Типы геометрических моделей. Модели представления информации о трехмерных объектах
Геометрическая модель Модель – такое представление данных, которое наиболее адекватно отражает свойства реального объекта, существенные для процесса проектирования. Геометрические модели описывают объекты, обладающие геометрическими свойствами. Таким образом, геометрическое моделирование – это моделирование объектов различной природы с помощью геометрических типов данных.
Основные вехи в создании математических основ современных геометрических моделей Изобретение станка с ЧПУ – начало 50 -х годов (Массачусетский технологический институт MIT) – необходимость создания цифровой модели детали Создание «скульптурных поверхностей» (потребности авиа и автомобилестроения) – для Citroen математик Поль де Кастельжо предложил построить гладкие кривые и поверхности по набору контрольных точек – будущие кривые и поверхности Безье – 1959 г. Результаты работы опубликованы в 1974 г.
Билинейный лоскут (bilinear patch) – гладкая поверхность, построенная по 4 -м точкам. Билинейный лоскут Кунса (поверхность Кунса –Coons patch) – гладкая поверхность, построенная по 4 -м граничным кривым – автор Стивен Кунс – профессор MIT – 1967 г. Кунс предложил использовать рациональный полином для описания конических сечений Сазерленд – ученик Кунса разработал структуры данных для будущих геометрических моделей, предложил ряд алгоритмов, решающих задачу визуализации
Создание поверхности, контролирующей гладкость между граничными кривыми, поверхность Безье – автор Пьер Безье – инженер компании Renault – 1962 г. Основой для разработки таких поверхностей были кривые и поверхности Эрмита, описанные французским математиком - Шарлем Эрмитом (середина 19 века)
Использование сплайнов (кривые, степень которых не определяется числом опорных точек, по которым она строится) в геометрическом моделировании. Исаак Шенберг(1946 г.) дал их теоретическое описание. Карл де Бур и Кокс рассмотрели эти кривые применительно к геометрическому моделированию – их название В-сплайны – 1972 г.
Использование NURBS (рациональные В-сплайны на неравномерной сетке параметризации) в геометрическом моделировании – Кен Версприл (Сиракузский Университет), затем сотрудник Computervision -1975 г. NURBS впервые использовал Розенфельд в системе моделирования Alpha 1 и Geomod – 1983 г. Возможность описания всех типов конических сечений с помощью рациональных В-сплайнов – Юджин Ли – 1981 г. Данное решение найдены при разработке САПР TIGER, используемой в авиастроительной компании Boeing. Этой компанией было предложено включить NURBS в формат IGES Разработка принципов параметризации в геометрическом моделировании, введение понятия фичерc (future) – С. Гейзберг. Первопроходцы – PTC (Parametric Technology Corporation), первая система, поддерживающая параметрическое моделирование – Pro/E -1989 г.
Математические знания, необходимые для изучения геометрических моделей Векторная алгебра Матричные операции Формы математического представления кривых и поверхностей Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей Аппроксимация и интерполяция кривых и поверхностей Сведения из элементарной геометрии на плоскости и в пространстве
Классификация геометрических моделей по информационной насыщенности По информационной насыщенности Каркасная (проволочная) Каркасноповерхностная Модель сплошных тел или твердотельная модель
Классификация геометрических моделей по внутреннему представлению По внутреннему представлению Граничное –Boundary representation –B-rep -аналитическое описание - оболочка Структурная модель – дерево построения Структура + границы
Классификация по способу формирования По способу формирования Жестко-размерное моделирование или с явным заданием геометрии – задание оболочки Параметрическая модель Кинематическая модель(lofting, sweep, Extrude, revolve, протянутая, заметающая) Модель конструктивной геометрии (использование базовых элементов формы и булевых операций над ними – пересечение, вычитание, объединение) Гибридная модель
Способы построения кривых в Геометрическом моделировании Основой создания трехмерной поверхностной модели являются кривые. Способы построения кривых в геометрическом моделировании: Интерполяция – кривые Эрмита и кубические сплайны Аппроксимация – кривые Безье, Всплайновые кривые, NURBS кривые
Основные способы построения поверхностных моделей Аналитические поверхности Плоскостиполигональные сетки Квадратичные поверхности – конические сечения Поверхности, построенные по точкам Полигональные сетки Билинейная поверхность Линейная и бикубическая поверхность Кунса Поверхность Безье В-сплайновые поверхности NURBS поверхности Треугольные поверхности Поверхности, построенные по кинематическому принципу Поверхность вращения Поверхность соединения Заметающая поверхность Сложные sweep и lofting поверхности
Твердотельная модель При моделировании твердых тел используются топологические объекты, несущие в себе топологическую и геометрическую информацию: Грань; Ребро; Вершина; Цикл; Оболочка Основа твердого тела – его оболочка, которая строится на основе поверхностей
Способы твердотельного моделирования: явное (прямое) моделирование, параметрическое моделирование. Явное моделирование 1. Модель конструктивной геометрии – использование БЭФ и булевых операций. 2. Кинематический принцип построения. 3. Моделирование оболочки в явном виде. 4. Объектно-ориентированное моделирование – использование фичерсов.
