تئوری الاستیسیته- شاخه ای از مکانیک پیوسته که به مطالعه جابجایی ها، تغییر شکل ها و تنش های اجسام در حالت سکون یا در حال حرکت تحت تأثیر بارها می پردازد. هدف این نظریه استخراج معادلات ریاضی است که حل آنها به ما امکان می دهد به سؤالات زیر پاسخ دهیم: اگر باری با قدر معین در مکان های شناخته شده روی آن اعمال شود، تغییر شکل های این جسم خاص چگونه خواهد بود؟ تنش در بدن چگونه خواهد بود؟ این سؤال که آیا بدن در حال فروپاشی یا مقاومت در برابر این بارها است، ارتباط نزدیکی با تئوری کشش دارد، اما، به طور دقیق، در حیطه این نظریه نیست.

تعداد نمونه‌های ممکن نامحدود است - از تعیین تغییر شکل‌ها و تنش‌ها در تیری که روی تکیه‌گاه‌ها قرار دارد و با نیرو بارگذاری شده است، تا محاسبه همان مقادیر در ساختار هواپیما، کشتی، زیردریایی، در چرخ کالسکه، در زره پوش. هنگام اصابت پرتابه، در رشته کوه هنگام عبور از یک ادیت، در چارچوب یک ساختمان بلند و غیره. در اینجا باید یک اخطار انجام داد: ساختارهای متشکل از عناصر جدار نازک با استفاده از تئوری های ساده شده که به طور منطقی مبتنی بر تئوری کشش است محاسبه می شوند. این نظریه ها عبارتند از: تئوری مقاومت مواد در برابر بار (معروف "مقاومت مقاومت") که وظیفه آن عمدتاً محاسبه میله ها و تیرها است. مکانیک سازه - محاسبه سیستم های میله ای (به عنوان مثال، پل). و در نهایت، نظریه پوسته ها اساساً یک رشته علمی مستقل و بسیار توسعه یافته در مورد تغییر شکل ها و تنش ها است که موضوع تحقیق آن مهم ترین عناصر سازه ای - پوسته های جدار نازک - استوانه ای، مخروطی، کروی و دارای می باشد. اشکال پیچیده تر بنابراین در تئوری کشسانی معمولاً اجسامی که ابعاد اساسی آنها تفاوت زیادی با هم ندارند در نظر می گیرند. بنابراین، یک جسم الاستیک با یک شکل معین در نظر گرفته می شود که نیروهای شناخته شده روی آن عمل می کنند.

مفاهیم اساسی تئوری کشسانی، تنش‌هایی است که بر نواحی کوچکی وارد می‌شوند که می‌توان آن‌ها را از طریق یک نقطه معین در بدن ترسیم کرد. م، تغییر شکل های محله کوچک یک نقطه مو حرکت دادن خود نقطه م. به طور دقیق تر، تانسورهای تنش معرفی شده اند ijتانسور تغییر شکل کوچک e ijو بردار جابجایی تو من.

نام کوتاه s ij، جایی که شاخص ها من, jگرفتن مقادیر 1، 2، 3 باید به عنوان یک ماتریس از شکل درک شود:

نماد کوتاه تانسور e نیز باید به طور مشابه درک شود ij.

اگر یک نقطه فیزیکی از بدن مبه دلیل تغییر شکل، موقعیت جدیدی در فضا گرفت مسپس بردار جابجایی یک بردار با مولفه های ( u x u y u z) یا به طور خلاصه تو من. در تئوری تغییر شکل های کوچک اجزاء تو منو e منمقادیر کوچک در نظر گرفته می شوند (به بیان دقیق، بی نهایت کوچک). اجزای تانسور e ijو بردار u ijبا فرمول های کوشی مرتبط هستند که به شکل زیر هستند:

واضح است که e xy= e yx، و به طور کلی، e ij= e جی، بنابراین تانسور کرنش طبق تعریف متقارن است.

اگر جسم الاستیک تحت تأثیر نیروهای خارجی در حالت تعادل باشد (یعنی سرعت تمام نقاط آن برابر با صفر باشد)، هر قسمتی از بدن که بتوان از نظر ذهنی از آن جدا شود نیز در حالت تعادل است. یک متوازی الاضلاع مستطیلی کوچک (به بیان دقیق، بینهایت کوچک) از بدنه خودنمایی می کند که لبه های آن موازی با صفحات مختصات سیستم دکارتی است. Oxyz(عکس. 1).

اجازه دهید لبه های متوازی الاضلاع دارای طول باشند dx, دو, dzبر این اساس (در اینجا، طبق معمول dxدیفرانسیل وجود دارد ایکس، و غیره.). بر اساس تئوری تنش، اجزای تانسور تنش بر روی وجوه یک موازی شکل عمل می کنند که نشان داده می شود:

در آستانه OADG:s xx، س xy، س xz

در آستانه OABC:s yx، س yy، س yz

در آستانه DABE:s zx، س zy، س zz

در این مورد، اجزایی با شاخص های یکسان (مثلا s xx) عمود بر صورت و با شاخص های مختلف - در صفحه سایت عمل کنید.

در وجوه مخالف، مقادیر همان اجزای تانسور تنش کمی متفاوت است، این به دلیل این واقعیت است که آنها تابع مختصات هستند و از نقطه ای به نقطه دیگر تغییر می کنند (همیشه، به جز در ساده ترین موارد شناخته شده)، و کوچکی تغییر با ابعاد کوچک موازی شکل همراه است، بنابراین می توانیم فرض کنیم که اگر در آستانه OABCولتاژ s اعمال می شود yy، سپس در آستانه GDEFولتاژ s اعمال می شود yy+ds yyو مقدار کمی از ds yyدقیقاً به دلیل کوچک بودن آن، می توان آن را با استفاده از بسط سری تیلور تعیین کرد:

(در اینجا از مشتقات جزئی استفاده می شود، زیرا اجزای تانسور تنش به آن بستگی دارد ایکس, y, z).

به همین ترتیب، ما می‌توانیم تنش‌های موجود در تمام چهره‌ها را از طریق s بیان کنیم ijو ds ij. در مرحله بعد، برای حرکت از تنش ها به نیروها، باید مقدار تنش را در ناحیه ناحیه ای که روی آن تأثیر می گذارد ضرب کنید (به عنوان مثال، s yy+ds yyضربدر dx dz). هنگامی که تمام نیروهای وارد بر متوازی الاضلاع مشخص شد، می توان، همانطور که در استاتیک انجام می شود، معادله تعادل جسم را یادداشت کرد، در حالی که در تمام معادلات برای بردار اصلی، فقط عبارت های مشتق باقی می ماند، زیرا تنش ها خودشان همدیگر را خنثی می کنند و عوامل dx dy dzکاهش یافته و در نتیجه

به همین ترتیب، معادلات تعادلی به دست می‌آیند که برابری صفر ممان اصلی تمام نیروهای وارد بر متوازی الاضلاع را بیان می‌کند که به شکل زیر کاهش می‌یابد:

این برابری ها به این معنی است که تانسور تنش یک تانسور متقارن است. بنابراین، برای 6 جزء ناشناخته s ijسه معادله تعادل وجود دارد، یعنی معادلات استاتیک برای حل مسئله کافی نیست. راه خروج بیان ولتاژهای s است ijاز طریق تغییر شکل ها e ijبا استفاده از معادلات قانون هوک و سپس تغییر شکل e ijبیان از طریق حرکات تو منبا استفاده از فرمول کوشی، و نتیجه را با معادلات تعادل جایگزین کنید. این سه معادله تعادل دیفرانسیل برای سه تابع مجهول ایجاد می کند u x u y u z، یعنی تعداد مجهولات برابر است با تعداد معادلات. این معادلات را معادلات لامه می نامند

نیروهای جرمی (وزن و غیره) در نظر گرفته نمی شوند

د – عملگر لاپلاس، یعنی

اکنون باید شرایط مرزی را روی سطح بدن تنظیم کنید.

انواع اصلی این شرایط به شرح زیر است:

1. در قسمت شناخته شده ای از سطح بدن S 1، جابجایی ها مشخص شده است، یعنی. بردار جابجایی برابر است با بردار شناخته شده با اجزای ( f x; f y; f z):

u x = f(xyz)

تو y= f(xyz)

تو z = f(xyz)

(f x, f y, f z- توابع مختصات شناخته شده)

2. در بقیه سطح اس 2 نیروی سطحی مشخص شده است. این بدان معناست که توزیع تنش در داخل بدنه به گونه ای است که مقادیر تنش در مجاورت سطح و در حد، در سطح در هر ناحیه ابتدایی، بردار تنش برابر با بردار بار خارجی شناخته شده ایجاد می کند. اجزاء ( Fx ;Fy ; F z) نیروهای سطحی از نظر ریاضی به این صورت نوشته می شود: اگر در یک نقطه آسطح، واحد بردار نرمال به این سطح دارای اجزاء است n x, n y, n zسپس در این مرحله باید برابری ها با توجه به اجزای (ناشناخته) s برآورده شوند ij: ه ij، سپس برای سه مجهول شش معادله به دست می آوریم، یعنی یک سیستم بیش از حد تعیین شده. این سیستم تنها در صورت رعایت شرایط اضافی در مورد e راه حل خواهد داشت ij. این شرایط معادلات سازگاری هستند.

