pitanja geometrije na sferi primijenjene na astronomiju.

Autolik proučava sferu koja rotira oko osi i kružne isječke na njoj: velike kružnice koje prolaze kroz oba pola, male kružnice dobivene presjecanjem kugle ravninama okomitim na os i velike kružnice koje prolaze koso na nju. Kretanje točaka ovih kružnica razmatra se u odnosu na neku fiksnu reznu ravninu koja prolazi središtem. Ovdje je lako vidjeti model nebeske sfere s nebeskim meridijanima, paralelama, ekvatorom, ekliptikom i horizontom. Prezentacija se, međutim, vodi čisto geometrijskim jezikom i ne koriste se astronomski pojmovi.

U eseju “O pokretnoj sferi”, koji sadrži 12 rečenica, Autolik uvodi koncept jednolikog gibanja (“točka se jednoliko giba ako prolazi jednake staze u jednakim vremenima”) i primjenjuje taj koncept na rotirajuću sferu. Pokazuje, prije svega, da točke njezine plohe koje ne leže na osi, ravnomjernom rotacijom, opisuju paralelne kružnice s istim polovima kao i sfera i s ravninama okomitima na os (tvrdnja 1). Nadalje je dokazano da sve točke na plohi u jednakom vremenu opisuju slične lukove (tvrdnja 2) i obrnuto, odnosno ako se dva luka paralelnih kružnica prijeđu u jednakom vremenu, onda su one slične (tvrdnja 3).

Uvodeći pojam horizonta - velikog kruga koji dijeli dio ove sfere koji je vidljiv promatraču smještenom u središtu sfere od nevidljivog - Autolik razmatra kretanje točaka površine u odnosu na njega. Istražuju se različiti mogući položaji horizonta kada je okomit na os, prolazi kroz polove i nagnut je na os. U prvom slučaju (koji se odvija na Zemljinom polu), niti jedna točka na površini sfere s ravnomjernom rotacijom neće biti uzlazna ili silaznija; sve točke vidljivog dijela uvijek ostaju vidljive, a sve točke nevidljivog dijela uvijek ostaju nevidljive (tvrdnja 4).

U drugom slučaju, koji se odvija na ekvatoru Zemlje, sve točke na površini sfere se dižu i zalaze, provodeći isto vrijeme iznad i ispod horizonta (tvrdnja 5).

Konačno, u posljednjem - općem - slučaju, horizont dodiruje dva jednaka paralelna kruga, od kojih je onaj koji leži na vidljivom polu uvijek vidljiv, a drugi je uvijek nevidljiv (tvrdnja 6). Površinske točke koje se nalaze između tih kružnica dižu se i zalaze i uvijek prolaze kroz iste točke horizonta, krećući se kružnice okomito na os i nagnute prema horizontu pod istim kutom (tvrdnja 7). Svaki veliki krug fiksiran na površini sfere, koji dodiruje iste paralelne kružnice kao horizont, poklopit će se s horizontom kada sfera rotira (tvrdnja 8). Osim toga, utvrđeno je da ako je horizont nagnut prema osi, tada od dviju točaka koje se istovremeno penju kasnije zalazi ona koja je bliža vidljivom polu; ako su dvije točke postavljene istovremeno, onda ona koja se nalazi bliže vidljivom stup se diže ranije.

Nadalje pokazujući da će se u slučaju kada je horizont nagnut prema osi veliki krug koji prolazi kroz polove sfere (tj. meridijan) dva puta pokazati okomit na horizont tijekom svoje revolucije (tvrdnja 10), Autolik formulira i dokazuje teorem (tvrdnja 11), koji u biti razmatra ekliptiku. Govorimo o tome kako izlazak i zalazak točaka koje leže na ovom velikom krugu ovisi o njegovom položaju u odnosu na horizont. Dokazano je da ako su obje nagnute prema osi, a ekliptika dodiruje dvije kružnice na sferi međusobno paralelne i okomite na os, veće od onih koje dodiruje horizont, tada će točke ekliptike uvijek imaju svoj izlazak i zalazak na segmentu horizonta koji leži između paralelnih kružnica tangentnih na ekliptiku.

Posljednja rečenica kaže: ako fiksna kružnica na površini sfere uvijek raspolavlja drugu kružnicu koja rotira sa sferom, a obje nisu okomite na os i ne prolaze kroz polove, tada su to velike kružnice.

Autolikova rasprava "O izlascima i zalascima sunca", koja se sastoji od dvije knjige, temelji se na djelu o kojem je gore bilo riječi. Opisuje kretanje zvijezda fiksnih (Knjiga 1), s posebnim osvrtom na dvanaest zviježđa smještenih na; Ekliptika (knjiga II). Saznaje se kada zvijezde koje imaju različite položaje na nebeskoj sferi izlaze i zalaze te u kojim okolnostima su vidljive ili nevidljive.

Autolikova djela o sferici, koja su imala karakter elementarnih udžbenika, nisu izgubila na važnosti ni u antici ni u srednjem vijeku. Sadržaj rasprave "O pokretnoj sferi" iznio je u 6. knjizi svoje "Matematičke zbirke" Papus iz Aleksandrije (3. stoljeće nove ere). O značaju Autolikove uloge u razvoju znanosti pisano je u 6. stoljeću. Simplicije i Ivan Filopon. Grčki tekst oba njegova djela u potpunosti je sačuvan do danas.

