Какво е повърхност от първи ред. Алгебрични повърхнини от първи ред. Каква е разликата между този референтен материал и аналозите

§7. Равнина като повърхност от първи ред. Общо уравнение на равнината. Уравнение на равнина, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на даден вектор Нека въведем правоъгълна декартова координатна система Oxyz в пространството и разгледаме уравнение от първа степен (или линейно уравнение) за x, y, z: (7.1) Ax  Чрез  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Теорема 7.1. Всяка равнина може да бъде определена в произволна правоъгълна декартова координатна система чрез уравнение от вида (7.1). Точно както в случая с права в равнина, обратната теорема на теорема 7.1 е валидна. Теорема 7.2. Всяко уравнение от вида (7.1) определя равнина в пространството. Доказателството на теореми 7.1 и 7.2 може да се извърши подобно на доказателството на теореми 2.1, 2.2. От теореми 7.1 и 7.2 следва, че равнината и само тя е повърхност от първи ред. Уравнение (7.1) се нарича общо уравнение на равнината. Неговите  коефициенти A, B, C се интерпретират геометрично като координатите на вектора n, перпендикулярен на равнината, дефинирана от това уравнение. Този вектор  n(A, B, C) се нарича нормален вектор към дадената равнина. Уравнение (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 за всички възможни стойности на коефициентите A, B, C определя всички равнини, минаващи през точката M 0 ( x0, y0, z0) Нарича се уравнение на куп равнини. Избор специфични стойности A, B, C в (7.2) означава изборът на равнината P от връзката, минаваща през точката M 0 перпендикулярно на  към дадения вектор n(A, B, C) (фиг. 7.1). Пример 7.1. Напишете уравнението на равнината Р, минаваща през точката   А(1, 2, 0) успоредна на векторите a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Нормалният вектор n към P е ортогонален на дадените вектори a и b (фиг. 7.2),   така че за n можете да вземете тяхното векторно произведение n: А    Р i j k 2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n   a    b 2i  3 j  4k . Заместете координатите Фиг. 7.2. Например 7.1 P M0  точка M 0 и вектор n в уравнение (7.2), получаваме Фиг. 7.1. Към уравнението на уравнението на равнинния сноп P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 или P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1 Ако два от коефициентите A, B , C на уравнението (7.1) са равни на нула, то определя равнина, успоредна на една от координатните равнини. Например, когато A  B  0, C  0 - равнина P1: Cz  D  0 или P1: z   D / C (фиг. 7.3). Тя е успоредна на равнината Oxy, тъй като нейният нормален вектор  n1(0, 0, C) е перпендикулярен на тази равнина. За A  C  0 , B  0 или B  C  0 , A  0 , уравнение (7.1) определя равнините P2: Чрез  D  0 и P3: Ax  D  0, успоредни на координатните равнини Oxz и Oyz, тъй като   техните нормални вектори n2(0, B, 0) и n3(A, 0, 0) са перпендикулярни на тях (фиг. 7.3). Ако само един от коефициентите A, B, C на уравнение (7.1) е равен на нула, тогава той определя равнина, успоредна на една от координатните оси (или съдържаща я, ако D  0). Така равнината P: Ax  By  D  0 е успоредна на оста Oz, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x 7.4. Равнина P: Ax  B y  D  0 , успоредна на оста Oz Фиг. 7.3. Равнини, успоредни на равнините с координати , тъй като нейният нормален вектор n(A, B, 0) е перпендикулярен на оста Oz. Обърнете внимание, че тя минава през правата L: Ax  By  D  0 , лежаща в равнината Oxy (фиг. 7.4). Когато D  0, уравнението (7.1) определя равнина, минаваща през началото. Пример 7.2. Намерете стойностите на параметъра , при които уравнението x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 определя равнината P: а) успоредна на една на координатните равнини; б) успоредна на една от координатните оси; в) преминаване през началото на координатите. Нека запишем това уравнение във формата (7.3) За всяка стойност на  уравнение (7.3) определя определена равнина, тъй като коефициентите при x, y, z в (7.3) не се равняват на нула едновременно. а) При   0 уравнение (7. 3) определя равнината P, успоредна на равнината Oxy , P: z  3 / 2 , а с   2 определя равнината P 2, успоредна на равнината Oyz , P: x  5/ 2 . За никакви стойности на  равнината P, определена от уравнение (7.3), не е успоредна на равнината Oxz, тъй като коефициентите при x, z в (7.3) не се равняват на нула едновременно. b) При   1 уравнение (7.3) определя равнината P , успоредна на оста Oz , P: x  3y  2  0 . За други стойности на параметъра  той не определя равнина, успоредна само на една от координатните оси. в) За   3 уравнение (7.3) определя равнината P, минаваща през началото, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Пример 7.3. Напишете уравнението на равнината P, минаваща през: а) точка M (1,  3, 2) успоредна на равнинната ос Oxy; b) Оста Ox и точка M (2, - 1, 3) .   а) За нормален вектор n към Р тук можем да вземем вектора k (0, 0,1) - единичният вектор на оста Oz, тъй като е перпендикулярен на равнината Oxy. Заместваме координатите на точката  M (1,  3, 2) и вектора n в уравнение (7.2), получаваме уравнението на равнината P: z 3  0.   b) Нормалният вектор n към P е ортогонален на векторите i (1, 0, 0) и OM (2,  1, 3) ,  така че тяхното векторно произведение може да се приеме като n: 01   3 j  k . 2  1 3 

