تعادل مکانیکی وضعیت تعادل یک سیستم مکانیکی در مختصات تعمیم یافته موقعیت تعادل پایدار یک سیستم مکانیکی روی یک مختصات

همانطور که از مثال مطالعه حرکت نوسانی یک نقطه مادی بر می آید، حرکت مناسب سیستم توسط نیروی کشسانی ایجاد می شود. قبلاً نشان داده شده بود که نیروی الاستیک متعلق به میدان نیروی پتانسیل است. بنابراین، با مطالعه حرکات نوسانی طبیعی سیستم های مکانیکی، باید فرض کرد که چنین حرکاتی ناشی از نیروهای میدان پتانسیل است. بنابراین، اگر سیستم دارای درجات آزادی باشد، نیروهای تعمیم یافته آن بر حسب تابع نیرو U یا انرژی پتانسیل П به شکل زیر نوشته می شود:

همانطور که از مطالعه حرکت یک نقطه بر می آید، نوسانات آن حول موقعیت تعادل رخ می دهد. حرکت نوسانی سیستم نیز در نزدیکی موقعیت تعادل آن رخ می دهد که با شرایط مشخص می شود.

این شرایط نشان می‌دهد که حرکات نوسانی سیستم می‌تواند در نزدیکی موقعیت‌هایی رخ دهد که با حداکثر نسبی تابع نیرو یا انرژی پتانسیل سیستم مشخص می‌شود. با این حال، حرکت نوسانی سیستم در نزدیکی هر موقعیت تعادلی امکان پذیر نیست.

تعیین موقعیت تعادل پایدار یک سیستم مکانیکی

اجازه دهید سیستم مکانیکی از نقاط مادی تشکیل شده باشد که تحت تأثیر نیروهای وارده به آنها در تعادل هستند. اجازه دهید نقاط این سیستم را انحرافات کوچکی از موقعیت تعادل و سرعت های اولیه کوچک بدهیم. سپس سیستم شروع به حرکت می کند. اگر تمام مدت پس از نقض تعادل، نقاط سیستم در مجاورت موقعیت تعادل خود باقی بمانند، این موقعیت را پایدار می نامند. در غیر این صورت، تعادل سیستم ناپایدار نامیده می شود. در مورد نوسانات سیستم فقط در صورتی می توان صحبت کرد که این نوسانات در نزدیکی موقعیت تعادل پایدار رخ دهند. اگر موقعیت سیستم ناپایدار باشد، یعنی با یک انحراف کوچک از موقعیت تعادل و سرعت های کم، سیستم حتی بیشتر از آن دور شود، نمی توان از نوسانات سیستم نزدیک به این موقعیت صحبت کرد. بنابراین، مطالعه نوسانات سیستم باید با ایجاد معیاری برای پایداری تعادل یک سیستم مکانیکی آغاز شود.

معیار پایداری تعادل برای یک سیستم مکانیکی محافظه کار

معیار پایداری برای تعادل یک سیستم محافظه کار با قضیه لاگرانژ- دیریکله تعیین می شود که به شرح زیر است: اگر یک سیستم مکانیکی دارای قیود ثابت و محافظه کار باشد و اگر در موقعیت تعادل این سیستم انرژی پتانسیل آن حداقل باشد. (یعنی تابع نیرو دارای حداکثر است)، پس تعادل سیستم پایدار است.

بیایید این قضیه را ثابت کنیم. اجازه دهید موقعیت سیستم مکانیکی با مختصات تعمیم یافته ای که از موقعیت تعادل اندازه گیری می شوند تعیین شود. سپس در این موقعیت خواهیم داشت:

کمیت ها را می توان به عنوان مختصات یک نقطه در فضای بعدی در نظر گرفت. سپس هر موقعیت سیستم با نقطه خاصی از این فضا مطابقت خواهد داشت. به طور خاص، مبدأ مختصات O با موقعیت تعادل مطابقت دارد.

انرژی پتانسیل P از موقعیت تعادل شمارش می شود، با این فرض که در این موقعیت چه چیزی کلیت استدلال را نقض نمی کند، زیرا انرژی پتانسیل تا یک ثابت دلخواه تعیین می شود.