Autolika su djela prevedena na arapski u 9. i ranom 10. stoljeću. među prvim grčkim djelima koja su pobudila zanimanje istočnjačkih učenjaka. Prijevod traktata “O sferi koja se kreće” sa grčkog izvornika izvršio je poznati prevodilac Ishak ibn Hunejn (u. 910/911). Njegov suvremenik, astronom, filozof i liječnik Kusta ibn Luqa al-Baalbaki (u. 912.) preveo je raspravu “O izlascima i zalascima sunca”. Ove prijevode je potom revidirao poznati matematičar i astronom Thabit ibn Qorra (umro 901.). Kasnije, u 13.st. Autolikove radove komentirao je istaknuti znanstvenik, voditelj opservatorija Maragha, Nasir ad-Din al-Tusi (1201. - 1274.).

U Europi su arapske verzije Autolikovih djela postale poznate u 12. stoljeću. Iz tog vremena potječe latinski prijevod rasprave “O pokretnoj sferi” najvećeg srednjovjekovnog prevoditelja Gerarda iz Cremone (1114.-1187.).

Grčki tekst Autolikovih djela, sačuvan u nekoliko rukopisa 10.-15. stoljeća, privukao je pozornost znanstvenika u 16. stoljeću, kada je u Europi pod utjecajem ideja humanizma počelo pažljivo proučavanje antičke znanstvene baštine. . Prvi put latinica; prijevod obiju rasprava s grčkog izvornika objavljen je u enciklopediji talijanskog prosvjetitelja Georgea Balle (G. Valla, oko 1447.-1500.) 1501., a zatim u zbirci antičkih djela o sferi, koja je objavljena god. 1558. u Messini Francesco Mavrolico (F. Maurolico, 1494-1575) .

Aktivan rad na objavljivanju matematičkih i astronomskih djela antičkih autora odvijao se u tom razdoblju u Francuskoj, gdje je započeo na inicijativu jedne od istaknutih ličnosti francuske renesanse, strastvenog propagandista antičke znanosti P. Ramusa ( P. Ramus, Pierre de la Ramée, 1515.-1572.); Njemu je posvećeno prvo grčko izdanje Autolikovih djela, koje je izveo Konrad Dazipodije (Dasypodius, Conrad Rauchfuss, 1532.-1600.); objavljena je 1572. u Strasbourgu zajedno s latinskim prijevodom. Drugi Ramusov učenik, P. Forcadel (Pierre Forcadel, oko 1520.-1574.), objavio je 1572. godine francuski prijevod obje Autolikove rasprave.

Godine 1587.-1588 pojavilo se još jedno latinsko izdanje, koje je izradio I. Auria na temelju nekoliko grčkih rukopisa iz Vatikanske knjižnice, a 1644. M. Mersenne (M. Megsenn, 1588.-1648.) objavio je skraćeni latinski prijevod Autolikovih djela, uključujući i druga grčka djela o matematici i astronomiji.

Cjelovito kritičko izdanje grčkog teksta Autolikovih rasprava, zajedno s latinskim prijevodom, izvršio je 1855. F. Gulch. Bio je temelj njemačkog prijevoda A. Chvalina, objavljenog 1931. godine.

Konačno, novo izdanje grčkog teksta, temeljeno na temeljitom proučavanju svih sačuvanih rukopisa, poduzeo je J. Maugene 1950.; Tekstu prethodi temeljita studija povijesti europskih izdanja Autolikovih djela. Godine 1971. u Bejrutu je objavljen engleski prijevod ovog teksta, koji je, međutim, izazvao ozbiljne kritike O. Neugebauera.

Autolikovi radovi privlače pažnju mnogih povjesničara astronomije i matematike. Proučava se i Autolikova teorija i tekst njegovih djela. Pokazuje se, primjerice, da su dvije knjige koje čine "O izlascima i zalazima" po svoj prilici dvije verzije istoga djela.

Arapske verzije Autolikovih traktata, koje su bile među “srednjim knjigama”, još uvijek su najmanje proučavane, iako postoje u brojnim rukopisima pohranjenim u raznim knjižnicama u Europi i Aziji.

3. U drugoj polovici 4.st. PRIJE KRISTA e. pojavilo se još jedno djelo o sferici, koje je po sadržaju blisko Autolikovim djelima, a koje je napisao njegov mlađi suvremenik Euklid, poznati autor Elemenata. U ovoj raspravi, pod naslovom "Fenomeni", Euklid uvelike ponavlja svog prethodnika, ali je veza između sferike i praktične astronomije kod njega izražena mnogo jasnije.

Euklidov Fenomen sastoji se od 18 rečenica. Prvi formulira izjavu na kojoj se temelji geocentrični sustav svijeta da se Zemlja uzima kao središte svemira. Budući da položaj promatrača na zemljinoj površini treba smatrati proizvoljnim, iz ove tvrdnje proizlazi da se u odnosu na cijeli svemir Zemlja smatra točkom u kojoj se promatrač nalazi.

