محاسبه حجم یک بدنه انقلاب آنلاین. III محاسبه حجم بدنه های انقلاب. بهترین تخت در ریاضیات. کیفی. هیچ چیز اضافی

جدا از یافتن مساحت یک شکل صاف با استفاده از یک انتگرال معین مهمترین کاربرد تم است محاسبه حجم یک بدنه چرخشی. مطالب ساده است، اما خواننده باید آماده باشد: لازم است که بتواند حل کند انتگرال های نامعین پیچیدگی متوسط و استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس در انتگرال معین . همانند مشکل یافتن منطقه، به مهارت های ترسیمی مطمئن نیاز دارید - این تقریباً مهمترین چیز است (زیرا خود انتگرال ها اغلب آسان خواهند بود). شما می توانید با استفاده از مواد روش شناختی، بر تکنیک ماهر و سریع رسم نمودارها مسلط شوید . اما، در واقع، من بارها در مورد اهمیت نقاشی در درس صحبت کرده ام. .

به طور کلی، کاربردهای جالب زیادی در حساب انتگرال وجود دارد؛ با استفاده از یک انتگرال معین، می توانید مساحت یک شکل، حجم یک جسم چرخشی، طول قوس، مساحت سطح را محاسبه کنید. از بدن، و خیلی بیشتر. پس سرگرم کننده خواهد بود، لطفا خوشبین باشید!

یک شکل صاف را روی صفحه مختصات تصور کنید. نمایندگی؟ ... من تعجب می کنم که چه کسی ... =))) ما قبلاً منطقه آن را پیدا کرده ایم. اما، علاوه بر این، این رقم نیز می تواند چرخش، و به دو صورت چرخش:

– حول محور x؛ - حول محور y

در این مقاله هر دو مورد بحث خواهد شد. روش دوم چرخش به ویژه جالب است، بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع راه حل تقریباً مشابه چرخش رایج تر حول محور x است. به عنوان پاداش، من به مشکل یافتن مساحت یک شکل ، و به شما می گوید که چگونه منطقه را به روش دوم - در امتداد محور پیدا کنید. حتی آنقدر هم امتیازی نیست که مواد به خوبی با موضوع مطابقت دارند.

بیایید با محبوب ترین نوع چرخش شروع کنیم.

محاسبه حجم جسمی که از چرخش یک شکل صاف به دور یک محور تشکیل شده است

مثال 1

حجم جسم را با چرخاندن شکل محدود شده با خطوط حول محور محاسبه کنید.

راه حل:همانطور که در مشکل یافتن منطقه، راه حل با طراحی یک شکل صاف شروع می شود. یعنی در هواپیما لازم است شکلی با خطوط محدود ساخته شود، در حالی که فراموش نکنید که این معادله محور را مشخص می کند. نحوه ایجاد یک نقاشی منطقی تر و سریعتر را می توان در صفحات پیدا کرد نمودارها و خواص توابع ابتدایی و انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل . این یک یادآوری چینی است و من در این مرحله متوقف نمی شوم.

نقاشی در اینجا بسیار ساده است:

شکل مسطح مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است، این اوست که حول محور می چرخد. در نتیجه چرخش، این بشقاب پرنده کمی تخم مرغی شکل به دست می آید که حول محور متقارن است. در واقع، بدن یک نام ریاضی دارد، اما برای نگاه کردن به چیزی در کتاب مرجع بسیار تنبل است، بنابراین ادامه می دهیم.

چگونه حجم یک بدنه انقلاب را محاسبه کنیم؟

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

در فرمول باید قبل از انتگرال یک عدد وجود داشته باشد. این اتفاق افتاد - هر چیزی که در زندگی می چرخد با این ثابت مرتبط است.

من فکر می کنم که چگونه می توان حدود ادغام "a" و "be" را تعیین کرد، از نقاشی تکمیل شده به راحتی حدس زد.

تابع ... این تابع چیست؟ بیایید به نقاشی نگاه کنیم. شکل مسطح با نمودار سهمی از بالا محدود می شود. این تابعی است که در فرمول ذکر شده است.

در کارهای عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف در زیر محور قرار داد. این چیزی را تغییر نمی دهد - تابع در فرمول مربع است:، بنابراین حجم یک بدنه انقلاب همیشه غیرمنفی است، که کاملاً منطقی است.