این معادلات اغلب شرایط تداوم نامیده می شوند، به این معنی که آنها تداوم بدن را پس از تغییر شکل تضمین می کنند. این عبارت تصویری، اما نادقیق است: اگر اجزای تغییر شکل‌ها (یا تنش‌ها) را مجهول در نظر بگیریم، این شرایط وجود یک میدان پیوسته از جابجایی‌ها را تضمین می‌کند. عدم تحقق این شرایط منجر به نقض تداوم نمی شود، بلکه منجر به عدم وجود راه حل برای مشکل می شود.

بنابراین، نظریه الاستیسیته معادلات دیفرانسیل و شرایط مرزی را ارائه می دهد که امکان فرمول بندی مسائل ارزش مرزی را فراهم می کند، حل آنها اطلاعات کاملی را در مورد توزیع تنش ها، کرنش ها و جابجایی ها در بدنه های مورد بررسی ارائه می دهد. روش‌های حل چنین مسائلی بسیار پیچیده است و بهترین نتایج با ترکیب روش‌های تحلیلی با روش‌های عددی با استفاده از رایانه‌های قدرتمند به دست می‌آید.

ولادیمیر کوزنتسوف

4. ساختار زمین با توجه به داده های لرزه شناسی

مبانی تئوری الاستیسیته: تانسور کرنش، تانسور تنش، قانون هوک، مدول الاستیک، تغییر شکل‌های همگن، امواج الاستیک در محیط همسانگرد، قوانین فرما، هویگنس، اسنل. امواج لرزه ای. توسعه مشاهدات لرزه‌سنجی: ایستگاه‌های لرزه‌نگاری و شبکه‌های آنها، هودوگراف، مسیر امواج در داخل زمین. تعیین سرعت انتشار امواج لرزه ای با استفاده از معادله Hertlots-Wiechert. سرعت امواج طولی و عرضی به عنوان تابعی از شعاع زمین. وضعیت ماده زمین بر اساس داده های زلزله شناسی. پوسته زمین. لیتوسفر و استنوسفر. زلزله شناسی و زمین ساخت جهانی.

مبانی تئوری کشش[Landau, Lifshits, 2003, p. 9-25، 130-144]

تانسور کرنش

مکانیک جامدات که به عنوان محیط پیوسته در نظر گرفته می شود، محتوا است نظریه کشش. معادلات اساسی تئوری کشش توسط O.L. کوشی و اس.د. پواسون در دهه 20 قرن 19 (برای جزئیات بیشتر، به فصل 15 مراجعه کنید).

تحت تأثیر نیروهای اعمال شده، اجسام جامد به یک درجه تغییر شکل می دهند، یعنی. شکل و حجم آنها را تغییر دهید. برای توصیف ریاضی تغییر شکل یک جسم، به صورت زیر عمل کنید. موقعیت هر نقطه از بدن با بردار شعاع آن r (با اجزای x 1 = x، x 2 = y، x 3 = z) در یک سیستم مختصات مشخص تعیین می شود. وقتی جسمی تغییر شکل می‌دهد، به طور کلی، تمام نقاط آن جابه‌جا می‌شوند. اجازه دهید نقطه خاصی از بدن را در نظر بگیریم. اگر بردار شعاع آن قبل از تغییر شکل r باشد، در جسم تغییر شکل یافته مقدار دیگری خواهد داشت

مقدار r / (با اجزای x i /). سپس جابجایی یک نقطه بدن در هنگام تغییر شکل با بردار r / - r نشان داده می شود که آن را با حرف u نشان می دهیم:

u = x/ − x.

بردار u نامیده می شود بردار تغییر شکل(یا بردار جابجایی). دانش بردار u

به عنوان تابعی از x i به طور کامل تغییر شکل بدن را تعیین می کند.

وقتی جسمی تغییر شکل می‌دهد، فواصل بین نقاط آن تغییر می‌کند. اگر بردار شعاع بین آنها قبل از تغییر شکل dx i بود، در جسم تغییر شکل یافته شعاع

بردار بین همان دو نقطه dx i / = dx i + du i خواهد بود. فاصله بین نقاط قبل از تغییر شکل برابر بود با:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2،

و بعد از تغییر شکل:

dl / = dx 1 / 2 + dx 2 / 2 + dx 3 / 2 .

در نهایت می رسیم:

dl / 2 = dl 2 + 2 u

∂u i

∂u k

∂u l

∂u l

∂xk

∂xk

∂x i

∂x i

این عبارات تغییر در عنصر طول را در هنگام تغییر شکل بدن تعیین می کنند. تانسور u ik نامیده می شود تانسور کرنش; طبق تعریف آن متقارن است:

u ik = u ki .

مانند هر تانسور متقارن، تانسور u ik در هر نقطه را می توان به کاهش داد

محورهای اصلی و مطمئن شوید که در هر عنصر از حجم بدن، تغییر شکل را می توان به عنوان مجموعه ای از سه تغییر شکل مستقل در سه جهت عمود بر هم در نظر گرفت - محورهای اصلی تانسور تغییر شکل. تقریباً در تمام موارد تغییر شکل اجسام، تغییر شکل ها کوچک هستند. این بدان معنی است که تغییر در هر فاصله در بدن در مقایسه با خود فاصله کم است. به عبارت دیگر، ازدیاد طول های نسبی در مقایسه با وحدت کوچک هستند.

به استثنای موارد خاصی که به آنها اشاره نمی کنیم، اگر بدنه دچار تغییر شکل کوچکی شود، تمام اجزای تانسور تغییر شکل نیز کوچک هستند. بنابراین، در بیان (4.3) می توانیم از جمله آخر به عنوان کمیت کمی از مرتبه دوم غفلت کنیم. بنابراین، در مورد تغییر شکل های کوچک، تانسور تغییر شکل با عبارت زیر تعیین می شود:

u = 1			∂u i	+ ∂ u k ) .
			∂xk	∂x i

بنابراین نیروها عامل حرکات (حرکات) در بدن هستند و تغییر شکلها نتیجه حرکات هستند [Khaikin, 1963, p. 176].

فرض اصلی نظریه کلاسیک کشش

در یک جسم تغییرشکل نیافته، آرایش مولکول ها با حالت تعادل حرارتی آن مطابقت دارد. در عین حال، تمام قطعات آن با یکدیگر در تعادل مکانیکی هستند. به این معنی که اگر مقداری حجم را در داخل بدنه انتخاب کنید، حاصل تمام نیروهای وارد بر این حجم از قسمت های دیگر برابر با صفر است.

با تغییر شکل، آرایش مولکول ها تغییر می کند و بدن از حالت تعادلی که در ابتدا در آن قرار داشت خارج می شود. در نتیجه، نیروهایی در آن به وجود می آیند که تلاش می کنند بدن را به حالت تعادل برگردانند. این نیروهای داخلی ناشی از تغییر شکل نامیده می شوند استرس های داخلی. اگر بدن تغییر شکل ندهد، هیچ تنش داخلی در آن وجود ندارد.

تنش های داخلی توسط پیوندهای مولکولی ایجاد می شوند، به عنوان مثال. نیروهای برهمکنش مولکول های بدن با یکدیگر. برای تئوری الاستیسیته این واقعیت بسیار مهم است که نیروهای مولکولی شعاع عمل بسیار کمی دارند. تأثیر آنها در اطراف ذره ای گسترش می یابد که آنها را فقط در فاصله ای از مرتبه ذرات بین مولکولی ایجاد می کند. اما در تئوری الاستیسیته مانند نظریه ماکروسکوپی فقط فواصل بزرگی در مقایسه با بین مولکولی در نظر گرفته می شود. بنابراین، «شعاع عمل» نیروهای مولکولی در تئوری کشسانی باید برابر با صفر در نظر گرفته شود. می‌توان گفت که نیروهایی که باعث ایجاد تنش‌های داخلی می‌شوند، نیروهای «کوتاه‌برد» در تئوری الاستیسیته هستند که از هر نقطه فقط به نزدیک‌ترین نقاط به آن منتقل می‌شوند.