Ponovivši u 2. i 3. rečenici sedmu Autolikovu teoremu iz traktata "O pokretnoj sferi", Euklid nastavlja s proučavanjem izlaska i zalaska znakova zodijaka - 12 zviježđa smještenih na ekliptici, tj. svakog od dvanaest lukova, ekliptika, jednaka 30 ° i uvjetno odgovara ovim konstelacijama. On dokazuje (tvrdnja 4) da ako se ekliptika ne siječe s najvećim od uvijek vidljivih krugova na nebeskoj sferi, odnosno ako je širina mjesta promatranja manja od 66°, tada se postavljaju i zviježđa koja prva izlaze. prvi; ako se siječe s njom, odnosno ako je širina mjesta promatranja veća od 66°, tada zviježđa koja se nalaze na sjeveru izlaze ranije i zalaze kasnije od onih koja se nalaze na jugu (tvrdnja 5). Dakle, značajke izlaska i zalaska zviježđa ovise o geografskoj širini mjesta promatranja, odnosno o kutu između osi svijeta i horizonta.

Nakon što je nadalje pokazao da su izlazak i zalazak zvijezda koje se nalaze na suprotnim krajevima promjera ekliptike suprotni jedni drugima (tvrdnja 6), Euklid objašnjava jedanaesti teorem iz Autolikove rasprave “O sferi koja se kreće”: zvijezde smještene na ekliptika, tijekom svog izlaska i zalaska, prelazi dio horizonta, zatvoren između tropa, a to se sjecište događa u stalnim točkama (tvrdnja 7).

Zatim dokazuje da jednaki lukovi zodijačkih znakova izlaze i zalaze na nejednake lukove horizonta, tim veći što su bliže ekvinocijima; u ovom slučaju, lukovi jednako udaljeni od ekvatora uzdižu se i zalaze na jednake lukove horizonta (tvrdnja 8).

Sljedeći teoremi tiču ​​se trajanja izlaska i zalaska sunca za različite horoskopske znakove. Prvo, utvrđeno je da će vrijeme potrebno za izlazak polovice ekliptike biti različito ovisno o položaju početne referentne točke (tvrdnja 9). To odgovara tvrdnji o različitoj duljini dana i noći u različitim godišnjim dobima, kada je Sunce u različitim znakovima zodijaka. Zatim se razmatra vrijeme potrebno za izlazak i zalazak jednakih i suprotnih znakova zodijaka.

Rješenje pitanja koja je postavio Euklid bilo je izuzetno važno za stare astronome, budući da se ticalo načina za određivanje sata dana i noći, uspostavljanja kalendara itd.

4. Tako su u razmatranim Autolikovim i Euklidovim djelima postavljeni temelji starogrčke sferike - teorijski i praktični. Međutim, oba su autora slijedila neki raniji obrazac, budući da su bez dokaza iznijeli niz prijedloga o sferi, očito ih smatrajući poznatima. Moguće je da je autor takvog djela o sferici, općepriznatog u to vrijeme, bio veliki matematičar i astronom Eudoks iz Knida (oko 408.-355. pr. Kr.).

O ovom izgubljenom djelu sada se sudi po Teodozijevoj Spherici, napisanoj kasnije, ali nedvojbeno ponavljajući u osnovi njegov sadržaj.

5. O životu i životopisu Teodozija postoje različita mišljenja, koja se temelje na često kontradiktornim izvješćima antičkih povjesničara, koji su greškom spojili nekoliko osoba koje su nosile ovo ime u jednu osobu. Sada je utvrđeno da je autor “Sferike” došao iz Bitinije, a ne iz Tripolija, kako se ranije vjerovalo i naznačeno u naslovima mnogih izdanja njegovih djela. Živio je, po svoj prilici, u 2. polovici 2. stoljeća. PRIJE KRISTA Kr., iako su ga obično nazivali Ciceronovim suvremenikom (oko 50. pr. Kr.).

Osim Sferika, u grčkom izvorniku sačuvana su još dva Teodozijeva djela, također uključena u “srednje knjige”. Najveća rasprava, "O stanovima", uključuje 12 rečenica i posvećena je opisu zvjezdanog neba sa stajališta promatrača koji se nalaze na različitim geografskim širinama. Druga rasprava, pod naslovom "O danima i noćima" i sastoji se od dvije knjige, ispituje luk ekliptike koji sunce prijeđe u jednom danu, i ispituje uvjete potrebne, na primjer, da u ekvinocijima dan i noć zapravo budu međusobno jednaki.

Ta su djela proučavali i komentirali mnogi arapski znanstvenici, a privukla su pozornost u Europi u 16. stoljeću, kada su otkriveni njihovi grčki rukopisi. Prvu je od njih u latinskom prijevodu 1558. objavio F. Mavroliko, zajedno s nizom drugih radova o sferici, a zatim je 1572. K Dasipodia objavio grčke i latinske formulacije teorema iz ove rasprave u gore spomenutoj knjizi . Iste 1572. objavljen je francuski prijevod Teodozijeva djela u verziji Dasypodia, koju je napravio P. Forcadel. Sljedeća su latinska izdanja izvršena 1587. (I. Auria) i 1644. (M, Mersenne). Cjeloviti grčki tekst rasprave “O stanovima”, zajedno s latinskim prijevodom, objavio je tek 1927. R. Fecht. U istoj publikaciji prvi put se reproducira i izvorni tekst djela “O danima i noćima” i njegov latinski prijevod. Ranije je bila poznata zahvaljujući formulacijama rečenica na grčkom i latinskom koje je 1572. objavio C. Dasypodia i potpunom latinskom prijevodu u izdanju I. Auria.

