فرمول حجم یک منشور چهار گوش کوتاه. فرمول های حجم یک هرم پر و کوتاه. حجم هرم خئوپس. مساحت و حجم هرم کوتاه شده

هرمچند وجهی نامیده می شود که یکی از وجوه آن چند ضلعی است ( پایه ، و تمام وجوه دیگر مثلث هایی هستند با یک راس مشترک ( صورت های جانبی ) (شکل 15). هرم نامیده می شود درست ، اگر قاعده آن چند ضلعی منتظم باشد و بالای هرم به مرکز قاعده بیرون زده باشد (شکل 16). هرم مثلثی که تمام لبه های آن با هم برابر هستند نامیده می شود چهار وجهی .



دنده کناریهرم به طرف وجه جانبی گفته می شود که به قاعده تعلق ندارد ارتفاع هرم فاصله بالای آن تا صفحه قاعده است. تمام لبه های کناری هرم منظم با یکدیگر برابرند، تمام وجوه جانبی مثلث های متساوی الساقین مساوی هستند. ارتفاع وجه جانبی هرم منظمی که از راس کشیده شده است نامیده می شود آپوتما . بخش مورب قسمتی از هرم به صفحه ای گفته می شود که از دو لبه جانبی که به یک وجه تعلق ندارند می گذرد.

مساحت سطح جانبیهرم به مجموع مساحت تمام وجوه جانبی گفته می شود. سطح کامل مجموع مساحت تمام وجوه جانبی و قاعده است.

قضایا

1. اگر در یک هرم تمام لبه های جانبی به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره محصور نزدیک پایه کشیده می شود.

2. اگر در یک هرم تمام لبه های جانبی دارای طول مساوی باشند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره محصور نزدیک قاعده بیرون زده می شود.

3. اگر در هرم همه وجوه به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل باشند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره حک شده در پایه بیرون زده می شود.

برای محاسبه حجم هرم دلخواه، فرمول صحیح است:

جایی که V- جلد؛

S اصلی- مساحت پایه؛

اچارتفاع هرم است.

برای یک هرم معمولی، فرمول های زیر درست است:

جایی که پ- محیط پایه؛

ساعت یک- ابهام

اچ- ارتفاع؛

اس پر

سمت S

S اصلی- مساحت پایه؛

Vحجم یک هرم منظم است.

هرم کوتاه شدهبه بخشی از هرم که بین پایه و صفحه برش موازی با پایه هرم محصور شده است (شکل 17). هرم کوتاه شده را اصلاح کنید بخشی از یک هرم منظم نامیده می شود که بین پایه و صفحه برش موازی با قاعده هرم محصور شده است.

پایه هاهرم کوتاه - چند ضلعی های مشابه. صورت های جانبی - ذوزنقه ارتفاع هرم ناقص فاصله بین قاعده های آن نامیده می شود. مورب هرم ناقص قطعه ای است که رئوس آن را به هم متصل می کند که روی یک صورت قرار ندارند. بخش مورب قسمتی از هرم بریده به صفحه ای گفته می شود که از دو لبه جانبی که به یک وجه تعلق ندارند می گذرد.


برای یک هرم کوتاه، فرمول ها معتبر هستند:

(4)

جایی که اس 1 , اس 2 - نواحی پایه های بالا و پایین;

اس پرمساحت کل است؛

سمت Sمساحت سطح جانبی است.

اچ- ارتفاع؛

Vحجم هرم کوتاه شده است.

برای یک هرم کوتاه معمولی، فرمول زیر صادق است:

جایی که پ 1 , پ 2 - محیط های پایه;

ساعت یک- شعار یک هرم منقطع منظم.

مثال 1در یک هرم مثلثی منظم، زاویه دو وجهی در قاعده 60 درجه است. مماس زاویه میل لبه کناری بر صفحه قاعده را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 18).