بنابراین، در نظریه کلاسیک الاستیسیته، نیروهای وارد بر هر قسمت از بدن از قسمت های اطراف آن، این اثر را نشان می دهند. فقط مستقیماً از طریق سطحاین قسمت از بدن

در واقع نویسنده اثر بنیادی [Khaikin, 1963, p. 484].

تانسور استرس

این نتیجه گیری که همه نیروها فقط از طریق سطح عمل می کنند، کلید تئوری کلاسیک الاستیسیته است. این اجازه می دهد تا برای هر حجمی از بدن هر یک از سه جزء حاصل از تمام تنش ها و نیروهای داخلی

∫ F i dV (که در آن F i نیروی وارد بر واحد حجم dV است) به یک انتگرال روی سطح این حجم تبدیل می شود. در این مورد، همانطور که از تجزیه و تحلیل برداری به شرح زیر است، بردار F i باید واگرایی برخی از تانسورهای رتبه دوم باشد، یعنی. شبیه:

F i = ∂ σ ik . (4.6)

∂xk

سپس نیروی وارد بر یک حجم معین را می توان به صورت انتگرال بر روی سطح بسته ای که این حجم را می پوشاند نوشت:

∫ Fi dV = ∫ ∂ ∂ σ x ik			= ∫ σ ik df k،
که در آن بردار d f = df 2			Df 2	جهت دار	در امتداد نرمال بیرونی به سطح،

پوشش حجم dV

تانسور σ ik نامیده می شود تانسور استرس. همانطور که از (4.7) مشاهده می شود، σ ik df k i است

جزء نیروی وارد بر عنصر سطح d f. با انتخاب عناصر سطحی در صفحات xy، yz، xz، متوجه می شویم که جزء σ ik تانسور تنش

مولفه i-ام نیروی وارد بر واحد سطح عمود بر محور x است. بنابراین، در واحد سطح عمود بر محور x، نرمال به

او (در امتداد محور x) نیروی σ xx و مماسی (در امتداد محورهای y و z)

نیروهای σ yx و σ zx.

توجه داشته باشید که نیروی وارد شده از تنش های داخلی بر تمام سطح بدن، بر خلاف (4.7)، برابر است با:

− ∫ σ ik df k .

نوشتن لحظه نیروهای M ik که بر حجم معینی از بدن وارد می شوند، به شکل:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

و با الزام آن که به صورت انتگرال فقط روی سطح بیان شود، به این نتیجه می رسیم که تانسور تنش متقارن است:

σ ik = σ ki .

به یک نتیجه مشابه می توان به روشی ساده تر رسید [Sivukhin, 1974, p. 383]. برای مثال. گشتاور dM ik مستقیماً با ممان اینرسی ابتدایی متناسب است

حجم dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 و بنابراین، (F i x k - F k x i) dV = dM ik ≈ (dV)5 / 3 ≈ 0 را به دست می آوریم که به طور خودکار رابطه (4.8) را نشان می دهد.

تقارن تانسور تنش به آن اجازه می دهد تا در هر نقطه به محورهای اصلی آورده شود، یعنی. در هر نقطه تانسور تنش را می توان به صورت زیر نشان داد:

σ ik = σ xx + σ yy + σ zz .

در حالت تعادل، نیروهای تنش داخلی باید به طور متقابل در هر عنصر از حجم بدن جبران شوند، یعنی. باید F i = 0 باشد. بنابراین معادلات

تعادل یک جسم تغییر شکل یافته به شکل زیر است:

∂ σ ik = 0 .

∂xk

اگر جسم در میدان گرانش باشد، مجموع F + ρ g نیروهای تنش داخلی F و نیروی گرانش ρ g که در واحد حجم عمل می کند باید ناپدید شوند، ρ -

چگالی بدن، g – بردار شتاب سقوط آزاد. معادلات تعادل در این حالت به شکل زیر است:

∂ σ ik + ρ g i = 0 .
∂xk

نیروی کششی

بیایید چند جسم تغییر شکل یافته را در نظر بگیریم و فرض کنیم تغییر شکل آن به گونه ای تغییر می کند که بردار تغییر شکل u i مقدار کمی δ u i تغییر می کند.

اجازه دهید کار تولید شده توسط نیروهای استرس داخلی را تعیین کنیم. با ضرب نیروی (4.6) در جابجایی δ u i و ادغام در کل حجم بدن، به دست می آوریم:

		∫ ∂ x k
	δ RdV =		∂σik	δ ui dV .

نماد δ R بیانگر کار نیروهای تنش داخلی در واحد حجم بدن است. ادغام با قطعات، با در نظر گرفتن یک محیط نامحدود که در بی نهایت تغییر شکل نمی دهد، سطح انتگرال را به سمت بی نهایت هدایت می کنیم، سپس روی آن σ ik = 0، به دست می آوریم:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

بدین ترتیب در می یابیم:

δ R = − σ ikδ u ik .

فرمول حاصل کار تغییر تانسور تغییر شکل را تعیین می کند که تغییر در انرژی داخلی بدن را تعیین می کند.

ایجاد نظریه ارتجاعی و پلاستیسیته به عنوان یک شاخه مستقل از مکانیک با کار دانشمندان قرن 17 و 18 حتی در آغاز قرن 17 انجام شد. G. Galileo (1564-1642) تلاش کرد تا مشکلات کشش و خمش تیر را حل کند. او یکی از اولین کسانی بود که سعی کرد محاسبات را در مسائل مهندسی عمران اعمال کند.

تئوری خمش میله های الاستیک نازک توسط دانشمندان برجسته ای مانند E. Mariotte, J. Bernoulli Sr., S.O. Coulomb، L. Euler، و شکل گیری نظریه کشش به عنوان یک علم را می توان با آثار R. Gun، T. Jung، J.L. لاگرانژ، اس. ژرمن.

رابرت هوک (1635-1703) با انتشار در سال 1678 اساس مکانیک اجسام الاستیک را بنا نهاد. r. کاری که در آن او قانون تناسب بین بار و تغییر شکل کششی را که ایجاد کرده بود تشریح کرد. توماس یانگ (1773-1829) در همان آغاز قرن نوزدهم. مفهوم مدول الاستیسیته در کشش و فشار را معرفی کرد. او همچنین تمایزی بین تغییر شکل کششی یا فشاری و تغییر شکل برشی ایجاد کرد. آثار جوزف لویی لاگرانژ (1736-1813) و سوفی ژرمن (1776-1831) به همان زمان باز می گردد. آنها راه حلی برای مشکل خم شدن و ارتعاش صفحات الاستیک پیدا کردند. متعاقباً، تئوری صفحات توسط S. Poisson و 781-1840) و L. Navier (1785-1836) بهبود یافت.

بنابراین، در اواخر قرن 18 و آغاز قرن 19. پایه های استحکام مواد گذاشته شد و زمینه برای ظهور نظریه کشش ایجاد شد. توسعه سریع فناوری تعداد زیادی از مشکلات عملی را برای ریاضیات ایجاد کرد که منجر به توسعه سریع نظریه شد. یکی از مشکلات مهم، مسئله بررسی خواص مواد الاستیک بود. راه حل این مشکل امکان مطالعه عمیق تر و کامل تر نیروهای داخلی و تغییر شکل هایی را که در یک جسم الاستیک تحت تأثیر نیروهای خارجی ایجاد می شود، فراهم کرد.

تاریخ پیدایش نظریه ریاضی کشش را باید 1821 در نظر گرفت، زمانی که کار L. Navier منتشر شد، که در آن معادلات اساسی فرموله شد.

مشکلات بزرگ ریاضی حل مسائل در نظریه کشش توجه بسیاری از ریاضیدانان برجسته قرن نوزدهم را به خود جلب کرد: لم، کلاپیرون، پواسون و غیره. 1789-1857)، که مفهوم تغییر شکل و ولتاژ را معرفی کرد، در نتیجه استخراج معادلات عمومی را ساده کرد.

در سال 1828، دستگاه اصلی تئوری ریاضی الاستیسیته در آثار دانشمندان و مهندسان فرانسوی G. Lame (1795-1870) و B. Clapeyron (1799-1864) که در آن زمان در مؤسسه تدریس می کردند، تکمیل شد. مهندسان راه آهن در سن پترزبورگ. کار مشترک آنها کاربرد معادلات کلی را برای حل مسائل عملی ارائه کرد.

حل بسیاری از مسائل در نظریه الاستیسیته پس از آن امکان پذیر شد که مکانیک فرانسوی B.Saint-Venant (1797-1886) اصل را مطرح کرد و روشی مؤثر برای حل مسائل در نظریه کشش پیشنهاد کرد. شایستگی او، به گفته دانشمند مشهور انگلیسی A. Love (1863-1940) نیز در این واقعیت نهفته است که او مشکلات پیچش و خمش تیرها را با نظریه عمومی مرتبط می کند.