Najveću slavu od Teodozijevih djela stekla je njegova Sferika, koja zauzima važno mjesto u povijesti astronomije, sferne trigonometrije i neeuklidske geometrije.

Teodozije detaljno proučava svojstva linija na površini kugle dobivene njezinim presijecanjem kroz razne ravnine. Treba naglasiti da se sferni trokut još ne pojavljuje u njegovom radu. Djelo je nastalo po uzoru na Euklidove Elemente i sastoji se od tri knjige. Prva knjiga, koja sadrži 23 rečenice, počinje sa šest definicija. Sfera se definira kao "čvrsta figura omeđena jednom površinom, tako da su sve ravne linije koje padaju na nju iz jedne točke unutar figure jednake jedna drugoj", tj. slično kao što je krug definiran u Elementima (Knjiga I, 15. definicija); Zanimljivo je primijetiti da sam Euklid u XI knjizi Elemenata sferu definira drukčije – kao tijelo nastalo rotacijom polukruga oko fiksnog promjera (XI knjiga, 14. definicija). Slijedi definicija središta sfere, njezine osi i polova. Pol kruga nacrtanog na sferi definiran je kao: točka na površini kugle takva da su sve linije povučene kroz nju do opsega kruga međusobno jednake. Naposljetku, šesta definicija odnosi se na kružnice na sferi jednako udaljene od središta: prema Teodoziju, to su kružnice takve da su okomice povučene iz središta sfere na njihove ravnine međusobno jednake.

Tvrdnje Prve knjige sasvim su elementarne: dokazane; posebno, da je svaki presjek sfere ravninom kružnica, da je ravna crta povučena iz središta sfere u središte kružnog presjeka okomita na ravninu tog presjeka, da sfera i ravnina imaju ista kontaktna točka itd.

Druga knjiga Teodozijeve sfere počinje definicijom dviju kružnica na sferi koje se međusobno dodiruju i sadrži 23 rečenice o svojstvima kružnica koje su nagnute jedna drugoj.

Treća knjiga sastoji se od 14 rečenica, složenijih od prethodnih, a odnose se na sustave paralelnih i križnih kružnica na sferi. Ovdje je pojašnjena uslužna uloga sferike u odnosu na astronomiju, iako su svi teoremi formulirani i dokazani čisto geometrijski.

Teodozijeva "Kugla" pažljivo je proučavana u antici i srednjem vijeku. Komentirao ju je Papus iz Aleksandrije (III. stoljeće) u 6. knjizi svoje Matematičke zbirke. U VI stoljeću. Ivan Filopon, recenzirajući Euklidova, Autolikova i Teodozijeva djela o sferikama, primjećuje da potonji daje najopćenitiji apstraktni prikaz predmeta, potpuno apstrahirajući od stvarnih astronomskih objekata. Autolik, po njegovom mišljenju, razmatra posebniji slučaj, jer "čak i ako autor nema na umu neki konkretan predmet, onda se zahvaljujući kombinaciji sferne figure i pokreta približava stvarnosti." Najposebnije pitanje obrađeno je u Euklidovim Fenomenima, budući da su objekti koje proučava astronomija - nebo, sunce, zvijezde, planeti - sasvim stvarni.

Teodozije je prvi preveo Sferiku na arapski u 9. stoljeću. Kusta ibn Luqa al-Baalbaki; njegov prijevod, doveden do 5. rečenice II knjige, završio je Thabit ibn Korrah al-Harrani.

Postoje brojni komentari o ovom, kao io drugim Teodozijevim djelima, koje su sastavili istočnjački znanstvenici 13.-15. stoljeća. , među kojima možemo navesti tako velike matematičare i astronome kao što su Nasir ad-Din al-Tusi (1201. - 1274.), Yahya ibn Muhammad ibn Abi Shukr Muhi ad-Din al-Maghribi (umro oko 1285.), Muhammad ibn Ma' ruf ibn Ahmad Taqi ad-Din (1525/1526-1585) i drugi.

Aranžman Teodozijevih "Sferika", pripadnika poznate znanstvene škole Maragha iz 13. stoljeća. Mukhi al-Din al-Maghribi, istražio je i djelomično na francuski preveo B. Kappa de Vaux. U ovoj se raspravi skreće pozornost na astronomsku terminologiju koja se koristi u prezentaciji i dokazu Teodozijevih teorema. Dakle, ovdje je veza između sferike i astronomije još jasnija nego u grčkom izvorniku, što objašnjava njenu važnost za istočnjačku znanost.

U Europi je Teodozijeva Spherica postala poznata u 12. stoljeću, kada su se pojavila dva latinska prijevoda ovog djela s njegove arapske verzije. Izveli su ih vrsni prevoditelji koji rade u Španjolskoj, Gherardo iz Cremone i Platon iz Tivolija. Prijevod potonjeg objavljen je 1518. u Veneciji, zatim ponovno objavljen 1529. u redakciji I. Voegelina (umro 1549.), te 1558. u spomenutoj knjizi F. Mavrolika.