1.7.1. Самолет.

Да разгледаме произволна равнина P в декартова основа и нормалния вектор (перпендикулярен) към нея `n (A, B, C). Вземете в тази равнина произволна фиксирана точка M0(x0, y0, z0) и текуща точка M(x, y, z).

Очевидно ?`n = 0 (1,53)

(виж (1.20) за j = p /2). Това е уравнението на равнината във векторна форма. Преминавайки към координатите, получаваме общото уравнение на равнината

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ax + Vy + Cz + D = 0 (1.54).

(D = –Ах0 – Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Може да се покаже, че в декартови координати всяка равнина се определя от уравнение от първа степен и обратното, всяко уравнение от първа степен дефинира равнина (т.е. равнината е повърхност от първи ред, а повърхността от първи ред е равнина).

Разгледайте някои специални случаи на местоположението на равнината, дадено от общото уравнение:

A \u003d 0 - успоредно на оста Ox; B \u003d 0 - успоредно на оста Oy; C \u003d 0 - успоредно на оста Oz. (Такива равнини, перпендикулярни на една от координатните равнини, се наричат проектиращи); D = 0 - преминава през началото; A = B = 0 - перпендикулярна на оста Oz (успоредна на равнината xOy); A = B = D = 0 - съвпада с равнината xOy (z = 0). Всички други случаи се анализират по подобен начин.

Ако D? 0, тогава, разделяйки двете части на (1.54) на -D, можем да доведем уравнението на равнината до формата: (1.55),

a \u003d - D / A, b \u003d - D / B, c \u003d - D / C. Съотношението (1.55) се нарича уравнение на равнина в сегменти; a, b, c са абсцисата, ординатата и апликата на пресечните точки на равнината с осите Ox, Oy, Oz и |a|, |b|, |c| са дължините на отсечките, отсечени от равнината на съответните оси от началото.

Умножаване на двете страни на (1,54) по нормализиращия фактор (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1,56)

където cosa \u003d Am, cosb \u003d Bm, cosg \u003d Cm са косинусите на посоката на нормалата към равнината, p е разстоянието до равнината от началото.

Нека разгледаме основните съотношения, използвани при изчисленията. Ъгълът между равнините A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0 може лесно да се определи като ъгъл между нормалите на тези равнини `n1 (A1, B1, C1) и

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

От (1.57) е лесно да се получи условието за перпендикулярност

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

и паралелизъм (1.59) равнини и техните нормали.

Разстояние от произволна точка M0(x0, y0, z0) до равнината (1.54)

се определя от израза: (1.60)

Уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), най-удобно се записва с помощта на условието за компланарност (1.25) на векторите където M(x, y, z) е текущата точка на равнината.

(1.61)

Представяме уравнението за сноп от равнини (т.е.

Набори от равнини, преминаващи през една права линия) - удобно е да се използва в редица проблеми.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Където l Î R, а в скоби са уравненията на произволни две равнини на гредата.

Контролни въпроси.

1) Как да проверим дали дадената точка лежи върху повърхността, дадена от даденото уравнение?

2) Каква е характерната особеност, която отличава уравнението на равнина в декартова координатна система от уравнението на други повърхности?

3) Как е равнината спрямо координатната система, ако нейното уравнение не съдържа: а) свободен член; б) една от координатите; в) две координати; г) една от координатите и свободен срок; д) две координати и свободен термин?

1) Дадени са точки М1(0,-1,3) и М2(1,3,5). Напишете уравнението на равнината, минаваща през точка M1 и перпендикулярна на вектора Изберете верният отговор:

а) ; б) .