Геометрия, базирующаяся на конструктивно-технологических элементах (фичерсах) (объектноориентированное моделирование) ФИЧЕРСЫ – одиночные или составные конструктивные геометрические объекты, содержащие информацию о своем составе и легко изменяемые в процессе проектирования (фаски, ребра и т. п.) зависимо от в внесенных в геометрическую модель изменений. ФИЧЕРСЫ – параметризованные объекты, привязанные к другим элементам геометрической модели.
Поверхностные и твердотельные модели, построенные по кинематическому принципу Вращение Простое перемещение – выдавливание Смешивание двух профилей Простое перемещение профиля вдоль кривой Перемещение профиля вдоль кривой с его изменением в плоскости сечения
Примеры твердых тел, построенных по кинематическому принципу 1. Смешивание профилей по определенному закону (квадратичный, кубический и т. д.)
Параметрические модели Параметрическая модель – это модель, представленная с помощью совокупности параметров, устанавливающих соотношение между геометрическими и размерными характеристиками моделируемого объекта. Типы параметризациии Иерархическая параметризация вариационная Параметризация Геометрическая или размерная параметризация Табличная параметризация
Иерархическая параметризация Параметризация на основе истории построений первая параметрическая модель. История превращается в параметрическую модель, если с каждой операцией ассоциировать определенные параметры. В ходе построения модели вся последовательность построения, например, порядок выполненных геометрических преобразований, отображается в виде дерева построения. Внесение изменений на одном из этапов моделирования приводит к изменению всей модели и дерева построения.
Недостатки иерархической параметризации ü Введение циклических зависимостей в модели приведет к отказу системы в создании такой модели. ü Ограничены возможности редактирования такой модели из-за отсутствия достаточной степени свободы (возможность редактирования параметров каждого элемента по очереди) ü Сложность и непрозрачность для пользователя ü Дерево построения может быть очень сложным, пересчет модели потребует много времени ü Решение о том, какие параметры менять происходит только в процессе построения ü Невозможность применения этого подхода при работе с разнородными и унаследованными данными
Иерархическую параметризацию можно отнести к жесткой параметризации. При жесткой параметризации в модели полностью заданы все связи. При создании модели с помощью жесткой параметризации очень важным является порядок определения и характер наложенных связей, которые будут управлять изменением геометрической модели. Такие связи наиболее полно отражает дерево построения. Для жесткой параметризации характерно наличие случаев, когда при изменении параметров геометрической модели решение вообще не м. б. найдено, т. к. часть параметров и установленные связи вступают в противоречие друг с другом. Тоже самое может возникнуть при изменении отдельных с этапов дерева построения Использование дерева построения при создании модели приводит к созданию модели на основе истории, такой подход к моделированию называется процедурным
Отношение Родитель/Потомок. Основной принцип иерархической параметризации –фиксация всех этапов построения модели в дереве построения. Это и есть определение отношений Родитель/Потомок. При создании нового конструктивного элемента, все другие элементы, на которые ссылается создаваемый конструктивный элемент, становятся его Родителями. Изменение родительского конструктивного элемента приводит к изменению всех его потомков.
Вариационная параметризация Создание геометрической модели с использованием ограничений в виде системы алгебраических уравнений, определяющей зависимость между геометрическими параметрами модели. Пример геометрической модели, построенной на основе вариационной параметризации
Пример создание параметрической модели эскиза средствами вариационной параметризации в Pro/E Наличие символьного обозначения каждого размера позволяет задавать соотношения размеров с помощью математических формул.