حجم بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنید:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

در پاسخ باید ابعاد - واحدهای مکعب را مشخص کرد. یعنی در بدنه چرخشی ما تقریباً 3.35 "مکعب" وجود دارد. چرا دقیقا مکعب واحدها? زیرا جهانی ترین فرمولاسیون. ممکن است سانتی متر مکعب باشد، ممکن است متر مکعب باشد، ممکن است کیلومتر مکعب باشد، و غیره، این چند مرد کوچک سبز است که تصور شما می تواند در یک بشقاب پرنده جا شود.

مثال 2

حجم بدن را پیدا کنید با چرخش تشکیل شده استحول محور شکل محدود شده توسط خطوط،

این یک مثال برای خودتان است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مشکل پیچیده تر را در نظر بگیریم که اغلب در عمل نیز با آنها مواجه می شویم.

مثال 3

محاسبه حجم جسم به دست آمده از چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده توسط خطوط، و

راه حل:بیایید در نقاشی یک شکل صاف را ترسیم کنیم که با خطوط , , , , , , , , , , محصور شده است، در حالی که فراموش نکنیم که معادله محور را تعریف می کند:

شکل مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است. وقتی حول محور می چرخد، چنین دونات سورئال با چهار گوشه به دست می آید.

حجم بدنه انقلاب به صورت محاسبه می شود اختلاف حجم بدن.

ابتدا به شکلی که به رنگ قرمز دایره شده است نگاه می کنیم. هنگامی که حول محور می چرخد، یک مخروط کوتاه به دست می آید. بیایید حجم این مخروط کوتاه شده را به صورت .

شکل دایره شده را در نظر بگیرید به رنگ سبز. اگر این شکل را حول محور بچرخانید، یک مخروط کوتاه نیز خواهید داشت که فقط کمی کوچکتر است. بیایید حجم آن را با علامت گذاری کنیم.

و بدیهی است که تفاوت در حجم ها دقیقاً حجم "دونات" ما است.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر است، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی صحبت کنیم.

مردم اغلب توهماتی در ارتباط با حجم دارند، که پرلمن (نه مشابه) در کتاب متوجه آن شده است هندسه جالب. به شکل مسطح در مشکل حل شده نگاه کنید - به نظر می رسد از نظر مساحت کوچک است و حجم بدنه انقلاب کمی بیش از 50 واحد مکعب است که خیلی بزرگ به نظر می رسد. به هر حال، یک فرد متوسط در تمام زندگی خود مایعی با حجم یک اتاق 18 متر مربع می نوشد، که برعکس، حجم آن بسیار کم به نظر می رسد.

به طور کلی، سیستم آموزشی در اتحاد جماهیر شوروی واقعا بهترین بود. همان کتاب پرلمن که توسط او در سال 1950 نوشته شده است، همانطور که طنزنویس گفت، به خوبی توسعه می یابد و به شما می آموزد که به دنبال راه حل های غیر استاندارد اصلی برای مشکلات باشید. اخیراً چند فصل را با علاقه فراوان دوباره خواندم، آن را توصیه می کنم، حتی برای انسان دوستان هم قابل دسترسی است. نه، شما مجبور نیستید لبخند بزنید که من یک سرگرمی فوق العاده را به شما پیشنهاد دادم، دانش و نگرش گسترده در ارتباطات چیز خوبی است.

پس از یک انحراف غنایی، فقط مناسب است که یک کار خلاقانه را حل کنیم:

مثال 4

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح محدود شده با خطوط , , که در آن .

این یک مثال برای خودتان است. لطفا توجه داشته باشید که همه چیز در باند اتفاق می افتد، به عبارت دیگر، محدودیت های یکپارچه سازی تقریبا آماده داده شده است. همچنین سعی کنید نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی ترسیم کنید، اگر آرگومان بر دو تقسیم شود، سپس نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. سعی کنید حداقل 3-4 امتیاز پیدا کنید با توجه به جداول مثلثاتی و نقاشی را دقیق تر کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

من فکر می کنم که چگونه می توان حدود ادغام "a" و "be" را تعیین کرد، از نقاشی تکمیل شده به راحتی حدس زد.

تابع ... این تابع چیست؟ بیایید به نقاشی نگاه کنیم. شکل مسطح با نمودار سهمی در بالا محدود می شود. این تابعی است که در فرمول ذکر شده است.