Grčki tekst Sferika prvi je put objavio 1558. J. Pena, zajedno s latinskim prijevodom. Ova je publikacija omogućila da se razjasni razlika između arapske verzije Teodozijeva djela i izvornika i utvrdi koje su dopune i promjene u dokazu teorema napravili istočnjački znanstvenici. Međutim, grčki rukopis koji je koristio Pena patio je od mnogih nedostataka. Stoga je 1707. u Oxfordu I. Hunt poduzeo novo i poboljšano izdanje, unoseći neke ispravke na druge rukopise. Nakon toga je grčki tekst djela (također s latinskim prijevodom) ponovno objavljen još dvaput: 1862. E. Nice i 1927. I. Heiberg.

Počevši od 2. polovice 16. stoljeća počinju izlaziti skraćena i prilagođena izdanja Sferike na latinskom jeziku, u kojima se teoremi objašnjavaju pomoću novih matematičkih pojmova i pomoću sferne trigonometrije. Godine 1586. u Rimu je objavljeno izdanje X. Claviusa, a u 17.st. slijedilo je nekoliko drugih, uključujući izdanja M. Mersennea (1644.) i I. Barrowa (1675.), koji sadrži potpuni, iako vrlo labav, latinski prijevod Sferike s detaljnim dokazima u kojima je algebarski simbolizam.

Godine 1826. “Sferika” je objavljena u njemačkom prijevodu E. Nicea. Drugo njemačko izdanje djela izveo je 1931. A. Chvalina (zajedno s Autolikovim raspravama). Prvi francuski prijevod “Sferike”, D. Henriona, objavljen je 1615. godine, sljedeći, u vlasništvu J.B. Dugamel (J. V. Du Hamel), - 1660. godine; napokon se 1927. pojavio moderni prijevod P. Ver Eeckea.

Radovi mnogih povjesničara matematike (A. Knock, I. Heiberg, F. Gulch, P. Tannery, A. Björnbo i dr.) bili su posvećeni proučavanju teksta i sadržaja Teodozijevih sferika, posebice brojnih sholija ovom djelu, sastavljenom u III-VII stoljeću. i sačuvana u grčkim rukopisima kasnijeg vremena, razmatran je odnos između Teodozijevih Sferika i Euklidovih Fenomena i drugih djela antičkih autora. Rezultati tih istraživanja omogućili su razjašnjenje niza pitanja vezanih uz povijest matematike i astronomije, kao i biografije Euklida, Autolika, Teodozija i nekih komentatora njihovih djela.

6. Grčkim djelima o sferi po sadržaju blisko je malo djelo Hipsikla iz Aleksandrije (živio između 200. i 100. pr. Kr.), pod naslovom “O usponu zviježđa po ekliptici” (“Anaforik”). Hipsikle je najpoznatiji kao autor rasprave o pravilnim poliedrima, uključene u Euklidove Elemente kao knjiga XIV; drugo njegovo djelo, o poligonalnim brojevima, koje nije sačuvano, citirano je u Diofantovoj Aritmetici.

Rasprava "O izlasku zviježđa na ekliptici", koja se sastoji od šest rečenica, rješava problem određivanja vremena potrebnog za izlazak ili zalazak svakog znaka zodijaka, koji zauzima 1/12 ekliptike, ili "stupanj, ” tj. 1/30 dijela ekliptike. Imao je važnu ulogu u astrološkom razmišljanju i stoga je bio vrlo popularan u antici i srednjem vijeku. Problem se može riješiti pomoću sferne trigonometrije, ali Hipsikle, koji još nije imao takva sredstva, riješio ga je približno, koristeći njemu poznate teoreme o poligonalnim brojevima. U ovom djelu se prvi put nalazi podjela opsega kruga na 360 dijelova, što nije bilo kod njegovih prethodnika, a posebno kod Autolika.

Hipsiklova rasprava bila je jedna od “srednjih knjiga” i prevedena je na arapski u 9. stoljeću. Postoji mnogo rukopisa ovog prijevoda, ali je on dugo ostao neistražen i nije se precizno utvrdilo da li ga je izvršio Kusta ibn Luka, El-Kindi ili Ishak ibn Hunejn. On je u 12. stoljeću preveo arapsku verziju djela na latinski. Gerardo iz Cremone.

Kritičko izdanje grčkog izvornika i latinskog prijevoda Gherarda iz Cremone izvršio je 1888. C. Manicius. Drugo izdanje, objavljeno 1966., uključuje grčki tekst, skolije i prijevod V. De Falca, arapski tekst i njemački prijevod M. Krausea te uvodni članak O. Neugebauera.

7. Od svih antičkih djela o sferici, najveću ulogu u povijesti znanosti imala je “Sferika” Menelaja, koji je djelovao u Aleksandriji u 1. stoljeću. n. e. te je uopćio sve rezultate do kojih je prije njega došlo na ovom području. Njegov rad ne samo da je izložio geometriju na sferi, već je također prvi put uveo sferni trokut, dosljedno dokazao teoreme koji su poslužili kao osnova sferne trigonometrije i stvorio teorijsku osnovu za trigonometrijska izračunavanja.