بیایید تعدادی عدد مثبت بگیریم و از نقطه O یک کره با شعاع را توصیف کنیم. منطقه محدود شده توسط این کره با شماره نشان داده خواهد شد دلخواه، اما به اندازه کافی کوچک. سپس، برای هر نقطه از مرز منطقه D، نابرابری زیر برقرار است:

از آنجایی که در نقطه O تابع P برابر با صفر است و دارای حداقل است.

اجازه دهید کوچکترین ارزش P در مرز منطقه D برابر است با P. سپس برای هر نقطه متعلق به این مرز، خواهیم داشت

اکنون اجازه دهید سیستم را با دادن انحرافات اولیه کوچک و چنین سرعتهای اولیه کوچکی که نابرابری ها دارند، از حالت تعادل خارج کنیم:

مقادیر اولیه پتانسیل و انرژی جنبشی. سپس خواهیم داشت:

اما با حرکت بیشتر سیستم، به دلیل قانون بقای انرژی مکانیکی که برای سیستم های محافظه کار با قیود ساکن معتبر است، برابری برآورده می شود.

تعریف

تعادل پایدار- این تعادلی است که در آن بدن از حالت تعادل خارج شده و به حال خود رها شده است، به وضعیت قبلی خود باز می گردد.

این امر در صورتی اتفاق می‌افتد که با جابجایی جزئی جسم در هر جهتی از موقعیت اولیه، برآیند نیروهای وارد بر جسم غیرصفر شده و به سمت وضعیت تعادل هدایت شود. برای مثال، توپی که در پایین یک حفره کروی قرار دارد (شکل 1a).

تعریف

تعادل ناپایدار- این تعادلی است که در آن جسم از وضعیت تعادل خارج شده و به حال خود رها شده است، حتی بیشتر از وضعیت تعادل منحرف می شود.

در این حالت با جابجایی اندک جسم از وضعیت تعادل، برآیند نیروهای وارده به آن غیر صفر بوده و از وضعیت تعادل هدایت می شود. یک مثال توپی است که در بالای یک سطح کروی محدب قرار دارد (شکل 1 ب).

تعریف

تعادل بی تفاوت- این تعادلی است که در آن جسم از حالت تعادل خارج شده و به حال خود رها شده است، موقعیت (حالت) خود را تغییر نمی دهد.

در این حالت با جابجایی های کوچک جسم از موقعیت اصلی خود، برآیند نیروهای وارده به جسم برابر با صفر باقی می ماند. به عنوان مثال، توپی که روی یک سطح صاف قرار دارد (شکل 1، ج).

عکس. 1. انواع مختلف تعادل بدن روی تکیه گاه: الف) تعادل پایدار. ب) تعادل ناپایدار؛ ج) تعادل بی تفاوت

تعادل ایستا و دینامیکی اجسام

اگر در اثر اعمال نیروها، جسم شتابی دریافت نکند، می تواند در حال استراحت باشد یا به طور یکنواخت در یک خط مستقیم حرکت کند. بنابراین می توان در مورد تعادل ایستا و پویا صحبت کرد.

تعریف

تعادل ایستا- این چنین تعادلی زمانی است که تحت تأثیر نیروهای اعمال شده، بدن در حال استراحت است.

تعادل پویا- این چنین تعادلی زمانی است که بدن تحت تأثیر نیروها حرکت خود را تغییر نمی دهد.

در حالت تعادل ایستا، فانوس معلق بر روی کابل ها، هر ساختار ساختمانی است. به عنوان مثالی از تعادل دینامیکی، می‌توان چرخی را در نظر گرفت که در غیاب نیروهای اصطکاک روی یک سطح صاف می‌غلتد.

تعادل یک سیستم مکانیکی حالتی است که در آن تمام نقاط سیستم مورد نظر نسبت به چارچوب مرجع انتخابی در حال استراحت هستند.

ساده ترین راه برای یافتن شرایط تعادل با مثال ساده ترین سیستم مکانیکی - یک نقطه مادی است. طبق قانون اول دینامیک (به مکانیک مراجعه کنید)، وضعیت استراحت (یا یکنواخت). حرکت مستقیم) یک نقطه مادی در سیستم مختصات اینرسی برابری با صفر مجموع بردار تمام نیروهای اعمال شده به آن است.