در کارهای عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف در زیر محور قرار داد. این چیزی را تغییر نمی دهد - انتگرال در فرمول مربع است:، بنابراین انتگرال همیشه غیر منفی است ، که کاملاً منطقی است.

حجم بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنید:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

مثال 2

حجم جسمی را که از چرخش حول محور شکل که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید،

این یک مثال برای خودتان است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مشکل پیچیده تر را در نظر بگیریم که اغلب در عمل نیز با آنها مواجه می شویم.

مثال 3

حجم جسمی را که با چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده با خطوط، و

راه حل: بیایید یک شکل مسطح در نقاشی بکشیم که با خطوط،،، محدود شده است، در حالی که فراموش نکنیم که معادله محور را تعیین می کند:

شکل مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است. وقتی حول محور می چرخد، چنین دونات سورئال با چهار گوشه به دست می آید.

حجم بدنه انقلاب به صورت محاسبه می شود تفاوت حجم بدن.

ابتدا به شکلی که به رنگ قرمز دایره شده است نگاه می کنیم. هنگامی که حول محور می چرخد، یک مخروط کوتاه به دست می آید. حجم این مخروط کوتاه شده را با نشان دهید.

شکلی را که به رنگ سبز دایره شده است در نظر بگیرید. اگر این شکل را حول محور بچرخانید، یک مخروط کوتاه نیز خواهید داشت که فقط کمی کوچکتر است. بیایید حجم آن را با علامت گذاری کنیم.

و بدیهی است که تفاوت در حجم ها دقیقاً حجم "دونات" ما است.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر است، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی صحبت کنیم.

مردم اغلب توهماتی در ارتباط با حجم دارند، که پرلمن (یکی دیگر) در کتاب متوجه آن شده است هندسه جالب. به شکل مسطح در مشکل حل شده نگاه کنید - به نظر می رسد از نظر مساحت کوچک است و حجم بدنه انقلاب کمی بیش از 50 واحد مکعب است که خیلی بزرگ به نظر می رسد. به هر حال، یک فرد متوسط در تمام زندگی خود مایعی با حجم یک اتاق 18 متر مربع می نوشد، که برعکس، حجم آن بسیار کم به نظر می رسد.

به طور کلی، سیستم آموزشی در اتحاد جماهیر شوروی واقعا بهترین بود. همان کتاب پرلمن که در سال 1950 منتشر شد، همانطور که طنزنویس گفت، استدلال بسیار خوبی دارد و به شما می آموزد که به دنبال راه حل های غیر استاندارد اصلی برای مشکلات باشید. اخیراً چند فصل را با علاقه فراوان دوباره خواندم، آن را توصیه می کنم، حتی برای انسان دوستان هم قابل دسترسی است. نه، شما مجبور نیستید لبخند بزنید که من یک سرگرمی فوق العاده را به شما پیشنهاد دادم، دانش و نگرش گسترده در ارتباطات چیز خوبی است.

پس از یک انحراف غنایی، فقط مناسب است که یک کار خلاقانه را حل کنیم:

مثال 4

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح که با خطوط محدود شده است، محاسبه کنید.

این یک مثال برای خودتان است. توجه داشته باشید که همه چیز در باند اتفاق می افتد، به عبارت دیگر، محدودیت های یکپارچه سازی آماده در واقع داده شده است. نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی رسم کنید، من مطالب درس را به شما یادآوری می کنم تبدیل هندسی نمودارها : اگر آرگومان بر دو بخش پذیر باشد، نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. یافتن حداقل 3-4 امتیاز مطلوب است با توجه به جداول مثلثاتی برای تکمیل دقیقتر نقاشی حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

بگذارید خط محدود باشد. شکل صفحه در سیستم مختصات قطبی داده شده است.