2) Намерете ъгъла между равнините и . Изберете верният отговор:

а) 135o, б) 45o

1.7.2. Направо. Равнини, чиито нормали не са колинеарни или се пресичат, уникално определяйки линията като линия на тяхното пресичане, което се записва, както следва:

През тази линия могат да се начертаят безкрайно много равнини (молив от равнини (1.62)), включително тези, които я проектират върху координатните равнини. За да се получат техните уравнения, е достатъчно да се преобразува (1.63), като се елиминира едно неизвестно от всяко уравнение и се редуцират, например, до формата (1.63`).

Нека поставим задачата - да начертаем права линия през точката M0 (x0, y0, z0) успоредна на вектора `S (l, m, n) (нарича се водач). Вземете произволна точка M(x, y, z) на желаната права. Вектори и трябва да бъде колинеарен, откъдето получаваме каноничните уравнения на правата.

(1,64) или (1.64`)

където cosa, cosb, cosg са насочващите косинуси на вектора `S. От (1.64) лесно се получава уравнението на права линия, минаваща през дадените точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) (тя е успоредна )

Или (1,64``)

(Стойностите на дробите в (1.64) са равни за всяка точка от правата и могат да бъдат означени с t, където t R. Това ви позволява да въведете параметричните уравнения на правата линия

Всяка стойност на параметъра t съответства на набор от координати x, y, z на точка от линията или (в противен случай) - стойностите на неизвестните, които отговарят на уравненията на линията).

Вече се използва известни свойствавектори и операции върху тях и каноничните уравнения на правата, е лесно да се получат следните формули:

Ъгъл между линиите: (1.65)

Условие за паралелизъм (1.66).

перпендикулярност l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) линии.

Ъгъл между права и равнина (получава се лесно чрез намиране на ъгъла между правата и нормалата към равнината, което дава желаното p / 2)

(1.68)

От (1.66) получаваме условието за паралелност Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

и перпендикулярност (1.70) на права и равнина. Необходимото и достатъчно условие две прави да бъдат в една равнина може лесно да се получи от условието за компланарност (1.25).

(1.71)

Контролни въпроси.

1) Какви са начините за задаване на права линия в пространството?

1) Напишете уравненията на права линия, минаваща през точка A (4,3,0) и успоредна на вектора Посочете верния отговор:

а) ; б) .

2) Напишете уравненията на права линия, минаваща през точките A(2,-1,3) и B(2,3,3). Посочете верния отговор.

а) ; б) .

3) Намерете пресечната точка на правата с равнината: , . Посочете верния отговор:

а) (6,4,5); б) (6, -4,5).

1.7.3. Повърхнини от втори ред. Ако линейно уравнение в триизмерна декартова основа уникално дефинира равнина, всяка нелинейно уравнение, съдържаща x, y, z описва друга повърхност. Ако уравнението изглежда така

Ax2 + Vy2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, тогава той описва повърхност от втори ред (общо уравнение на повърхността от втори ред). Чрез избиране или трансформиране на декартови координати уравнението може да бъде опростено възможно най-много, което води до една от следните форми, описващи съответната повърхност.

1. Канонични уравнения на цилиндри от втори ред, чиито генератори са успоредни на оста Oz, и съответните криви от втори ред, лежащи в равнината xOy, служат като водачи:

(1.72), (1.73), y2 = 2px (1.74)

съответно елиптични, хиперболични и параболични цилиндри.

(Припомнете си, че цилиндрична повърхност се нарича повърхност, получена чрез преместване на права линия, наречена генератора, успоредна на себе си. Линията на пресичане на тази повърхност с равнина, перпендикулярна на генератора, се нарича водач - тя определя формата на повърхността).

По аналогия могат да се запишат уравненията на същите цилиндрични повърхности с генератори, успоредни на оста Oy и оста Ox. Водачът може да се определи като пресечна линия на повърхността на цилиндъра и съответната координатна равнина, т.е. система от уравнения от вида:

2. Уравнения на конус от втори ред с връх в началото:

(1.75)

(осите на конуса са съответно осите Oz, Oy и Ox)

3. Канонично уравнение на елипсоида: (1.76);

Специални случаи са например елипсоидите на революцията - повърхността, получена чрез завъртане на елипсата около оста Oz (Когато

а > с елипсоидът е компресиран, за a x2 + y2+ z2 + = r2 е уравнението на сфера с радиус r с център в началото).

4. Канонично уравнение на еднослоен хиперболоид

(знакът “-” може да стои пред който и да е от трите члена от лявата страна - това променя само позицията на повърхността в пространството). Частни случаи са например еднолистните хиперболоиди на революцията е повърхността, получена чрез завъртане на хиперболата около оста Oz (въображаемата ос на хиперболата).