در گذار به سیستم های مکانیکی پیچیده تر، این شرط به تنهایی برای تعادل آنها کافی نیست. علاوه بر حرکت انتقالی، که توسط نیروهای خارجی جبران نشده ایجاد می شود، یک سیستم مکانیکی پیچیده می تواند حرکت چرخشی یا تغییر شکل انجام دهد. شرایط تعادل را کاملاً دریابید بدن جامد- یک سیستم مکانیکی متشکل از مجموعه ای از ذرات که فواصل متقابل بین آنها تغییر نمی کند.

امکان حرکت انتقالی (با شتاب) یک سیستم مکانیکی را می توان به همان روشی که در مورد یک نقطه مادی وجود دارد حذف کرد، با این شرط که مجموع نیروهای وارد شده به تمام نقاط سیستم برابر با صفر باشد. این اولین شرط برای تعادل یک سیستم مکانیکی است.

در مورد ما، یک جسم صلب را نمی توان تغییر شکل داد، زیرا ما توافق کردیم که فواصل متقابل بین نقاط آن تغییر نمی کند. اما بر خلاف یک نقطه مادی، یک جفت نیروی مساوی و جهت مخالف را می توان به یک جسم کاملاً صلب در نقاط مختلف آن اعمال کرد. علاوه بر این، از آنجایی که مجموع این دو نیرو برابر با صفر است، سیستم مکانیکی در نظر گرفته شده حرکت انتقالی انجام نخواهد شد. با این حال، بدیهی است که تحت تأثیر چنین جفت نیرو، بدن شروع به چرخش حول محورهایی با سرعت زاویه ای فزاینده می کند.

وقوع حرکت چرخشی در سیستم مورد بررسی به دلیل وجود گشتاورهای جبران نشده نیروها است. گشتاور نیرو نسبت به هر محوری حاصل ضرب بزرگی این نیرو F توسط شانه d است، یعنی با طول عمودی است که از نقطه O (شکل را ببینید)، که محور از آن عبور می کند، کاهش یافته است. از نیرو توجه داشته باشید که گشتاور نیرو با این تعریف یک کمیت جبری است: اگر نیرو منجر به چرخش خلاف جهت عقربه‌های ساعت شود مثبت در نظر گرفته می‌شود و در غیر این صورت منفی است. بنابراین، شرط دوم برای تعادل یک جسم صلب، این شرط است که مجموع گشتاورهای تمام نیروها حول هر محور چرخشی برابر با صفر باشد.

در صورتی که هر دو شرایط تعادل پیدا شده برقرار باشد، اگر در لحظه شروع نیروها، سرعت تمام نقاط آن برابر با صفر باشد، جسم صلب در حالت سکون خواهد بود.

در غیر این صورت با اینرسی حرکت یکنواختی انجام می دهد.

تعریف در نظر گرفته شده از تعادل یک سیستم مکانیکی چیزی در مورد اینکه اگر سیستم کمی از موقعیت تعادل خارج شود چه اتفاقی خواهد افتاد، نمی گوید. در این حالت، سه احتمال وجود دارد: سیستم به حالت تعادل قبلی خود باز خواهد گشت. سیستم، با وجود انحراف، وضعیت تعادل خود را تغییر نخواهد داد. سیستم از حالت تعادل خارج خواهد شد. حالت اول حالت تعادل پایدار نامیده می شود، حالت دوم - بی تفاوت، سوم - ناپایدار. ماهیت موقعیت تعادل با وابستگی انرژی پتانسیل سیستم به مختصات تعیین می شود. شکل هر سه نوع تعادل را به عنوان مثال یک توپ سنگین در یک فرورفتگی (تعادل پایدار)، روی یک میز افقی صاف (بی تفاوت)، در بالای یک غده (ناپایدار) نشان می دهد (به شکل صفحه 220 مراجعه کنید. ).

رویکرد فوق به مسئله تعادل یک سیستم مکانیکی توسط دانشمندان در دنیای باستان مورد توجه قرار گرفت. بنابراین، قانون تعادل یک اهرم (یعنی یک جسم صلب با محور چرخش ثابت) توسط ارشمیدس در قرن سوم پیدا شد. قبل از میلاد مسیح ه.