Podaci o životu Menelaja su vrlo rijetki. Poznato je da je 98. godine vršio astronomska promatranja u Rimu. “Sferika”, njegovo glavno djelo, nije sačuvana u izvornom grčkom jeziku i poznata je samo iz srednjovjekovnih arapskih prijevoda.

Spherica se sastoji od tri knjige i rađena je po uzoru na Euklidove Elemente. Prije svega, uvode se definicije osnovnih pojmova, uključujući pojam sfernog trokuta, koji se ne pojavljuje u ranijim grčkim djelima. Značajan dio eseja posvećen je proučavanju svojstava ove figure.

Pri dokazivanju tvrdnji o svojstvima crta i likova na sferi oslanja se na definicije i teoreme iz Teodozijeve Sferike. U 2. knjizi ti su teoremi, kao i prijedlozi formulirani u astronomskom obliku u Euklidovim fenomenima i Hipsiklovoj anaforici, sistematizirani i opremljeni novim rigoroznim dokazima.

Posebno važnu ulogu u povijesti trigonometrije odigrala je 1. rečenica III. knjige, poznata kao “Menelajevi teoremi” (kao i “teoreme o potpunom četverokutu”, “pravilo šest veličina”, “teoreme na transverzalama”). Prema A. Braunmuhlu, to je bio "temelj sve sferne trigonometrije Grka."

Menelajev teorem za ravninski slučaj formuliran je na sljedeći način: neka su dani pravci AB, AC, BE i CD koji se međusobno sijeku i tvore lik ACGB (slika 1); tada vrijede relacije:

CE / AE = CG / DG * DB / AB, CA / AE = CD / DG * GB / BE

Za sferni slučaj, teorem uključuje, kao što je bilo uobičajeno u grčkoj trigonometriji, tetive udvostručenih lukova. Ako je dana ACGB figura (slika 2), koju čine lukovi velikih kružnica na površini sfere, tada vrijede sljedeće relacije:

akord (2CE) / akord (2AE) = akord (2CG) / akord (2DG) * akord (2DB) / akord (2AB)

akord (2AC) / akord (2AE) = akord (2CD) / akord (2DG) * akord (2GB) / akord (2BE)

Menelaj je također dokazao nekoliko drugih teorema koji su bili temeljni za razvoj sferne trigonometrije. To uključuje takozvano “pravilo četiriju veličina” (2. rečenica knjige III); ako su dana dva sferna trokuta ABC i DEG (slika 3), čiji su kutovi A i D, C i G redom jednaki (ili zbroj do 180°), tada

akord (2AB) / akord (2BC) = akord (2DE) / akord (2EG)

Treća rečenica Treće knjige Menelajeve "Sferike", koja je kasnije postala poznata kao "pravila tangenti", glasi; što ako su dana dva pravokutna sferna trokuta ABC i DEG (slika 4) u kojima

akord (2AB) / akord (2AC) = akord (2ED) / akord (2GD) * akord (2VN) / akord (2ET)

KNJIŽEVNOST

1. Geiberg I.L. Prirodne znanosti i matematika u klasičnoj antici. Prijevod s njim. S.P. Kondratiev, ur. s predgovorom A.P. Juškevič, M-L., ONTI, 1936.

2. Sarton G. Uvažavanje antičke i srednjovjekovne znanosti tijekom renesanse, Philadelphia, 1953.

3 Steinschneider M. Die "mittleren" Bücher der Araber und ihre Bearbeiter, "Zeitschr. für Math. u. Phys.", Bd 10, 1.865, 456-498.

4. Suter H. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", N. 10, Leipzig, 1900.

5. Björnbo A. Studien über Menelaus Sphärik. Beiträge zur Geschichte der Sphärik und Trigonometrie der Griechen, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", H. 14, Leipzig, 1902.

6. Mogenet J. Autolycos de Pitane. Histoire du texte, suivie de l'édition critique des traits de la Sphère en mouvement et des levers et couchers, Louvain, 1950.

7. Theodosii Shpaericorum elementorum Libri III. Ex tradicija Mauro-lyci... Menelai Sphaericorum lib. III. Ex tradicija eiusdem. Maurolyci, Sphàericorum libri II. Autolyci. De sphaera quae movetur liber. Teodozije. De habitationibus. Euclidis Phaenomena brevissime demonstrata. Demonstratio et praxis trium tabellarum scilicet sinus recti, foecundae, et beneficae ad spheraiia triangula pertinentum. Compendium mathematicae mira brevitate ex clarissimis authoribus. Maurolyci de sphaera sermo. Mesana, 1558.

8. Mersenne M. Universae geometriae mixtaeque mathematicalae synopsis, Parisiis, 1644.

9. Auto1ysi. De Sphaera quae movetur liber. D.e ortibus et occasibus libri duo, willow cum scholiis antiquis o libris manuscriptis edidit, latina interpretatione et commentariis instruxit F. Hultsch, Leipzig, 1885.

10. Euklid. Opera omnia. Ed. J. L. Heiberg et H. Menge, t. VIII. Phaenomena et scripta musica, Leipzig, 1916.

11. Tannery P. Recherches sur l"histoire sur l"astronomie ancienne, Pariz, 1893.

12. Carra de Vaux B. Obavijest sur deux manuscrits arabes. I. Remaniement des sphériques de Théodose par labia ibn Muhammad ihn Abi Schukr Almaghribi Aiandalusî, "Journal asiatique", 8. sér., t. 17, 1894, 287-295.

