التعيينات والرموز المقبولة في الهندسة الوصفية. التدوين والرمزية كيفية تعيين الخطوط المتقاطعة

الرمزية الجينية

الرمزية - قائمة وشرح للأسماء والمصطلحات التقليدية المستخدمة في أي فرع من فروع العلم.

وضع جريجور مندل أسس الرمزية الجينية ، الذي استخدم رمزية الحروف لتعيين العلامات. تمت الإشارة إلى السمات المهيمنة بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية A و B و C وما إلى ذلك ، متنحية - بأحرف صغيرة - أ ، ب ، ج ، إلخ. إن الرمزية الحرفية التي اقترحها مندل هي ، في الواقع ، شكل جبري للتعبير عن قوانين وراثة السمات.

تم اعتماد الرمزية التالية للدلالة على العبور.

يتم تحديد الوالدين بالحرف اللاتيني P (الآباء - الآباء) ، ثم تتم كتابة الأنماط الجينية الخاصة بهم بجانب بعضهم البعض. يُشار إلى الجنس الأنثوي بالرمز ♂ (مرآة الزهرة) ، ذكر - (درع ورمح المريخ). يتم وضع "x" بين الوالدين ، مما يدل على التهجين. يتم كتابة النمط الجيني للفرد الأنثوي في المقام الأول ، والذكر - في المرتبة الثانية.

الجيل الأول هو المعين F 1 (مهرة - أطفال) الجيل الثاني - ف 2 إلخ. بجانبهم تسميات الأنماط الجينية للنسل.

مسرد للمصطلحات والمفاهيم الأساسية

الأليلات (الجينات الأليلية)- أشكال مختلفة من نفس الجين ، ناتجة عن طفرات وتقع في نفس النقاط (مواضع) من الكروموسومات المتجانسة المزدوجة.

علامات بديلة- ميزات متناقضة حصرية بشكل متبادل.

Gametes (من "الأمشاج" اليونانية "- الزوج) - خلية جرثومية من كائن نباتي أو حيواني تحمل جينًا واحدًا من زوج أليلي. تحمل الجاميطات دائمًا الجينات في شكل "نقي" ، لأن تتشكل عن طريق انقسام الخلايا الانتصافية وتحتوي على زوج من الكروموسومات المتجانسة.

الجين (من "genos" اليونانية "- الولادة) - قسم من جزيء الحمض النووي يحمل معلومات حول التركيب الأساسي لبروتين معين.

الجينات أليلية - الجينات المزدوجة الموجودة في مناطق متطابقة من الكروموسومات المتجانسة.

الطراز العرقى - مجموعة الميول الوراثية (الجينات) من الجسم.

Heterozygote (من اليونانية "heteros" "- آخر وزيجوت) - زيجوت يحتوي على أليلين مختلفين لجين معين (أأ ، ب).

متغاير الزيجوتيسمى الأفراد الذين تلقوا جينات مختلفة من والديهم. يعطي الفرد متغاير الزيجوت في النسل تقسيمًا لهذه الصفة.

Homozygote (من اليونانية "homos" "- نفس اللاقحة و اللاقحة) - زيجوت يحتوي على نفس الأليلات لجين معين (كلاهما سائد أو متنحي).

متماثل يطلق عليهم الأفراد الذين تلقوا من أفراد الوالدين نفس الميول الوراثية (الجينات) بالنسبة للبعض ميزة محددة. الفرد متماثل اللواقح في النسل لا يعطي الانقسام.

صبغيات متشابهة(من الكلمة اليونانية "homos" "- متطابقة) - كروموسومات مقترنة ، متطابقة في الشكل والحجم ومجموعة الجينات. في الخلية ثنائية الصبغة ، يتم دائمًا إقران مجموعة الكروموسومات: أحد الكروموسومات من زوج من أصل الأم ، والثاني من الأب.

متغاير الزيجوتيسمى الأفراد الذين تلقوا جينات مختلفة من والديهم. وبالتالي ، وفقًا للنمط الجيني ، يمكن أن يكون الأفراد متماثلين (AA أو aa) أو متغاير الزيجوت (Aa).

السمة المهيمنة (الجين) – السائد ، الظاهر - يشار إليه بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية:أ ، ب ، ج ، إلخ.

صفة متنحية (جين) – علامة مكبوتة - يشار إليها بالحرف الصغير المقابل من الأبجدية اللاتينية:أ ، ب ج ، إلخ

تحليل التهجين- عبور كائن الاختبار بآخر ، وهو متماثل الزيجوت المتنحية لهذه السمة ، مما يسمح لك بتحديد النمط الجيني للاختبار.

معبر ثنائي الهجين- عبور الأشكال التي تختلف عن بعضها البعض في زوجين من السمات البديلة.

عبور أحادي الهجين- تقاطع الأشكال التي تختلف عن بعضها البعض في زوج واحد من الميزات البديلة.

خطوط نظيفة - الكائنات الحية المتماثلة اللواقح لواحدة أو أكثر ولا تنتج سمة بديلة في نسلها.

مجفف الشعر علامة.

النمط الظاهري - مجموع كل العلامات والخصائص الخارجية للكائن الحي ، التي يمكن مراقبتها وتحليلها.

خوارزمية لحل المشاكل الجينية

1. اقرأ مستوى المهمة بعناية.
2. قم بتدوين ملاحظة قصيرة لبيان المشكلة.
3. اكتب الأنماط الجينية والأنماط الظاهرية للأفراد الهجين.
4. تحديد وكتابة أنواع الأمشاج التي تشكل الأفراد المتقاطعين.
5. تحديد وكتابة الطرز الجينية والأنماط الظاهرية للنسل المتحصل عليه من التهجين.
6. تحليل نتائج التقاطع. للقيام بذلك ، حدد عدد فئات النسل حسب النمط الظاهري والنمط الجيني واكتبها كنسبة عددية.
7. اكتب إجابة السؤال.

(عند حل المشكلات المتعلقة بموضوعات معينة ، قد يتغير تسلسل المراحل ، ويمكن تعديل محتواها.)

تنسيق المهام

1. من المعتاد كتابة النمط الجيني للأنثى أولاً ثم الذكر (الإدخال الصحيح هو AABB x ♂aavb ؛ دخول غير صالح- ♂ aavv x ♀AABB).
2. تتم دائمًا كتابة جينات نفس الزوج الأليلي جنبًا إلى جنب(الإدخال الصحيح هو ABB ؛ الإدخال غير الصحيح هو ABAB).
3. عند كتابة نمط وراثي ، فإن الحروف التي تشير إلى السمات تُكتب دائمًا بترتيب أبجدي ، بغض النظر عما إذا كانت تمثل سمة سائدة أو متنحية (التدوين الصحيح - ♀aaBB ؛إدخال غير صالح ♀ففا).
4. إذا كان النمط الظاهري للفرد فقط معروفًا ، فعند تسجيل التركيب الوراثي ، تتم كتابة تلك الجينات فقط ، ولا جدال في وجودها.يشار إلى الجين الذي لا يمكن تحديده بواسطة النمط الظاهري بالرمز "_"(على سبيل المثال ، إذا كان اللون الأصفر (أ) والشكل الأملس (ب) لبذور البازلاء من السمات السائدة ، واللون الأخضر (أ) والشكل المجعد (ج) متنحيان ، فإن النمط الجيني للفرد ذي البذور الصفراء المجعدة مكتوب على النحو التالي: A_vv).
5. دائمًا ما يتم كتابة النمط الظاهري تحت النمط الجيني.
6. يتم كتابة Gametes عن طريق الدوران حولهم.(أ).
7. في الأفراد ، يتم تحديد أنواع الأمشاج وتسجيلها وليس عددها.

النقطة هي كائن مجرد ليس له خصائص قياس: لا ارتفاع ولا طول ولا نصف قطر. في إطار المهمة ، فقط موقعها مهم

يشار إلى النقطة برقم أو بحرف لاتيني كبير (كبير). عدة نقاط - أرقام مختلفة أو أحرف مختلفة حتى يمكن تمييزها

النقطة أ ، النقطة ب ، النقطة ج

أ ب ج

النقطة 1 ، النقطة 2 ، النقطة 3

1 2 3

يمكنك رسم ثلاث نقاط "أ" على قطعة من الورق ودعوة الطفل لرسم خط من خلال النقطتين "أ". ولكن كيف نفهم من خلالها؟ أ أ أ

الخط عبارة عن مجموعة من النقاط. إنها تقيس الطول فقط. ليس لها عرض أو سمك.

يشار إليها بأحرف لاتينية صغيرة (صغيرة)

السطر أ ، السطر ب ، السطر ج

أ ب ج

يمكن أن يكون الخط

1. مغلق إذا كانت بدايته ونهايته في نفس النقطة ،
2. افتح إذا لم يتم توصيل بدايته ونهايته

خطوط مغلقة

خطوط مفتوحة

غادرت الشقة واشتريت الخبز من المتجر وعدت إلى الشقة. ما الخط الذي حصلت عليه؟ هذا صحيح ، مغلق. لقد عدت إلى نقطة البداية. تركت الشقة ، واشتريت الخبز من المتجر ، ودخلت المدخل وتحدثت إلى جارك. ما الخط الذي حصلت عليه؟ يفتح. لم تعد إلى نقطة البداية. لقد غادرت الشقة واشتريت الخبز من المتجر. ما الخط الذي حصلت عليه؟ يفتح. لم تعد إلى نقطة البداية.

