В каком году жил диофант. Реферат: Диофант. Диофантовы уравнения. Диофант делает решительный шаг - вводит отрицательные числа

». Автор «Арифметики» - книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений . В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел.

Она эквивалентна решению следующего уравнения:

x = x 6 + x 12 + x 7 + 5 + x 2 + 4 {\displaystyle x={\frac {x}{6}}+{\frac {x}{12}}+{\frac {x}{7}}+5+{\frac {x}{2}}+4}

Это уравнение даёт x = 84 {\displaystyle x=84} , то есть возраст Диофанта получается равным 84 годам. Однако достоверность сведений не может быть подтверждена.

Арифметика Диофанта

Основное произведение Диофанта - Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.

Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» (ἀριθμός ) и обозначает буквой ς , квадрат неизвестной - символом Δ Υ (сокращение от δύναμις - «степень»), куб неизвестной - символом Κ Υ (сокращение от κύβος - «куб»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней, вплоть до минус шестой.

Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены в порядке убывания степени, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами ἴσ (сокращение от ἴσος - «равный»).

Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: «минус на плюс даёт минус», «минус на минус даёт плюс»; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.

Бо́льшая часть труда - это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики - нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений . Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные , что не типично для античных математиков.

Сначала Диофант исследует системы уравнений второго порядка от двух неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней. В VI книге исследуются задачи, относящиеся к прямоугольным треугольникам с рациональными сторонами.

Влияние Арифметики на развитие математики

В X веке Арифметика была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметики , выполненный Баше де Мезириаком .

Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма ; впрочем, в Новое время неопределённые уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант. Когда Пьер Ферма читал «Арифметику» Диофанта, изданную Баше де Мезириаком , он пришёл к выводу, что одно из уравнений, похожих на рассмотренные Диофантом, не имеет решений в целых числах, и заметил на полях, что он нашёл «поистине чудесное доказательство этой теоремы… однако поля книги слишком узки, чтобы его привести». Сейчас это утверждение известно как Великая теорема Ферма .

Другие сочинения Диофанта

. М., Наука, 1970.

Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука, 1972 (Репринт М.: ЛКИ, 2007)

Славутин Е. И. Алгебра Диофанта и её истоки. , 20, 1975, с. 63-103.

Башмакова И. Г. Арифметика алгебраических кривых (от Диофанта до Пуанкаре). Историко-математические исследования , 20, 1975, с. 104-124.

Башмакова И. Г., Славутин Е. И., Розенфельд Б. А. Арабская версия «Арифметики» Диофанта. Историко-математические исследования , 23, 1978, с. 192-225.

Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984.

Щётников А. И. Можно ли назвать книгу Диофанта Александрийского «О многоугольных числах» чисто алгебраической? Историко-математические исследования , 8(43), 2003, с. 267-277.

Heath Th. L. Diophantus of Alexandria, A Study in the History of Greek Algebra . Cambridge, 1910 (Repr. NY, 1964).

Knorr W. R. Arithmktikê stoicheiôsis: On Diophantus and Hero of Alexandria. Historia Mathematica , 20, 1993, p. 180-192.

Christianidis J. The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus’ method of solution. Historia Mathematica , 34, 2007, p. 289-305.

Rashed R., Houzel C. Les Arithmétiques de Diophante. Lecture historique et mathématique. De Gruyter, 2013.

Коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел.

Диофант Александрийский
Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς

Дата рождения	не ранее и не позднее или
Место рождения	Александрия , Египет
Дата смерти	не ранее и не позднее
Страна	Древний Рим
Научная сфера	теория чисел
Известен как	«отец алгебры»
Диофант Александрийский на Викискладе

Биография

О подробностях его жизни практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), - откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его Арифметика посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий - никто иной, как епископ Дионисий Александрийский , живший в середине III в. н. э.

Она эквивалентна решению следующего уравнения:

x = x 6 + x 12 + x 7 + 5 + x 2 + 4 {\displaystyle x={\frac {x}{6}}+{\frac {x}{12}}+{\frac {x}{7}}+5+{\frac {x}{2}}+4}

Арифметика Диофанта

Основное произведение Диофанта - Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 (или 10, см. ниже) первых книг из 13.