5. Канонично уравнение на двуслоен хиперболоид

(знакът „-“ може да се постави пред който и да е от трите термина от лявата страна).

Частни случаи са двуслойни хиперболоиди на въртене, например повърхност, получена чрез въртене на хипербола около оста Oz (истинската ос на хиперболата).

6. Канонично уравнение на елиптичен параболоид

(p >0, q >0) (1,79)

7. Канонично уравнение на хиперболичен параболоид

(p >0, q >0) (1,80)

(променливата z може да смени местата си с която и да е от променливите x и y - позицията на повърхността в пространството ще се промени).

Обърнете внимание, че е лесно да получите представа за характеристиките (формата) на тези повърхности, като разгледате участъци от тези повърхности с равнини, перпендикулярни на координатните оси.

Контролни въпроси.

1) Какъв набор от точки в пространството определя уравнението?

2) Какви са каноничните уравнения на цилиндри от втори ред; конуси от втори ред; елипсоид; еднолистов хиперболоид; двулистов хиперболоид; елипсовиден параболоид; хиперболичен параболоид?

1) Намерете центъра и радиуса на сферата и посочете верния отговор:

а) С (1,5; -2,5; 2), ; б) С(1,5;2,5;2), ;

2) Определете вида на повърхността, дадена от уравненията: . Посочете верния отговор:

а) еднолистов хиперболоид; хиперболичен параболоид; елипсовиден параболоид; конус.

б) двулистов хиперболоид; хиперболичен параболоид; елипсовиден параболоид; конус.

Лекция 2. Равнината като повърхнина от първи ред. Равнинни уравнения и тяхното изследване. Права в пространството, взаимно разположение на прави в пространството, равнина и права в пространството. Права на равнина, уравнения на права на равнина, разстояние от точка до права на равнина. Криви от втори ред; извеждане на канонични уравнения, изследване на уравнения и конструиране на криви. Повърхности от втори ред, изследване на канонични уравнения на повърхности. Метод на раздела. 1

Елементи на аналитичната геометрия § 1. Равнина. Имаме OXYZ и някаква повърхност S F(x, y, z) = 0 z x (S) O y Определение 1: уравнение с три променливи се нарича уравнение на повърхността S в пространството, ако това уравнение е удовлетворено от координатите на всяка точка, лежаща на повърхността, а не по координатите няма точка, лежаща върху нея. 2

Пример. Уравнението (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) определя сфера с център в точка C(a, b, c) и радиус R. M M( x , y, z) е променлива точка M ϵ (S) |CM| = RC 3

Определение 2: Повърхност S се нарича повърхност от n-ти ред, ако в някаква декартова координатна система е дадена от алгебрично уравнение от n-та степен F(x, y, z) = 0 (1) В примера (S) - кръг, повърхност от втори ред. Ако S е повърхност от n-ти ред, тогава F(x, y, z) е полином от n-та степен по отношение на (x, y, z). Разгледайте единствената повърхност от 1-ви ред - равнината. Нека съставим уравнението на равнината, минаваща през точката M (x, y, z), с нормалния вектор 4

Нека M(x, y, z) е произволна (текуща) точка от равнината. M M 0 О α или в координатна форма: (2) Уравнение (2) - уравнението на равнината, минаваща през точката M с дадения нормален вектор. 5

D (*) (3) - пълно уравнение на равнината Непълно уравнение на равнината. Ако в уравнение (3) няколко коефициента (но не A, B, C едновременно) = 0, тогава уравнението се нарича непълно и равнината α има особености в местоположението. Например, ако D = 0, тогава α минава през началото. 6

Разстоянието от точката M 1 до равнината α M 1 (x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 се прилага към точката M 0 K 7

- разстояние от точката M 1 до равнината α Уравнение на равнината "в сегменти" Нека направим уравнението на равнината, отрязваща ненулеви сегменти по координатните оси със стойности C (0, 0, c) a, b, c. Нека вземем B(0, b, 0) като уравнение за точка A с A(a, 0, 0) 8

- уравнение на равнината α "в сегменти" - уравнение на равнината, минаваща през точка А, перпендикулярна на нормалния вектор 9

§ 2. Общо уравнение на права линия. Правата линия в пространството може да бъде определена от пресечната точка на 2 равнини. (1) уравнение на права линия Система от вида (1) определя права линия в пространството, ако коефициентите A 1, B 1, C 1 са едновременно непропорционални на A 2, B 2, C 2. 10

Параметрични и канонични уравнения на права - произволна точка линия точка M M 0 Параметрично уравнение t - параметър 11