در سال 1717، یوهان برنولی رویکرد کاملاً متفاوتی را برای یافتن شرایط تعادل برای یک سیستم مکانیکی توسعه داد - روش جابجایی های مجازی. بر اساس ویژگی نیروهای واکنش پیوند ناشی از قانون بقای انرژی است: با انحراف کوچک سیستم از موقعیت تعادل، کل نیروهای واکنش پیوند صفر است.

هنگام حل مسائل استاتیک (به مکانیک مراجعه کنید)، بر اساس شرایط تعادلی که در بالا توضیح داده شد، اتصالات موجود در سیستم (تکیه ها، نخ ها، میله ها) با نیروهای واکنشی که در آنها ایجاد می شود مشخص می شوند. نیاز به در نظر گرفتن این نیروها هنگام تعیین شرایط تعادل در مورد سیستم های متشکل از چندین جسم منجر به محاسبات دست و پا گیر می شود. اما با توجه به اینکه کار نیروهای واکنش پیوند برای انحرافات کوچک از موقعیت تعادل برابر با صفر است، می توان از در نظر گرفتن این نیروها به طور کلی اجتناب کرد.

علاوه بر نیروهای واکنش، نیروهای خارجی نیز بر نقاط یک سیستم مکانیکی وارد می شوند. کار آنها با انحراف کوچک از وضعیت تعادل چیست؟ از آنجایی که سیستم در ابتدا در حالت استراحت است، هر حرکتی از سیستم نیاز به انجام کارهای مثبت دارد. در اصل، این کار می تواند توسط نیروهای خارجی و نیروهای واکنش پیوندها انجام شود. اما همانطور که می دانیم کل کار نیروهای واکنش صفر است. بنابراین برای اینکه سیستم از حالت تعادل خارج شود، کل نیروهای خارجی برای هر گونه جابجایی احتمالی باید مثبت باشد. در نتیجه، شرط عدم امکان حرکت، یعنی شرط تعادل، را می توان به عنوان شرط غیرمثبت بودن کل کار نیروهای خارجی برای هرگونه جابجایی احتمالی فرمول بندی کرد: .

فرض کنید وقتی نقاط سیستم حرکت می کنند، مجموع کار نیروهای خارجی برابر است با . و اگر سیستم حرکاتی را انجام دهد چه اتفاقی می‌افتد - این حرکات مانند حرکات اول ممکن است. با این حال، کار نیروهای خارجی اکنون علامت تغییر خواهد کرد: . با استدلال مشابه مورد قبل، به این نتیجه می رسیم که اکنون شرایط تعادل سیستم به شکل زیر است: یعنی کار نیروهای خارجی باید غیرمنفی باشد. تنها راه "آشتی دادن" این دو شرایط تقریباً متناقض این است که برای هرگونه جابجایی احتمالی (مجازی) سیستم از موقعیت تعادل، نیاز به برابری دقیق به صفر کل نیروهای خارجی باشد: . حرکت ممکن (مجازی) در اینجا به معنای حرکت ذهنی بی نهایت کوچک سیستم است که منافاتی با ارتباطات تحمیل شده بر آن ندارد.

بنابراین، شرایط تعادل یک سیستم مکانیکی در قالب اصل جابجایی های مجازی به صورت زیر فرموله می شود:

"برای تعادل هر سیستم مکانیکی با اتصالات ایده آل، لازم و کافی است که مجموع کارهای اولیه وارد بر سیستم نیروها برای هر جابجایی احتمالی برابر با صفر باشد."

با استفاده از اصل جابجایی های مجازی، مشکلات نه تنها استاتیک، بلکه هیدرواستاتیک و الکترواستاتیک نیز حل می شود.

تعادل مکانیکی

تعادل مکانیکی- حالت یک سیستم مکانیکی که در آن مجموع نیروهای وارد بر هر یک از ذرات آن برابر با صفر و مجموع گشتاورهای اعمال شده بر جسم نسبت به هر محور چرخشی دلخواه نیز برابر با صفر است. .