Геометрическая параметризация основана на пересчете параметрической модели в зависимости от геометрических параметров родительских объектов. Геометрические параметры, влияющие на модель, построенную на основе геометрической параметризации ü Параллельность ü Перпендикулярность ü Касательность ü Концентричность окружностей ü И т. п. В геометрической параметризации используются принципы ассоциативной геометрии
Геометрическую и вариационную параметризацию можно отнести к мягкой параметризации Почему? мягкая параметризация - это метод построения геометрических моделей, в основе которого лежит принцип решения нелинейных уравнений, описывающих связи между геометрическими характеристиками объекта. Связи в свою очередь задаются формулами, как в случае вариационных параметрических моделей, или геометрическими соотношениями параметров, как в случае моделей, созданных на основе геометрической параметризации. Метод построения геометрической модели с помощью вариационной и геометрической параметризации называют - декларативным
Табличная параметризация Создание таблицы параметров типовых деталей. Генерация нового типового объекта производится путем выбора из таблицы типоразмеров. Пример таблицы типоразмеров, создаваемой в Pro/E
Понятие косвенного и прямого редактирования Косвенное редактирование предполагает наличие дерева построения для геометрической модели – редактирование происходит внутри дерева Прямое редактирование предполагает работу с границей твердого тела, т. е. с его оболочкой. Редактирование модели не на основе дерева построения, а в результате изменения составляющих оболочки твердого тела
Ядра геометрического моделирования Ядро геометрического моделирования – совокупность программных средств построения трехмерных геометрических моделей, основанных на математических методах их построения. ACIS – Dassault System – граничное представление Parasolid – Unigraphics Solution – граничное представление Granite – используется в Pro/E и Creo – поддерживает трехмерное параметрическое моделирование
Основные составляющие ядер геометрического моделирования Структура данных для моделирования – конструктивное представление – модель конструктивной геометрии или граничное представление – B-rep модель. Математический аппарат. Средства визуализации. Набор интерфейсов – API (Application Programming Interface)
Методы создания геометрических моделей в современных САПР Методы для создания моделей на основе трехмерных или двухмерных заготовок (базовых элементов формы) –создание примитивов, булевы операции Создание объемного тела или поверхностной модели по кинематическому принципу –заметание, lofting, sweep и т. п. Часто используется принцип параметризации Изменение тел или поверхностей путем плавного сопряжения, скругления, вытягивания Методы редактирования границ – манипулирование составляющими объемных тел (вершинами, ребрами, гранями и т. п.). Используются для добавления, удаления, изменения элементов объемного тела или плоской фигуры. Методы для моделирования тела при помощи свободных форм. Объектно-ориентированное моделирование. Использование конструктивных элементов формы – фичерсов (features) (фаски, отверстия, скругления, пазы, выемки и т. п.) (пример, сделать такое-то отверстие в таком-то месте)
Задачи, решаемые САПР различного уровня 1. Решение задач базового уровня проектирования, параметризация или отсутствует, или реализована на низком самом простом уровне 2. Имеют достаточно сильную параметризацию, ориентированы на индивидуальную работу, невозможна совместная работа разных разработчиков над одним проектом одновременно. 3. Позволяют реализовать параллельную работу проектантов. Системы строятся по модульному принципу. Весь цикл работ производится без потери данных и параметрических связей. Основный принцип – сквозная параметризация. В таких системах допускается изменение модели изделия и самого изделия на любой стадии работ. Поддержка на любом уровне жизненного цикла изделия. 4. Решаются задачи создания моделей узкой области использования. Могут быть реализованы все возможные способы создания моделей
Классификация современных САПР Параметры классификации степень параметризации Функциональная насыщенность Области применения (авиа-, автомобиле- , приборостроение) Современные САПР 1. Низкого уровня (малые, легкие): Auto. CAD, Компас и т. п. 2. Среднего уровня (средние): Pro Desktop, Solid Works, Power Shape и т. п. 3. Высокого уровня (большие, тяжелые): Pro/E , Creo (PTC), Catia, Solid Works (Dassault Systemes), Siemens PLM Software (NX Unigraphics) 4. Специализированные: СПРУТ, Icem Surf, САПР, используемые в конкретных отраслях – MCAD, ACAD, ECAD
Примеры САПР различного уровня Низкого уровня – Auto. CAD, Компас Среднего уровня – Inventor (Autodesk), Solid Edge (Siemens), Solid Works (Dassault System), T-Flex – компания «Топ Системы» Высокого уровня – Pro/E-Creo Parametric(PTC), CATIA(Dassault System), NX(Unigraphics –Siemens PLM Software) Специализированные – СПРУТ, Icem Surf(PTC)
Основные концепции моделирования в настоящее время 1. Flexible engineering (гибкое проектирование): ü ü Параметризация Проектирование поверхностей любой сложности (фристайл поверхности) Наследование других проектов Целезависимое моделирование 2. Поведенческое моделирование ü ü ü Создание интеллектуальных моделей (smart модели) - создание моделей, адаптированных к среде разработки. В геометрическую модель м. б. включены интеллектуальные понятия, например, фичерсы Включение в геометрическую модель требований к изготовлению изделия Создание открытой модели, позволяющей ее оптимизировать 3. Использование идеологии концептуального моделирования при создании больших сборок ü ü Использование ассоциативных связей (набор параметров ассоциативной геометрии) Разделение параметров модели на различных этапах проектирования сборки
Результатом геометрического моделирования некоторого объекта является математическая модель его геометрии. Математическая модель позволяет графически отобразить моделируемый объект, получить его геометрические характеристики, выполнить исследование многих физических свойств объекта путем постановки численных экспериментов, подготовить производство и, наконец, изготовить объект.