هرم منظم است، به این معنی که قاعده یک مثلث متساوی الاضلاع است و تمام وجوه جانبی مثلث متساوی الساقین هستند. زاویه دو وجهی در قاعده، زاویه تمایل وجه جانبی هرم به صفحه قاعده است. زاویه خطی زاویه خواهد بود آبین دو عمود: i.e. بالای هرم در مرکز مثلث پیش بینی شده است (مرکز دایره محصور و دایره محاط شده در مثلث ABC). زاویه شیب دنده جانبی (به عنوان مثال SB) زاویه بین خود لبه و برآمدگی آن بر روی صفحه پایه است. برای دنده SBاین زاویه زاویه خواهد بود SBD. برای پیدا کردن مماس باید پاها را بشناسید بنابراینو OB. طول قطعه را بگذارید BD 3 است آ. نقطه Oبخش خط BDبه قطعات تقسیم می شود: و از ما پیدا می کنیم بنابراین: از ما در می یابیم:

پاسخ:

مثال 2اگر قطرهای قاعده های آن سانتی متر و سانتی متر و ارتفاع آن 4 سانتی متر باشد، حجم هرم چهار گوش منقطع را بیابید.

راه حل.برای یافتن حجم هرم ناقص از فرمول (4) استفاده می کنیم. برای پیدا کردن مساحت پایه ها، باید اضلاع مربع های پایه را با دانستن قطر آنها پیدا کنید. اضلاع پایه ها به ترتیب 2 سانتی متر و 8 سانتی متر است، یعنی مساحت پایه ها و با جایگزینی تمام داده ها در فرمول، حجم هرم بریده شده را محاسبه می کنیم:

پاسخ: 112 سانتی متر مکعب.

مثال 3مساحت وجه جانبی یک هرم منقطع مثلثی منظم را که اضلاع قاعده آن 10 سانتی متر و 4 سانتی متر و ارتفاع هرم 2 سانتی متر است را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 19).


وجه جانبی این هرم ذوزنقه ای متساوی الساقین است. برای محاسبه مساحت ذوزنقه باید پایه ها و ارتفاع را بدانید. پایه ها با شرط داده شده است، فقط ارتفاع ناشناخته باقی مانده است. از کجا پیداش کن ولی 1 Eعمود بر یک نقطه ولی 1 در صفحه پایه پایین، آ 1 D- عمود بر ولی 1 در AC. ولی 1 E\u003d 2 سانتی متر، زیرا این ارتفاع هرم است. برای یافتن DEما یک نقاشی اضافی ایجاد می کنیم که در آن نمای بالایی را به تصویر می کشیم (شکل 20). نقطه O- پیش بینی مراکز پایه های بالا و پایین. از آنجا که (نگاه کنید به شکل 20) و از سوی دیگر خوبشعاع دایره محاطی است و OMشعاع دایره محاطی است:

MK=DE.

با توجه به قضیه فیثاغورث از

ناحیه کناری صورت:


پاسخ:

مثال 4در قاعده هرم یک ذوزنقه متساوی الساقین قرار دارد که پایه های آن قرار دارد آو ب (آ> ب). هر وجه جانبی زاویه ای برابر با صفحه قاعده هرم تشکیل می دهد j. مساحت کل هرم را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 21). مساحت کل هرم SABCDبرابر است با مجموع مساحت ها و مساحت ذوزنقه آ ب پ ت.

ما از این جمله استفاده می کنیم که اگر تمام وجوه هرم به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه راس به مرکز دایره محاط شده در قاعده بیرون زده می شود. نقطه O- طرح ریزی راس اسدر قاعده هرم مثلث SODبرآمدگی متعامد مثلث است CSDبه هواپیمای پایه توسط قضیه منطقه طرح ریزی متعامد شکل تختما گرفتیم:


به همین ترتیب، به معنای بنابراین، مشکل به یافتن ناحیه ذوزنقه کاهش یافت آ ب پ ت. یک ذوزنقه بکشید آ ب پ تبه طور جداگانه (شکل 22). نقطه Oمرکز دایره ای است که در ذوزنقه ای محاط شده است.


از آنجایی که یک دایره را می توان در یک ذوزنقه حک کرد، پس یا توسط قضیه فیثاغورث داریم

هرم کوتاه شدهچندوجهی نامیده می شود که رئوس آن رئوس قاعده و رئوس مقطع آن توسط صفحه ای موازی با قاعده است.

ویژگی های هرم کوتاه شده:

  • قاعده های یک هرم کوتاه چندضلعی های مشابه هستند.
  • وجوه جانبی هرم ناقص ذوزنقه است.
  • لبه های جانبی یک هرم منقطع منتظم برابر هستند و به یک اندازه به سمت قاعده هرم متمایل هستند.
  • وجوه جانبی یک هرم منقطع منظم، ذوزنقه های متساوی الساقینی هستند که برابر یکدیگر هستند و به همان اندازه به سمت قاعده هرم متمایل هستند.
  • زوایای دو وجهی در لبه های جانبی هرم منقطع منتظم برابر است.