در حالت تعادل، جسم در حالت سکون است (بردار سرعت برابر با صفر است) در چارچوب مرجع انتخاب شده، یا به طور یکنواخت در یک خط مستقیم حرکت می کند یا بدون شتاب مماسی می چرخد.

تعریف از طریق انرژی سیستم

از آنجایی که انرژی و نیروها توسط وابستگی های اساسی به هم متصل هستند، این تعریف معادل تعریف اول است. با این حال، تعریف از نظر انرژی را می توان برای به دست آوردن اطلاعاتی در مورد پایداری موقعیت تعادل گسترش داد.

انواع تعادل

بیایید برای سیستمی با یک درجه آزادی مثال بزنیم. در این حالت، شرط کافی برای موقعیت تعادل، وجود یک اکستریم موضعی در نقطه مورد مطالعه خواهد بود. همانطور که مشخص است، شرط یک انتها محلی یک تابع متمایز برابر صفر اولین مشتق آن است. برای تعیین اینکه این نقطه حداقل یا حداکثر است، لازم است مشتق دوم آن را تحلیل کنیم. ثبات موقعیت تعادل با گزینه های زیر مشخص می شود:

• تعادل ناپایدار؛
• تعادل پایدار؛
• تعادل بی تفاوت

تعادل ناپایدار

در حالتی که مشتق دوم منفی باشد، انرژی پتانسیل سیستم در حالت حداکثر محلی است. این به این معنی است که موقعیت تعادل ناپایدار. اگر سیستم با فاصله کمی جابجا شود، به دلیل نیروهای وارده به سیستم به حرکت خود ادامه می دهد.

تعادل پایدار

مشتق دوم > 0: انرژی پتانسیل در حداقل محلی، موقعیت تعادل به طور پیوسته(به قضیه لاگرانژ در مورد ثبات یک تعادل مراجعه کنید). اگر سیستم با فاصله کمی جابجا شود، به حالت تعادل باز می گردد. اگر مرکز ثقل بدن پایین ترین موقعیت را در مقایسه با تمام موقعیت های همسایه ممکن اشغال کند، تعادل پایدار است.

تعادل بی تفاوت

مشتق دوم = 0: در این ناحیه انرژی تغییر نمی کند و موقعیت تعادل است. بي تفاوت. اگر سیستم با فاصله کمی جابجا شود، در موقعیت جدید باقی می ماند.

پایداری در سیستم هایی با درجات آزادی زیاد

اگر سیستم چندین درجه آزادی داشته باشد، ممکن است معلوم شود که تعادل در جابجایی در برخی جهات پایدار و در برخی دیگر ناپایدار است. ساده ترین مثال از چنین موقعیتی یک "زین" یا "گذر" است (در این مکان خوب است که یک عکس قرار دهید).

تعادل یک سیستم با چندین درجه آزادی تنها در صورتی پایدار خواهد بود که پایدار باشد در تمام جهات.

بنیاد ویکی مدیا 2010 .

ببینید که "تعادل مکانیکی" در سایر لغت نامه ها چیست:

تعادل مکانیکی- mechaninė pusiausvyra statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. تعادل مکانیکی vok. mechanisches Gleichgewicht, n rus. تعادل مکانیکی، n شوخی équilibre mécanique, m … Fizikos terminų žodynas

- ... ویکیپدیا

انتقال فاز مقاله اول ... ویکی پدیا

حالت یک سیستم ترمودینامیکی که در آن پس از یک دوره زمانی به اندازه کافی طولانی در شرایط انزوا از محیط به طور خود به خود می آید و پس از آن پارامترهای حالت سیستم دیگر با زمان تغییر نمی کند. عایق …… دایره المعارف بزرگ شوروی

تعادل- (1) حالت مکانیکی بی حرکتی بدن که نتیجه نیروهای R. وارد بر آن است (زمانی که مجموع تمام نیروهای وارد بر جسم صفر باشد، یعنی شتاب ایجاد نمی کند). R وجود دارد: الف) پایدار، زمانی که، هنگام انحراف از ... ... دایره المعارف بزرگ پلی تکنیک