13. Teodozije Tripolit. Sphaerica. Hrsg, von J. L. Heiberg, "Abhandl. d. G.es. d. Wissenschaften zu Göttihgen", phil. hist, Klasse, N.F., Bd 19, No 3, Berlin, 1927.

14. Hypsikles Die Aufgangszeiten der Gestirne, hrsg. und übers, von V. De Falco und M. Krause. Einführung von O. Neugebauer, "Abhandl. d. Akademie d. Wiss. zu Göttingen", phil-hist. Kl., F. 3, br. 62, Göttingen, 1966.

15. Krause M. Die Sphärik von Menelaos von Alexandrien in der Verbesserung von Abu Nasr Mansur b. Ali b. Iraq mit Untersuchungen zur Geschichte des Textes bei den islamischen Mathematikern, Berlin, 1936.

Bilješke

Primjerak ove rijetke publikacije dostupan je u Knjižnici. U I. Lenjina.

Kopija je dostupna u knjižnici Akademije znanosti SSSR-a.

Sferna trigonometrija u Enciklopedijskom rječniku:
Sferna trigonometrija je grana matematike koja proučava odnose između stranica i kutova sfernih trokuta (tj. trokuta na površini sfere) formiranih sjecištem tri velike kružnice. Sferna trigonometrija je usko povezana sa sfernom astronomijom.

Definicija "sferne trigonometrije" prema TSB-u:
Sferna trigonometrija je matematička disciplina koja proučava odnose između kutova i stranica sfernih trokuta (vidi Sferna geometrija). Neka su A, B, C kutovi, a a, b, c suprotne stranice sfernog trokuta ABC (vidi sliku). Kutovi i stranice sfernog trokuta povezani su sljedećim osnovnim formulama:

grijeh a grijeh A = grijeh b grijeh B = sinc grijeh C ,	(1)
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A,	(2)
cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos a,	(21)
sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A,	(3)
sin A cos b = cos B sin C + sin B cos C cos a;	(31)

u ovim se formulama stranice a, b, c mjere odgovarajućim središnjim kutovima, duljine tih stranica jednake su redom aR, bR, cR, gdje je R polumjer sfere. Promjena oznaka kutova (i stranica) prema pravilu kružne permutacije:
A → B → C → A (a → b → c → a), možete napisati druge formule S. t. Formule simetrične teorije omogućuju određivanje ostala tri elementa sfernog trokuta (za rješavanje trokuta).
Za pravokutne sferne trokute (A = 90°, a - hipotenuza, b, c - noge), formule sfernog trokuta su pojednostavljene, na primjer:

sin b = grijeh a grijeh B,	(1')
cos a = cos b cos c,	(2′)
sin a cos B = cos b sin c.	(3′)

Da biste dobili formule koje povezuju elemente pravokutnog sfernog trokuta, možete koristiti sljedeće mnemotehničko pravilo (Napeerovo pravilo): ako katete pravokutnog sfernog trokuta zamijenite njihovim komplementima i rasporedite elemente trokuta (isključujući pravi kut A) u krugu redom kojim su u trokutu (to jest, kako slijedi: B, a, C, 90° - b, 90° - c), tada je kosinus svakog elementa jednak umnožak sinusa nesusjednih elemenata, na primjer,
cos a = sin (90° - c) sin (90° - b)
ili, nakon pretvorbe,
cos a = cos b cos c (formula 2′).
Pri rješavanju problema prikladne su sljedeće Delambreove formule koje povezuju svih šest elemenata sfernog trokuta:
sin 1⁄2a cos 1⁄2(B−C) = sin 1⁄2A sin 1⁄2(b+c)

sin 1⁄2a sin 1⁄2(B−C) = cos 1⁄2A sin 1⁄2(b−c)

cos 1⁄2a cos 1⁄2(B+C) = sin 1⁄2A cos 1⁄2(b+c)

cos 1⁄2a sin 1⁄2(B+C) = cos 1⁄2A cos 1⁄2(b−c)
Pri rješavanju mnogih problema sferne astronomije, ovisno o potrebnoj točnosti, često je dovoljno koristiti približne formule: za male sferne trokute (odnosno one čije su stranice male u usporedbi s polumjerom sfere) možete koristiti formule ravninske trigonometrije; za uske sferne trokute (to jest one u kojima je jedna stranica, na primjer a, mala u usporedbi s ostalima), koriste se sljedeće formule:

(1'")

a cos B ≈ c−b

+

aÍ 2

grijehÍ B tg c

.