1. النفس المتقاطعة
2. بدون تقاطعات ذاتية

خطوط التقاطع الذاتي

خطوط بدون تقاطعات ذاتية

1. مستقيم
2. خط متقطع
3. ملتوية

خطوط مستقيمة

خطوط متقطعة

خطوط منحنية

الخط المستقيم هو الخط الذي لا ينحني ، وليس له بداية ولا نهاية ، ويمكن تمديده إلى أجل غير مسمى في كلا الاتجاهين

حتى عندما يكون جزء صغير من الخط المستقيم مرئيًا ، يُفترض أنه يستمر إلى أجل غير مسمى في كلا الاتجاهين.

يُشار إليه بحرف لاتيني صغير (صغير). أو حرفان لاتينيان كبيران (كبيران) - نقطتان تقعان على خط مستقيم

خط مستقيم أ

أ

خط مستقيم AB

ب أ

يمكن أن تكون الخطوط المستقيمة

1. تتقاطع إذا كان لديهم نقطة مشتركة. يمكن أن يتقاطع خطان عند نقطة واحدة فقط.
   • عمودي إذا تقاطعا بزاوية قائمة (90 درجة).
2. موازية ، إذا لم تتقاطع ، فليس لديهم نقطة مشتركة.

خطوط متوازية

خطوط متقاطعة

خطوط متعامدة

الشعاع هو جزء من خط مستقيم له بداية ولكن ليس له نهاية ، ويمكن تمديده إلى أجل غير مسمى في اتجاه واحد فقط

نقطة البداية لشعاع الضوء في الصورة هي الشمس.

شمس

تقسم النقطة الخط إلى جزأين - شعاعين أ أ

يشار إلى الحزمة بحرف لاتيني صغير (صغير). أو حرفين لاتينيين (كبيرين) ، حيث يكون الأول هو النقطة التي يبدأ منها الشعاع ، والثاني هو النقطة الواقعة على الشعاع

شعاع أ

أ

شعاع AB

ب أ

تتطابق الحزم إذا

1. تقع على نفس الخط المستقيم
2. تبدأ من نقطة واحدة
3. موجه إلى جانب واحد

تتزامن الأشعة AB و AC

تتزامن الأشعة CB و CA

ج ب أ

المقطع هو جزء من خط مستقيم تحده نقطتان ، أي أن له بداية ونهاية ، مما يعني أنه يمكن قياس طوله. طول المقطع هو المسافة بين نقطتي البداية والنهاية.

يمكن رسم أي عدد من الخطوط من خلال نقطة واحدة ، بما في ذلك الخطوط المستقيمة.

من خلال نقطتين - عدد غير محدود من المنحنيات ، ولكن خط مستقيم واحد فقط

خطوط منحنية تمر بنقطتين

ب أ

خط مستقيم AB

ب أ

تم "قطع" قطعة من الخط المستقيم وبقي جزء. من المثال أعلاه ، يمكنك أن ترى أن طولها هو أقصر مسافة بين نقطتين. ✂ ب

يُشار إلى المقطع بحرفين لاتينيين (كبيرين) ، حيث يكون الأول هو النقطة التي يبدأ منها المقطع ، والثاني هو النقطة التي ينتهي منها المقطع

الجزء AB

ب أ

المهمة: أين الخط ، الشعاع ، القطعة ، المنحنى؟

الخط المكسور هو خط يتكون من مقاطع متصلة متتالية ليست بزاوية 180 درجة

تم تقسيم جزء طويل إلى عدة أجزاء قصيرة.

روابط الخطوط المتعددة (على غرار روابط سلسلة) هي الأجزاء التي تشكل متعدد الخطوط. الروابط المجاورة هي روابط يكون فيها نهاية أحد الارتباطات بداية ارتباط آخر. يجب ألا تقع الوصلات المجاورة على نفس الخط المستقيم.

رؤوس الخطوط المتعددة (على غرار قمم الجبال) هي النقطة التي يبدأ منها الخط المتعدد ، والنقاط التي تتصل عندها المقاطع المكونة للخط متعدد الخطوط ، والنقطة التي ينتهي عندها الخط المتعدد.

يتم الإشارة إلى شكل متعدد الخطوط من خلال سرد كافة الرؤوس.

خط متقطع ABCDE

رأس متعدد الخطوط A ، رأس متعدد الخطوط B ، رأس متعدد الخطوط C ، رأس متعدد الخطوط D ، رأس متعدد الخطوط E

رابط الخط المكسور AB ، رابط الخط المكسور BC ، رابط القرص المضغوط للخط المتقطع ، ارتباط الخط المتقطع DE

الوصلة AB والوصلة BC متجاورتان

وصلة BC و وصلة CD متجاورتان

رابط القرص المضغوط والارتباط DE متجاوران

أ ب ج د هـ 64 62127 52

طول الخط المتعدد هو مجموع أطوال روابطه: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

مهمة: أي خط متقطع أطول، أ أي واحد لديه المزيد من القمم؟ في السطر الأول ، تكون جميع الروابط بنفس الطول ، أي 13 سم. يحتوي الخط الثاني على جميع الوصلات بنفس الطول ، أي 49 سم. يحتوي الخط الثالث على جميع الروابط من نفس الطول ، أي 41 سم.

المضلع عبارة عن خط متعدد مغلق

جوانب المضلع (سوف تساعدك على تذكر التعبيرات: "اذهب إلى الجوانب الأربعة" ، "الركض نحو المنزل" ، "على أي جانب من الطاولة ستجلس عليه؟") هي روابط الخط المكسور. الجوانب المتجاورة للمضلع هي روابط متجاورة لخط متقطع.

رؤوس المضلع هي رؤوس المضلع. الرؤوس المجاورة هي نقاط نهاية أحد جوانب المضلع.

يُرمز إلى المضلع بسرد جميع رؤوسه.

متعدد الخطوط مغلق بدون تقاطع ذاتي ، ABCDEF

المضلع ABCDEF

قمة المضلع أ ، رأس المضلع ب ، رأس المضلع ج ، رأس المضلع د ، قمة المضلع ه ، قمة المضلع و

الرأس A والرأس B متجاوران

الرأس B والرأس C متجاوران

الرأس C والرأس D متجاوران

الرأس D والرأس E متجاوران

الرأس E والرأس F متجاوران

الرأس F والرأس A متجاوران

جانب المضلع AB ، جانب المضلع BC ، قرص مضلع جانبي مضلع ، جانب المضلع DE ، جانب المضلع EF

الضلع AB والجانب BC متجاوران

الضلع BC والضلع CD متجاوران

الجانب CD والجانب DE متجاوران

الجانب DE والجانب EF متجاوران

الجانب EF والجانب FA متجاوران

أ ب ج د هـ و 120 60 58122 98141

محيط المضلع هو طول الخط متعدد الخطوط: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

يسمى المضلع الذي يحتوي على ثلاثة رءوس بمثلث ، به أربعة - رباعي ، بخمسة - خماسي ، وهكذا.

في المحاضرات والفصول العملية ، سيتم اعتماد نظام التدوين والرموز (الجداول 2،3) ، التي وضعها الأستاذ. NF Chetverukhin. يستخدم نظام هذه التسميات حاليًا على نطاق واسع من قبل أقسام الهندسة الوصفية والرسومات الهندسية في الجامعات الروسية الرائدة.

الجدول 2

رموز كائنات هندسية

الشكل الهندسي (كائن)	التدوين والمثال
نقطة	الحرف الكبير من الأبجدية اللاتينية: أ, في, مع، ... أو رقم عربي: 1 , 2 , 3 ، ... (يمكن أن يكون رقمًا رومانيًا: أنا, ثانيًا, ثالثا،…). مركز الإسقاط س. أصل عن(خطاب). نقطة في اللانهاية: S ¥, أ ¥ , في ¥ , ….
خط - مستقيم أو منحني	حرف صغير من الأبجدية اللاتينية: أ,ب,ج،…. أفقي ح؛ أمامي F؛ خط مستقيم أو منحنى الملف الشخصي (ملف تعريف) ص؛ محور الدوران أنا؛ اتجاه الإسقاط أو اتجاه الرؤية في الفضاء: س- على ص 1, الخامس- على ص 2؛ تنسيق المحاور: x, ذ, ض؛ محاور الإسقاط x, ذ, ضأو × 12, × 24إلخ. ( AB) هو خط مستقيم محدد بالنقاط أو في; Ι ABΙ - طول القطعة AB، الحجم الطبيعي للقطعة AB. لا يتم إعطاء الأقواس إذا كان النص يحتوي على الكلمات المقابلة (على سبيل المثال ، خط مستقيم AB).
السطح (بما في ذلك المستوى)	جي(جاما) ، س(سيجما)، إل(لامدا) ، ....
طائرة الإسقاط	الحرف الكبير من الأبجدية اليونانية: ص(pi) مع إضافة فهرس. ص 1- المستوى الأفقي من الإسقاطات ؛ ص 2- المستوى الأمامي من الإسقاطات ؛ ص 3- مستوى ملف تعريف الإسقاطات ؛ ص 4, ص 5، ... هي طائرات إسقاط إضافية.
ركن	حرف صغير من الأبجدية اليونانية: أ, ب, ز, ….
إسقاط كائن	أ 1, ب 1, S1- الإسقاطات الأفقية لنقطة أ، خطوط ب، الأسطح س; أ 2, ب 2, S2- الإسقاطات الأمامية للنقطة أ، مستقيم ب، الأسطح س؛ إلخ.