Для того чтобы увидеть, как выглядит объект, нужно смоделировать поток падающих и возвращающихся от его поверхностей лучей света. При этом граням модели можно придать необходимый цвет, прозрачность, фактуру и другие физические свойства. Модель можно осветить с разных сторон светом различного цвета и интенсивности.
Геометрическая модель позволяет определить массово-центровочные и инерционные характеристики проектируемого объекта, выполнить измерения длин и углов его элементов. Она дает возможность произвести расчет размерных цепей и определить собираемость проектируемого объекта. Если объект представляет собой механизм, то на модели можно проверить его работоспособность и выполнить расчет кинематических характеристик.
Используя геометрическую модель, можно поставить численный эксперимент по определению напряженно-деформированного состояния, частот и форм собственных колебаний, устойчивости элементов конструкции, тепловых, оптических и других свойств объекта. Для этого нужно дополнить геометрическую модель физическими свойствами, смоделировать внешние условия ее работы и, используя физические законы, выполнить соответствующий расчет.
По геометрической модели можно вычислить траекторию режущего инструмента для механической обработки объекта. При выбранной технологии изготовления объекта геометрическая модель позволяет спроектировать оснастку и выполнить подготовку производства, а также проверить саму возможность изготовления объекта данным способом и качество этого изготовления. Кроме того, возможна графическая имитация процесса изготовления. Но для того, чтобы изготовить объект, кроме геометрической информации нужна информация о технологическом процессе, производственном оборудовании и многом другом, связанном с производством.
Многие из перечисленных проблем образуют самостоятельные разделы прикладной науки и по своей сложности не уступают, а в большинстве случаев и превосходят проблему создания геометрической модели. Геометрическая модель является отправной точкой для дальнейших действий. При построении геометрической модели мы не использовали физические законы, радиус-вектор каждой точки границы раздела внешней и внутренней частей моделируемого объекта является известным, поэтому при построении геометрической модели нам приходится составлять и решать алгебраические уравнения.
Задачи, в которых используются физические законы, приводят к дифференциальным и интегральным уравнениям, решение которых сложнее решения алгебраических уравнений.
В данной главе остановимся на выполнении расчетов, не связанных с физическими процессами. Мы рассмотрим вычисление чисто геометрических характеристик тел и их плоских сечений: площади поверхности, объема, центра масс, моментов инерции и ориентации главных осей инерции. Эти расчеты не требуют привлечения дополнительной информации. Кроме этого, мы рассмотрим проблемы численного интегрирования, которые приходится решать при определении геометрических характеристик.
Определение площади, центра масс и моментов инерции плоского сечения тела приводит к вычислению интегралов по площади сечения. Для плоских сечений мы располагаем информацией об их границах. Интегралы по площади плоского сечения мы сведем к криволинейным интегралам, которые в свою очередь сводятся к определенным интегралам. Определение площади поверхности, объема, центра масс, моментов инерции тела приводит к вычислению поверхностных и объемных интегралов. Мы будем опираться на представление тела с помощью границ , т. е. на описание тела совокупностью ограничивающих его поверхностей и топологическую информацию о взаимном соседстве этих поверхностей. Мы сведем интегралы по объему тела к поверхностным интегралам по поверхностям граней тела, которые в свою очередь сводятся к двойным интегралам. В общем случае область интегрирования представляет собой связную двухмерную область. Вычисление двойных интегралов численными методами можно выполнить для областей простых типов - четырехугольной или треугольной формы. В связи с этим в конце главы рассмотрены методы вычисления определенных интегралов и двойных интегралов по четырехугольным и треугольным областям. Методы разбивки областей определения параметров поверхностей на совокупности треугольных подобластей рассмотрены в следующей главе.