اگر ریاضیدانان فرانسوی عمدتاً با مسائل عمومی تئوری سر و کار داشتند، دانشمندان روسی با حل بسیاری از مسائل عملی مبرم سهم بزرگی در توسعه علم قدرت داشتند. از سال 1828 تا 1860، دانشمند برجسته M. V. Ostrogradsky (1801-1861) ریاضیات و مکانیک را در دانشگاه های فنی سن پترزبورگ تدریس کرد. تحقیقات او در مورد ارتعاشات ناشی از یک محیط الاستیک برای توسعه تئوری کشسانی مهم بود. اوستروگرادسکی کهکشانی از دانشمندان و مهندسان را تربیت کرد. در میان آنها باید D.I. برای تنش های مماسی در یک تیر خمشی.

A. V. Gadolin (1828-1892) مسئله تغییر شکل متقارن محوری یک لوله با دیواره ضخیم را برای مطالعه تنش های ایجاد شده در لوله های توپخانه به کار برد و یکی از اولین کسانی بود که نظریه ارتجاعی را برای یک مسئله مهندسی خاص به کار برد.

از دیگر مشکلات حل شده در پایان قرن نوزدهم، شایان ذکر است که کار خ. درجه دقت راه حل های تقریبی را تعیین کنید.

اعتبار زیادی برای توسعه علم قدرت متعلق به V. L. Kirpichev (1845-1913) است. او توانست به طور قابل توجهی روش های مختلف را برای محاسبه ساختارهای استاتیکی نامعین ساده کند. او اولین کسی بود که روش نوری را برای تعیین تجربی ولتاژها اعمال کرد و روش تشابه را ایجاد کرد.

ارتباط نزدیک با عملکرد ساخت و ساز، یکپارچگی و عمق تجزیه و تحلیل مشخصه علم شوروی است. I. G. Bubnov (1872-1919) روش تقریبی جدیدی را برای ادغام معادلات دیفرانسیل ایجاد کرد که به طرز درخشانی توسط B. G. Galerkin (1871-1945) توسعه یافت. روش تغییرات Bubnov-Galerkin در حال حاضر به طور گسترده استفاده می شود. کارهای این دانشمندان در تئوری خمش صفحه از اهمیت بالایی برخوردار است. در ادامه تحقیقات Galerkin، P.F. به نتایج مهم جدیدی دست یافت. پاپکوویچ (1887-1946).

روشی برای حل یک مسئله صفحه در تئوری کشش، بر اساس کاربرد نظریه توابع یک متغیر مختلط، توسط G.V ارائه شد. کولوسف (1867-1936). متعاقباً این روش توسط N.I توسعه و تعمیم داده شد. موسخلیشویلی (1891-1976). تعدادی از مسائل مربوط به پایداری میله ها و صفحات، ارتعاشات میله ها و دیسک ها و تئوری ضربه و فشردگی بدنه های الاستیک توسط A.N. دینیک (1876-1950). آثار L.S. اهمیت عملی زیادی دارند. لایبنزون ​​(1879-1951) در مورد پایداری تعادل الاستیک میله‌های پیچ خورده بلند، در مورد پایداری پوسته‌های کروی و استوانه‌ای. کارهای عمده وی.

نظریه پلاستیسیته تاریخچه کوتاه تری دارد. اولین نظریه ریاضی پلاستیسیته توسط سنت ونانت در دهه 70 قرن نوزدهم ایجاد شد. بر اساس آزمایشات مهندس فرانسوی G. Tresca. در آغاز قرن بیستم. آر. میزس روی مسائل پلاستیسیته کار کرد. G. Genki، L. Prandtl، T. Karman. از دهه 30 قرن بیستم، نظریه پلاستیسیته توجه حلقه بزرگی از دانشمندان برجسته خارجی (A. Nadai، R. Hill، V. Prager، F. Hodge، D. Drucker و غیره) را به خود جلب کرده است. کارهای مربوط به نظریه پلاستیسیته توسط دانشمندان شوروی V.V. سوکولوفسکی، آ.یو. ایشلینسکی، G.A. اسمیرنوا-آلیوا، L.M. Kachanova. سهم اساسی در ایجاد نظریه تغییر شکل پلاستیسیته توسط A.A. ایلیوشین. A.A. Gvozdev نظریه ای را برای محاسبه صفحات و پوسته ها بر اساس بارهای مخرب ایجاد کرد این نظریه با موفقیت توسط A.R. رژانیتسین.

نظریه خزش به عنوان شاخه ای از مکانیک یک جسم تغییر شکل پذیر نسبتاً اخیراً شکل گرفته است. اولین مطالعات در این زمینه به دهه 20 قرن بیستم باز می گردد. ماهیت کلی آنها با این واقعیت مشخص می شود که مسئله خزش برای مهندسی قدرت اهمیت زیادی داشت و مهندسان مجبور شدند به دنبال روش های ساده و سریع منجر به هدف برای حل مسائل عملی باشند. در ایجاد نظریه خزش، نقش بزرگی متعلق به نویسندگانی است که سهم قابل توجهی در ایجاد نظریه مدرن پلاستیسیته داشته اند. از این رو اشتراک بسیاری از ایده ها و رویکردها است. در کشور ما اولین آثار مربوط به نظریه مکانیکی خزش متعلق به ن.م. بلیایف (1943)، K.D. Mirtov (1946)، اولین مطالعات N.N. Malinin، Yu.N. رابوتنووا

تحقیقات در زمینه بدنه های الاستیک- ویسکوز در آثار A.Yu انجام شد. ایشلینسکی، A.N. گراسیموا، A.R. رژانیتسینا، یو.ن. رابوتنووا کاربرد این نظریه برای مواد پیر، در درجه اول بتن، در آثار N.X آورده شده است. هاروتونیان، ع.الف. گووزدوا، G.N. حجم زیادی از تحقیقات در مورد خزش مواد پلیمری توسط تیم های تحقیقاتی به رهبری A.A. ایلیوشینا، A.K. مالمیستر، ام.آی. روزوفسکی، G.N. ساوینا.

دولت شوروی توجه زیادی به علم دارد. سازماندهی موسسات تحقیقاتی و مشارکت تیم های بزرگ دانشمندان در توسعه مشکلات موضوعی امکان ارتقای علم شوروی را به سطح بالاتری فراهم کرد.

در یک بررسی کوتاه، نمی توان با جزئیات بیشتر در مورد کار همه دانشمندانی که در توسعه نظریه کشش و انعطاف پذیری مشارکت داشتند صحبت کرد. کسانی که مایل به آشنایی دقیق با تاریخچه توسعه این علم هستند می توانند به کتاب درسی N.I. بزوخوف، که در آن تجزیه و تحلیل دقیقی از مراحل اصلی در توسعه نظریه کشش و انعطاف پذیری، و همچنین کتابشناسی گسترده ارائه شده است.

1.1. فرضیه ها، اصول و تعاریف اساسی

نظریه تنش به عنوان شاخه‌ای از مکانیک پیوسته بر چند فرضیه استوار است که اصلی‌ترین آنها را باید فرضیه‌های حالت تنش پیوستگی و طبیعی (پس‌زمینه) نامید.

طبق فرضیه تداوم، همه اجسام هم قبل از اعمال بار (قبل از تغییر شکل) و هم بعد از اعمال بار کاملاً پیوسته در نظر گرفته می شوند. در این صورت، هر حجمی از بدن جامد (مستمر) می ماند، از جمله حجم ابتدایی، یعنی بی نهایت کوچک. در این راستا، تغییر شکل‌های یک جسم به‌عنوان توابع پیوسته مختصات در نظر گرفته می‌شود که ماده جسم بدون ایجاد ترک یا چین‌های ناپیوسته در آن تغییر شکل داده شود.

فرضیه حالت تنش طبیعی وجود یک سطح تنش اولیه (پس زمینه) در بدن را فرض می کند که معمولاً صفر در نظر گرفته می شود و تنش های واقعی ناشی از یک بار خارجی به عنوان افزایش تنش بالاتر از سطح طبیعی در نظر گرفته می شود.

در کنار فرضیه های اصلی فوق، تعدادی اصول بنیادی نیز در نظریه تنش پذیرفته شده است که در این میان ابتدا باید به داشتن اجسام دارای کشش ایده آل، همسانگردی کروی، همگنی کامل و ... اشاره کرد. رابطه خطی بین تنش ها و تغییر شکل ها.

الاستیسیته ایده آل توانایی مواد در معرض تغییر شکل برای بازیابی شکل اولیه (اندازه و حجم) پس از برداشتن بار خارجی (تأثیر خارجی) است. تقریباً تمام سنگها و بیشتر مصالح ساختمانی دارای درجاتی از خاصیت ارتجاعی هستند.