مثال: محاسبه دور: x 2 +y 2 =R 2

طول قسمت چهارم دایره واقع در ربع I را محاسبه کنید (х≥0، y≥0):

اگر معادله منحنی به شکل پارامتر آمده باشد:
توابع x(t)، y(t) همراه با مشتقاتشان در قطعه [α,β] تعریف و پیوسته هستند. مشتق، سپس یک جایگزین در فرمول:
و با توجه به اینکه

ما گرفتیم
یک ضریب اضافه کنید
تحت علامت ریشه و ما در نهایت دریافت می کنیم

نکته: یک منحنی صفحه داده می شود، همچنین می توانید تابعی را که با پارامترهای موجود در فضا داده شده در نظر بگیرید، سپس تابع z=z(t) اضافه می شود و فرمول

مثال: طول اختر را محاسبه کنید که با معادله x=a*cos 3 (t)، y=a*sin 3 (t)، a>0

طول قسمت چهارم را محاسبه کنید:

طبق فرمول

طول قوس یک منحنی مسطح که در سیستم مختصات قطبی داده شده است:

اجازه دهید معادله منحنی در سیستم مختصات قطبی داده شود:
یک تابع پیوسته همراه با مشتق آن در قطعه [α,β] است.

فرمول های انتقال از مختصات قطبی:

پارامتری در نظر گرفته شود:

ϕ - پارامتر، مطابق با f-le

مثال: محاسبه طول منحنی:
>0

Z-tion: نیمی از محیط را محاسبه کنید:

حجم بدن از سطح مقطع بدن محاسبه می شود.

اجازه دهید جسمی که توسط یک سطح بسته محدود شده است داده شود و مساحت هر بخش از این جسم با صفحه ای عمود بر محور Ox شناخته شود. این ناحیه به موقعیت صفحه برش بستگی دارد.

بگذارید کل بدن بین 2 صفحه عمود بر محور x محصور شود و آن را در نقاط x=a, x=b (a) قطع کنند

برای تعیین حجم چنین جسمی با استفاده از صفحات برش عمود بر محور Ox و در نقاطی که آن را قطع می کنند، آن را به لایه ها تقسیم می کنیم. در هر بازه جزئی
. بیایید انتخاب کنیم

و برای هر مقدار i=1,….,n یک جسم استوانه ای می سازیم که ژنراتیکس آن موازی با Ox است و راهنما خط برش بدن با صفحه x=С i حجم چنین استوانه ای با مساحت پایه S=C i و ارتفاع ∆х i . V i =S(C i)∆x i . حجم تمام این گونه استوانه های ابتدایی خواهد بود
. حد این مجموع، اگر وجود داشته باشد و در حداکثر ∆х  0 محدود باشد، حجم جسم داده شده نامیده می شود.

. از آنجایی که Vn مجموع انتگرال یک تابع S(x) پیوسته روی یک قطعه است، پس حد مشخص شده وجود دارد (t-ma of وجود) و با def بیان می شود. انتگرال

- حجم بدن از سطح مقطع محاسبه می شود.

حجم بدنه انقلاب:

بگذارید بدن با چرخش حول محور Ox یک ذوزنقه منحنی شکل که با نمودار تابع y=f(x)، محور Ox و خطوط مستقیم x=a, x=b محدود شده است، تشکیل شود.

بگذارید تابع y=f(x) تعریف شده و پیوسته روی قطعه و غیرمنفی روی آن باشد، سپس برش این جسم با صفحه ای عمود بر Ox دایره ای با شعاع R=y(x)=f(x) است. ) . مساحت دایره S (x) \u003d Py 2 (x) \u003d P 2. جایگزین کردن فرمول
ما یک فرمول برای محاسبه حجم یک جسم چرخشی حول محور Ox به دست می آوریم:

با این حال، اگر یک ذوزنقه منحنی حول محور Oy بچرخد که توسط یک نمودار پیوسته روی تابع محدود شده است، حجم چنین بدنه چرخشی:

همان حجم را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:
. اگر خط با معادلات پارامتری داده شود:

با تغییر متغیر بدست می آوریم:

اگر خط با معادلات پارامتری داده شود:

y (α)= c، y (β)= d. با ایجاد تغییر y = y (t) دریافت می کنیم:

اجسام چرخشی حول محور y سهمی را محاسبه کنید، .

2) V بدنه چرخش را حول محور OX یک ذوزنقه منحنی که با یک خط مستقیم y \u003d 0، یک قوس محدود شده است، محاسبه کنید. (با مرکز در نقطه (1;0)، و شعاع=1)، با .

سطح یک بدنه انقلاب

بگذارید سطح داده شده با چرخش منحنی y=f(x) حول محور x تشکیل شود. لازم است S این سطح را در .