В начале главы рассмотрим сведение интегралов по площади к криволинейным интегралам и сведение объемных интегралов к поверхностным интегралам. На этом будут базироваться вычисления геометрических характеристик моделей.
Если два снимка установлены в такое же положение в котором они находились во время фотографирования, сократив расстояние между точками S1 и S2 до размера базиса проектирования b1 , то получим геометрическую модель местности А’С’D’ подобную участку местности АСD.
Геометрическая модель местности определяется как совокупность точек пересечения соответствующих проектируемых лучей.
Основные понятия:
Базис фотографирования В - расстояние между центрами проекции S1 и S2.
Связка проектируемых лучей - это совокупность проектируемых лучей принадлежащих центру проекции S.
Лучи - это лучи проходящие через центр проекции S и идентичной точки пары снимков.
Базисная плотность - это плотность содержащий базис фотографирования и один (любой) проектируемый луч.
Главная базисная плотность - плотность, содержащая базис фотографирования и один главный луч.
Базис проектирования b - это расстояние между центрами проекций S1 и S2 двух связок, по которой построена модель.
Внутреннее ориентирование снимка - это связки, восстановленные с помощью проектируемых камер.
Взаимное ориентирование снимков - это проектирование камеры с восстановленными связками, которые перемещаются друг относительно друга и устанавливают их так, чтобы лучи пересекались, тогда снимки займут такое же положение, как и во время съемки.
Взаимное ориентирование снимков м.б. достигнуто двумя способами:
Угловыми движениями обеих камер
Движение 1-й камеры (при неподвижной 2-й)
В связи с этим различают 2 системы взаимного ориентирования снимков:
в 1-й неподв. счит. базис фотограф., во 2-й левый снимок. 1-я сист. 2-я сист.В этой сист. базис фотограф. счит. горизонт. независим. от его положен. в пространств. £1 - продольн угол наклона левого снимка те угол в гл. базисной плоск. м/д перпенд. к базису фотограф и гл лучом левой связки. £2 - продольн. угол наклона прав. снимка ǽ1 - угол повор. лев. снимка ǽ2 - угол повор. прав. снимка w2 - взаимн. поперечн. угол наклона
Поперечн. параллакс - это разность ординат соот. т-к прав и лев снимк. q=y1-y2 Трансф. снимк. когда базис фотограф. и снимк. горизонт., оси х лев и прав снимк. лежат на одной прямой и ордин. точек будут равны q0=y01-y02=0
Если измерен. ордин. не равны на снимк., то они взаимн. не ориент.
Продольн. параллакс - это разность абсцисс точек и зависит от формата снимка продольн. перекр и рельефа. р=х1-х2
а1а1=х1; а2а2=-х2; S2A’//S1A; а2а1’=а1а1=х1; а2а1’=х1-х2=р; АА’=В
1. ∆S2а2а1’~∆S2AA’; ; (1); (2)т.е. для гор. снимка парал. равен базису фотограф. в масш. съемки
2. ∆S1о1а1~S1O1A; ; ; ; ; Н=-Z; с учетом ф(1) Z=-B×f/p. В совр. приб. использ способ мнимой марки, в нем для измерения коорд. т-к исп. 2-е марки Т1 и Т2. Если одновр. расматр. две марки, то они сольют. в 1-у Т, если совмещ. Т1 и Т2 с соотв. т-ми а1 и а2 на сним., то марка восприним. совмещ. с пов-тью модели. Если марка Т2 не совмещ. с одноимен. т-ой а2, то видимая простр. марка Т’’ будет восприним. выше или ниже поверхн. модели.
28. Дешифрирование снимков для составления топографических и кадастровых планов и карт.
Дешифрирование – процесс распознавания по фотоизображению предметов и контуров местности, границ землевладений и землепользований, установление их качественной и количественной характеристик и вычерчивание их условными знаками.
В зависимости от содержания, дешифрирование делят на:
Топографическое;
Специальное.
При топографическом дешифрировании со снимков получают информацию о земной поверхности и расположении на ней объектах.
Основой методической классификации дешифрирования являются средства считывания и анализа видеоинформации. Исходя из этого, выделяют следующие основные методы:
1)Визуальный – информация считывается и анализируется человеком;
2)Машино-визуальный – информация предварительно преобразовывается машинами с целью облегчения последующего визуального анализа;
3)Автоматизированный – считывает со снимков и анализ выполнения машинами при активном участии оператора;
4)Автоматический – дешифрирование полностью выполняется машинами, человек определяет задачи и задает программу обработки.