وضعیت مکانیکی سیستمی که تمام نقاط آن با توجه به چارچوب مرجع داده شده برای آن ثابت است. اگر این چارچوب مرجع اینرسی باشد، R. m. مطلق، در غیر این صورت نسبی بسته به رفتار بدن بعد از ... فرهنگ لغت پلی تکنیک دایره المعارفی بزرگ

تعادل ترمودینامیکی حالت یک سیستم ترمودینامیکی ایزوله است که در آن در هر نقطه برای تمام فرآیندهای شیمیایی، انتشار، هسته ای و سایر فرآیندها، سرعت واکنش رو به جلو برابر است با سرعت معکوس. ترمودینامیکی ... ... ویکی پدیا

تعادل- محتمل ترین حالت کلان یک ماده، زمانی که متغیرها، صرف نظر از انتخاب، ثابت می مانند توضیحات کاملسیستم های. تعادل متمایز می شود: مکانیکی، ترمودینامیکی، شیمیایی، فاز و غیره: رجوع کنید به ... ... فرهنگ لغت دایره المعارفیدر متالورژی

مطالب 1 تعریف کلاسیک 2 تعریف از طریق انرژی سیستم 3 انواع تعادل ... ویکی پدیا

انتقال فاز این مقاله بخشی از مجموعه "ترمودینامیک" است. مفهوم یک فاز تعادل فازها انتقال فاز کوانتومی بخش های ترمودینامیک آغاز ترمودینامیک معادله حالت ... ویکی پدیا

تعادل یک سیستم مکانیکیحالتی است که در آن تمام نقاط یک سیستم مکانیکی نسبت به قاب مرجع مورد بررسی در حالت سکون هستند. اگر چارچوب مرجع اینرسی باشد، تعادل نامیده می شود مطلق، اگر غیر اینرسی باشد - نسبت فامیلی.

برای یافتن شرایط تعادل برای یک جسم کاملاً سفت و سخت، لازم است آن را از نظر ذهنی به تعداد زیادی از عناصر به اندازه کافی کوچک تقسیم کنیم، که هر کدام را می توان با یک نقطه مادی نشان داد. همه این عناصر با یکدیگر تعامل دارند - این نیروهای متقابل نامیده می شوند درونی؛ داخلی. علاوه بر این، نیروهای خارجی می توانند روی تعدادی از نقاط بدن اثر بگذارند.

طبق قانون دوم نیوتن، برای اینکه شتاب یک نقطه صفر باشد (و شتاب یک نقطه در حالت سکون صفر باشد)، مجموع هندسی نیروهای وارد بر آن نقطه باید صفر باشد. اگر بدن در حال سکون است، پس تمام نقاط (عناصر) آن نیز در حال استراحت هستند. بنابراین، برای هر نقطه از بدن، می توانیم بنویسیم:

مجموع هندسی تمام نیروهای بیرونی و درونی وارد بر آن کجاست منعنصر بدن

معادله به این معنی است که برای تعادل یک جسم لازم و کافی است که مجموع هندسی تمام نیروهای وارد بر هر عنصر از این جسم برابر با صفر باشد.

از آن به راحتی می توان اولین شرط تعادل یک جسم (نظام اجسام) را بدست آورد. برای این کار کافی است معادله را بر روی تمام عناصر بدن جمع کنیم:

.

بر اساس قانون سوم نیوتن، مجموع دوم برابر با صفر است: مجموع بردار تمام نیروهای داخلی سیستم برابر با صفر است، زیرا هر نیروی داخلی با نیرویی برابر است که در مقدار مطلق و در جهت مخالف است.

در نتیجه،

.

شرط اول برای تعادل یک جسم صلب(سیستم های بدن)برابری صفر مجموع هندسی تمام نیروهای خارجی اعمال شده بر جسم است.

این شرط لازم است اما کافی نیست. با به خاطر سپردن حرکت چرخشی یک جفت نیرو که مجموع هندسی آنها نیز برابر با صفر است، می توان این موضوع را تأیید کرد.

شرط دوم برای تعادل یک جسم صلببرابری صفر مجموع گشتاورهای تمام نیروهای خارجی وارد بر جسم نسبت به هر محوری است.

بنابراین، شرایط تعادل برای یک جسم صلب در مورد تعداد دلخواه نیروهای خارجی به صورت زیر است:

.