اجازه دهید تابع y \u003d f (x) معین و پیوسته باشد، در تمام نقاط قطعه [a; c] غیر منفی و غیرمنفی باشد.

بیایید آکوردهایی را بکشیم که طول آنها را به ترتیب نشان می دهیم (آکوردهای n)

طبق قضیه لاگرانژ:

سطح کل خط شکسته محدود شده برابر خواهد بود

تعریف: حد این مجموع، اگر محدود باشد، وقتی بزرگترین پیوند چندخط max باشد، مساحت سطح چرخش در نظر گرفته شده نامیده می شود.

می توان ثابت کرد که صد حد از مجموع برابر است با حد مجموع یکپارچه برای p-th.

فرمول برای سطح S یک جسم چرخشی =

S از سطح تشکیل شده توسط چرخش قوس منحنی x=g(x) حول محور Oy در

پیوسته با مشتق آن

اگر منحنی به صورت پارامتریک توسط ur-mi داده شودایکس=x(t) ،y= تی(تی) کارکردایکس’(تی), y’(تی), ایکس(تی), y(تی) در بخش [آ; ب], ایکس(آ)= آ, ایکس(ب)= بسپس تغییر تعویض را انجام دهیدایکس= ایکس(تی)

اگر منحنی به صورت پارامتری داده شود، با ایجاد تغییر در فرمول، دریافت می کنیم:

اگر معادله منحنی در سیستم مختصات قطبی داده شود

اسسطح چرخش حول محور برابر خواهد بود

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

من فکر می کنم که چگونه می توان حدود ادغام "a" و "be" را تعیین کرد، از نقاشی تکمیل شده به راحتی حدس زد.

حجم بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنید:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

مثال 2

حجم جسمی را که با چرخش حول محور شکل محدود شده توسط خطوط، تشکیل شده است، بیابید.

این یک مثال برای خودتان است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مشکل پیچیده تر را در نظر بگیریم که اغلب در عمل نیز با آنها مواجه می شویم.

مثال 3

محاسبه حجم جسم به دست آمده از چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده توسط خطوط، و

شکل مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است. وقتی حول محور می چرخد، چنین دونات سورئال با چهار گوشه به دست می آید.

حجم بدنه انقلاب به صورت محاسبه می شود اختلاف حجم بدن.

و بدیهی است که تفاوت در حجم ها دقیقاً حجم "دونات" ما است.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر است، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی صحبت کنیم.

پس از یک انحراف غنایی، فقط مناسب است که یک کار خلاقانه را حل کنیم:

مثال 4

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح محدود شده با خطوط , , که در آن .

این یک مثال برای خودتان است. لطفا توجه داشته باشید که همه چیز در باند اتفاق می افتد، به عبارت دیگر، محدودیت های یکپارچه سازی تقریبا آماده داده شده است. همچنین سعی کنید نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی ترسیم کنید، اگر آرگومان بر دو تقسیم شود، سپس نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. سعی کنید حداقل 3-4 امتیاز پیدا کنید طبق جداول مثلثاتیو نقاشی را دقیق تر کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

محاسبه حجم جسمی که در اثر چرخش ایجاد می شود
شکل صاف حول یک محور

پاراگراف دوم حتی جالب تر از پاراگراف اول خواهد بود. وظیفه محاسبه حجم یک بدنه چرخشی حول محور y نیز در آزمایش‌ها یک بازدیدکننده نسبتاً مکرر است. گذرا در نظر گرفته خواهد شد مشکل پیدا کردن مساحت یک شکلراه دوم - ادغام در امتداد محور، این به شما امکان می دهد نه تنها مهارت های خود را بهبود بخشید، بلکه به شما یاد می دهد که چگونه سودآورترین راه حل را پیدا کنید. معنای کاربردی هم دارد! همانطور که معلم من در روش تدریس ریاضی با لبخند به یاد می آورد، بسیاری از فارغ التحصیلان از او با این جمله تشکر کردند: "موضوع شما کمک زیادی به ما کرد، اکنون ما مدیران موثری هستیم و کارکنان خود را بهینه مدیریت می کنیم." با استفاده از این فرصت، من نیز از او سپاسگزاری می کنم، به خصوص که از دانش به دست آمده برای هدف مورد نظر خود استفاده می کنم =).