الجدول 3

رموز العلاقات والعمليات المنطقية

لافتة	معنى العلامة	مثال ، شرح
Ì أو É Î أو "	الانتماء المتبادل (الحادث) للأشياء كمجموعات ومجموعات فرعية نقطة	رÌ جي- خط رينتمي إلى السطح جي؛ سطح جييمر عبر الخط ر; جيÉ ر- نفس الشيء (العلامة ذات الجزء المفتوح تواجه دائمًا المجموعة الأكبر). ر "أ- خط ريمر عبر نقطة أ؛ نقطة أينتمي إلى الخط ر; أÎ ر- نفس الشيء (يتم توجيه العلامة О نحو المجموعة بجزءها المفتوح).
∩	تداخل	أ ∩ ب- خطوط أو بتتقاطع؛ س (أ ∩ ب) - طائرة ستم تعيينه بواسطة خطوط متقاطعة أو ب.
= أو	نتيجة تطابق المساواة	أ=أ∩ب- نقطة أتم الحصول عليها نتيجة تقاطع الخطوط أو ب.ê ABê=ê إي أفê - الجزء ABيساوي الجزء إي أف. أ 2=في 2- الإسقاطات الأمامية للنقاط أو فيتطابق.
ΙΙ	تماثل	(AB) ΙΙ (СD) - خطوط مستقيمة ABو قرص مضغوطمتوازية.
^	عمودية	AB^قرص مضغوط
®	معروض ، تسلسل العمليات	أ 1® أ 2 - على الإسقاط الأفقي للنقطة أبناء جبهة.

4. تعليمات منهجية لأداء المصنفات الجرافيكية

عمل الجرافيك رقم 1

"تنبؤ"

يمارس:

1. على تنسيق A3 ، وفقًا لإسقاطين معينين للمنزل ، قم ببناء إسقاط للملف الشخصي ، مع تكبير الصورة مرتين.

2. تحديد في الرسم ، وتعيين وتسجيل في الجدول في الزاوية اليمنى السفلى (حجم الجدول - 100x100 مم) ، الموجود فوق النقش الرئيسي ، موضع الخطوط في الفضاء (مستقيم الموقف العام، ثلاثة خطوط مستوية ، وثلاثة خطوط إسقاط ، وزوج واحد من الخطوط المتوازية ، وزوج واحد من الخطوط المتقاطعة ، وزوج واحد من خطوط الانحراف).

3. يُعرِّف بالحجم الطبيعيخط مستقيم للوضع العام وزوايا ميله إلى مستويات الإسقاطات.

4. حدد إحداثيات أي خمس نقاط محددة. أدخل البيانات في الجدول في الزاوية اليمنى العليا من التنسيق (حجم الجدول 40x60 مم).

5. حدد وبناء إسقاط محوري للمنزل على تنسيق A4 ، ارسم مخططًا للمحاور المحورية. قم بتظليل قياس المحور باستخدام أقلام ملونة.

تعليمات لأداء العمل البياني رقم 1. على ورقة A3 ، ارسم محاور الإحداثيات في وسط الورقة. وفقًا لإصدارك ، قم ببناء عرضين لـ "المنزل" ، مع تكبير الصورة بمقدار مرتين. يجب أن يكون الإسقاط الأمامي لقاعدة "المنزل" على محور OX. باستخدام خطوط اتصال الإسقاط ، قم ببناء الإسقاط الثالث لـ "المنزل".

بعد ذلك ، حدد بالتتابع وعين بالأحرف الكبيرة للأبجدية اللاتينية على ثلاثة إسقاطات لـ "المنزل" الخطوط المستقيمة المشار إليها في المهمة. سجل النتائج في جدول. يظهر مثال لملء الجدول في الشكل.

بالنسبة للخط المستقيم الموجود في الوضع العام على المستوي P 1 و P 2 ، حدد الحجم الفعلي وعينه باستخدام الطريقة مثلث قائموزوايا ميلها على مستويات الإسقاط الأفقية والأمامية (α و β).

لأية خمس نقاط معينة ، حدد الإحداثيات. أدخل القيم بالملم في الجدول. يظهر مثال لملء الجدول في الشكل.

حدد نوع الإسقاط المحوري بحيث لا يتم عرض الطائرات (الوجوه) في خطوط على صورة المنزل. على تنسيق A4 ، قم ببناء الإسقاط المحوري المحدد ، مع الاحتفاظ بالإسقاط الأفقي الثانوي والمحاور المحورية.

باستخدام أقلام ملونة ، قم بتلوين الإسقاط المحوري لـ "المنزل". في الزاوية اليمنى العليا ، ارسم مخططًا للمحاور المحورية. مثال على العمل الرسومي في الشكل 9.10.

متغيرات مهام الرسم البياني رقم 1 "الإسقاط"

عمل الجرافيك رقم 2

"إنشاء منشور مبتور واسطوانة مبتورة"

يمارس:

يتم تنفيذ العمل الجرافيكي على نسقين A3 ، ويتكون من مهمتين.

رقم المهمة 1. أنشئ ثلاثة إسقاطات لمنشور سداسي مباشر (خذ بيانات البناء من الجدول وفقًا لإصدارك الخاص). أنشئ الحجم الطبيعي لمحيط المقطع باستخدام طريقة استبدال طائرات الإسقاط. بناء اكتساح. حدد وارسم إسقاطًا محوريًا. لا تطبق الأبعاد. يجب أن يشير الرسم إلى نقاط البناء وخطوط اتصال الإسقاط.

ما لا نهاية.جيه واليس (1655).

لأول مرة تم العثور عليه في أطروحة عالم الرياضيات الإنجليزي جون فاليس "في الأقسام المخروطية".

قاعدة اللوغاريتمات الطبيعية. إل أويلر (1736).

ثابت رياضي ، رقم متسامي. هذا الرقم يسمى في بعض الأحيان غير بيروفتكريما للاسكتلنديينالعالم نابير ، مؤلف كتاب "وصف جدول اللوغاريتمات المذهل" (1614). لأول مرة ، يظهر الثابت ضمنيًا في ملحق الترجمة إلى اللغة الإنجليزيةالعمل المذكور أعلاه من قبل نابير ، نُشر عام 1618. تم حساب نفس الثابت لأول مرة من قبل عالم الرياضيات السويسري جاكوب برنولي أثناء حل مشكلة القيمة المحددة لدخل الفائدة.

2,71828182845904523...

أول استخدام معروف لهذا الثابت ، حيث تمت الإشارة إليه بالحرف ب، وجدت في رسائل Leibniz إلى Huygens ، 1690-1691. خطاب هبدأ استخدام أويلر في عام 1727 ، وكان أول إصدار بهذه الرسالة هو الميكانيكا ، أو علم الحركة ، التحليلي ، 1736. على التوالى، هيطلق عليه رقم أويلر. لماذا تم اختيار الرسالة؟ ه، غير معروف بالضبط. ربما يرجع ذلك إلى حقيقة أن الكلمة تبدأ بها متسارع("أسي" ، "أسي"). افتراض آخر هو أن الحروف أ, ب, جو دتستخدم بالفعل على نطاق واسع لأغراض أخرى ، و هكان أول خطاب "مجاني".

نسبة محيط الدائرة إلى قطرها. دبليو جونز (1706) ، إل أويلر (1736).

ثابت رياضي ، عدد غير نسبي. الرقم "بي" ، الاسم القديم هو رقم لودولف. مثل أي رقم غير نسبي ، يتم تمثيل بكسر عشري غير دوري لا نهائي:

π = 3.141592653589793 ...

لأول مرة ، استخدم عالم الرياضيات البريطاني ويليام جونز تسمية هذا الرقم بالحرف اليوناني في كتاب مقدمة جديدة للرياضيات ، وأصبح مقبولًا بشكل عام بعد عمل ليونارد أويلر. يأتي هذا التعيين من الحرف الأول للكلمات اليونانية περιφερεια - دائرة ، محيط و περιμετρος - محيط. أثبت يوهان هاينريش لامبرت عدم عقلانية π في عام 1761 ، وأثبت Adrien Marie Legendre في 1774 عدم عقلانية π 2. افترض ليجيندر وأويلر أن π يمكن أن يكون متعاليًا ، أي لا يمكن أن ترضي أي معادلة جبرية ذات معاملات صحيحة ، والتي تم إثباتها في النهاية في عام 1882 من قبل فرديناند فون ليندمان.

وحدة خيالية. إل أويلر (1777 ، تحت الطبع - 1794).

ومن المعروف أن المعادلة × 2 \ u003d 1له جذور: 1 و -1 . الوحدة التخيلية هي أحد جذري المعادلة × 2 \ u003d -1، يشار إليها بالحرف اللاتيني أنا، جذر آخر: -أنا. اقترح هذا التعيين ليونارد أويلر ، الذي أخذ الحرف الأول من الكلمة اللاتينية لهذا الغرض تخيل(وهمي). كما قام بتوسيع جميع الوظائف القياسية إلى المجال المعقد ، أي مجموعة من الأرقام التي يمكن تمثيلها في النموذج أ + باء، أين أو بهي أرقام حقيقية. تم إدخال مصطلح "العدد المركب" في الاستخدام الواسع من قبل عالم الرياضيات الألماني كارل جاوس في عام 1831 ، على الرغم من أن المصطلح قد استخدم في السابق بنفس المعنى من قبل عالم الرياضيات الفرنسي لازار كارنو في عام 1803.

ناقلات الوحدة. دبليو هاميلتون (1853).