Елиминирайки t получаваме: - канонично уравнениеСистема (3) определя движението на материална точка, праволинейно и равномерно от началното положение M 0 (x 0, y 0, z 0) със скорост по посока на вектора. 12

Ъгъл между линиите в пространството. Условия на успоредност и перпендикулярност. Нека две прави L 1, L 2 в пространството са дадени чрез техните канонични уравнения: Тогава проблемът за определяне на ъгъла между тези прави се свежда до определяне на ъгъла

техните насочващи вектори: Използвайки дефиницията на скаларното произведение и израза в координатите на посоченото скаларно произведение и дължините на векторите q 1 и q 2, намираме: 15

Условието за паралелност на линиите l 1 и l 2 съответства на колинеарността на q 1 и q 2, се състои в пропорционалността на координатите на тези вектори, т.е. има формата: Условието за перпендикулярност следва от определението на скалара произведение и равенството му на нула (при cos = 0) и има формата: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Ъгълът между права и равнина: условия за успоредност и перпендикулярност на права и равнина Разгледайте равнината P, дадена от общото уравнение: Ax + By + Cz + D = 0, и правата L, дадена от каноничната уравнение: 17

Тъй като ъгълът между правата L и равнината P е комплементарен на ъгъла между насочващия вектор на правата q = (l, m, n) и нормалния вектор на равнината n = (A, B, C), тогава от дефиницията на скаларното произведение q n = q n cos и равенствата cos = sin (= 90 -), получаваме: 18

Условието за паралелност на правата L и равнината P (което включва факта, че L принадлежи на P) е еквивалентно на условието за перпендикулярност на векторите q и n и се изразява = 0 на скаларното произведение на тези вектори: q n = 0: Al + Bm + Cn = 0. Условието за перпендикулярност на правата L и равнината P е еквивалентно на условието за успоредност на векторите n и q и се изразява чрез пропорционалността на координатите на тези вектори: 19

Условия две прави да принадлежат на една и съща равнина Две прави в пространството L 1 и L 2 могат: 1) да се пресичат; 2) да са успоредни; 3) кръстосват се. В първите два случая правите L 1 и L 2 лежат в една и съща равнина. Нека установим условието за принадлежност към една и съща равнина на две прави, дадени от канонични уравнения: 20

Очевидно, за да принадлежат двете посочени прави на една и съща равнина, е необходимо и достатъчно три вектора = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) и q 2 = (l 2, m 2, n 2), са копланарни, за което от своя страна е необходимо и достатъчно смесеното произведение на тези три вектора = 0. 21

Записвайки смесените произведения на посочените вектори в координати, получаваме необходимото и достатъчно условие двете прави L 1 и L 2 да принадлежат на една и съща равнина: 22

Условие правата да принадлежи на равнина Нека има права и равнина Ax + Vy + Cz + D = 0. Тези условия имат формата: Ax1 + Vy1 + Cz 1 + D = 0 и Al + Bm + Cn = 0, първото от които означава, че точката M 1 (x1, y1, z 1), през която минава правата, принадлежи на равнината, а второто е условието за успоредност на правата и равнината. 23

Криви от втори ред. § 1. Концепцията за уравнението на права върху равнина. Уравнението f (x, y) = 0 се нарича уравнение на правата L в избраната координатна система, ако е изпълнено от координатите на която и да е точка, лежаща на правата, а не от координатите на всяка точка, която не лежи върху нея. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

Права L се нарича права от n-ти ред, ако в някаква декартова координатна система е дадена от алгебрично уравнение от n-та степен по отношение на x и y. Познаваме единствената линия от 1-ви ред - права линия: Ax + By + D = 0 Ще разгледаме криви от 2-ри ред: елипса, хипербола, парабола. Общото уравнение на линиите от 2-ри ред е: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Елипса (E) Определение. Елипса - съвкупността от всички точки на равнината, чиято сума от разстоянията до две фиксирани точки на равнината F 1 и F 2, наречени фокуси, е константа и е по-голяма от разстоянието между фокусите. Означаваме константата 2 a, разстоянието между фокусите 2 c. Нека начертаем оста X през фокусите, (a > c, a > 0, c > 0). оста Y през средните точки на фокусното разстояние. Нека M е произволна точка от елипсата, т.е. M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), където r 1, r 2 са фокални 27 радиуса на E.