همسانگردی کروی خواص یکسانی از مواد را در تمام جهات اثر بار پیش‌فرض می‌گیرد، یعنی عدم تشابه خواص در جهات مختلف (بعضی از کریستال‌ها، چوب و غیره). در عین حال، مفاهیم همسانگردی کروی و همگن نباید اشتباه گرفته شوند: به عنوان مثال، ساختار همگن چوب با ناهمسانگردی مشخص می شود - تفاوت در استحکام درخت در امتداد و در سراسر الیاف. مواد الاستیک، همسانگرد و همگن با یک رابطه خطی بین تنش ها و کرنش ها مشخص می شوند که توسط قانون هوک توضیح داده شده است، که در بخش مربوطه کتاب درسی مورد بحث قرار گرفته است.

اصل اساسی در تئوری تنش (و تغییر شکل، در میان چیزهای دیگر) اصل عمل موضعی بارهای خارجی خود متعادل است - اصل Saint-Venant. بر اساس این اصل، یک سیستم متعادل از نیروهای وارد شده به جسم در هر نقطه (خط) باعث ایجاد تنش در ماده می شود که با فاصله از محل اعمال بار به سرعت کاهش می یابد، مثلاً طبق یک قانون نمایی. نمونه ای از چنین عملی برش کاغذ با قیچی است که قسمتی از ورق (خط) را تغییر شکل می دهد (برش می دهد)، در حالی که بقیه ورق کاغذ مختل نمی شود، یعنی تغییر شکل موضعی رخ می دهد. استفاده از اصل Saint-Venant به ساده کردن محاسبات ریاضی هنگام حل مشکلات ارزیابی مالیات بر ارزش افزوده با جایگزینی یک بار معین که توصیف ریاضی آن دشوار است با یک بار ساده تر، اما معادل، کمک می کند.

در مورد موضوع مورد مطالعه در تئوری تنش، لازم است تعریفی از خود تنش ارائه شود که به عنوان معیاری از نیروهای درونی یک جسم، در یک بخش معین از آن، توزیع شده در بخش مورد نظر و در نظر گرفته می شود. مقابله با بار خارجی در این حالت تنش های وارد بر سطح عرضی و عمود بر آن نرمال نامیده می شود. بر این اساس، تنش های موازی با این ناحیه یا لمس آن مماس خواهد بود.

در نظر گرفتن نظریه استرس با ارائه مفروضات زیر ساده می شود که عملاً دقت راه حل های به دست آمده را کاهش نمی دهد:

ازدیاد طول نسبی (کوتاه شدن) و همچنین جابجایی های نسبی (زوایای برشی) بسیار کمتر از وحدت است.

جابجایی نقاط بدن در طول تغییر شکل آن در مقایسه با ابعاد خطی بدن کوچک است.

زوایای چرخش مقاطع در هنگام تغییر شکل خمشی بدنه نیز در مقایسه با وحدت بسیار کوچک است و مربع آنها در مقایسه با مقادیر تغییر شکل های نسبی خطی و زاویه ای ناچیز است.

دانشگاه دولتی روسیه

نفت و گاز به نام. I.M.Gubkina

گروه مکانیک فنی

خلاصه

"نظریه الاستیسیته"

تکمیل شده توسط: Polyakov A. A.

بررسی شده توسط: Evdokimov A.P.

مسکو 2011

تئوری معادله کشش

1. معرفی

تئوری حالت تنش-کرنش در نقطه ای از بدن

2.1 نظریه استرس

2 نظریه تغییر شکل

3 رابطه تنش و تغییر شکل برای اجسام الاستیک

معادلات اساسی تئوری کشش. انواع مسائل در نظریه کشش

1 معادلات اساسی تئوری کشش

2 انواع مسائل در نظریه کشش

4 معادلات تئوری الاستیسیته در جابجایی ها (معادلات لم)

اصول متغیر تئوری کشش

1 اصل حرکات ممکن (اصل لاگرانژ)

2 اصل حالت های ممکن (اصل کاستیلانو)

3 رابطه بین راه حل دقیق و راه حل های به دست آمده بر اساس اصول لاگرانژ و کاستیلیانو

فهرست ادبیات استفاده شده

1. معرفی

تئوری های تنش و کرنش توسط O. Cauchy ایجاد شد. آنها در اثری که در سال 1822 به آکادمی علوم پاریس ارائه شد، که خلاصه‌ای از آن در سال 1823 و تعدادی از مقالات بعدی منتشر شد، بیان شده‌اند. O. کوشی سه معادله تعادلی را برای یک چهار وجهی ابتدایی استخراج کرد، قانون جفت شدن تنش های مماسی را اثبات کرد، مفاهیم محورهای اصلی و تنش های اصلی را معرفی کرد و معادلات تعادل دیفرانسیل را استخراج کرد (معمولاً آنها در درس مقاومت مواد به دست نمی آیند) . وی همچنین سطح تنش های نرمال (کوشی کوادریک) را معرفی کرد که انتهای بردارهای شعاع بر روی آن قرار دارند که جهت آن با جهت نرمال ها به نواحی منطبق است و مقدار آن با جذر مربع نسبت معکوس دارد. قدر مطلق تنش نرمال در این ناحیه است و ثابت شده است که این سطح یک سطح مرتبه دوم است که در مبدا متمرکز شده است. امکان تبدیل سطح تنش های نرمال به محورهای اصلی نشان دهنده وجود سه ناحیه عمود بر یکدیگر در هر نقطه است.

سطح مشابهی از تنش های مماسی توسط مکانیک روسی G.V. کولوسف در سال 1933

یک تفسیر هندسی از حالت تنش در فضا به شکل یک بیضی استرس توسط G. Lame و B. Clapeyron در خاطرات خود ارائه شده است که در سال 1828 به آکادمی علوم پاریس ارسال و در سال 1833 منتشر شد.

یک نمایش هندسی از حالت تنش در یک صفحه برای یک سری از مناطقی که از محور اصلی عبور می کنند به شکل یک دایره تنش توسط K. Kuhlmann در کتاب خود در سال 1866 پیشنهاد شد.

برای حالت کلی حالت تحت فشار، تفسیر هندسی بسیار واضحی از آن در یک صفحه توسط O. More (به اصطلاح نمودار دایره ای Mohr) در سال 1882 ارائه شد. از آن، تعدادی نتیجه گیری مهم در مورد حداکثر تنش های اصلی، موقعیت مناطقی که در آنها تنش های مماسی حداکثر است و در حدود بزرگی این حداکثر تنش های برشی.

O. کوشی تعریفی از تغییر شکل ها ارائه کرد، وابستگی آنها به جابجایی ها را در مورد خاص تغییر شکل های کوچک به دست آورد (این وابستگی ها، به عنوان یک قاعده، در جریان استحکام مواد به دست نمی آیند)، مفاهیم تنش های اصلی و تغییر شکل های اصلی را تعریف کرد. و وابستگی اجزای تنش را به اجزای تغییر شکل، مانند بدنه الاستیک همسانگرد و ناهمسانگرد به دست آورد. در استحکام مواد، معمولاً وابستگی اجزای کرنش به اجزای تنش برای یک جسم همسانگرد برقرار است. آنها قانون تعمیم یافته هوک نامیده می شوند، البته این نام مشروط است، زیرا R. Hooke مفهوم تنش را نمی دانست.

در این وابستگی ها، کوشی ابتدا دو ثابت را معرفی کرد و وابستگی تنش به تغییر شکل را به شکل یادداشت کرد.

متر، ,

با این حال، بعدها O. Couchy مفهوم L. Navier را پذیرفت. طبق آن، اجسام الاستیک از مولکول‌هایی تشکیل شده‌اند که بین آنها، هنگام تغییر شکل، نیروهایی ایجاد می‌شوند که در جهت خطوط مستقیم مولکول‌ها را به هم متصل می‌کنند و متناسب با تغییر فاصله بین مولکول‌ها هستند. سپس تعداد ثابت های الاستیک برای حالت کلی یک جسم ناهمسانگرد 15 است و برای جسم همسانگرد یک ثابت الاستیک به دست می آوریم. این فرضیه توسط S. Poisson و در ابتدا توسط G. Lamé و B. Clapeyron رعایت شد. بر اساس آن، پواسون مشخص کرد که ضریب تغییر شکل عرضی 1/4 است.