Бо́льшая часть труда - это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189, вместе с четырьмя из арабской части - 290), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики - нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений . Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные , что не типично для античных математиков.

Влияние Арифметики на развитие математики

В X веке Арифметика была переведена на арабский язык (см. Куста ибн Лука), после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли перевёл и опубликовал это сочинение на латинский язык, и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметики , выполненный Баше де Мезириаком .

В XX веке под именем Диофанта обнаружен арабский текст ещё четырёх книг Арифметики . И. Г. Башмакова и Е. И. Славутин, проанализировав этот текст, выдвинули гипотезу, что его автором был не Диофант, а хорошо разбиравшийся в методах Диофанта комментатор, вероятнее всего - Гипатия . Однако существенный разрыв в методике решений задач первых трёх и последних трёх книг хорошо заполняется четырьмя книгами арабского перевода. Это заставляет пересмотреть результаты предыдущих исследований. . [ ]

Другие сочинения Диофанта

Трактат Диофанта О многоугольных числах (Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν ) сохранился не полностью; в сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем.

Из сочинений Диофанта Об измерении поверхностей (ἐπιπεδομετρικά ) и Об умножении (Περὶ πολλαπλασιασμοῦ ) также сохранились лишь отрывки.

Книга Диофанта Поризмы известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике .

См. также

Collection Budé » (опубликованы 2 тома: Кн. 4 - 7).

Исследования:

Башмакова И. Г., Славутин Е. И., Розенфельд Б. А. Арабская версия «Арифметики» Диофанта // Историко-математические исследования. - М., 1978. - Вып. XXIII. - С. 192 - 225.
Башмакова И. Г. Арифметика алгебраических кривых: (От Диофанта до Пуанкаре) // Историко-математические исследования. - 1975. - Вып. 20. - С. 104 - 124.
Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. - М.: Наука, 1972 (Репринт.: М.: ЛКИ, 2007). Пер. на нем. яз.: Diophant und diophantische Gleichungen . - Basel; Stuttgart: Birkhauser, 1974. Пер. на англ. яз.: Diophantus and Diophantine Equations / Transl. by A. Shenitzer with the editorial assistance of H. Grant and updated by J. Silverman // The Dolciani Mathematical Expositions. - № 20. - Washington, DC: Mathematical Association of America, 1997.
Башмакова И. Г. Диофант и Ферма: (К истории метода касательных и экстремумов) // Историко-математические исследования. - М., 1967. - Вып. VII. - С. 185 - 204.
Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. - М.: Наука, 1984.
История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. - Т. I: С древнейш. времён до начала Нов. времени / Под ред. А. П. Юшкевича . - М., Наука, 1970.
Славутин Е. И. Алгебра Диофанта и её истоки // Историко-математические исследования. - М., 1975. - Вып. 20. - С. 63 - 103.
Щётников А. И. Можно ли назвать книгу Диофанта Александрийского «О многоугольных числах» чисто алгебраической? // Историко-математические исследования. - М., 2003. - Вып. 8 (43). - С. 267 - 277.
Heath Th. L. Diophantus of Alexandria, A Study in the History of Greek Algebra. - Cambridge, 1910 (Repr.: NY, 1964).
Knorr W. R. Arithmktikê stoicheiôsis: On Diophantus and Hero of Alexandria // Historia Mathematica. - 20. - 1993. - P. 180 - 192.
Christianidis J. The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus’ method of solution // Historia Mathematica. - 34. - 2007. - P. 289 - 305.
Rashed R., Houzel C. Les Arithmétiques de Diophante. Lecture historique et mathématique. - De Gruyter, 2013.

Диофант Александрийский (др.-греч. ; лат. Diophantus) - древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э. Нередко упоминается как «отец алгебры». Автор «Арифметики» - книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений. В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел.

Диофант был первым греческим математиком, который рассматривал дроби наравне с другими числами. Диофант также первым среди античных учёных предложил развитую математическую символику, которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде.

В честь Диофанта назван кратер на видимой стороне Луны.

Биография

О подробностях его жизни практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), - откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его Арифметика посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий - не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III в. н. э.