Записваме (1) в координатна форма: (2) Това е уравнението на елипса в избраната координатна система. Опростявайки (2), получаваме: b 2 = a 2 - c 2 (3) е каноничното уравнение на елипсата. Може да се покаже, че (2) и (3) са еквивалентни: 28

Изследване на формата на елипса според каноничното уравнение 1) Елипса е крива от 2-ри ред 2) Симетрия на елипса. тъй като x и y са включени в (3) само в четни степени, то елипсата има 2 оси и 1 център на симетрия, които в избраната координатна система съвпадат с избраните координатни оси и точка O. 29

3) Местоположението на елипсата Тоест цялото E е разположено вътре в правоъгълник, чиито страни са x = ± a и y = ± b. 4) Пресичане с оси. A 1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: върховете на елипсата C OC: B 1(0; b); B2(0; -b); Поради симетрията на елипсата, ще разгледаме нейното поведение (↓) само през първото тримесечие. тридесет

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt="Решаване на (3) по отношение на y, получаваме: в първия квадрант x > 0 и елипсата намалява."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Хипербола (G) Определение: Г е множеството от всички точки на равнината, модулът на разликата в разстоянията на които до 2 фиксирани точки на равнината F 1 , F 2 е постоянна стойност и

Опростявайки (1): (2) е каноничното уравнение на G. (1) и (2) са еквивалентни. Изследване на хипербола според каноничното уравнение 1) Г-линия от 2-ри ред 2) Г има две оси и един център на симетрия, които в нашия случай съвпадат с координатните оси и началото. 3) Местоположението на хиперболата. 34

Хиперболата се намира извън лентата между правите x = a, x = -a. 4) Точки на пресичане с оси. OX: OY: няма решения A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – реални върхове на Г B 1(0; b); B 2(0; -b) - имагинерни върхове Г 2 a - реална ос Г 2 b - имагинерна ос Г 35

5) Асимптоти на хипербола. По силата на симетрията на Γ, нека разгледаме неговата част в първата четвърт. Разрешавайки (2) по отношение на y, получаваме: уравнението Г в I четвърт x ≥ 0 съответстваща точка Γ, т.е. в първата четвърт Γ лежи под тази линия. Всички Г лежат във вертикален ъгъл със страни 36

6) Може да се покаже, че в първата част G нараства 7) Планът за изграждане на G

Парабола (P) Разгледайте d (директриса) и F (фокус) върху равнина. Определение. P - множеството от всички точки на равнината, еднакво отдалечени от правата d и точката F (фокус) 39

d-директриса F-фокус XOY точка MP P след това |MF| = |MN| (1) P уравнение, избрано в координатната система Опростявайки (1) получаваме y 2 = 2 px (2) – P каноничното уравнение.

Изследвайте P според каноничното уравнение x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Цилиндрите. Цилиндрични повърхнини с образуващи, успоредни на координатните оси. През точката x на правата L прекарваме права, успоредна на оста OZ. Повърхността, образувана от тези линии, се нарича цилиндрична повърхност или цилиндър (C). Всяка права, успоредна на оста OZ, се нарича образуваща. l - водач на цилиндричната повърхност на равнината XOY. Z(x, y) = 0 (1) 42

Нека M(x, y, z) е произволна точка от цилиндричната повърхност. Ние го проектираме върху L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0, че е, координатите M отговарят на (1), очевидно е, че ако M C, тогава тя не е проектирана към точката M 0 ϵ L и следователно координатите на M няма да удовлетворяват уравнение (1), което определя C с образуваща успоредна на оста OZ в пространството. По същия начин можем да покажем, че: Ф(x, z) = 0 в пространството Ц || OY 43 (y, z) = 0 дефинира в пространството Ц || ОХ

Проекция на пространствена линия върху координатна равнина Правата в пространството може да бъде зададена параметрично и чрез пресичане на повърхности. Една и съща линия може да бъде дадена от ∩ различни повърхности. Нека пространствената линия L е дадена от ∩ на две повърхности α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 уравнение L Ф 1(x, y , z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Нека намерим проекцията на L върху равнината XOY от уравнение (1) изключим Z. Получаваме уравнението: Z(x, y) = 0 – в пространството това е уравнението Ц с генератор || OZ и ръководство L. 46

Проекция: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Повърхнини от втори ред Елипсоид – каноничното уравнение на повърхнината има вида: 1) Елипсоид – повърхнина от втори ред. 2) X, Y, Z влизат в уравнението само в четни степени => повърхността има 3 равнини и 1 център на симетрия, които в избраната координатна система съвпадат с координатните равнини и началото. 47

3) Местоположение на елипсоида Повърхността е затворена между || равнини с уравненията x = a, x = -a. По същия начин, т.е. цялата повърхност е затворена в правоъгълен паралелепипед. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Ще изследваме повърхността по метода на сеченията - пресичане на повърхността с координатни равнини || координирам. В участъка ще получим линии, по формата на които ще преценим формата на повърхността. 48