دی. گرین در سال 1839 رابطه بین کرنش ها و تنش ها را بدون استفاده از فرضیه ای در مورد ساختار مولکولی اجسام الاستیک استخراج کرد. او آنها را بر اساس اصل بقای انرژی با معرفی مفهوم پتانسیل الاستیک به دست آورد و نشان داد که هنگام استفاده از وابستگی های خطی شش مولفه کرنش بر شش مولفه تنش، از 36 ضریب، 21 ضریب مستقل هستند، یعنی در حالت کلی یک جسم ناهمسانگرد، تعداد ثابت های الاستیک 21 است برای یک جسم همسانگرد، تعداد ثابت های الاستیک به دو کاهش می یابد. نظریه ای که در آن تعداد ثابت های الاستیک برای یک جسم ناهمسانگرد برابر با 15 و برای یک جسم همسانگرد 1 است، گاهی اوقات "نادر ثابت" یا "یک ثابت" نامیده می شود و این نظریه که در آن تعداد ثابت های الاستیک برای یک جسم ناهمسانگرد نامیده می شود. برابر با 21 است و برای یک جسم همسانگرد 2 - "چند ثابت" .

اختلاف بین طرفداران این نظریه ها، فیزیکدانان را به انجام تحقیقات تجربی برانگیخت.

G. Wertheim، بر اساس اندازه گیری حجم داخلی لوله های شیشه ای و فلزی تحت کشش محوری، در سال 1848 ثابت کرد که ضریب تغییر شکل عرضی برابر با 1/4 نیست. او آن را برای مواد مختلف متفاوت دانست، اما برای بسیاری از مواد نزدیک به 1/3.

و من. کوپفر، با آزمایش میله های فلزی در کشش و پیچش در سال 1853، همچنین دریافت که نسبت مدول ها در برش و کشش با مقدار تغییر شکل عرضی برابر با 1/4 مطابقت ندارد.

در سال 1855، F. Neumann نمونه هایی از سطح مقطع مستطیلی را برای خمش آزمایش کرد و زوایای چرخش دو وجه تیر را اندازه گرفت (مقطع به شکل ذوزنقه ای است). در نتیجه او نشان داد که ضریب کرنش عرضی برابر با 1/4 نیست. G. Kirchhoff، شاگرد F. Neumann، بر اساس آزمایشات انجام شده در سال 1859 در مورد خمش و پیچش ترکیبی میله های برنجی گرد، که در یک انتها تعبیه شده و در طرف دیگر با نیروی متمرکز بارگذاری شده بود، به همین نتیجه رسید. زاویه پیچش میله و زاویه چرخش مقطع .

یک مطالعه تجربی بزرگ از ضرایب تغییر شکل عرضی برای انواع مختلف فولاد توسط یکی از شاگردان G. Kirchhoff M.F. اوکاتوف در 1865 - 1866 نتایج در پایان نامه دکترای او ارائه شده است. تست های پیچشی و خمشی منشورهای نازک برش خورده از تک بلورها، و همچنین تست های تراکم پذیری کریستال ها تحت فشار یکنواخت توسط W. Voigt انجام شده و در مقالات متعدد او توضیح داده شده است. کتابی که در سال 1910 منتشر شد، آنها صحت نظریه چندثابت را تأیید کردند.

یک مطالعه عمیق در مورد ساختار ریاضی قانون هوک برای اجسام ناهمسانگرد توسط مکانیک و مهندس Jan Rychlewski در سال 1984 بر اساس مفهوم حالت الاستیک که او معرفی کرد انجام شد. به طور خاص، او نشان داد که 21 ثابت الاستیک نشان دهنده شش مدول سختی واقعی، 12 توزیع کننده سختی و سه زاویه هستند.

2. نظریه حالت تنش-کرنش در نقطه ای از بدن

1 نظریه استرس

عوامل نیروی داخلی که هنگام بارگذاری یک جسم الاستیک به وجود می آیند، وضعیت یک بخش خاص از بدن را مشخص می کنند، اما به این سؤال پاسخ نمی دهند که کدام نقطه از مقطع بیشترین بارگذاری یا، همانطور که می گویند، نقطه خطرناک است. بنابراین، لازم است مقداری اضافی که وضعیت بدن را در یک نقطه مشخص مشخص می کند، در نظر گرفت.

اگر جسمی که نیروهای خارجی به آن وارد می شود در حالت تعادل باشد، در هر بخش از آن نیروهای مقاومت داخلی ایجاد می شود. اجازه دهید با نیروی داخلی وارد بر یک ناحیه ابتدایی و نرمال به این ناحیه تا آن زمان مقدار را نشان دهیم.

ولتاژ کل نامیده می شود.

در حالت کلی، تنش کل در جهت با ناحیه نرمال به ابتدایی منطبق نیست، بنابراین کار با اجزای آن در امتداد محورهای مختصات راحت تر است -

اگر نرمال خارجی با هر محور مختصاتی منطبق باشد، به عنوان مثال، با محور X، اجزای تنش به شکلی در می آیند: مؤلفه عمود بر مقطع است و تنش نرمال نامیده می شود، و مؤلفه ها در قسمت قرار می گیرند. صفحه مقطع و تنش های مماسی نامیده می شوند.

برای تشخیص آسان تنش های معمولی و مماسی، معمولاً از عناوین دیگری استفاده می شود: - تنش معمولی، - تنش مماسی.

اجازه دهید از یک جسم تحت تأثیر نیروهای خارجی یک متوازی الاضلاع بینهایت کوچک انتخاب کنیم که لبه های آن موازی با صفحات مختصات هستند و طول یال ها برابر با . در هر وجه از چنین متوازی الاضلاع ابتدایی سه جزء تنش موازی با محورهای مختصات وجود دارد. در مجموع، در شش وجه ما 18 مولفه استرس را به دست می آوریم.

تنش‌های نرمال به شکل نشان داده می‌شوند، که در آن شاخص، حالت نرمال را به صورت مربوطه نشان می‌دهد (یعنی می‌تواند مقادیری را بگیرد). تنش های مماسی به شکل ; در اینجا اولین شاخص مربوط به نرمال ناحیه ای است که این تنش برشی روی آن اعمال می شود، و شاخص دوم نشان دهنده محور موازی است که این تنش به سمت آن هدایت می شود (شکل 1).

عکس. 1. تنش های معمولی و برشی

برای این ولتاژها، قانون علامت زیر اتخاذ شده است. تنش معمولی در تنش مثبت در نظر گرفته می‌شود، یا زمانی که با جهت نرمال بیرونی به ناحیه‌ای که روی آن تأثیر می‌گذارد منطبق باشد، مثبت تلقی می‌شود. تنش برشی در صورتی مثبت در نظر گرفته می شود که در ناحیه ای که نرمال آن با جهت محور مختصات موازی آن منطبق است، به سمت محور مختصات مثبت مربوط به این تنش هدایت شود.

مولفه های تنش تابعی از سه مختصات هستند. به عنوان مثال، تنش نرمال در یک نقطه با مختصات را می توان نشان داد

در نقطه ای که در فاصله بینهایت کوچکی از نقطه مورد نظر قرار دارد، تنش را می توان به یک سری تیلور با دقت تا بینهایت کوچک مرتبه اول گسترش داد:

برای مناطقی که با صفحه موازی هستند، فقط مختصات x تغییر می کند و افزایش ها، بنابراین، در وجه متوازی الاضلاع که با صفحه منطبق است، تنش نرمال خواهد بود و در وجه موازی که در فاصله بینهایت کوچک قرار دارد، - تنش‌های روی وجوه موازی باقی‌مانده موازی به روشی مشابه مرتبط هستند. بنابراین، از 18 جزء ولتاژ، تنها 9 جزء ناشناخته هستند.

در تئوری الاستیسیته، قانون جفت شدن تنش های مماسی ثابت می شود که بر اساس آن، در دو ناحیه عمود بر هم، اجزای تنش های مماسی عمود بر خط تقاطع این نواحی با یکدیگر برابر هستند:

معادلات (2) منجر به این واقعیت می شود که از 9 مولفه استرس که حالت استرس را در یک نقطه از بدن مشخص می کند، تنها شش جزء باقی می ماند:

می توان نشان داد که استرس (3) نه تنها وضعیت تنش بدن را در یک نقطه مشخص مشخص می کند، بلکه آن را به طور منحصر به فردی تعریف می کند. ترکیب این تنش ها یک ماتریس متقارن را تشکیل می دهد که به آن تانسور تنش می گویند:

(4)

هنگامی که یک تانسور در یک کمیت اسکالر ضرب می شود، یک تانسور جدید به دست می آید که همه اجزای آن چند برابر بزرگتر از اجزای تانسور اصلی هستند.

2 نظریه تغییر شکل

تحت تأثیر بارهای خارجی، یک بدنه الاستیک تغییر شکل می دهد و تغییر شکل می دهد. در این حالت نقاط بدن موقعیت جدیدی می گیرند. برای تعیین تغییر شکل یک جسم الاستیک، موقعیت نقاط بدنه را قبل و بعد از اعمال بار مقایسه می کنیم.