В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей - и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком. И половину шестой встретил с пушком на щёках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей. (Перевод С. П. Боброва)

Она эквивалентна решению следующего уравнения:

Арифметика Диофанта

Основное произведение Диофанта - Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.

Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» () и обозначает буквой, квадрат неизвестной - символом (сокращение от - «степень»), куб неизвестной - символом (сокращение от - «куб»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней, вплоть до минус шестой.

Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены в порядке убывания степени, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы. Знак равенства обозначается двумя буквами (сокращение от - «равный»).

Большая часть труда - это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики - нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.

Диофа́нт Александри́йский (др.-греч. Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς ; лат. Diophantus ) - древнегреческий математик , живший предположительно в III веке н. э. Нередко упоминается как «отец алгебры ». Автор «Арифметики» - книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений . В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел.

Биография [ | ]

Латинский перевод Арифметики (1621)

Она эквивалентна решению следующего уравнения:

x = x 6 + x 12 + x 7 + 5 + x 2 + 4 {\displaystyle x={\frac {x}{6}}+{\frac {x}{12}}+{\frac {x}{7}}+5+{\frac {x}{2}}+4}

Арифметика Диофанта [ | ]

Влияние Арифметики на развитие математики [ | ]

В X веке Арифметика была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли перевёл и опубликовал это сочинение на латинский язык, и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметики , выполненный Баше де Мезириаком .

Другие сочинения Диофанта [ | ]

Книга Диофанта Поризмы известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике .

Древнегреческий математик из Александрии, которого считают одним из первых авторов алгебраических трудов. В средние века его называли «отцом алгебры».

До нас дошло 6 книг из 13 из его трактата Арифметика / Arithmetica, где даётся решение ряда алгебраических уравнений до 4-й степени.

«Диофанту принадлежит далеко ведущая идея алгебраической символики - использование символов вместо чисел; ему, правда, не удалось воспользоваться ею в полной мере. Он сетует, что «невозможно решение абсурдного уравнения 4 = 4x + 20. Невозможно? Абсурдное уравнение? Уравнение приводит к отрицательному значению: х = - 4. Без понятия нуля, которого Диофант не знал, понятие отрицательного числа логически невозможно. Замечательные новшества Диофанта, кажется, были проигнорированы последующими поколениями. Прошло полторы тысячи лет, пока его работы были замечены и должным образом оценены: его трактат сыграл центральную роль в расцвете алгебры в XVII веке. Всем известные сегодня линейные алгебраические уравнения вида а + bх = с носят его имя».

Питер Бернстайн, Против богов: укрощение риска, М., «Олимп-Бизнес», 2006 г., с. XLVII-L.

«Arithmetica представлена как ряд задач. В предисловии Диофант сообщает, что написал её в качестве задачника для своих учеников. Он использовал специальный символ для неизвестного, а также отдельные символы для его квадрата и куба; кажется, что это сокращения слов dynamis (мощь, сила) и kybos (куб). Обозначения структурированы не очень хорошо. Сложение у Диофанта записывается просто как размещение символов друг за другом (мы теперь делаем так для умножения), но он использует специальный символ для вычитания. Есть и символ для равенства, хотя он и мог быть введён позднейшим переписчиком. В основном Arithmetica посвящена решению уравнений. В первой из сохранившихся книг обсуждаются линейные уравнения; в остальных пяти рассматриваются различные виды квадратных уравнений, часто для нескольких неизвестных, а также некоторые специальные кубические уравнения. Характерная особенность состоит в том, что ответы всегда являются целыми или рациональными числами. Сегодня мы называем уравнение диофантовым, если его решения ограничены целыми или рациональными числами».

Иэн Стюарт, Истина и красота: Всемирная история симметрии, М., «Астрель»; «Сorpus», 2010 г., с. 68.

Возможно, Диофант прожил 84 года, что следует из приписываемой его эпитафии-задачи: «Диофант провёл шестую часть жизни в младенчестве и двенадцатую в юношеском возрасте; затем он женился и прожил в бездетном супружестве седьмую часть жизни и ещё пять лет, после чего у него родился сын, достигший только половины возраста отца; отец же пережил сына на четыре года».

Видимо, Диофант опирался на древние труды вавилонян и египтян.