Пресичаме повърхността с равнината XOY. В секцията получаваме линия. - елипса a и b - полуоси Аналогично с равнината YOZ - елипса с полуоси b и c Равнинна || XOY Ако h(0, c), тогава осите на елипсата намаляват от a и b до 0. 49

a = b = c - сфера Параболоиди a) Хиперболичен параболоид е повърхност с канонично уравнение: 1) Повърхност от втори ред 2) Тъй като x, y влизат в уравнението само в четни степени, повърхността има равнини на симетрия, които съвпадат с a даден избор на координати с 50 равнини XOZ, YOZ.

3) изследваме повърхността по метода на разрез седло pl. XOZ В напречно сечение парабола, симетрична на оста OZ, възходяща. кв. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt="pl. ||XOY за h > 0 хипербола, с реална полуос по протежение на OX, за h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

б) двуслоен хиперболоид 1) повърхнина от втори ред 2) има 3 равнини и 1 център на симетрия 3) местоположение на повърхнината x 2 ≥ a 2 ; |x| ≥ a ; (a, b, c > 0) Повърхнината се състои от две части, разположени извън лентата между равнините с уравненията x = a, x = -a 4) изучаваме по метода на сеченията (Независимо!) 57

Конус от втори ред Конус от втори ред е повърхност, чието канонично уравнение има формата: 1) повърхност от втори ред 2) има 3 равнини и 1 център на симетрия 3) изучаваме метода на сеченията pl. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt="sq. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ sq. YOZ двойка линии , преминавайки през"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

В пространството аналитичната геометрия изучава повърхности, които в правоъгълни декартови координати се определят от алгебрични уравнения на първо, второ и т.н. градуси спрямо X,Y,Z:

Ax+By+Cz+D=0 (1)

Аx²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

и така нататък. Редът на уравнението се нарича ред на повърхността, която то определя. Вече видяхме, че уравнението първа поръчка(линеен) (1) винаги задава самолете единствената повърхност от първи ред. Вече има много повърхности от втори ред. Нека разгледаме най-важните от тях.

§2. Цилиндрични повърхнини с образуващи, успоредни на една от координатните оси.

Нека дадена права L е дадена в равнината XOY, например нейното уравнение е F(x,y)=0 (1) . Тогава наборът от прави, успоредни на оста oz (генериращи) и минаващи през точки на L, образуват повърхност S, наречена цилиндрична повърхност.

Нека покажем, че уравнение (1), което не съдържа променливата z, е уравнението на тази цилиндрична повърхност S. Нека вземем произволна точка M(x, y, z), принадлежаща на S. Нека образуващата, минаваща през M, пресичат L в точка N. Точка N има координати N(x,y,0), те отговарят на уравнение (1), тъй като ( )N принадлежи на L. Но тогава координатите (x,y,z,) също удовлетворяват (1), защото не съдържа z. Следователно координатите на всяка точка от цилиндричната повърхност S удовлетворяват уравнение (1). Следователно, F(x,y)=0 е уравнението на тази цилиндрична повърхност. Кривата L се нарича водач (крива)цилиндрична повърхност. Обърнете внимание, че в пространствената система L трябва да бъде дадено всъщност от две уравнения F(x,y)=0, z=0, като линия на пресичане.

Примери:

Водачите в равнината са елипса, парабола, хипербола. Очевидно уравненията F=(y,z)=0 и F(x,z)=0 съответно определят цилиндрични повърхнини с образуващи, успоредни на осите OX и OY. Техните водачи лежат съответно в равнините YOZ и XOZ.

Коментирайте.Цилиндричната повърхност не е непременно повърхност от втори ред. Например, има цилиндрична повърхност от 3-ти ред, а уравнението y=sin(x) определя синусоидален цилиндър, на който не е приписан ред, това изобщо не е алгебрична повърхност.

§3. Уравнението на повърхността на въртене.

Някои повърхности от 2-ри ред са повърхности на въртене. Нека някаква крива L F(y,z)=0(1) лежи в равнината YOZ. Нека разберем какво ще бъде уравнението на повърхността S, образувана от въртенето на крива (1) около оста oz.

Вземете произволна точка M(x,y,z) на повърхността S. Може да се счита, че е получено от (.) N, принадлежащо на L, тогава приложенията на точките M и N са равни на (=z). Следователно ординатата на точка N тук е радиусът на въртене. Но C (0,0, z) и следователно . Но точката N лежи върху кривата и следователно нейните координати я удовлетворяват. Средства (2) . Уравнение (2) се удовлетворява от координатите на повърхността на въртене S. Следователно (2) е уравнението на повърхността на въртене. Знаците "+" или "-" се вземат в зависимост от това в коя част на равнината YOZ се намира кривата (1), където y>0 или .