اجازه دهید نقطه بدن بدون بار و موقعیت جدید آن را پس از اعمال بار در نظر بگیریم. بردار را بردار جابجایی نقطه می نامند (شکل 2).

شکل 2. بردار حرکت نقطه

دو نوع حرکت امکان پذیر است: حرکت کل بدن به عنوان یک کل واحد بدون تغییر شکل - چنین حرکاتی توسط مکانیک نظری به عنوان حرکات یک جسم کاملاً صلب مورد مطالعه قرار می گیرد و حرکتی که با تغییر شکل بدن همراه است - چنین حرکاتی توسط تئوری مطالعه می شود. از خاصیت ارتجاعی

اجازه دهید پیش بینی های بردار جابجایی نقطه را به ترتیب بر روی محورهای مختصات نشان دهیم. آنها برابر با تفاوت بین مختصات متناظر نقاط هستند و:

و توابع مختصات هستند:

تغییر شکل یک جسم به دلیل تفاوت در حرکات نقاط مختلف آن ایجاد می شود. یک متوازی الاضلاع بینهایت کوچک با لبه های بریده شده از یک جسم الاستیک در نزدیکی یک نقطه دلخواه، به دلیل حرکات مختلف نقاط آن، به گونه ای تغییر شکل می دهد که طول لبه های آن تغییر می کند و زوایای قائم اولیه بین وجه ها مخدوش می شود.

شکل 3.3 دو لبه این متوازی الاضلاع را نشان می دهد: و طول یال برابر است و طول لبه برابر است.

پس از تغییر شکل، نقطه یک جابجایی دریافت می کند که اجزای آن در صفحه ترسیم برابر است و نقطه ای که در فاصله بینهایت کوچکی از نقطه قرار دارد، جابجایی دریافت می کند. که به دلیل تغییر مختصات با مولفه های جابجایی نقطه به مقدار بی نهایت کوچک تفاوت خواهد داشت.

شکل 3. تغییر شکل های خطی و زاویه ای

اجزای حرکت نقطه به دلیل تغییر مختصات، بین اجزای حرکت نقطه تفاوت بینهایت کوچکی خواهند داشت.

طول برآمدگی دنده بر روی محور پس از تغییر شکل:

پیش بینی ازدیاد طول مطلق دنده بر روی محور

کشیدگی نسبی در امتداد محور

(6)

کرنش خطی در جهت محور نامیده می شود.

تغییر شکل های خطی در امتداد جهت محورها و

(7)

اجازه دهید تغییر زوایای بین لبه های متوازی الاضلاع را در نظر بگیریم (شکل 3). مماس زاویه چرخش لبه در صفحه

با توجه به کوچک بودن تغییر شکل های a می توان از تغییر شکل خطی به دلیل کوچک بودن نسبت به وحدت چشم پوشی کرد و سپس

به روشی مشابه، می توانید زاویه چرخش لبه را در همان صفحه تعیین کنید:

اعوجاج یک زاویه قائمه را تغییر شکل زاویه ای می نامند و به صورت مجموع زوایای چرخش دنده ها و:

(8)

به همین ترتیب، تغییر شکل‌های زاویه‌ای در دو صفحه مختصات دیگر تعیین می‌شوند:

(9)

فرمول های (6)-(9) شش وابستگی اصلی را برای تغییر شکل های خطی و زاویه ای بر روی اجزای جابجایی ارائه می دهند. این وابستگی ها معادلات کوشی نامیده می شوند:

(10)

در حد، زمانی که طول لبه های متوازی الاضلاع به صفر میل می کند، روابط کوشی تغییر شکل های خطی و زاویه ای را در مجاورت نقطه تعیین می کند.

تغییر شکل های خطی مثبت مربوط به طول ها و تغییر شکل های خطی منفی مربوط به کوتاه شدن ها هستند. زاویه تغییر زمانی مثبت در نظر گرفته می شود که زاویه بین جهات مثبت محورهای مختصات مربوطه کاهش یابد و در غیر این صورت منفی باشد.

مشابه تانسور تنش، حالت تغییر شکل یک جسم در یک نقطه معین توسط تانسور کرنش توصیف می شود.

(11)

مانند تانسور تنش، تانسور کرنش نیز یک ماتریس متقارن است که شامل نه جزء است که شش جزء آن متفاوت است.

2.3 رابطه بین تنش و تغییر شکل برای اجسام الاستیک

روابط بین تنش ها و کرنش ها ماهیت فیزیکی دارند. با محدود کردن خود به کرنش های کوچک، رابطه بین تنش و کرنش را می توان خطی در نظر گرفت.

هنگام آزمایش یک میله برای کشش (آزمایش مکانیکی مواد در بخش بعدی به تفصیل مورد بحث قرار خواهد گرفت)، یک رابطه متناسب بین تنش معمولی و تغییر شکل خطی در یک جهت برقرار می شود که به آن قانون هوک می گویند:

که در آن ثابت الاستیک مدول الاستیک طولی نامیده می شود.

با استفاده از همان روش تجربی، ارتباط بین تغییر شکل های خطی در جهت طولی و عرضی برقرار شد:

جایی که تغییر شکل خطی در جهت عرضی است، دومین ثابت الاستیک است که نسبت پواسون نامیده می شود.

در آزمایش‌های مکانیکی برای برش خالص، رابطه مستقیمی بین تنش برشی و تغییر شکل زاویه‌ای در صفحه عمل این تنش برقرار شد که به آن قانون هوک در برش می‌گویند:

که در آن کمیت سومین ثابت الاستیک است و مدول برشی نامیده می شود. با این حال، این ثابت الاستیک مستقل نیست، زیرا مربوط به دو وابستگی اول است

برای ایجاد رابطه بین تغییر شکل‌ها و تنش‌ها، یک متوازی الاضلاع بینهایت کوچک را از بدنه انتخاب می‌کنیم (شکل 1) و تأثیر تنش‌های معمولی را می‌توان نادیده گرفت منجر به تغییر شکل های درجه بالاتری از کوچکی می شود.

اجازه دهید طول دنده را به موازات تنش تعیین کنیم، طبق قانون هوک (3.12)، تحت تأثیر این ولتاژ، کشیدگی نسبی دنده رخ می دهد.

تنش باعث ایجاد کشیدگی مشابه در جهت عمود بر دنده می شود

و در جهت لبه - کوتاه شدن که مطابق (13) می باشد

یا با در نظر گرفتن بیان تغییر شکل

کوتاه شدن نسبی دنده تحت اثر تنش به طور مشابه تعیین می شود

بر اساس اصل استقلال عمل نیروها، کل کشیدگی نسبی دنده را می توان به عنوان مجموع کشیدگی های ناشی از عمل هر تنش تعیین کرد:

به طور مشابه، تغییر شکل های خطی را می توان در جهت دو محور دیگر تعیین کرد:

مطابق با قانون هوک در برش (14)، رابطه بین تغییر شکل های زاویه ای و تنش های برشی را می توان به طور مستقل برای هر یک از سه صفحه موازی با صفحات مختصات نشان داد:

بنابراین، شش فرمول به دست آمده است که رابطه خطی بین اجزای تغییر شکل و تنش را در یک جسم الاستیک همسانگرد بیان می کند و قانون هوک تعمیم یافته نامیده می شود:

(16)

3. معادلات اساسی تئوری کشش. انواع مسائل در نظریه کشش

وظیفه اصلی تئوری الاستیسیته تعیین وضعیت تنش-کرنش با توجه به شرایط داده شده بارگذاری و چفت شدن بدنه است.

حالت تنش-کرنش در صورتی تعیین می شود که اجزای تانسور تنش (ها) و بردار جابجایی، نه تابع، پیدا شوند.

3.1 معادلات اساسی نظریه کشش

برای یافتن این نه تابع، باید معادلات اصلی نظریه کشش را بنویسید یا:

کوشی های دیفرانسیل

(17)

اجزای تانسور قسمت خطی تغییر شکل کوشی کجا هستند.

اجزای تانسور مشتق جابجایی در امتداد شعاع.

معادلات تعادل دیفرانسیل

اجزای تانسور تنش کجا هستند. - پیش بینی نیروی بدن بر روی محور j.

قانون هوک برای یک جسم همسانگرد الاستیک خطی

ثابت های Lame کجا هستند. برای یک جسم همسانگرد در اینجا تنش های معمولی و برشی وجود دارد. تغییر شکل ها و زوایای برشی به ترتیب.

معادلات فوق باید وابستگی های Saint-Venant را برآورده کنند

در تئوری الاستیسیته، مشکل در صورتی حل می شود که تمام معادلات اساسی برآورده شوند.