مساحت و حجم هرم کوتاه شده

اجازه دهید - ارتفاع هرم ناقص، و - محیط قاعده هرم ناقص، و - مساحت پایه های هرم ناقص، - مساحت سطح جانبی هرم ناقص، - مساحت از سطح کامل هرم کوتاه، - حجم هرم کوتاه شده. سپس روابط زیر برقرار است:

.

اگر تمام زوایای دو وجهی در قاعده هرم ناقص مساوی و ارتفاع تمام وجوه جانبی هرم برابر باشد، آنگاه

12.01.2017

HA13118 یک تقویت کننده کلاس AB است که حاوی حداقل تعداد عناصر خارجی است و در ولتاژ تغذیه نسبتاً پایین دارای توان بالایی است، همچنین تقویت کننده دارای بهره بالای 55 دسی بل است که نیاز به تقویت پیش از سیگنال را بی نیاز می کند. اصلی مشخصات فنی: توان خروجی 18 وات (حداکثر) به 4 اهم 10 وات ...

  • 30.10.2014

    همه ریز مدارهای ذکر شده در یک بسته SIP1 با 11 پین ساخته شده اند و تقویت کننده های باس استریو دو کاناله هستند و اتصال عناصر خارجی یکسانی دارند. *TDA2005 مخصوص کاربردهای پل طراحی شده است. پارامترها: TDA2004A(TDA2004S) ولتاژ تغذیه 8…18 ولت جریان ساکن 65 میلی آمپر محدوده فرکانس 40…20000 هرتز Rn -2 اهم قدرت خروجی 10 وات به …

  • 05.10.2014

    مدار منبع تغذیه تنظیم شده با کنترل دیجیتالی شامل یک تنظیم کننده ولتاژ مثبت در KM317، یک شمارنده دهه CD4017 KPOM، یک تایمر NE555 و یک تنظیم کننده ولتاژ منفی در LM7912 است. ولتاژ شبکه توسط ترانسفورماتور به ولتاژ +/-12V در جریان 1A در سیم پیچ ثانویه کاهش می یابد، سپس اصلاح می شود. فیلتر ولتاژ ثابت خازنی C1-C5. LED1 نشان می دهد…

  • 19.08.2018

    شکل یک نمودار از یک رله زمان 8 کانال را نشان می دهد، رله زمان از یک آردوینو نانو، یک ساعت بیدرنگ DS3231 (ماژول)، یک نشانگر چهار رقمی هفت بخش بر اساس درایور TM1637 (ماژول TM1637) و چهار استفاده می کند. دکمه های کنترل در هر کانال می توانید زمان روشن و خاموش کردن رله را تنظیم کنید، تمام مقادیر زمان روشن و خاموش کردن رله در ...

  • 20.09.2014

    یک موتور سه فاز ناهمزمان استاندارد می‌تواند بدون اقدامات خاص در هنگام تغذیه از شبکه تک فاز، گشتاور تولید کند. فرض کنید مدار یکی از سیم های موتور در حال کار متصل به شبکه سه فاز باز باشد (مثلاً به دلیل سوختن فیوز). ماشینی که در حالت تک فاز با اتصال سری یا موازی سیم پیچ های استاتور ...

    • و یک صفحه برش که موازی با پایه آن است.

    یا به عبارت دیگر: هرم کوتاه شده- این چنین چند وجهی است که توسط یک هرم و بخش آن موازی با پایه تشکیل شده است.

    قسمتی که با قاعده هرم موازی است، هرم را به 2 قسمت تقسیم می کند. قسمتی از هرم بین قاعده و مقطع آن است هرم کوتاه شده.

    این بخش برای هرم ناقص یکی از پایه های این هرم است.

    فاصله بین قاعده های هرم ناقص است ارتفاع هرم کوتاه شده.

    هرم کوتاه شده خواهد شد درستزمانی که هرمی که از آن مشتق شده بود نیز درست بود.

    ارتفاع وجه جانبی ذوزنقه ای هرم ناقص منظم است آپوتماهرم منقطع منظم

    ویژگی های یک هرم بریده شده

    1. هر وجه جانبی هرم منقطع منظم، ذوزنقه ای متساوی الساقین به همان اندازه است.

    2. قاعده های هرم ناقص چند ضلعی مشابه هستند.