غالبًا ما ترتبط متجهات الوحدة بمحاور إحداثيات نظام الإحداثيات (على وجه الخصوص ، مع محاور نظام الإحداثيات الديكارتية). ناقل الوحدة موجه على طول المحور X، يعني أنا، متجه وحدة موجه على طول المحور ص، يعني ي، ومتجه الوحدة الموجه على طول المحور ض، يعني ك. ثلاثة أبعاد أنا, ي, كتسمى orts ، لديهم وحدات هوية. تم تقديم المصطلح "ort" من قبل عالم الرياضيات والمهندس الإنجليزي أوليفر هيفيسايد (1892) ، والترميز أنا, ي, كعالم الرياضيات الأيرلندي وليام هاميلتون.

الجزء الصحيح من الرقم antie. ك.جاوس (1808).

الجزء الصحيح من الرقم [x] من الرقم x هو أكبر عدد صحيح لا يتجاوز x. إذن ، = 5 ، [-3،6] = - 4. تسمى الوظيفة [x] أيضًا "antier of x". تم تقديم رمز دالة الجزء الصحيح بواسطة Carl Gauss في عام 1808. يفضل بعض علماء الرياضيات استخدام الترميز E (x) الذي اقترحه Legendre في عام 1798 بدلاً من ذلك.

زاوية التوازي. ن. Lobachevsky (1835).

على مستوى Lobachevsky - الزاوية بين الخطبيمر بالنقطةعنبالتوازي مع خط مستقيمأ، لا تحتوي على نقطةعن، وعمودي منعنعلى أ. α هو طول هذا العمودي. كما تم إزالة النقطةعنمن على التوالي أزاوية التوازي تنخفض من 90 درجة إلى 0 درجة. أعطى Lobachevsky صيغة لزاوية التوازيف ( α ) = 2arctg ه - α / ف , أين فهو بعض الثابت المرتبط بانحناء فضاء Lobachevsky.

كميات غير معروفة أو متغيرة. ر.ديكارت (1637).

في الرياضيات ، المتغير هو كمية تتميز بمجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها. يمكن أن يعني هذا كلاً من الكمية المادية الحقيقية ، التي يتم النظر فيها مؤقتًا بمعزل عن سياقها المادي ، وبعض الكمية المجردة التي ليس لها نظائر في العالم الحقيقي. نشأ مفهوم المتغير في القرن السابع عشر. في البداية تحت تأثير متطلبات العلوم الطبيعية ، والتي أبرزت دراسة الحركة والعمليات وليس فقط الدول. يتطلب هذا المفهوم أشكالًا جديدة للتعبير عنه. كان الجبر الحرفي والهندسة التحليلية لرينيه ديكارت من الأشكال الجديدة. لأول مرة ، قدم رينيه ديكارت نظام الإحداثيات المستطيل والترميز x و y في عمله "خطاب حول الطريقة" في عام 1637. ساهم بيير فيرمات أيضًا في تطوير طريقة الإحداثيات ، ولكن نُشر عمله لأول مرة بعد وفاته. استخدم ديكارت وفيرمات طريقة الإحداثيات على المستوى فقط. تم تطبيق طريقة إحداثيات الفضاء ثلاثي الأبعاد لأول مرة بواسطة ليونارد أويلر في القرن الثامن عشر.

المتجه. أو كوشي (1853).

منذ البداية ، يُفهم المتجه على أنه كائن له مقدار واتجاه و (اختياريًا) نقطة تطبيق. ظهرت بدايات المتجهات حساب التفاضل والتكامل مع نموذج هندسيالأعداد المركبة بواسطة Gauss (1831). تم نشر العمليات المتقدمة على المتجهات بواسطة هاملتون كجزء من حساب التفاضل والتكامل الخاص به (المكونات الوهمية للرباعيات شكلت متجهًا). صاغ هاملتون المصطلح المتجه(من الكلمة اللاتينية المتجه, الناقل) ووصف بعض عمليات تحليل المتجهات. استخدم ماكسويل هذه الشكليات في أعماله حول الكهرومغناطيسية ، وبالتالي لفت انتباه العلماء إلى حساب التفاضل والتكامل الجديد. سرعان ما تبعت عناصر جيبس ​​لتحليل المتجهات (ثمانينيات القرن التاسع عشر) ، ثم أعطى هيفيسايد (1903) تحليل المتجهات شكله الحديث. تم تقديم علامة المتجه نفسها من قبل عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لويس كوشي في عام 1853.

علاوة على ذلك الطرح. جيه ويدمان (1489).

تم اختراع علامتي الجمع والطرح على ما يبدو في المدرسة الرياضية الألمانية لـ "kossists" (أي ، الجبر). تم استخدامها في كتاب يان (يوهانس) ويدمان "عدد سريع وممتع لجميع التجار" ، الذي نُشر عام 1489. قبل ذلك ، تمت الإشارة إلى الإضافة بواسطة الرسالة ص(من اللاتينية زائد"المزيد") أو الكلمة اللاتينية وآخرون(علامة العطف "و") ، والطرح حرفًا م(من اللاتينية ناقص"أقل ، أقل"). في Widman ، لا يحل رمز الجمع محل الإضافة فحسب ، بل يستبدل أيضًا الاتحاد "و". أصل هذه الرموز غير واضح ، ولكن على الأرجح تم استخدامها سابقًا في التداول كدليل على الربح والخسارة. سرعان ما أصبح كلا الرمزين شائعين في أوروبا - باستثناء إيطاليا ، التي استخدمت التسميات القديمة لمدة قرن تقريبًا.

عمليه الضرب. دبليو أوتريد (1631) ، ج.لايبنيز (1698).

تم تقديم علامة الضرب على شكل صليب مائل في عام 1631 من قبل الإنجليزي ويليام أوتريد. قبله ، الحرف الأكثر استخدامًا م، على الرغم من اقتراح تسميات أخرى: رمز المستطيل (عالم الرياضيات الفرنسي إيريجون ، 1634) ، وعلامة النجمة (عالم الرياضيات السويسري يوهان راهن ، 1659). في وقت لاحق ، استبدل Gottfried Wilhelm Leibniz الصليب بنقطة (نهاية القرن السابع عشر) ، حتى لا يتم الخلط بينه وبين الحرف x؛ قبله ، تم العثور على هذه الرمزية من قبل عالم الفلك والرياضيات الألماني Regiomontanus (القرن الخامس عشر) والعالم الإنجليزي توماس هاريوت (1560-1621).

قسم. آي ران (1659) ، ليبنيز (1684).

استخدم William Outred الشرطة المائلة / كعلامة القسمة. بدأ قسم القولون في الإشارة إلى جوتفريد لايبنيز. قبلهم ، تم استخدام الرسالة أيضًا في كثير من الأحيان د. بدءًا من Fibonacci ، يتم أيضًا استخدام الخط الأفقي للكسر ، والذي استخدمه Heron و Diophantus وفي الكتابات العربية. في إنجلترا والولايات المتحدة ، أصبح رمز ÷ (Obelus) ، الذي اقترحه يوهان راهن (ربما بمشاركة جون بيل) في عام 1659 ، واسع الانتشار. محاولة من قبل اللجنة الوطنية الأمريكية للمعايير الرياضية ( اللجنة الوطنية للمتطلبات الرياضية) لم تكن إزالة المسلّة من الممارسة (1923) حاسمة.

نسبه مئويه. إم دي لا بورتي (1685).

مائة من الكل ، كوحدة. تأتي كلمة "بالمائة" نفسها من الكلمة اللاتينية "pro centum" ، والتي تعني "مائة". في عام 1685 ، نُشر كتاب دليل الحساب التجاري لماثيو دي لابورت في باريس. في مكان واحد ، كان الأمر يتعلق بالنسب المئوية ، والتي تعني بعد ذلك "cto" (اختصار cento). ومع ذلك ، أخطأ كاتب الطباعة في أن "cto" جزء صغير وكتب "٪". وبسبب خطأ مطبعي ، دخلت هذه العلامة حيز الاستخدام.

درجات. ر.ديكارت (1637) ، آي نيوتن (1676).

تم تقديم الترميز الحديث للأس من قبل رينيه ديكارت في كتابه " الهندسة"(1637) ، مع ذلك ، فقط للقوى الطبيعية ذات الأس أكبر من 2. في وقت لاحق ، وسع إسحاق نيوتن هذا الشكل من التدوين ليشمل الأسس السالبة والكسرية (1676) ، والتي تم اقتراح تفسيرها في ذلك الوقت: عالم الرياضيات الفلمنكي والمهندس سيمون ستيفين وعالم الرياضيات الإنجليزي جون فاليس وعالم الرياضيات الفرنسي ألبرت جيرارد.

جذر حسابي نعشر قوة عدد حقيقي أ≥0 ، - رقم غير سالب نالدرجة التي تساوي أ. يسمى الجذر الحسابي للدرجة الثانية الجذر التربيعي ويمكن كتابته دون الإشارة إلى الدرجة: √. يسمى الجذر الحسابي من الدرجة الثالثة الجذر التكعيبي. علماء الرياضيات في العصور الوسطى (على سبيل المثال ، كاردانو) أشاروا إلى الجذر التربيعي بالرمز R x (من اللاتينية الجذر، جذر). تم استخدام التسمية الحديثة لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الألماني كريستوف رودولف ، من مدرسة Cossist ، في عام 1525. يأتي هذا الرمز من الحرف الأول المصمم من نفس الكلمة الجذر. الخط فوق التعبير الراديكالي كان غائبًا في البداية ؛ تم تقديمه لاحقًا بواسطة ديكارت (1637) لغرض مختلف (بدلاً من الأقواس) ، وسرعان ما اندمجت هذه الميزة مع علامة الجذر. تم تعيين الجذر التكعيبي في القرن السادس عشر على النحو التالي: R x .u.cu (من lat. Radix universalis cubica). بدأ ألبرت جيرارد (1629) في استخدام الترميز المعتاد لجذر الدرجة التعسفية. تم إنشاء هذا التنسيق بفضل إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبنيز.