2 انواع مسائل در نظریه کشش

شرایط مرزی در سطح بدن باید برآورده شود و بسته به نوع شرایط مرزی، سه نوع مشکل در تئوری کشسانی متمایز می شود.

نوع اول نیروها روی سطح بدن وارد می شوند. شرایط مرزی

نوع دوم. مشکلاتی که در آن جابجایی در سطح بدن مشخص می شود. شرایط مرزی

نوع سوم. مسائل مختلط نظریه کشش. نیروها در قسمتی از سطح بدن و جابجایی در قسمتی از سطح بدن مشخص می شود. شرایط مرزی

مسائلی که در آن نیروها یا جابجایی ها بر روی سطح جسم مشخص می شود و لازم است حالت تنش-کرنش در داخل بدن و آنچه در سطح مشخص نشده است را پیدا کنیم، مسائل مستقیم نامیده می شوند. اگر تنش‌ها، تغییر شکل‌ها، جابه‌جایی‌ها و غیره در داخل بدنه مشخص شده‌اند، و باید مشخص کنید که چه چیزی در داخل بدنه مشخص نشده است، همچنین جابجایی‌ها و تنش‌های روی سطح بدن (یعنی دلایلی که باعث چنین چیزی شده است را پیدا کنید. یک حالت تنش-کرنش))، پس چنین مسائلی معکوس نامیده می شوند.

4 معادلات تئوری الاستیسیته در جابجایی ها (معادلات لم)

برای تعیین معادلات تئوری الاستیسیته در جابجایی ها می نویسیم: معادلات تعادل دیفرانسیل (18) قانون هوک برای یک جسم همسانگرد الاستیک خطی (19)

اگر در نظر بگیریم که تغییر شکل ها از طریق جابجایی ها بیان می شوند (17)، می نویسیم:

همچنین لازم به یادآوری است که زاویه برشی با رابطه زیر با جابجایی ها مرتبط است (17):

(23)

با جایگزینی عبارت (22) به اولین معادله تساوی (19)، تنش های نرمال را به دست می آوریم

(24)

توجه داشته باشید که نوشتن itz در این مورد به معنای جمع بر i نیست.

با جایگزینی عبارت (23) به معادله دوم تساوی (19)، به دست می آوریم که تنش های برشی

(25)

اجازه دهید معادلات تعادل (18) را به صورت بسط یافته برای j = 1 بنویسیم

(26)

با جایگزینی تنش های معمولی (24) و مماسی (25) در معادله (26)، به دست می آوریم.

که در آن λ ثابت Lame است که با عبارت:

بیایید عبارت (28) را با معادله (27) جایگزین کنیم و بنویسیم،

جایی که با عبارت (22)، یا به شکل توسعه یافته تعیین می شود

اجازه دهید عبارت (29) را بر G تقسیم کنیم و عبارات مشابه را اضافه کنیم و اولین معادله Lame را بدست آوریم:

(30)

عملگر لاپلاس (اپراتور هارمونیک) که به این صورت تعریف می شود، کجاست

(31)

به طور مشابه می توانید دریافت کنید:

(32)

معادلات (30) و (32) را می توان به صورت زیر نوشت:

(33)

معادلات (33) یا (30) و (32) معادلات Lamé هستند. اگر نیروهای حجمی صفر یا ثابت باشند، پس

(34)

علاوه بر این، نماد در این مورد به معنای جمع بر i نیست. اینجا

می توان نشان داد که چنین نمایشی از جابجایی ها از طریق یک تابع هارمونیک، معادله لم (33) را به یک هویت تبدیل می کند. آنها اغلب شرایط Popkovich-Grodsky نامیده می شوند. چهار تابع هارمونیک لازم نیست، زیرا φ0 را می توان روی صفر تنظیم کرد.

4. مبانی متغیر تئوری الاستیسیته.

1 اصل حرکات ممکن (اصل لاگرانژ)

اصل لاگرانژ برای جسمی که در حالت تعادل قرار دارد، کار انجام شده توسط نیروهای خارجی و داخلی بر روی هر افزایش بی نهایت کوچک احتمالی در جابجایی صفر است.

با استفاده از قضیه کلاپیرون، که برای یک جسم تغییر شکل الاستیک با تغییر مکان، اصل لاگرانژ را به دست می آوریم.

در مکانیک اجسام تغییر شکل‌پذیر، حرکات ممکن آنهایی هستند که محدودیت‌های بیرونی و درونی تحمیل‌شده بر بدن را برآورده می‌کنند.

اتصالات خارجی شرط بست و اتصالات داخلی شرط استمرار است.

برای ارضای اتصالات داخلی، لازم است که افزایش جابجایی، توابع تک مقداری پیوسته مختصات باشد.

در این شکل، اصل لاگرانژ برای هر جسم تغییر شکل پذیر معتبر است.

برای اجسام الاستیک مشخص شد که

(41)

سپس (40) با احتساب (41) به صورت نوشته می شود

(42)

که در آن W کرنش خاص است، و

در اینجا U تغییر کل انرژی پتانسیل بدن است.

اجازه دهید عبارت (43) را با (42) جایگزین کنیم، و چون نیروها تغییر نمی کنند، آن را می نویسیم

(44)

معادله (44) معادله تغییرات لاگرانژ است.

اگر نیروها محافظه کار باشند، دو انتگرال اول نشان دهنده تغییر در پتانسیل نیروهای خارجی در طول انتقال از حالت تغییر شکل نیافته به حالت تغییر شکل یافته است.

پتانسیل نیروهای خارجی

(45)

که در آن - کار احتمالی نیروهای خارجی در طول انتقال از حالت تغییر شکل نیافته به حالت تغییر شکل یافته با این فرض محاسبه می شود که نیروهای خارجی بدون تغییر باقی می مانند. انرژی کل سیستم

سپس با در نظر گرفتن عبارات (44) - (46) اصل لاگرانژ نوشته می شود:

یعنی تغییر انرژی کل سیستم در موقعیت تعادل در جابجایی های احتمالی صفر است. بیان (47) معادله تغییرات لاگرانژ در مورد عمل فقط نیروهای محافظه کار است.

در یک موقعیت تعادل پایدار، انرژی کل P حداقل است،

اصل لاگرانژ اصل حداقل انرژی است.

2 اصل حالت های ممکن (اصل کاستیلانو)

حالات ممکن را آنهایی می نامیم که مطابق با نیروهای بیرونی و درونی هستند، یعنی آنهایی که معادلات تعادل را برآورده می کنند.

معادله (57) اصل کاستیلیانو را می نویسد. با تغییرات احتمالی در حالت تنش جسم، تغییرات برابر با انتگرال آن قسمت از سطح بدن است که جابجایی‌های حاصل از نیروهای سطحی و جابجایی‌های احتمالی روی آن مشخص شده است.

3 رابطه بین راه حل دقیق و راه حل های به دست آمده بر اساس اصول لاگرانژ و کاستیلیانو

بر اساس اصل لاگرانژ، برخی از توابع یا مجموعه ای از آنها را انتخاب می کنیم و از آنجایی که مجموعه توابع محدود است، تعداد کمتری از درجات آزادی سیستم را به دست می آوریم و در نتیجه درجات آزادی طرح را کاهش می دهیم. یعنی در مفهوم انرژی، راه حل سخت تر از راه حل دقیق است.

اگر ویژگی های انتگرال را در نظر بگیریم، آنگاه راه حل تقریبی به طور صلب انتگرال است.

هنگام حل مشکل بارگذاری یک تیر با تکیه گاه ساده با نیروی عرضی در وسط دهانه (شکل 1)، راه حل تقریبی جابجایی کمتری تحت نیرو نسبت به راه حل دقیق ایجاد می کند.

راه حل دقیق

هنگام حل مشکل مشابه با استفاده از اصل تغییرات کاستیلیانو، از آنجایی که شرط تداوم برآورده نمی شود، سیستم آزادی بیشتری نسبت به واقعیت دریافت می کند.

راه حل دقیق بین این دو روش تقریبی (لاگرانژ و کاستیلیانو) قرار دارد. گاهی اوقات تفاوت بین محلول های به دست آمده اندک است.

5. فهرست ادبیات استفاده شده

1. Aleksandrov A.V., Potapov V.D. مبانی نظریه الاستیسیته و پلاستیسیته. 400 ص. دبیرستان 1990.

2. Veretimus D.K. مبانی تئوری الاستیسیته. 2005.-37s.

Veretimus D.K. مبانی تئوری کشش بخش دوم. رابطه بین حالت‌های تحت فشار و تغییر شکل یافته راهنمای روش‌شناسی درس «مبانی تئوری کشسانی و پلاستیسیته»، 1384-53 ص.

Veretimus D.K. مبانی تئوری الاستیسیته قسمت سوم.