Методика генерализации информации при дешифрировании базируется в основном на методике картографической генерализации, т.к. основной объем дешифрированных работ выполняется в целях создания топографических и специальных карт.
Нормы генерализации:
1) 4мм 2 для пахотных земель, залежей, улучшенных луговых земель, вкрапленных в них других земель;
2) 10мм 2 для немелиорируемых луговых земель;
3) 50мм 2 для одноименных различных по качественным признакам с/х земель;
4) 100мм 2 для контуров кустарника, бурелома, горелого или сухостойного леса;
5) озера, пруды дешифрируют независимо от их размеров;
6) линейные контура – если их длина превышает 1см, промоины если их длина превышает 0,5см.
Технологическая последовательность работ:
1)Составление технического проекта и сметы. На этом этапе определяются, какие карты масштабом 1:10000 подлежат обновлению. Границы аэрофотоснимка устанавливаются так, чтобы она покрывала полные планшеты. Аэрофотосъемку выполняют в масштабе 1:15000;
2)Подготовительные работы. Включает сбор, систематизацию, анализ и подготовку материалов съемки, юридических, картографических, справочных и др. материалов;
3)Камеральное дешифрирование. На снимки с имеющихся карт переносят все подтверждаемые фотоизображением объекты. Так же дешифрируют четко читаемые по фотоизображению объекты, появившиеся после создания карты. При камеральном дешифрировании не показывают: границы землепользований и землевладений, границы территориальных и административно-территориальных единиц, границы охранных зон, границы разделения земель по видам. Эти объекты будут установлены и отображены при выполнении полевого дешифрирования;
4)Полевое дешифрирование. Уточняются характеристики объектов;
5)Оформление и приемка материалов;
6)Составление технического отчёта.
Дешифрирование населенных пунктов начинается с выделения и вычерчивания магистральных улиц (1мм), прочих улиц, переулков, проездов, тупиков(0,5мм). Постройки разделяются по огнестойкости и размерам. Кварталы с преобладанием огнестойких построек закрашиваются розовым цветом, не огнестойкие – голубым цветом. Постройки размеры стен, которых в натуре не превышают 10м, в зависимости от формы показывают внемасштабным условным знаком, прямоугольником 0,7 × 1мм или квадратом 1 × 1мм.
Геометрические модели классифицируют на предметные, расчетные и познавательные. Среди геометрических моделей можно выделить плоские и объемные модели. Предметные модели тесно связаны с визуальным наблюдением. Информация, получаемая с предметных моделей, включает в себя сведения о форме и размерах объекта, о его расположении относительно других. Чертежи машин, технических приспособлений и их деталей выполняют с соблюдением ряда условных обозначений, особых правил и определенного масштаба. Чертежи могут быть монтажными, общего вида, сборочными, табличными, габаритными, наружных видов, пооперационными и т.д. Чертежи также различают по отраслям производства: машиностроительные, приборостроительные, строительные, горно-геологические, топографические и т.п. Чертежи земной поверхности называются картами. Чертежи различают по методу изображений: ортогональный чертеж, аксонометрия, перспектива, проекции с числовыми отметками, аффинные проекции, стереографические проекции, кинеперспектива и т.п. К предметным моделям относятся чертежи, карты, фотографии, макеты, телевизионные изображения и т.п. Предметные модели тесно связаны с визуальным наблюдением. Среди предметных геометрических моделей можно выделить плоские и объемные модели. Предметные модели существенно различаются по способу исполнения: чертежи, рисунки, картины, фотографии, киноленты, рентгенограммы, макеты, модели, скульптуры и т.п. В зависимости от стадии проектирования чертежи различают на чертежи технического предложения, эскизного и технического проектов, рабочие чертежи. Чертежи также различают на подлинники, оригиналы и копии.