مثال 5

با توجه به یک شکل مسطح محدود شده توسط خطوط،،.

1) مساحت یک شکل صاف که با این خطوط محدود شده است را پیدا کنید.
2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، بیابید.

توجه!حتی اگر بخواهید فقط پاراگراف دوم را بخوانید، اول لزومااولی را بخوانید!

راه حل:کار از دو بخش تشکیل شده است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید طراحی را اجرا کنیم:

به راحتی می توان فهمید که تابع شاخه بالایی سهمی را تعریف می کند و تابع شاخه پایینی سهمی را تعریف می کند. پیش روی ما سهمی بی اهمیت است که "در کنار خود قرار دارد."

شکل مورد نظر، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنیم؟ می توان آن را به روش "معمول" که در درس مورد توجه قرار گرفت، یافت. انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل. علاوه بر این، مساحت شکل به عنوان مجموع مساحت ها یافت می شود:
- در بخش؛
- در بخش

از همین رو:

راه حل معمول در این مورد چه اشکالی دارد؟ اول، دو انتگرال وجود دارد. ثانیاً، ریشه های زیر انتگرال، و ریشه در انتگرال ها موهبتی نیستند، علاوه بر این، می توان در جایگزینی حدود انتگرال دچار سردرگمی شد. در واقع، انتگرال ها، البته، کشنده نیستند، اما در عمل همه چیز بسیار غم انگیزتر است، من فقط توابع "بهتر" را برای این کار انتخاب کردم.

راه حل منطقی تری وجود دارد: این شامل انتقال به توابع معکوس و ادغام در امتداد محور است.

چگونه به توابع معکوس منتقل کنیم؟ به طور کلی، شما باید "x" را از طریق "y" بیان کنید. ابتدا به سهمی می پردازیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین مشتق کرد:

با یک خط مستقیم، همه چیز آسان تر است:

اکنون به محور نگاه کنید: لطفاً همانطور که توضیح می دهید، به طور دوره ای سر خود را به سمت راست 90 درجه خم کنید (این یک شوخی نیست!). شکل مورد نیاز ما روی قسمت قرار دارد که با خط نقطه قرمز نشان داده شده است. در همان زمان، در بخش، خط مستقیم بالای سهمی قرار دارد، به این معنی که مساحت شکل را باید با استفاده از فرمولی که قبلاً برای شما آشناست پیدا کنید:. چه چیزی در فرمول تغییر کرده است؟ فقط یک نامه و نه بیشتر.

! توجه: حدود یکپارچه سازی در امتداد محور باید تعیین شود به شدت از پایین به بالا!

پیدا کردن منطقه:

بنابراین در بخش:

توجه کنید که من چگونه ادغام را انجام دادم، این منطقی ترین راه است و در پاراگراف بعدی تکلیف مشخص خواهد شد که چرا.

برای خوانندگانی که در صحت ادغام شک دارند، مشتقاتی را خواهم یافت:

انتگرال اصلی به دست می آید، به این معنی که ادغام به درستی انجام شده است.

پاسخ:

2) حجم جسمی را که از چرخش این شکل حول محور تشکیل شده است محاسبه کنید.

من نقاشی را با یک طرح کمی متفاوت دوباره ترسیم می کنم:

بنابراین، شکل سایه دار به رنگ آبی حول محور می چرخد. نتیجه یک "پروانه معلق" است که حول محور خود می چرخد.

برای یافتن حجم بدنه انقلاب در امتداد محور ادغام می کنیم. ابتدا باید به سراغ توابع معکوس برویم. این کار قبلا انجام شده و در پاراگراف قبل به تفصیل توضیح داده شده است.

حالا دوباره سرمان را به سمت راست خم می کنیم و شکل خود را مطالعه می کنیم. بدیهی است که حجم بدنه انقلاب را باید به عنوان اختلاف بین احجام یافت.

شکل دایره شده به رنگ قرمز را حول محور می چرخانیم و در نتیجه یک مخروط کوتاه ایجاد می کنیم. بیایید این حجم را با علامت گذاری کنیم.

شکل دایره شده به رنگ سبز را حول محور می چرخانیم و آن را از طریق حجم بدنه حاصل از چرخش نشان می دهیم.

حجم پروانه ما برابر با اختلاف حجم است.