(3′″)

S. t. je nastao mnogo ranije od ravninske trigonometrije. Svojstva pravokutnih sfernih trokuta, izražena formulama (1)-(3), i različite slučajeve njihova rješavanja poznavali su grčki znanstvenici Menelaj (1. st.) i Ptolomej (2. st.). Grčki su znanstvenici sveli rješenje kosih sfernih trokuta na rješenje pravokutnih. Azerbajdžanski znanstvenik Nasireddin Tuey (13. stoljeće) sustavno je ispitao sve slučajeve rješavanja kosih sfernih trokuta, naznačivši po prvi put rješenje u dva najteža slučaja. Osnovne formule za kose sferne trokute pronašli su arapski znanstvenik Abul-Vefa (10. st.) [formula (1)], njemački matematičar I. Regiomontan (sredina 15. st.) [formule poput (2)], a francuski matematičar F. Vieta (2. polovica 16. stoljeća) [formule poput (21)] i L. Euler (Rusija, 18. stoljeće) [formule poput (3) i (31)]. Euler (1753. i 1779.) dao je cijeli sustav formula za teoriju teorije. Pojedinačne formule za teoriju teorije, pogodne za praksu, uspostavili su škotski matematičar J. Napier (kraj 16. - početak 17. st.) i engleski. matematičar G. Briggs (kraj 16. - početak 17. st.), ruski astronom A.I.Leksel (2. pol. 18. st.), francuski astronom J. Delambre (kraj 18. - početak 19. st.) itd.
Lit. vidi pod čl. Sferna geometrija.
Riža. na čl. Sferna trigonometrija.

SFERNA TRIGONOMETRIJA– matematička disciplina koja proučava odnose kutova i stranica sfernih trokuta.

Trigonometrija ("mjerenje trokuta" na grčkom) započela je ovim, svojim najsloženijim dijelom. Različite slučajeve rješavanja sfernih trokuta prvi je u pisanom obliku iznio grčki astronom Hiparh iz Nikeje sredinom 2. stoljeća. Kr., nažalost, Hiparhov rad nije stigao do nas. Svojstva pravokutnih sfernih trokuta poznavali su već Menelaj (1. st.) i Klaudije Ptolomej (oko 90. - oko 160.), tvorac geocentričnog sustava svijeta koji je vladao prije Kopernika. U Almagest (Velika skupština) Ptolomej (oko 150.) također sadrži mnoge informacije iz Hiparhovih djela. U 10.st Bagdadski znanstvenik Muhammed iz Bujana, poznat kao Ebu-l-Vefa, formulirao je teorem sinusa. Nasir-ed-Din iz Tusa (1201. – 1274.) sustavno je pregledao sve slučajeve rješavanja kosih sfernih trokuta i naznačio niz novih rješenja. U 12.st Brojna astronomska djela prevedena su s arapskog na latinski, što je omogućilo njihovo upoznavanje Europljana. No, nažalost, mnogo toga je ostalo neprevedeno, a izvrsni njemački astronom i matematičar Johann Muller (1436. – 1476.), kojeg su njegovi suvremenici poznavali pod imenom Regiomontanus (tako se na latinski prevodi naziv njegova rodnog grada Königsberga), 200 god. nakon što je Nasir-ed- Dina ponovno otkrio svoje teoreme. François Viète (1540. – 1603.) i Leonhard Euler (1707. – 1783.) također su dali veliki doprinos razvoju sferne trigonometrije. Prije Eulera teoremi su formulirani isključivo geometrijski - upravo je Euler (1753. i 1779.) dao cijeli sustav formula za sfernu trigonometriju.

Neka A,U I S- kutovi, i a,b I c – suprotne stranice sfernog trokuta ABC(Sl. 1). Iz bilo koja tri elementa mogu se odrediti ostala tri (za razliku od "ravne" geometrije, gdje tri kuta ne definiraju trokut). Sljedeće formule sferne trigonometrije povezuju kutove i stranice trokuta (tj. omogućuju vam da riješite trokut):

Za pravokutne sferne trokute ( A= 90°, A– hipotenuza, b I S– noge) formule sferne trigonometrije su pojednostavljene:

grijeh b= grijeh A grijeh B,

cos A=cos b cos c,

grijeh A cos B=cos b grijeh c.

Da biste dobili formule koje povezuju elemente pravokutnog sfernog trokuta, možete koristiti sljedeće mnemotehničko pravilo (Napeerovo pravilo): ako katete pravokutnog sfernog trokuta zamijenite njihovim komplementima do 90, zanemarite pravi kut A a preostalih pet elemenata rasporedite u krug (sl. 2) redoslijedom kojim su u trokutu, tj. B,a,C, 90° – b, 90° – c, tada će kosinus svakog elementa biti jednak umnošku kotangenata susjednih elemenata ili umnošku sinusa nesusjednih elemenata. Na primjer, cos B= ctg (90° – c)ctg a ili cos B= tg c ctg a nakon obraćenja ; cos A= sin(90° – c) sin (90° – b) ili cos A=cos b cos c.

Pri rješavanju problema prikladne su sljedeće D'Alembertove formule koje povezuju svih šest elemenata sfernog trokuta:

grijeh ½ a cos ½ ( B– C) = grijeh ½ A grijeh ½ ( b+ c),

grijeh ½ a grijeh ½ ( B– C) = cos ½ A grijeh ½ ( b– c),.

Formule sferne trigonometrije naširoko se koriste u sfernoj astronomiji. Nemoguće je bez ovih formula, budući da su sva mjerenja koja se odnose na položaj svjetiljki na nebu neizravna mjerenja. Dugo se vremena sferna trigonometrija smatrala jednostavno granom astronomije.

Marina Fedosova