Графические построения могут служить для получения численных решений различных задач. Графически можно выполнять алгебраические действия (складывать, вычитать, умножать, делить), дифференцировать, интегрировать и решать уравнения. При вычислении алгебраических выражений числа изображаются направленными отрезками. Для нахождения разности или суммы чисел соответствующие им отрезки откладываются на прямой линии. Умножение и деление осуществляется построением пропорциональных отрезков, которые отсекаются на сторонах угла прямыми параллельными линиями. Комбинация действий умножения и сложения позволяет вычислять суммы произведений и взвешенное среднее. Графическое возведение в целую степень заключается в последовательном повторении умножения. Графическим решением уравнений является значение абсциссы точки пересечения кривых. Графически можно вычислять определенный интеграл, строить график производной, т.е. дифференцировать и интегрировать, а также решать уравнения. Геометрические модели для графических вычислений необходимо отличать от номограмм и расчетных геометрических моделей (РГМ). Графические вычисления требуют каждый раз последовательности построений. Номограммы и РГМ представляют собой геометрические изображения функциональных зависимостей и не требуют для нахождения численных значений новых построений. Номограммы и РГМ используются для вычислений и исследований функциональных зависимостей. Вычисления на РГМ и номограммах заменяется считыванием ответов с помощью элементарных операций, указанных в ключе номограммы. Основными элементами номограмм являются шкалы и бинарные поля. Номограммы подразделяются на элементарные и составные номограммы. Номограммы также различают по операции в ключе. Принципиальное различие РГМ и номограммы состоит в том, что для построения РГМ используются геометрические методы, а для построения номограмм аналитические методы. Номография – переход от аналитической машины к геометрической машине.
К познавательным моделям относятся графики функций, диаграммы и графы. Графическая модель зависимости одних переменных величин от других называется графиком функций. Графики функций можно строить по заданной его части или по графику другой функции, используя геометрические преобразования. Графическое изображение, наглядно показывающее соотношение каких-либо величин, является диаграммой. Столбчатая диаграмма, представляющая собой совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой и представляющих распределение каких-либо величин по количественному признаку, называется гистограммой. Геометрические модели, изображающие отношения между элементами множества называются графами. Графы – модели порядка и образа действия. На этих моделях нет расстояний, углов, безразлично соединение точек прямой или кривой. В графах различаются только вершины, ребра и дуги. Впервые графы использовались в ходе решения головоломок. В настоящее время графы эффективно используются в теории планирования и управления, теории расписаний, социологии, биологии, в решении вероятностных и комбинаторных задач и т.п.
Особое значение имеют теоретические геометрические модели. В аналитической геометрии геометрические образы исследуются средствами алгебры на основе метода координат. В проективной геометрии изучаются проективные преобразования и неизменные свойства фигур, независящие от них. В начертательной геометрии изучаются пространственные фигуры и методы решения пространственных задач при помощи построения их изображений на плоскости. Свойства плоских фигур рассматриваются в планиметрии, а свойства пространственных фигур – в стереометрии. В сферической тригонометрии изучаются зависимости между углами и сторонами сферических треугольников. Теория фотограмметрии и стерео- и фотограмметрии позволяет определять формы, размеры и положения объектов по их фотографическим изображениям в военном деле, космических исследованиях, геодезии и картографии. Современная топология изучает непрерывные свойства фигур и их взаимного расположения. Фрактальная геометрия (введена в науку в 1975 Б. Мандельбротом), изучающая общие закономерности процессов и структур в природе, благодаря современным компьютерным технологиям стала одним из самых плодотворных и прекрасных открытий в математике. Фракталы пользовались бы еще большей популярностью, если бы опирались на достижения современной теории начертательной геометрии.
Задачи классической начертательной геометрии можно условно разделить на позиционные, метрические и конструктивные задачи.
В технических дисциплинах используются статические геометрические модели, которые помогают сформировать представления об определенных предметах, их конструктивных особенностях, о входящих в их состав элементах, и динамические или функциональные геометрические модели, которые позволяют демонстрировать кинематику, функциональные связи или же технические и технологические процессы. Очень часто геометрические модели позволяют проследить ход таких явлений, которые обычному наблюдению не поддаются и могут быть представлены на основании имеющихся знаний. Изображения позволяют не только представить устройство определенных машин, приборов и оборудования, но одновременно охарактеризовать их технологические особенности и функциональные параметры.
Чертежи дает не только геометрическую информацию о форме деталей узла. По нему понимается принцип работы узла, перемещение деталей относительно друг друга, преобразование движений, возникновение усилий, напряжений, преобразование энергии в механическую работу и т.п. В техническом вузе чертежи и схемы имеют место во всех изучаемых общетехнических и специальных дисциплинах (теоретическая механика, сопротивление материалов, конструкционные материалы, электромеханика, гидравлика, технология машиностроения, станки и инструменты, теория машин и механизмов, детали машин, машины и оборудование и др.). Для передачи различной информации чертежи дополняют различными знаками и символами, а для их словесного описания используются новые понятия, в основу формирования которых положены фундаментальные понятия физики, химии и математики.