    3. لبه های کناری هرم منقطع منظم دارای اندازه مساوی و یکی نسبت به قاعده هرم متمایل است.

    4. وجوه جانبی هرم بریده به شکل ذوزنقه است.

    5. زوایای دو وجهی در لبه های جانبی هرم منقطع منتظم دارای قدر مساوی هستند.

    6. نسبت مساحت پایه ها: S 2 /S 1 \u003d k 2.

    فرمول های یک هرم کوتاه

    برای یک هرم دلخواه:

    حجم هرم ناقص برابر 1/3 حاصلضرب ارتفاع است ساعت (سیستم عامل) با مجموع مساحت های قاعده بالایی S1 (abcde، قاعده پایینی هرم بریده شده S2 (ABCDE) و میانگین تناسب بین آنها.

    حجم هرم:

    جایی که S1, S2- مساحت پایه،

    ساعتارتفاع هرم ناقص است.

    سطح جانبی برابر است با مجموع مساحت وجوه جانبی هرم بریده.

    برای یک هرم منقطع منظم:

    هرم کوتاه شده را اصلاح کنید- یک چندوجهی که توسط یک هرم منظم و بخش آن که موازی با قاعده است تشکیل شده است.

    مساحت سطح جانبی هرم ناقص منتظم نصف حاصلضرب مجموع محیط قاعده های آن و آپوتم است.

    جایی که S1, S2- مساحت پایه،

    φ زاویه دو وجهی در قاعده هرم است.

    CHارتفاع هرم ناقص است، P1و P2- محیط پایه ها، S1و S2- مناطق پایه، سمت S- مساحت سطح جانبی، اس پر- مساحت کل:

    برش یک هرم توسط صفحه موازی با قاعده.

    قسمتی از هرم توسط صفحه ای که موازی قاعده آن است (عمود بر ارتفاع آن) ارتفاع و لبه های جانبی هرم را به قطعات متناسب تقسیم می کند.

    مقطع هرم توسط صفحه ای که موازی قاعده آن است (عمود بر ارتفاع) چند ضلعی است که شبیه قاعده هرم است، در حالی که ضریب تشابه این چند ضلعی ها مطابق با نسبت فاصله آنها از بالا است. از هرم

    مساحت مقاطعی که با قاعده هرم موازی هستند به عنوان مربع فاصله آنها از بالای هرم به هم مربوط می شود.

    توانایی محاسبه حجم اشکال فضایی در حل تعدادی از مسائل کاربردی هندسه مهم است. یکی از رایج ترین اشکال هرم است. در این مقاله اهرام پر و کوتاه را در نظر خواهیم گرفت.

    هرم به عنوان یک شکل سه بعدی

    همه در مورد اهرام مصر می دانند، بنابراین آنها ایده خوبی دارند که در مورد چه رقمی صحبت می شود. با این وجود، سازه‌های سنگی مصری تنها نمونه‌ای خاص از دسته عظیمی از اهرام هستند.

    جسم هندسی مورد بررسی در حالت کلی یک قاعده چند ضلعی است که هر رأس آن به نقطه ای از فضا متصل است که به صفحه پایه تعلق ندارد. این تعریف منجر به شکلی متشکل از یک n-ضلعی و n مثلث می شود.

    هر هرمی از n+1 وجه، 2*n لبه و n+1 راس تشکیل شده است. از آنجایی که شکل مورد نظر یک چندوجهی کامل است، تعداد عناصر مشخص شده مطابق با معادله اویلر است:

    2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

    چند ضلعی که در قاعده قرار دارد نام هرم را می دهد، مثلاً مثلثی، پنج ضلعی و غیره. مجموعه ای از اهرام با پایه های مختلف در عکس زیر نشان داده شده است.

    نقطه ای که در آن n مثلث شکل به هم وصل می شود راس هرم می گویند. اگر یک عمود از آن به قاعده پایین بیاید و آن را در مرکز هندسی قطع کند، چنین شکلی را خط مستقیم می نامند. اگر این شرط برآورده نشد، پس یک هرم مایل وجود دارد.

    شکل مستقیمی که قاعده آن توسط یک n-ضلعی متساوی الاضلاع (متساوی الاضلاع) تشکیل شده است، منظم نامیده می شود.