Така че правилото е: За да намерите уравнението на повърхността, образувана от въртенето на кривата L около оста OZ, трябва да замените променливата y в уравнението на кривата

Уравненията на повърхностите на въртене около оста OX и OY се формират по подобен начин.

Повърхност

Повърхността, дефинирана от някакво уравнение в дадена координатна система, е геометричното място на точките, чиито координати удовлетворяват даденото уравнение F(x; y; z) = 0.

линия в пространството

Ако уравненията F(x; y; z) = 0 и Ф (x; y; z) = 0 определят някаква повърхност, тогава правата L (x; y; z) = 0 може да се определи като геометрично място на общите точки към двете повърхности (линия на пресичане на повърхности)

Равнина като повърхност от първи ред

Има поне три дефиниции на равнина:

1) Равнината е повърхност, която напълновсяка права, свързваща произволни две нейни точки.

2) Равнината е набор от точки в пространството, еднакво отдалечени от дадени две точки.

А сега за една от формите на уравнението на равнината.

Първо, от ученическите дни се знае; „Всички три точки, които не съвпадат и не лежат на една права, определят равнина и то само една.“ Неслучайно стол с три крака е абсолютно стабилен (т.е. „не се люлее”), а стол с два или повече от три крака не е стабилен („скали”). Второ, нормалният вектор към равнината я ориентира в пространството (виж Фиг.31)

Нека желаната равнина p минава през точката M 0 перпендикулярно на вектора, тогава

Първо, векторът е резултат от кръстосаното произведение на вектора M 0 M 2 и вектора M 0 M 1

Второ, векторът е перпендикулярен както на вектора M 0 M 2, така и на вектора M 1 M 2. От къде, откъде условия за векторна ортогоналностполучаваме, че скаларното произведение върху вектора M 0 M 2 (или върху вектора M 0 M 1) е равно на нула. Ако точката M 2 има координати (x; y; z), тогава скаларното произведение на вектора и вектора M 0 M 2 трябва да бъде равно на нула. Като се вземе предвид факта, че векторът M 0 M 2 се определя като

разбираме това

Уравнение на равнина, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на даден вектор

Пример 30 (получаване на уравнението на равнината)

Намерете уравнението на равнината, минаваща през точката M 0 (1; 1; 1), перпендикулярна на вектора

Решение

В нашия случай

A=1, B=1 и C=1;

x 0 = 2, y 0 = 2, z 0 = 3,

следователно уравнението на равнината има формата

Или накрая,

Отговор

Желаната равнина се определя от уравнението

Общо уравнение на равнината

Като цяло всяко уравнение от формата

A x + B y + C z + D = 0

дефинира равнина (където A, B и C са координатите на нормалния вектор към равнината). Тази форма на уравнението на равнината се нарича "общо уравнение на равнината".

Уравнения на непълни равнини

Нека равнината е дадена от нейното общо уравнение

A x + B y + C z + D = 0, (*)

1) ако D = 0, тогава (*) дефинира равнина, минаваща през началото;

2) ако A \u003d 0, тогава B y + C z + D \u003d 0 и имаме равнина, успоредна на оста Ox(защото);

3) ако B \u003d 0, тогава A x + C z + D \u003d 0 и имаме равнина, успоредна на оста Oy(защото);

4) ако C = 0, тогава A x + B y + D = 0 и имаме равнина, успоредна на оста Oz(защото);

5) А = 0; B \u003d 0, след това C z + D \u003d 0 и имаме равнина, успоредна на равнината Oxy;

6) А = 0; C \u003d 0, след това B y + D \u003d 0 и имаме равнина, успоредна на равнината Oxz;

7) B = 0; C = 0, тогава A x + D = 0 и имаме равнина, успоредна на равнината Oyz;

8) A \u003d 0, B \u003d 0, D \u003d 0, тогава C z = 0 е равнината Oxy;

9) A = 0, C = 0, D = 0, тогава B y = 0 е равнината Oxz;

10) B = 0, C = 0, D = 0, тогава A z = 0 е равнината Oyz.

Точно както беше преди с общото уравнение на права линия в равнина, други форми на уравнението на равнината могат да бъдат получени от общото уравнение. Една от тези форми е уравнението на равнина в сегменти.

От общото уравнение на равнината

A x + B y + C z + D = 0

Оказва се уравнението на равнината в сегменти