Особенно интересным является использование геометрических моделей для проведения аналогий между геометрическими законами и реальными объектами для анализа сущности явления и оценки теоретического и практического значения математических рассуждений и анализа сущности математического формализма. Отметим, общепринятые средства передачи приобретаемого опыта, знаний и восприятия (речь, письменность, живопись и т. д.) являются заведомо гомоморфной проекционной моделью реальной действительности. Понятия о проекционном схематизме и операции проектирования относятся к начертательной геометрии и имеют своё обобщение в теории геометрического моделирования.Проекционные геометрические модели, получаемые в результате операции проецирования, могут быть совершенными, несовершенными (различной степени несовершенства) и распавшимися. С геометрической точки зрения, любой объект может иметь множество проекций, различающихся как положением центра проектирования и картины, так и их размерностью, т.е. реальные явления природы и общественных отношений допускают различные описания, отличающиеся друг от друга степенью достоверности и совершенства. Основой научного исследования и источником всякой научной теории является наблюдение и эксперимент, который всегда имеет целью выявления некоторой закономерности. Все эти обстоятельства послужили основанием для использования аналогий между различными видами проекционных геометрических моделей, полученных при гомоморфном моделировании, и моделями, возникающими в результате исследования.
Подсистемы машинной графики и геометрического моделирования (МГиГМ) занимают центральное место в машиностроительных САПР-К. Конструирование изделий в них, как правило, проводится в интерактивном режиме при оперировании геометрическими моделями, т.е. математическими объектами, отображающими форму деталей, состав сборочных узлов и возможно некоторые дополнительные параметры (масса, момент инерции, цвета поверхности и т.п.).
В подсистемах МГиГМ типичный маршрут обработки данных включает в себя получение проектного решения в прикладной программе, его представление в виде геометрической модели (геометрическое моделирование), подготовку проектного решения к визуализации, собственно визуализацию в аппаратуре рабочей станции и при необходимости корректировку решения в интерактивном режиме. Две последние операции реализуются на базе аппаратных средств машинной графики . Когда говорят о математическом обеспечении МГиГМ, имеют в виду прежде всего модели, методы и алгоритмы для геометрического моделирования и подготовки к визуализации. При этом часто именно математическое обеспечение подготовки к визуализации называют математическим обеспечением машинной графики.
Различают математическое обеспечение двумерного (2D) и трехмерного (3D) моделирования. Основные применения 2D-графики — подготовка чертежной документации в машиностроительных САПР , топологическое проектирование печатных плат и кристаллов БИС в САПР электронной промышленности. В развитых машиностроительных САПР используют как 2D, так и 3D моделирование для синтеза конструкций, представления траекторий рабочих органов станков при обработке заготовок, генерации сетки конечных элементов при анализе прочности и т.п.
В процессе 3D моделирования создаются геометрические модели , т.е. модели, отражающие геометрические свойства изделий. Различают геометрические модели каркасные (проволочные), поверхностные, объемные (твердотельные).
Каркасная модель представляет форму детали в виде конечного множества линий, лежащих на поверхностях детали. Для каждой линии известны координаты концевых точек и указана их инцидентность ребрам или поверхностям. Оперировать каркасной моделью на дальнейших операциях маршрутов проектирования неудобно, и поэтому каркасные модели в настоящее время используют редко.
Поверхностная модель отображает форму детали с помощью задания ограничивающих ее поверхностей, например, в виде совокупности данных о гранях, ребрах и вершинах.
Особое место занимают модели деталей с поверхностями сложной формы, так называемыми скульптурными поверхностями . К таким деталям относятся корпуса многих транспортных средств (например, судов, автомобилей), детали, обтекаемые потоками жидкостей и газов (лопатки турбин, крылья самолетов), и др.
Объемные модели отличаются тем, что в них в явной форме содержатся сведения о принадлежности элементов внутреннему или внешнему по отношению к детали пространству.
Рассмотренные модели отображают тела с замкнутыми объемами, являющиеся так называемыми многообразиями (manifold). Некоторые системы геометрического моделирования допускают оперирование немногообразными моделями (nonmanifold), примерами которых могут быть модели тел, касающихся друг друга в одной точке или вдоль прямой. Немногообразные модели удобны в процессе конструирования, когда на промежуточных этапах полезно работать одновременно с трехмерными и двумерными моделями, не задавая толщины стенок конструкции, и т.п.