ما از فرمول برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

چه تفاوتی با فرمول پاراگراف قبل دارد؟ فقط در حروف.

و اینجاست که مزیت یکپارچه سازی، که اخیراً در مورد آن صحبت کردم، بسیار ساده تر از بالا بردن انتگرال به توان چهارم است.

پاسخ:

با این حال، یک پروانه بیمار.

توجه داشته باشید که اگر همان شکل مسطح حول محور بچرخد، بدنه چرخشی کاملاً متفاوتی به وجود می‌آید، با حجمی طبیعی و متفاوت.

مثال 6

با توجه به یک شکل صاف محدود شده توسط خطوط و یک محور.

1) به توابع معکوس بروید و با ادغام کردن روی متغیر، مساحت یک شکل صاف را که با این خطوط محدود شده است، پیدا کنید.
2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح که توسط این خطوط حول محور محدود شده است، محاسبه کنید.

این یک مثال برای خودتان است. کسانی که مایل هستند همچنین می توانند مساحت شکل را به روش "معمول" پیدا کنند و بدین ترتیب تست نقطه 1 را تکمیل کنند). اما اگر، تکرار می کنم، یک شکل صاف را حول محور بچرخانید، بدنه چرخشی کاملاً متفاوتی با حجم متفاوت به دست می آورید، اتفاقاً پاسخ صحیح (همچنین برای کسانی که دوست دارند حل کنند).

حل کامل دو مورد پیشنهادی تکلیف در پایان درس.

اوه، و فراموش نکنید که سر خود را به سمت راست خم کنید تا بدن های چرخشی و درون یکپارچگی را درک کنید!

من می خواستم، قبلاً، مقاله را تمام کنم، اما امروز یک مثال جالب را فقط برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی حول محور y آوردند. تازه:

مثال 7

حجم جسمی را که با چرخش حول محور شکل محدود شده توسط منحنی ها و. شاخه استفاده نشده سمت چپ سهمی با تابع معکوس مطابقت دارد - نمودار تابع در قسمت بالای محور قرار دارد.

منطقی است که فرض کنیم حجم یک بدنه انقلاب را باید از قبل به عنوان مجموع حجم بدنه های انقلاب جستجو کرد!

ما از فرمول استفاده می کنیم:

در این مورد:

پاسخ:

AT مشکل یافتن مساحت یک شکلمعمولاً از جمع نواحی استفاده می شود و جمع بندی حجم بدنه های انقلاب ظاهراً نادر است، زیرا چنین تنوعی تقریباً از میدان دید من خارج شده است. با این حال، خوب است که مثال در نظر گرفته شده به موقع ظاهر شد - ما موفق شدیم چیزهای مفید زیادی را بیرون بکشیم.

تبلیغ موفق چهره ها!

بجز یافتن مساحت یک شکل صاف با استفاده از یک انتگرال معین (به 7.2.3 مراجعه کنید.)مهمترین کاربرد تم است محاسبه حجم یک بدنه چرخشی. مطالب ساده است، اما خواننده باید آماده باشد: لازم است که بتواند حل کند انتگرال های نامعینپیچیدگی متوسط و استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس در انتگرال معین، nمهارت های پیش نویس قوی نیز مورد نیاز است. به طور کلی، کاربردهای جالب زیادی در حساب انتگرال وجود دارد؛ با استفاده از یک انتگرال معین، می توانید مساحت یک شکل، حجم یک جسم چرخشی، طول قوس، مساحت سطح را محاسبه کنید. بدن، و خیلی بیشتر. یک شکل صاف را روی صفحه مختصات تصور کنید. نمایندگی؟ ... حال این شکل را نیز می توان چرخاند و به دو صورت چرخاند:

- حول محور x ;

- حول محور y .

بیایید نگاهی به هر دو مورد بیاندازیم. روش دوم چرخش به ویژه جالب است، بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع راه حل تقریباً مشابه چرخش رایج تر حول محور x است. بیایید با محبوب ترین نوع چرخش شروع کنیم.

محاسبه حجم جسمی که از چرخش یک شکل صاف به دور یک محور تشکیل شده است گاو نر

مثال 1

حجم جسم را با چرخاندن شکل محدود شده با خطوط حول محور محاسبه کنید.