    فرمول حجم هرم

    برای محاسبه حجم هرم از حساب انتگرال استفاده می کنیم. برای این کار، شکل را با صفحات سکانس موازی با پایه به تعداد بی نهایت لایه نازک تقسیم می کنیم. شکل زیر یک هرم چهار گوش با ارتفاع h و طول ضلع L را نشان می دهد که در آن یک لایه مقطع نازک با یک چهار ضلعی مشخص شده است.

    مساحت هر لایه را می توان با فرمول محاسبه کرد:

    A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

    در اینجا A 0 مساحت پایه است، z مقدار مختصات عمودی است. مشاهده می شود که اگر z = 0 باشد، فرمول مقدار A 0 را می دهد.

    برای بدست آوردن فرمول حجم هرم، باید انتگرال را در تمام ارتفاع شکل محاسبه کنید، یعنی:

    V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

    با جایگزینی وابستگی A(z) و محاسبه ضد مشتق، به عبارت زیر می رسیم:

    V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

    ما فرمول حجم یک هرم را به دست آورده ایم. برای یافتن مقدار V کافی است ارتفاع شکل را در مساحت پایه ضرب کنید و سپس نتیجه را بر سه تقسیم کنید.

    توجه داشته باشید که عبارت به دست آمده برای محاسبه حجم یک هرم از نوع دلخواه معتبر است. یعنی می تواند مایل باشد و پایه آن می تواند یک n-gon دلخواه باشد.

    و حجم آن

    فرمول کلی حجم به دست آمده در پاراگراف بالا را می توان در مورد هرم با پایه منظم اصلاح کرد. مساحت چنین پایه ای با فرمول زیر محاسبه می شود:

    A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

    در اینجا L طول ضلع است چند ضلعی منظمبا n راس نماد پی عدد پی است.

    با جایگزینی عبارت A 0 به فرمول کلی، حجم یک هرم منظم را بدست می آوریم:

    V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

    به عنوان مثال، برای یک هرم مثلثی، این فرمول به عبارت زیر منجر می شود:

    V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

    برای یک هرم چهار گوش معمولی، فرمول حجم به شکل زیر است:

    V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

    تعیین حجم اهرام منظم مستلزم دانستن ضلع قاعده آنها و ارتفاع شکل است.

    هرم کوتاه شده

    فرض کنید یک هرم دلخواه را گرفته ایم و قسمتی از سطح جانبی آن را که دارای رأس است بریده ایم. شکل باقی مانده یک هرم کوتاه نامیده می شود. قبلاً از دو پایه n-گونال و n ذوزنقه تشکیل شده است که آنها را به هم متصل می کند. اگر صفحه برش موازی با پایه شکل بود، یک هرم کوتاه با پایه های مشابه موازی تشکیل می شود. یعنی طول اضلاع یکی از آنها را می توان با ضرب طول دیگری در مقداری ضریب k بدست آورد.

    شکل بالا یک منتظم ناقص را نشان می دهد که مشاهده می شود که قاعده بالایی آن نیز مانند زیرین از یک شش ضلعی منتظم تشکیل شده است.

    فرمولی که می توان با استفاده از حساب انتگرالی مشابه فرمول بالا به دست آورد:

    V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

    جایی که A 0 و A 1 به ترتیب نواحی پایه های پایین (بزرگ) و بالایی (کوچک) هستند. متغیر h نشان دهنده ارتفاع هرم کوتاه شده است.

    حجم هرم خئوپس

    حل مشکل تعیین حجم بزرگترین هرم مصر کنجکاو است.

    در سال 1984، مصر شناسان بریتانیایی مارک لهنر و جان گودمن، ابعاد دقیق هرم خئوپس را تعیین کردند. ارتفاع اولیه آن 146.50 متر (در حال حاضر حدود 137 متر) بوده است. میانگین طول هر یک از چهار ضلع سازه 230.363 متر بود. پایه هرم مربعی شکل با دقت بالا است.

    بیایید از ارقام داده شده برای تعیین حجم این غول سنگی استفاده کنیم. از آنجایی که هرم یک چهارگوش منظم است، پس فرمول برای آن معتبر است:

    با وصل کردن اعداد، دریافت می کنیم:

    V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m 3.

    حجم هرم خئوپس تقریبا 2.6 میلیون متر مکعب است. برای مقایسه، خاطرنشان می کنیم که استخر المپیک دارای حجم 2.5 هزار متر مکعب است. یعنی برای پرکردن کل هرم خئوپس به بیش از 1000 استخر از این دست نیاز است!