اللوغاريتم ، اللوغاريتم العشري ، اللوغاريتم الطبيعي. كبلر (1624) ، ب.كافاليري (1632) ، أ. برينشيم (1893).

مصطلح "لوغاريتم" ينتمي إلى عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير ( "وصف جدول اللوغاريتمات المذهل" ، 1614) ؛ نشأت من مزيج من الكلمات اليونانية λογος (كلمة ، علاقة) و αριθμος (رقم). لوغاريتم J. Napier هو رقم مساعد لقياس نسبة عددين. تم تقديم التعريف الحديث للوغاريتم لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الإنجليزي ويليام جاردينر (1742). بحكم التعريف ، لوغاريتم رقم ببسبب أ (أ ≠ 1 ، أ> 0) - الأس م، الذي يجب رفع الرقم إليه أ(تسمى قاعدة اللوغاريتم) للحصول عليها ب. يعني تسجيل ب.لذا، م = تسجيل أ ب, لو أ م = ب.

تم نشر الجداول الأولى للوغاريتمات العشرية في عام 1617 من قبل أستاذ الرياضيات في أكسفورد هنري بريجز. لذلك ، في الخارج ، غالبًا ما تسمى اللوغاريتمات العشرية brigs. تم تقديم مصطلح "اللوغاريتم الطبيعي" بواسطة Pietro Mengoli (1659) و Nicholas Mercator (1668) ، على الرغم من أن مدرس الرياضيات في لندن John Spidell قام بتجميع جدول من اللوغاريتمات الطبيعية في وقت مبكر من عام 1619.

حتى نهاية القرن التاسع عشر ، لم يكن هناك تدوين مقبول بشكل عام للوغاريتم ، القاعدة أالمشار إليها على اليسار وفوق الرمز سجل، ثم فوقه. في النهاية ، توصل علماء الرياضيات إلى استنتاج مفاده أن المكان الأكثر ملاءمة للقاعدة يقع أسفل الخط ، بعد الرمز سجل. علامة اللوغاريتم - نتيجة اختزال كلمة "لوغاريتم" - تحدث في أنواع مختلفةفي نفس الوقت تقريبًا مع ظهور أول جداول اللوغاريتمات ، على سبيل المثال سجل- إ. كبلر (1624) وج. بريجز (1631) ، سجل- بي كافاليري (1632). تعيين lnتم تقديم اللوغاريتم الطبيعي من قبل عالم الرياضيات الألماني ألفريد برينغشيم (1893).

الجيب وجيب التمام والظل والظل. W. Outred (منتصف القرن السابع عشر) ، I. Bernoulli (القرن الثامن عشر) ، L. Euler (1748 ، 1753).

تم تقديم تدوين الاختزال للجيب وجيب التمام بواسطة William Outred في منتصف القرن السابع عشر. اختصارات الظل والظل: tg ، ctgقدمه يوهان برنولي في القرن الثامن عشر ، وانتشر في ألمانيا وروسيا. في بلدان أخرى ، يتم استخدام أسماء هذه الوظائف. تان ، سريراقترحه ألبرت جيرارد حتى في وقت سابق ، في بداية القرن السابع عشر. جلب ليونارد أويلر (1748 ، 1753) نظرية الدوال المثلثية إلى شكلها الحديث ، ونحن مدينون له أيضًا بتوحيد الرمزية الحقيقية.تم تقديم مصطلح "الدوال المثلثية" من قبل عالم الرياضيات والفيزيائي الألماني جورج سيمون كلوغل في عام 1770.

كان يسمى في الأصل خط الجيب لعلماء الرياضيات الهنود "أرها جيفا"("نصف سلسلة" ، أي نصف الوتر) ، ثم الكلمة "عترة"تم التخلص منه وبدأ خط الجيب يطلق عليه ببساطة "جيفا". المترجمون العرب لم يترجموا الكلمة "جيفا"كلمة عربية "فاتار"، للدلالة على الوتر والوتر ، وكُتبت بالأحرف العربية وبدأت في استدعاء خط الجيب "جيبا". بما أن حروف العلة القصيرة ليست مذكورة بالعربية وطويلة "و" في الكلمة "جيبا"يشار إليها بنفس الطريقة مثل semivowel "y" ، بدأ العرب في نطق اسم خط الجيب "jibe"، والتي تعني حرفيا "أجوف" ، "حضن". عند ترجمة الأعمال العربية إلى اللاتينية ، قام المترجمون الأوروبيون بترجمة الكلمة "jibe"كلمة لاتينية التجويف, لها نفس المعنى.المصطلح "tangent" (من lat.الظلال- اللمس) قدمه عالم الرياضيات الدنماركي توماس فينك في كتابه هندسة الجولة (1583).

أركسين. شيرفر (1772) ، جي لاجرانج (1772).

الدوال المثلثية العكسية هي دوال رياضية مقلوبة للدوال المثلثية. يتكون اسم الدالة المثلثية العكسية من اسم الدالة المثلثية المقابلة عن طريق إضافة البادئة "القوس" (من خط العرض. قوس- قوس).عادةً ما تتضمن الدوال المثلثية العكسية ست وظائف: قوسين (أركسين) ، قوس قوس (أركوس) ، قوس ظل قوس (أركتج) ، قوس ظل قوس (أركتج) ، قوس قوس (قوس سيك) و قوس قوسي (أركوسيك). لأول مرة ، استخدم دانيال برنولي (1729 ، 1736) رموزًا خاصة للدوال المثلثية العكسية.طريقة تدوين الدوال المثلثية العكسية ببادئة قوس(من اللات. قوس، قوس) في عالم الرياضيات النمساوي كارل شيرفر واكتسب موطئ قدم بفضل عالم الرياضيات والفلك والميكانيكي الفرنسي جوزيف لويس لاغرانج. كان المقصود ، على سبيل المثال ، أن الجيب المعتاد يسمح لك بالعثور على الوتر الذي يقابله على طول قوس الدائرة ، وتحل الدالة العكسية المشكلة المعاكسة. الإنجليزية والألمانية مدارس الرياضياتحتى نهاية القرن التاسع عشر ، تم اقتراح تسميات أخرى: الخطيئة -1 و 1 / الخطيئة ، لكنها ليست شائعة الاستخدام.

الجيب الزائدي ، جيب التمام الزائدي. دبليو ريكاتي (1757).

اكتشف المؤرخون أول ظهور للوظائف الزائدية في كتابات عالم الرياضيات الإنجليزي أبراهام دي موفر (1707 ، 1722). تم إجراء التعريف الحديث والدراسة التفصيلية لها من قبل الإيطالي Vincenzo Riccati في عام 1757 في عمل "Opusculorum" ، كما اقترح تسمياتهم: ش,الفصل. انطلق Riccati من اعتبار القطع الزائد واحد. أجرى عالم الرياضيات والفيزياء والفيلسوف الألماني يوهان لامبرت (1768) اكتشافًا مستقلًا ودراسة إضافية لخصائص الوظائف الزائدية ، حيث أنشأ توازيًا واسعًا بين صيغ حساب المثلثات العادي والقطعي. ن. استخدم Lobachevsky لاحقًا هذا التوازي ، في محاولة لإثبات اتساق الهندسة غير الإقليدية ، حيث يتم استبدال علم المثلثات العادي بعلم المثلثات الزائدية.

تمامًا كما أن الجيب وجيب التمام المثلثي هما إحداثيات نقطة على دائرة إحداثيات ، فإن الجيب الزائدي وجيب التمام هما إحداثيات نقطة على القطع الزائد. يتم التعبير عن الدوال الزائدية من حيث الأس وترتبط ارتباطًا وثيقًا بالدوال المثلثية: ش (س) = 0.5 (ه x-e-x) , ch (x) = 0.5 (e x + e -x). عن طريق القياس مع الدوال المثلثية ، يتم تعريف الظل الزائدي وظل التمام على أنهما نسب الجيب الزائدي وجيب التمام وجيب التمام والجيب ، على التوالي.

التفاضلي. لايبنيز (1675 ، في الصحافة 1684).

الجزء الخطي الرئيسي من زيادة الوظيفة.إذا كانت الوظيفة ص = و (س)متغير واحد x لديه في س = x0المشتق والزيادةΔy \ u003d f (x 0 +؟ x) -f (x 0)المهام و (خ)يمكن تمثيلها كـΔy \ u003d f "(x 0) Δx + R (Δx) , حيث العضو صصغير بشكل لا نهائي مقارنة بـΔx. أول عضوdy = f "(x 0) Δxفي هذا التوسع يسمى تفاضل الوظيفة و (خ)في هذه النقطة× 0. في أعمال جوتفريد لايبنتز ويعقوب ويوهان برنولي كلمة"تفاضل"كان يستخدم بمعنى "الزيادة" ، أنا برنولي دلت عليه من خلال Δ. استخدم G. Leibniz (1675 ، الذي نُشر عام 1684) تدوين "فرق صغير بلا حدود"د- الحرف الأول من الكلمة"التفاضلي"، شكلته من"تفاضل".

تكامل غير محدد. لايبنيز (1675 ، في الصحافة 1686).

استخدم جاكوب برنولي (1690) كلمة "متكامل" لأول مرة في الطباعة. ربما المصطلح مشتق من اللاتينية عدد صحيح- جميع. وفقًا لافتراض آخر ، كان الأساس هو الكلمة اللاتينية انتجرو- استعادة ، استعادة. تُستخدم العلامة ∫ للإشارة إلى جزء لا يتجزأ في الرياضيات وهي صورة منمنمة للحرف الأول من كلمة لاتينية الخلاصةمجموع. تم استخدامه لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الألماني جوتفريد لايبنيز ، مؤسس حساب التفاضل والتكامل ، في نهاية القرن السابع عشر. أحد مؤسسي التفاضل والتكامل ، إسحاق نيوتن ، لم يقدم رمزية بديلة للتكامل في أعماله ، على الرغم من أنه جرب العديد من الخيارات: شريط عمودي فوق دالة أو رمز مربع يقف أمام دالة أو يحدها. تكامل غير محدد للدالة ص = و (س)هي مجموعة من جميع المشتقات العكسية لوظيفة معينة.

واضح لا يتجزأ. جيه فورييه (1819-1822).

لا يتجزأ من وظيفة و (خ)بحد أدنى أوالحد الأعلى بيمكن تعريفه على أنه الفرق و (ب) - و (أ) = أ ∫ ب و (س) دكس ، أين و (س)- بعض الوظائف العكسية و (خ) . واضح لا يتجزأ أ ∫ ب و (س) دكس يساوي عدديًا مساحة الشكل الذي يحده المحور السيني ، والخطوط المستقيمة س = أو س = بوالرسم البياني للوظيفة و (خ). تم اقتراح تصميم تكامل محدد بالشكل المألوف لنا من قبل عالم الرياضيات والفيزيائي الفرنسي جان بابتيست جوزيف فورييه في التاسع عشر في وقت مبكرقرن.

المشتق. لايبنيز (1675) ، جيه لاغرانج (1770 ، 1779).

مشتق - المفهوم الأساسي لحساب التفاضل ، الذي يميز معدل تغير الوظيفة و (خ)عندما تتغير الحجة x . يتم تعريفه على أنه حد نسبة زيادة دالة إلى زيادة وسيطتها حيث أن زيادة الوسيطة تميل إلى الصفر ، إذا كان هذا الحد موجودًا. تسمى الوظيفة التي لها مشتق محدود في مرحلة ما قابلة للاشتقاق في تلك النقطة. تسمى عملية حساب المشتق التفاضل. العملية العكسية هي التكامل. في حساب التفاضل الكلاسيكي ، يتم تعريف المشتق غالبًا من خلال مفاهيم نظرية الحدود ، ومع ذلك ، تاريخيًا ، ظهرت نظرية الحدود في وقت متأخر عن حساب التفاضل.

تم تقديم مصطلح "مشتق" بواسطة جوزيف لويس لاغرانج في عام 1797 ؛ dy / dx- جوتفريد لايبنيز عام 1675. طريقة تعيين المشتق فيما يتعلق بالوقت بنقطة أعلى الحرف تأتي من نيوتن (1691).تم استخدام المصطلح الروسي "مشتق دالة" لأول مرة بواسطة عالم رياضيات روسيفاسيلي إيفانوفيتش فيسكوفاتوف (1779-1812).

المشتق الخاص. A. Legendre (1786) ، J. Lagrange (1797 ، 1801).

بالنسبة إلى دوال العديد من المتغيرات ، يتم تعريف المشتقات الجزئية - المشتقات فيما يتعلق بإحدى الوسيطات ، محسوبة على أساس افتراض أن الحجج المتبقية ثابتة. الرموز ∂f / ∂ x, ∂ ض / ∂ ذقدمه عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجيندر عام 1786 ؛ Fx ",zx "- جوزيف لويس لاغرانج (1797 ، 1801) ؛ ∂ 2z / ∂ x2, ∂ 2z / ∂ x ∂ ذ- المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية - عالم الرياضيات الألماني كارل جوستاف جاكوب جاكوبي (1837).

الفرق والزيادة. برنولي (أواخر القرن السابع عشر - النصف الأول من القرن الثامن عشر) ، إل أويلر (1755).

تم استخدام تسمية الزيادة بالحرف Δ لأول مرة من قبل عالم الرياضيات السويسري يوهان برنولي. دخل رمز "دلتا" حيز الممارسة الشائعة بعد أعمال ليونارد أويلر في عام 1755.

مجموع. إل أويلر (1755).

المجموع هو نتيجة إضافة القيم (أرقام ، وظائف ، متجهات ، مصفوفات ، إلخ). للدلالة على مجموع n من الأرقام a 1 ، a 2 ، ... ، a n ، يتم استخدام الحرف اليوناني "sigma" Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i = 1 a i = n 1 أنا. قدم ليونارد أويلر علامة المبلغ في عام 1755.

عمل. ك.جاوس (1812).

حاصل الضرب هو نتيجة الضرب. للدلالة على حاصل ضرب عدد n a 1 ، a 2 ، ... ، a n ، يتم استخدام الحرف اليوناني "pi" Π: a 1 a 2 ... a n = Π n i = 1 a i = Π n 1 a i. على سبيل المثال ، 1 3 5 ... 97 99 =؟ 50 1 (2i-1). قدم عالم الرياضيات الألماني كارل جاوس الرمز Π للمنتج في عام 1812. في الأدب الرياضي الروسي ، ظهر مصطلح "العمل" لأول مرة بواسطة ليونتي فيليبوفيتش ماغنيتسكي في عام 1703.

عاملي. كرمب (1808).

مضروب الرقم n (يُشار إليه بـ n! ، يُنطق بـ "en factor") هو نتاج الكل الأعداد الطبيعيةتصل إلى n شاملة: n! = 1 2 3 ... ن. على سبيل المثال ، 5! = 1 2 3 4 5 = 120. حسب التعريف ، 0! = 1. يتم تعريف العامل فقط للأعداد الصحيحة غير السالبة. مضروب العدد n يساوي عدد التباديل للعناصر n. على سبيل المثال ، 3! = 6 ، في الواقع ،

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

جميع التباديل الستة وستة فقط من ثلاثة عناصر.

تم تقديم مصطلح "عاملي" من قبل عالم الرياضيات الفرنسي و شخصية سياسيةلويس فرانسوا أنطوان أربوغاست (1800) ، التعيين ن! - عالم الرياضيات الفرنسي كريستيان كرامب (1808).

الوحدة ، القيمة المطلقة. K. Weierstrass (1841).

الوحدة النمطية ، القيمة المطلقة للعدد الحقيقي x - رقم غير سالب معرف على النحو التالي: | x | = x لـ x ≥ 0 و | x | = -x لـ x ≤ 0. على سبيل المثال ، | 7 | = 7 ، | - 0.23 | = - (- 0.23) = 0.23. معامل العدد المركب z = a + ib هو رقم حقيقي يساوي √ (a 2 + b 2).

يُعتقد أن مصطلح "وحدة" اقترح استخدامه عالم الرياضيات والفيلسوف الإنجليزي ، وهو طالب في نيوتن ، روجر كوتس. استخدم Gottfried Leibniz أيضًا هذه الوظيفة ، والتي أطلق عليها اسم "module" ورمز إليها: mol x. تم تقديم الترميز المقبول عمومًا للقيمة المطلقة في عام 1841 من قبل عالم الرياضيات الألماني كارل وييرستراس. بالنسبة للأعداد المركبة ، تم تقديم هذا المفهوم من قبل عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين كوشي وجان روبرت أرغان في بداية القرن التاسع عشر. في عام 1903 ، استخدم العالم النمساوي كونراد لورينز نفس الرمزية لطول ناقل.

معيار. شميت (1908).

المعيار هو وظيفي محدد في فضاء متجه ويعمم مفهوم طول المتجه أو معامل الرقم. تم تقديم علامة "القاعدة" (من الكلمة اللاتينية "نورما" - "القاعدة" ، "عينة") من قبل عالم الرياضيات الألماني إرهارد شميت في عام 1908.

حد. لويلير (1786) ، دبليو هاميلتون (1853) ، العديد من علماء الرياضيات (حتى بداية القرن العشرين)

الحد - أحد المفاهيم الأساسية للتحليل الرياضي ، مما يعني أن بعض القيم المتغيرة في عملية التغيير قيد الدراسة تقترب من قيمة ثابتة معينة إلى أجل غير مسمى. تم استخدام مفهوم الحد بشكل حدسي في وقت مبكر من النصف الثاني من القرن السابع عشر من قبل إسحاق نيوتن ، وكذلك من قبل علماء الرياضيات في القرن الثامن عشر ، مثل ليونارد أويلر وجوزيف لويس لاغرانج. أول تعريفات صارمة للحد من التسلسل قدمها برنارد بولزانو في عام 1816 وأوغستين كوشي في عام 1821. ظهر الرمز lim (الأحرف الثلاثة الأولى من الكلمة اللاتينية limes - border) في عام 1787 مع عالم الرياضيات السويسري Simon Antoine Jean Lhuillier ، لكن استخدامه لم يشبه حتى الآن الحرف الحديث. استخدم عالم الرياضيات الأيرلندي ويليام هاميلتون التعبير ليم في شكل مألوف لنا لأول مرة في عام 1853.قدم Weierstrass تسمية قريبة من التسمية الحديثة ، ولكن بدلاً من السهم المعتاد ، استخدم علامة المساواة. ظهر السهم في بداية القرن العشرين مع العديد من علماء الرياضيات في وقت واحد - على سبيل المثال ، مع عالم الرياضيات الإنجليزي غودفريد هاردي في عام 1908.

دالة زيتا ، د وظيفة ريمان زيتا. ريمان (1857).

دالة تحليلية للمتغير المعقد s = σ + it ، لـ σ> 1 ، تحددها سلسلة Dirichlet المتقاربة بشكل مطلق وموحد:

ζ (ق) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ....

بالنسبة إلى σ> 1 ، يكون التمثيل في شكل منتج أويلر صالحًا:

ζ (ق) =ص (1-ص) -s ،

حيث يتم أخذ المنتج على جميع الأعداد الأولية ص. تلعب وظيفة زيتا دورًا كبيرًا في نظرية الأعداد.كدالة لمتغير حقيقي ، تم تقديم دالة زيتا في عام 1737 (نُشرت عام 1744) بواسطة L.Euler ، الذي أشار إلى تحللها إلى منتج. ثم نظر عالم الرياضيات الألماني L. Dirichlet في هذه الوظيفة ، ونجح بشكل خاص عالم الرياضيات والميكانيكي الروسي P.L. Chebyshev في دراسة قانون التوزيع الأعداد الأولية. ومع ذلك ، تم اكتشاف الخصائص الأكثر عمقًا لدالة زيتا لاحقًا ، بعد عمل عالم الرياضيات الألماني جورج فريدريش برنارد ريمان (1859) ، حيث تم اعتبار وظيفة زيتا كدالة لمتغير معقد ؛ قدم أيضًا اسم "وظيفة زيتا" والترميز ζ (s) في عام 1857.

دالة جاما ، وظيفة أويلر Γ. أ. ليجيندر (1814).

دالة جاما هي دالة رياضية توسع مفهوم العامل إلى مجال الأعداد المركبة. عادة ما يشار إليها ب Γ (ض). تم تقديم وظيفة z لأول مرة بواسطة Leonhard Euler في عام 1729 ؛ يتم تعريفه بواسطة الصيغة:

Γ (ض) = ليمن → ∞ n! n z /z(z+1)...(z+n).

يتم التعبير عن عدد كبير من التكاملات والمنتجات اللانهائية ومجموعات السلاسل من خلال دالة G. تستخدم على نطاق واسع في نظرية الأعداد التحليلية. تم اقتراح اسم "دالة جاما" والترميز Γ (z) من قبل عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجيندر في عام 1814.

دالة بيتا ، دالة ب ، دالة أويلر ب. جي بينيه (1839).

دالة لمتغيرين p و q ، مُعرَّفة لـ p> 0 ، q> 0 بالمساواة:

ب (ع ، ف) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

يمكن التعبير عن وظيفة بيتا من حيث الوظيفة Γ: В (p ، q) = Γ (p) Г (q) / Г (p + q).تمامًا كما أن دالة جاما للأعداد الصحيحة هي تعميم للمضروب ، فإن دالة بيتا ، بمعنى ما ، هي تعميم للمعاملات ذات الحدين.

يتم وصف العديد من الخصائص باستخدام وظيفة بيتا.الجسيمات الأوليةيشارك في تفاعل قوي. لاحظ الفيزيائي الإيطالي هذه الميزةغابرييل فينيزيانوفي عام 1968. لقد بدأتنظرية الأوتار.

تم تقديم اسم "دالة بيتا" والرمز B (p ، q) في عام 1839 من قبل عالم الرياضيات والميكانيكي والفلكي الفرنسي جاك فيليب ماري بينيه.

عامل لابلاس ، لابلاسيان. ر. مورفي (1833).

عامل التفاضل الخطي Δ ، الذي يعمل φ (x 1 ، x 2 ، ... ، x n) من متغيرات n x 1 ، x 2 ، ... ، x n تربط الوظيفة:

Δφ \ u003d ∂ 2 φ / ∂x 1 2 + ∂ 2 φ / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂x n 2.

على وجه الخصوص ، بالنسبة للدالة φ (x) لمتغير واحد ، يتزامن عامل لابلاس مع عامل المشتق الثاني: Δφ = d 2 φ / dx 2. عادة ما تسمى المعادلة Δφ = 0 معادلة لابلاس. هذا هو المكان الذي تأتي منه الأسماء "عامل لابلاس" أو "لابلاسيان". تم تقديم الترميز Δ من قبل الفيزيائي وعالم الرياضيات الإنجليزي روبرت مورفي في عام 1833.

عامل هاميلتوني ، عامل نابلا ، هاميلتوني. أو.هيفيسايد (1892).

عامل التفاضل المتجه للنموذج

∇ = ∂ / ∂x أنا+ ∂ / y ي+ / ∂z ك,

أين أنا, ي، و ك- تنسيق النواقل. من خلال عامل النبلة ، يتم التعبير عن العمليات الأساسية لتحليل المتجهات ، وكذلك عامل لابلاس ، بطريقة طبيعية.

في عام 1853 ، قدم عالم الرياضيات الأيرلندي ويليام روان هاملتون هذا العامل وصاغ الرمز ∇ له على شكل حرف يوناني مقلوب Δ (دلتا). في هاملتون ، كانت نقطة الرمز تشير إلى اليسار ؛ لاحقًا ، في أعمال عالم الرياضيات والفيزيائي الاسكتلندي بيتر جوثري تيت ، اكتسب الرمز مظهرًا عصريًا. أطلق هاملتون على هذا الرمز كلمة "atled" (تُقرأ كلمة "دلتا" بالعكس). في وقت لاحق ، بدأ علماء اللغة الإنجليزية ، بمن فيهم أوليفر هيفيسايد ، في تسمية هذا الرمز "نبلة" ، على اسم الحرف ∇ في الأبجدية الفينيقية ، حيث ظهر. أصل الحرف مرتبط بآلة موسيقية مثل القيثارة ، ναβλα (نبلة) في اليونانية القديمة تعني "القيثارة". المشغل كان يسمى عامل هاملتون ، أو عامل النبلة.

وظيفة. برنولي (1718) ، إل أويلر (1734).

مفهوم رياضي يعكس العلاقة بين عناصر المجموعات. يمكننا القول أن الوظيفة هي "قانون" ، "قاعدة" يتم بموجبها ربط كل عنصر من مجموعة واحدة (يسمى مجال التعريف) ببعض عناصر مجموعة أخرى (تسمى مجال القيم). يعبر المفهوم الرياضي للدالة عن فكرة بديهية عن كيفية تحديد كمية ما تمامًا لقيمة كمية أخرى. غالبًا ما يعني مصطلح "وظيفة" وظيفة عددية ؛ أي وظيفة تجعل بعض الأرقام متماشية مع أرقام أخرى. لفترة طويلة ، قدم علماء الرياضيات حججًا بدون أقواس ، على سبيل المثال ، مثل هذا - φх. تم استخدام هذا الترميز لأول مرة من قبل عالم الرياضيات السويسري يوهان برنولي في عام 1718.تم استخدام الأقواس فقط في حالة وجود العديد من الوسائط ، أو إذا كانت الوسيطة عبارة عن تعبير معقد. أصداء تلك الأوقات شائعة ويتم تسجيلها الآنالخطيئة س ، إل جي سإلخ. ولكن تدريجياً أصبح استخدام الأقواس f (x) قاعدة عامة. والميزة الرئيسية في هذا تعود إلى ليونارد أويلر.

المساواة. سجل R. (1557).

تم اقتراح علامة المساواة من قبل الطبيب وعالم الرياضيات الويلزي روبرت ريكورد في عام 1557 ؛ كان مخطط الشخصية أطول بكثير من المخطط الحالي ، حيث إنه يقلد صورة مقطعين متوازيين. أوضح المؤلف أنه لا يوجد شيء أكثر مساواة في العالم من جزأين متوازيين من نفس الطول. قبل ذلك ، في الرياضيات القديمة والوسطى ، تم الإشارة إلى المساواة لفظيًا (على سبيل المثال ، مثلى). بدأ رينيه ديكارت في القرن السابع عشر في استخدام æ (من اللات. aequalis) ، واستخدم علامة يساوي الحديثة للإشارة إلى أن المعامل يمكن أن يكون سالبًا. يشير فرانسوا فييت إلى الطرح بعلامة يساوي. لم ينتشر رمز السجل على الفور. تم إعاقة انتشار رمز التسجيل من خلال حقيقة أنه منذ العصور القديمة تم استخدام نفس الرمز للإشارة إلى توازي الخطوط ؛ في النهاية تقرر جعل رمز التوازي عموديًا. في أوروبا القارية ، تم تقديم العلامة "=" بواسطة جوتفريد لايبنيز فقط في مطلع القرنين السابع عشر والثامن عشر ، أي بعد أكثر من 100 عام من وفاة روبرت ريكورد ، الذي استخدمها لأول مرة لهذا الغرض.

عن نفسه ، عن نفسه. أ.جونثر (1882).

لافتة " ≈ "قدمه عالم الرياضيات والفيزياء الألماني آدم فيلهلم سيغموند غونتر في عام 1882 كرمز للعلاقة" حول المساواة ".

أكثر أقل. تي هاريوت (1631).

تم إدخال هاتين العلامتين إلى الاستخدام من قبل عالم الفلك الإنجليزي وعالم الرياضيات والإثنوغرافي والمترجم توماس هاريوت في عام 1631 ، قبل ذلك تم استخدام الكلمتين "أكثر" و "أقل".

المقارنة. ك.جاوس (1801).

المقارنة - النسبة بين عددين صحيحين n و m ، مما يعني أن الفرق n-m في هذه الأرقام مقسوم على عدد صحيح معين a ، يسمى معامل المقارنة ؛ هو مكتوب: n≡m (mod a) ويقرأ "الأرقام n و m قابلة للمقارنة modulo a". على سبيل المثال ، 3≡11 (نموذج 4) لأن 3-11 قابلة للقسمة على 4 ؛ الرقمان 3 و 11 هما نمطان متطابقان 4. للمقارنات العديد من الخصائص المشابهة لتلك الخاصة بالمساواة. لذلك ، يمكن نقل المصطلح في جزء واحد من المقارنة مع الإشارة المعاكسة إلى جزء آخر ، ويمكن إضافة المقارنات مع نفس الوحدة أو طرحها أو ضربها ، ويمكن ضرب كلا الجزأين من المقارنة بنفس الرقم ، إلخ. على سبيل المثال،

3≡9 + 2 (mod 4) و3-2≡9 (mod 4)

في نفس الوقت مقارنات صحيحة. ومن زوج من المقارنات الحقيقية 3-11 (تعديل 4) و 1-5 (تعديل 4) صحة ما يلي:

3 + 1≡11 + 5 (نموذج 4)

3-1≡11-5 (تعديل 4)

3 1≡11 5 (طراز 4)

3 2 ≡11 2 (طراز 4)

3 23-11 23 (طراز 4)

في نظرية الأعداد ، يتم النظر في طرق حل المقارنات المختلفة ، أي طرق لإيجاد الأعداد الصحيحة التي ترضي مقارنات من نوع أو آخر.تم استخدام مقارنات مودولو لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الألماني كارل جاوس في كتابه عام 1801 التحقيقات الحسابية. كما اقترح الرمزية الموجودة في الرياضيات للمقارنة.

هوية. ريمان (1857).

الهوية - تساوي تعبيرين تحليليين ، صالح لأي قيم مقبولة للحروف المدرجة فيه. المساواة أ + ب = ب + أ صالحة للجميع القيم العددية a و b ، وبالتالي فهي هوية. لتسجيل الهويات ، في بعض الحالات ، منذ عام 1857 ، تم استخدام علامة "" (تقرأ "متساوي تمامًا") ، ومؤلفها في هذا الاستخدام هو عالم الرياضيات الألماني جورج فريدريش برنارد ريمان. يمكن أن تكون مكتوبةأ + ب ≡ ب + أ.

عمودية. بي إيريغون (1634).

عمودي - الترتيب المتبادل لخطين مستقيمين أو مستويين أو خط مستقيم ومستوى ، حيث تشكل هذه الأشكال زاوية قائمة. تم تقديم علامة ⊥ للدلالة على العمودية في عام 1634 من قبل عالم الرياضيات والفلك الفرنسي بيير إيريجون. لمفهوم العمودي عدد من التعميمات ، لكن جميعها ، كقاعدة عامة ، مصحوبة بعلامة ⊥.

تماثل. دبليو أوتريد (1677 طبعة بعد وفاته).

التوازي - العلاقة بين بعض الأشكال الهندسية ؛ على سبيل المثال ، الخطوط المستقيمة. يتم تعريفها بشكل مختلف اعتمادًا على الأشكال الهندسية المختلفة ؛ على سبيل المثال ، في هندسة إقليدس وفي هندسة Lobachevsky. عرفت علامة التوازي منذ العصور القديمة ، وقد استخدمها هيرون وبابوس في الإسكندرية. في البداية ، كان الرمز مشابهًا لعلامة يساوي الحالية (فقط أكثر امتدادًا) ، ولكن مع ظهور الأخير ، لتجنب الالتباس ، تم تدوير الرمز عموديًا || ظهرت بهذا الشكل لأول مرة في طبعة بعد وفاته لأعمال عالم الرياضيات الإنجليزي ويليام أووتريد في عام 1677.

تقاطع ، اتحاد. جي بينو (1888).

تقاطع المجموعات هو مجموعة تحتوي فقط على تلك العناصر التي تنتمي في نفس الوقت إلى جميع المجموعات المحددة. اتحاد المجموعات هو مجموعة تحتوي على جميع عناصر المجموعات الأصلية. يُطلق على التقاطع والاتحاد أيضًا عمليات على المجموعات التي تعين مجموعات جديدة لمجموعات معينة وفقًا للقواعد المذكورة أعلاه. يشار إلى ∩ و على التوالي. على سبيل المثال ، إذا

أ = (♠ ♣)و ب = (♣ ♦) ،

الذي - التي

A∩B = {♣ }

A∪B = {♠ ♣ ♦ } .

يحتوي على. إي شرودر (1890).

إذا كانت A و B مجموعتين ولا توجد عناصر في A لا تنتمي إلى B ، فإنهم يقولون إن A موجود في B. يكتبون A⊂B أو B⊃A (B يحتوي على A). على سبيل المثال،

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

ظهرت الرموز "تحتوي" و "تحتوي" في عام 1890 مع عالم الرياضيات والمنطق الألماني إرنست شرودر.

انتساب. جي بينو (1895).

إذا كان a عنصرًا من المجموعة A ، فاكتب a∈A واقرأ "a ينتمي إلى A". إذا لم يكن a عنصرًا من عناصر A ، فاكتب a∉A واقرأ "a لا ينتمي إلى A". في البداية ، لم يتم تمييز العلاقات "المتضمنة" و "الانتماء" ("عنصر") ، ولكن بمرور الوقت ، تطلبت هذه المفاهيم تمييزًا. تم استخدام علامة العضوية ∈ لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الإيطالي جوزيبي بينو في عام 1895. يأتي الرمز ∈ من الحرف الأول من الكلمة اليونانية εστι - ليكون.

المُحدد الكوني ، المُحدد الوجودي. جينتزن (1935) ، سي بيرس (1885).

المحدد الكمي هو اسم عام للعمليات المنطقية التي تشير إلى منطقة حقيقة المسند (بيان رياضي). لطالما اهتم الفلاسفة بالعمليات المنطقية التي تحد من نطاق حقيقة المسند ، لكنهم لم يفردوها كفئة منفصلة من العمليات. على الرغم من استخدام الإنشاءات الكمية والمنطقية على نطاق واسع في كل من الكلام العلمي واليومي ، إلا أن إضفاء الطابع الرسمي عليها لم يحدث إلا في عام 1879 ، في كتاب المنطق الألماني وعالم الرياضيات والفيلسوف فريدريش لودفيج جوتلوب فريج "حساب المفاهيم". بدا تدوين Frege وكأنه إنشاءات رسومية مرهقة ولم يتم قبوله. في وقت لاحق ، تم اقتراح العديد من الرموز الناجحة ، ولكن الترميز ∃ للمحدِّد الوجودي (اقرأ "موجود" ، "يوجد") ، اقترحه الفيلسوف الأمريكي وعالم المنطق وعالم الرياضيات تشارلز بيرس في عام 1885 ، و ∀ للمُحدد الكوني ( قراءة "أي" ، "كل" ، "كل") ، التي شكلها عالم الرياضيات والمنطق الألماني جيرهارد كارل إريك جنتزن في عام 1935 عن طريق القياس مع رمز الكمي الوجودي (الأحرف الأولى المعكوسة من الكلمات الإنجليزية وجود (وجود) وأي ( أي)). على سبيل المثال ، الإدخال

(∀ε> 0) (∃δ> 0) (∀x ≠ x 0 ، | x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

تقرأ كالتالي: "لأي ε> 0 يوجد δ> 0 بحيث لا يساوي كل x x 0 ويحقق المتباينة | x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

مجموعة فارغة. ن. بوربكي (1939).

مجموعة لا تحتوي على أي عنصر. تم إدخال علامة المجموعة الفارغة في كتب نيكولا بورباكي في عام 1939. بورباكي هو الاسم المستعار الجماعي لمجموعة من علماء الرياضيات الفرنسيين التي تشكلت عام 1935. كان أندريه ويل مؤلف رمز Ø أحد أعضاء مجموعة بورباكي.

Q.E.D. كنوث (1978).

في الرياضيات ، يُفهم البرهان على أنه سلسلة من الاستدلال بناءً على قواعد معينة ، مما يدل على أن جملة معينة صحيحة. منذ عصر النهضة ، أشار علماء الرياضيات إلى نهاية الدليل على أنها "Q.E.D" ، من التعبير اللاتيني "Quod Erat Demonstrandum" - "ما هو مطلوب لإثباته". عند إنشاء نظام تخطيط الكمبيوتر في عام 1978 ، استخدم أستاذ علوم الكمبيوتر الأمريكي دونالد إدوين كنوث رمزًا: مربع مملوء ، يسمى "رمز Halmos" ، سمي على اسم عالم الرياضيات الأمريكي من أصل مجري بول ريتشارد هالموس. اليوم ، عادةً ما يُرمز إلى اكتمال الإثبات برمز Halmos. كبديل ، يتم استخدام علامات أخرى: مربع فارغ ، مثلث قائم الزاوية ، // (شرطتان مائلتان) ، وكذلك الاختصار الروسي "ch.t.d.".