راه حل:همانطور که در مشکل یافتن منطقه، راه حل با طراحی یک شکل صاف شروع می شود. یعنی در هواپیما XOYلازم است یک شکل محدود با خطوط ساخته شود، در حالی که فراموش نکنید که معادله محور را تعریف می کند. نقاشی در اینجا بسیار ساده است:

شکل مسطح مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است، این اوست که حول محور می چرخد. در نتیجه چرخش، چنین بشقاب پرنده کمی تخم مرغی شکل با دو قله تیز روی محور به دست می آید. گاو نر، متقارن حول محور گاو نر. در واقع بدن یک نام ریاضی دارد، در کتاب مرجع نگاه کنید.

چگونه حجم یک بدنه انقلاب را محاسبه کنیم؟ اگر جسم در نتیجه چرخش حول یک محور تشکیل شده باشدگاو نر، از نظر ذهنی به لایه های موازی با ضخامت کم تقسیم می شود dxکه عمود بر محور هستند گاو نر. حجم کل بدن آشکارا برابر است با مجموع حجم چنین لایه های ابتدایی. هر لایه، مانند یک برش گرد لیمو، یک استوانه کم ارتفاع دارد dxو با شعاع پایه f(ایکس). سپس حجم یک لایه حاصل ضرب سطح پایه π است f 2 به ارتفاع سیلندر ( dx) یا π∙ f 2 (ایکس)∙dx. و مساحت کل بدنه انقلاب مجموع احجام اولیه یا انتگرال معین مربوطه است. حجم یک بدنه چرخشی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

نحوه تنظیم محدودیت های ادغام "a" و "be" به راحتی می توان از نقشه تکمیل شده حدس زد. تابع ... این تابع چیست؟ بیایید به نقاشی نگاه کنیم. شکل مسطح با نمودار سهمی از بالا محدود می شود. این تابعی است که در فرمول ذکر شده است. در کارهای عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف در زیر محور قرار داد گاو نر. این چیزی را تغییر نمی دهد - تابع در فرمول مربع است: f 2 (ایکس)، بدین ترتیب، حجم یک بدنه انقلاب همیشه غیرمنفی است، که کاملاً منطقی است. حجم بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنید:

همانطور که قبلاً اشاره کردیم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

در پاسخ باید ابعاد - واحدهای مکعب را مشخص کرد. یعنی در بدنه چرخشی ما تقریباً 3.35 "مکعب" وجود دارد. چرا دقیقا مکعب واحدها? زیرا جهانی ترین فرمولاسیون است. ممکن است سانتی متر مکعب باشد، ممکن است متر مکعب باشد، ممکن است کیلومتر مکعب باشد، و غیره، این چند مرد کوچک سبز است که تصور شما می تواند در یک بشقاب پرنده جا شود.

مثال 2

حجم جسمی را که از چرخش حول یک محور تشکیل شده است، بیابید گاو نرشکل محدود شده توسط خطوط , , .

این یک مثال برای خودتان است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

مثال 3

حجم جسمی را که با چرخش حول محور آبسیسا شکل محصور شده توسط خطوط، و .

راه حل:اجازه دهید در نقاشی یک شکل صاف را به تصویر بکشیم که با خطوط،،،، محدود شده است، در حالی که فراموش نکنیم که معادله ایکس= 0 محور را مشخص می کند OY:

شکل مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است. وقتی حول محور می چرخد گاو نربه نظر می رسد یک نان شیرینی مسطح زاویه ای (یک واشر با دو سطح مخروطی).

حجم بدنه انقلاب به صورت محاسبه می شود اختلاف حجم بدن. ابتدا به شکلی که به رنگ قرمز دایره شده است نگاه می کنیم. وقتی حول محور می چرخد گاو نردر نتیجه یک مخروط کوتاه ایجاد می شود. اجازه دهید حجم این مخروط کوتاه شده را به صورت مشخص نشان دهیم V 1 .

شکلی را که به رنگ سبز دایره شده است در نظر بگیرید. اگر این شکل را حول محور بچرخانیم گاو نر، سپس یک مخروط کوتاه نیز دریافت می کنید، فقط کمی کوچکتر. اجازه دهید حجم آن را با علامت گذاری کنیم V 2 .

بدیهی است که تفاوت حجم V = V 1 - V 2 حجم "دونات" ماست.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر است، چیزی شبیه به این: